上海市青浦一中高二数学下学期期中试题(含解析)
上海市青浦一中2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析） 一：选择题。
1.直线与平面所成角的范围______． 【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得 直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r ，则a b +=r r ____．【解析】【分析】 利用空间向量的坐标运算法则求出a b +r r ，由此能求出结果. 【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r∴()=1,3,5a b +--r r ∴a b +==r r 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =u r ，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-r ，且//l α，则m =____【答案】1-【解析】【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥u r r ，则=0d n u r rg ，进而得到4950m +-=，解得即可. 【详解】解：由题意可得d n ⊥u r r ，则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为___． 【答案】2π 【解析】【分析】由题意可得，AD ⊥平面11ABB A ，从而得到1AD A B ⊥，即可得到答案.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，∵AD ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A∴1AD A B ⊥∴异面直线1A B 与AD 所成的角的大小为2π 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.5.已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30o ，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50π【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯o∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为：50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二面角l αβ--为60o ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60o【解析】【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60o ，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60o ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为：60o【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.7.下列四个结论中假命题的序号是_____．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．【答案】①④【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解：对于①，若l α⊥，则α内任意两条直线都与l 垂直，显然命题①是假命题； 对于②，由平行公理可知命题②是真命题；对于③，将直线a 平移到b 的位置，由于b c ⊥，故而a c ⊥，故命题③是真命题； 对于④，在直线a 上取P 点，在直线b 上取点A ，B ，则PA ，PB 都与a ，b 相交，显然PA ，PB 相交，故命题④是假命题.故答案为：①④【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质，熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.8.互不重合的三个平面可以把空间分成_____个部分【答案】4、6、7、8【解析】分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系)，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系)，则可将空间分为8部分；故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体，考查了空间中平面与平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力.9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____.【答案】1【解析】【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF 3∠=时，EF ==故答案为：1．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题10.设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45o，且两地所在纬度圈上的弧长为24R，则A、B之间的球面距离是_____（结果用含有R的代数式表示）【答案】3Rπ【解析】【分析】由题意可得：北纬45o圈的半径是22R，并且得到AB R=，所以A、B两地所在的球心角为60︒，即可得出答案.【详解】解：由题意可得：北纬45o2∵在北纬45o圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于24R∴过A、B两点的小圆的圆心角为90o，即AB R=∴A、B两地所在的球心角为60︒∴A、B两地间的球面距离为3Rπ故答案为：3R π. 【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角形的有关知识，考查学生的计算能力与想象能力.11.已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且12PA PB PC ===，，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为___． 【答案】23【解析】【分析】根据题意利用等体积法计算P 点到平面ABC 的距离，即为PD 的最小值.【详解】解：∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且1PA PB ==，=2PC∴AB AC BC ===∴C 点到AB 的距离为2∴ABC ∆的面积为1322设点P 到平面ABC 的距离为h ，则11131123232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ∴23h = 即PD 的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算，考查了等体积法.12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为_______。
【解析】【分析】由题意可得，当截面α与正方体体对角线垂直并且平面平移至截面为正六边形时，则α截此正方体所得截面的面积最大，即可求出面积最大值.【详解】解：如图，由题可知，截面α应与正方体体对角线1B D垂直，当平面平移至截面为六边形时，此时六边形的周长恒等不变，所以当截面为正六边形时，面积最大.max2 323362EFGHMNS六边形骣琪琪=创=琪琪桫【点睛】本题考查了立体图形的截面问题，考查了学生的空间想象能力.二. 选择题。
