高二数学期末试卷(理科)及答案

高二数学期末考试卷（理科）
一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分） 、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ） ✌．（
3
1
， ， ） ．（－ ，－ ， ）
．（－
21，2
3
，－ ） ．（2，－ ，－ 2）
、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为 ，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为☎ ✆ ✌． ． ． ．
、“♋＞♌＞ ”是“♋♌＜2
2
2b a +”的 （ ）
✌．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件
、椭圆14
2
2=+y m x 的焦距为 ，则m 的值等于 （ ） ✌． ． ． 或 ． 或
、已知空间四边形 ✌中，，，
===，点 在 ✌上，且 ✌，☠为 中点，则 （ ）
✌．
213221+- ．c b a 212132++- ．212121-+ ．2
1
3232-+
、抛物线2
y 4x =上的一点 到焦点的距离为 ，则点 的纵坐标为（ ）
✌．
1716 ．1516 ．78
．
、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线⌧＋ ⍓－ ＝ ，则该双曲线的离心率为（ ）
✌或
5
4
或
 或
或53
、若不等式 ⌧－  ♋成立的充分条件是 ⌧ 则实数♋的取值范围是 ☎ ✆
✌．♋≤ ．♋≤ ．♋≥ ．♋≥
、已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为 （ ）
✌．
5
5
．555 
．
5
5
3 ．
5
11 、已知动点 ☎⌧、⍓✆满足 22)2()1(-+-y x ＝ ⌧＋ ⍓＋ ，则动点
的轨迹是 （ ）
✌．椭圆 ．双曲线 ．抛物线 ．无法确定
、已知 是椭圆
19
252
2=+y x 上的一点， 是坐标原点，☞是椭圆的左焦点且),(2
1
+=
4||=OQ ，则点 到该椭圆左准线的距离为（ ）
✌  
5

2
高二数学期末考试卷（理科）答题卷一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
、命题：
1,2=+-∈∃x x R x 的否定是
、若双曲线 442
2
=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于✌、 两点，
若 ✌，则△✌☞ 的周长是 
、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为 ． 、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设✌、 为两个定点， 为正常数，||||PA PB k +=，则动点 的轨迹为椭圆；
②双曲线
221259x y -=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为5
4
的点的轨迹方程为221169x y -=． 其中真命题的序号为 ♉♉♉♉♉♉♉♉♉． 三、解答题（本大题共 小题，共 分）
、（本题满分 分）已知命题☐：方程
11
22
2=--m y m x 表示焦点在⍓轴上的椭圆，命题❑：双曲线152
2=-m
x y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．
、（本题满分 分）已知棱长为 的正方体✌ －✌ ，试用向量法求平面✌ 与平面✌ 所成的锐二面角的余弦值。

、（本题满分 分）
（ ）已知双曲线的一条渐近线方程是x y 2
3
-
=，焦距为132，求此双曲线的标准方程；
（ ）求以双曲线19
162
2=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。

A
B
C
A 1
1
1N
M
第19题图
、（本题满分 分）如图所示，直三棱柱✌—✌ 中， ✌  ，∠
✌ °，棱✌✌ ， 、☠分别是✌ 、✌ ✌的中点
（ ）求BN 的长；
（ ）求♍☐♦11,CB BA 的值； （ ）求证：✌ ⊥
、（本题满分 分）如图所示，在直角梯形✌中， ✌ ＝ ， ✌ ＝ ，
 ＝ ，曲线段 ☜上任一点到✌、 两点的距离之和都相等． （ ）建立适当的直角坐标系，求曲线段 ☜的方程； （ ）过 能否作一条直线与曲线段 ☜相交，且所
得弦以 为中点，如果能，求该弦所在的直线 的方程；若不能，说明理由．
、（本题满分 分）若直线●：0=++c my x 与抛物线x y 22
=交于✌、 两点， 点是坐标原点。