13.已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（）A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π【答案】B【解析】【分析】先根据侧面展开图计算出圆锥的母线长，由此计算出侧面积，再加上底面积得到圆锥的表面积.【详解】设圆锥母线长为l，由于侧面展开图是半圆，故π2π1,2l l=⨯=，故侧面积为21π22π2⨯⨯=，底面积为2π1π⨯=，所以表面积为2ππ3π+=.故选B.【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面展开图有关计算，考查圆锥的表面积计算，属于基础题.14.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】 根据新定义和正六边形的性质可得答案．【详解】根据正六边形的性质，则D 1﹣A 1ABB 1，D 1﹣A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×4=8，当A 1ACC 1为底面矩形，有4个满足题意，当A 1AEE 1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．15.已知不同的直线,m n ，不同的平面,αβ，则下列命题正确的是( )①若m αP ，n αP ，则m n P ；②若m αP ，m β⊥，则αβ⊥；③若m α⊥，m n ⊥，则n αP ；④若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥.A. ②④B. ②③C. ③④D. ①② 【答案】A【解析】①若m αP ，n αP ，则,m n 位置关系不定；③若m α⊥，m n ⊥，则n α，位置关系不定； ②④正确，选A.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 是线段11B D 上的两个动点，且2EF =，则下列结论错误．．的是 （ ）A. AC BF ⊥B. 直线AE 、BF 所成的角为定值C. EF ∥平面ABCDD. 三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】B【解析】在A 中，∵正方体1p =的棱长为1，E ，F 是线段B1D1上的两个动点，且10n n a a -+≠， ∴AC⊥BD，AC⊥1BB ，∵BD∩1BB =B ，∴AC⊥平面11BDD B ，∵BF ⊂平面11BDD B ，∴AC⊥BF，故A 正确；在B 中，异面直线AE 、BF 所成的角不为定值，由图知，当F 与1B 重合时，令上底面顶点为O ， 则此时两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线AE 、BF 所成的角不为定值.故B 错误 在C 中，∵EF∥BD，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴EF∥平面ABCD ，故C 正确； 在D 中，∵AC ⊥平面11BDD B ，∴A 到平面BEF 的距离不变，∵10n n a a -+≠，B 到EF 的距离为1，∴△BEF 的面积不变，∴三棱锥A-BEF 的体积为定值，故D 正确；点睛：解决此类题型的关键是结合空间点线面的位置关系一一检验.通过直线AC 垂直平面平面BB 1D 1D ，判断A 是正确的；通过直线EF 垂直于直线AB 1，AD 1，判断A 1C ⊥平面AEF 是正确的；计算三角形BEF 的面积和A 到平面BEF 的距离是定值，说明C 是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D 是不正确的；综合可得答案．三.解答题.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB BC ==，DD 18=，M 为棱11C D 的中点．（1）求四棱锥M ABCD -的体积；（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值．【答案】(1) 12835【解析】 【分析】（1）根据长方体的性质，点M 到平面ABCD 的距离就是1DD ，再根据四棱锥的体积公式即可解得.（2）联结1BC ，BM ，可证得直线BM 与平面11BCC B 所成角就是MBC 1∠，根据111MC tan MBC BC ∠=即可求得. 【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D -，所以点M 到平面ABCD 的距离就是DD 18=， 故四棱锥M ABCD -的体积为M ABCD V -=ABCD S DD =1112833⋅⋅．（2）联结1BC ，BM ，因为长方体1111ABCD A B C D -，且M C D 11∈， 所以MC 1⊥平面11BCC B ，故直线BM 与平面11BCC B 所成角就是MBC 1∠， 在Rt ΔMBC 1中，由已知可得MC C D 111122==，BC BB B C 22111145=+=， 因此，MC tan MBC BC 111545∠===， 即直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值为5． 【点睛】本题主要考查了空间几何中四棱锥的体积计算，直线与平面所成的角的计算.18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA 和OB 互相垂直，且3OA =，P 是母线BS 的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）12π.（2）35【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出5BS =，从而求出4SO =，由此能求出圆锥的体积；（2）取OB 中点H ，连结PH AH 、，由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角，由此能求出异面直线SO 与PA 所成角的大小． 试题解析：（1）由题意，15OA SB ππ⋅⋅=得5BS =， 故2222534SO SB OB =-=-= ，从而体积2211341233V OA SO πππ=⋅⋅=⨯⨯=. （2）如图，取OB 中点H ，连结PH AH 、. 由P 是SB 的中点知PH ∥SO ，则APH ∠（或其补角）就是异面直线SO 与PA 所成角.由SO ⊥平面OAB ⇒ PH ⊥平面OAB ⇒ PH AH ⊥. 在OAH ∆中，由OA OB ⊥得22352AH OA OH =+=； 在Rt APH ∆中，90AHP O ∠=，122PH SB ==，352AH =则35tan 4AH APH PH ∠==， ∴异面直线SO 与PA 所成角的大小35arctan .19. 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm ，圆柱筒高为2 cm.（1）这种“浮球”的体积是多少cm 3（结果精确到0.1）?（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？【答案】（1） 169.6 （2） 1 200π 【解析】（1）因为半球的直径是6 cm ，所以半径R ＝3 cm ，所以两个半球的体积之和为V 球＝πR 3＝π·27＝36π（cm 3）． 又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2·h＝π×9×2＝18π（cm 3）．所以这种“浮球”的体积是V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm 3）． （2）上下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2＝4×π×9＝36π（cm 2）， 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm 2）， 所以1个“浮球”的表面积为S ＝＝π（m 2）．因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S ＝2 500×π＝12π（m 2）． 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝ 1 200π（克）．考点：圆柱、球的体积、表面积.20.如图，在正四棱锥P ABCD -中，22PA AB ==，E ，F 分别为PB ，PD 的中点．（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．【答案】(1) =883S +全 (2) 25【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的性质，用勾股定理求得侧面三角形的高，进而求得侧面积和底面积，即可得出答案.（2）由题意，可建立空间直角坐标系，分别表示出平面AEMF 与平面ABCD 的法向量，求出两个法向量的夹角，即可得出答案.