☎✆当❍ － ♍ － 时，求证： ✌⊥ ；
☎✆若 ✌⊥ ，求证：直线●恒过定点；并求出这个定点坐标。

☎✆当 ✌⊥ 时，试问△ ✌的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

高二数学（理科）参考答案：
、 、 、✌ 、 、 、 、 、 、 、✌ 、
、01,2
≠+-∈∀x x R x 、  、
56 、②③
、☐ ❍ 31
❑  ❍  ☐真❑假，
则空集；☐假❑真，则1531
<≤m
故❍的取值范围为153
1
<≤m
、如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－ ， ， ），B A 1＝（ ， ，－ ）
第 题
设1n 、2n 分别是平面✌ 与平面✌ 的法向量，
由 011=⋅B A n 可解得1＝（ ， ， ）
0111=⋅C A n
易知2n ＝（ ， ， ）， 所以，2
12121,cos n n n n ⋅=
3
3
所以平面✌ 与平面✌ 所成的锐二面角的余弦值为
3
3。

、（ ）1942
2=-y x 或14922=-x y ；（ ）
125
922=+y x 、如图，建立空间直角坐标系 —⌧⍓
（ ）依题意得 （ ， ， ）、☠（ ， ， ） ∴ BN 
3)01()10()01(222=-+-+-
（ ）依题意得✌ （ ， ， ）、 （ ， ， ）、
（ ， ， ）、 （ ， ， ）
∴1BA （ ，－ ， ），1CB （ ， ， ），
1BA ·1CB ， 1BA 6， 1CB 5
∴
♍☐♦
1
BA ，
1CB 3010
1
||||1111=⋅CB BA CB BA
⍓
⌧
✌
✌
（ ）证明：依题意，得 （ ， ， ）、 （
2
1
,21， ）
，A 1 （－ ， ，－ ）， M C 1 （2
1
,21， ） ∴B A 1·M C 1 －2121+ ，∴B A 1⊥M C 1，
∴✌ ⊥
、（ ）以直线✌为⌧轴，线段✌的中点为原点建立直角坐标系，
则✌（－ ， ）， （ ， ）， （ ， ）， （－ ， ）． 依题意，曲线段 ☜是以✌、 为焦点的椭圆的一部分．
12,2,4|)||(|2
1
2===+=
b c BD AD a ∴所求方程为
)320,42(112
162
2≤≤≤≤-=+y x y x （ ）设这样的弦存在，其方程为：
22
(2),(2)11612
x y y k x y k x =-=-++=即将其代入
得2222
(34)16)16360k x k x k ++-+--=
设弦的端点为 （⌧ ，⍓ ），☠（⌧ ，⍓ ），则由
212122
162,4,4,2342
x x k x x k k +-=+=∴-==-+知解得
∴弦 ☠所在直线方程为2
y x =-
+验证得知，
这时(0,(4,0)M N 适合条件．
故这样的直线存在，其方程为2
y x =-
+ 、解：设✌☎⌧ ⍓ ✆、 ☎⌧ ⍓ ✆，由⎩⎨
⎧==++
202
x y c my x 得0222
=++c my y
上海市虹口区 学年高二下学期期中教学质量监控测试数学试题 ♎☐♍
页脚内容 可知⍓ ⍓ － ❍ ⍓ ⍓ ♍ ∴⌧ ⌧ ❍ —
♍ ⌧ ⌧ ♍
☎✆ 当❍ － ♍ － 时，⌧ ⌧ ⍓ ⍓  所以 ✌⊥ 
☎✆ 当 ✌⊥ 时，⌧ ⌧ ⍓ ⍓  于是♍ ♍ ∴♍－
☎♍不合题意✆此时，直线●：02=-+my x 过定点☎✆
☎✆ 由题意✌的中点 ☎就是△ ✌外接圆圆心✆到原点的距离就是外接圆的
半径。

),(2m c m D --而☎❍ —♍
21✆ －☯☎❍ —♍✆ ❍ c -4
1 由☎✆知♍－ ∴圆心到准线的距离大于半径 故△ ✌的外接圆与抛物线的准线相离。