【详解】解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PG ，22PA AB ==Q ，6PG ∴=21=(22)42268832S S S +=+⨯⨯⨯=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ，记AC BD O =I ，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直 如图建立空间直角坐标系-O xyz ．因为22PB AB ==Rt Rt POB AOB ≅△△． 所以2OA OP ==所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．所以(2,1,1)AE =-u u u r ，(2,1,1)AF =--u u u r．设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =r，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩ 所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =r．因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =u r设m u r 与n r 的夹角为ϕ，25cos 15⋅===⨯⋅u r r u r r m n m n ϕ25ϕ⇒= 所以平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是25． 【点睛】本题主要考查空间几何体中的正四棱锥面积计算，二面角的计算，熟练掌握多面体的性质和求解二面角的方法是解决此类题的关键.21.如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，13AA AB AC ++=，(0)AB AC t t ==>，P 是侧棱1AA 上的动点．（1）当1AA AB AC ==时，求证：1A C ⊥平面1ABC ； （2）记三棱锥1P BCC -的体积t,V 为求v (t)t的最大值； （3）若二面角1A BC C --的平面角的余弦值为1010，试求实数t 的值． 【答案】(1)见证明；(2)316 (3)65t = 【解析】 【分析】（1）证法一：利用线面垂直的判定定理，即证11AC AC ⊥，1A B AC ⊥；证法二：建立空间直角坐标系，证明111,AC AC AC AB ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u r；证法三：建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 的法向量(),,n x y z =r ，利用1AC n =-u u u r r ，证明1A C ⊥平面1ABC ； （2）确定点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离，利用等体积转化，求出三棱锥1P BCC -的体积，利用导数的方法，求得最大值；（3）建立空间直角坐标系，求出平面1ABC 的法向量()10,23,n t t =-u r，平面1BC C 的法向1ABC 的法向量()21,1,0n =u u r，利用向量的夹角公式及二面角1A BC C --的平面角的余弦值为1010，即可求得结论． 【详解】（1）证法一：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥． 又∵1AA AC =，∴四边形11AAC C 是正方形， ∴11AC AC ⊥．∵AB AC ⊥，1AB AA ⊥，1AA ，AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =I ，∴AB ⊥平面11AAC C又∵ 1AC ⊂平面11AAC C ，∴1AB AC ⊥． ∵AB ，1AC ⊂平面1ABC ，1AB AC A ⋂=， ∴1A C ⊥平面1ABC ．证法二：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥． 又∵AB AC ⊥，∴分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()10,1,1C ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，∴()()()110,1,1,0,1,1,1,0,0AC AC AB =-==u u u r u u u u r u u u r， ∴1110,0AC AC AC AB ⋅=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r ∴111,AC AC AC AB ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u r ． 又∵AB ，1AC ⊂平面1ABC ，1AB AC A ⋂=∴1A C ⊥平面1ABC ． 证法三：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥． 又∵AB AC ⊥，∴分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()10,1,1C ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1A ，∴()()()110,1,1,0,1,1,1,0,0AC AC AB =-==u u u r u u u u r u u u r． 设平面1ABC 的法向量(),,n x y z =r，由10,0n AC n AB ⋅=⋅=r u u u u r r u u u r 得0x y z =⎧⎨=-⎩．令1z =，则()0,1,1n =-r，∵1AC n =-u u u r r，∴1A C ⊥平面1ABC （2）解：∵1//AA 平面11BB C C ，∴点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离 ∴()111223111332(0)6232P BCC A BCC C ABC V V V V t t t t t ---====-=-<<， 于是2v (t)11t t t 32=-+ 当3t 4=时，max v (t)3[]t 16=（3）解：分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()10,,32C t t -，(),0,0B t ，()0,,0C t ，()10,0,32A t -，∴()()()110,,23,0,,32,,0,0AC t t AC t t AB t =-=-=u u u r u u u u r u u u r ，()10,0,32CC t =-u u u u r ，(),,0BC t t =-u u u r 设平面1ABC 的法向量()1111,,n x y z =u r，则11n AB 0tx ⋅==u u r u u u r ,1111(32)0AC t t z n y =+-⋅=u r u u u u r解得111023x t y z t =⎧⎪-⎨=⎪⎩，令1z t =，则()10,23,n t t =-u r．设平面1BCC 的法向量()2222,,n x y z =u u r，则212n CC (32t)Z 0⋅=-=u u r u u u r由于302t <<，所以解得2220x y z =⎧⎨=⎩．令21y =，则()21,1,0n =u u r．设二面角1A BC C --的平面角为θ，则有12cos 2310||n n t θ⋅==-=⋅u r u u r ．化简得2516120t t -+=， 解得2t =（舍去）或65t =． 所以当65t =时，二面角1A BC C -- 【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识.。
上海市高二下学期期中数学试卷及答案(共3套)
上海市浦东新区高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。
1. 过点)5,3(P ，且与向量)2,4(=d 平行的直线l 的点方向式方程为 24= 。
2. 直线023=++y x 的倾斜角为___________ 3arctan -π3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。
4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点)3,1(-且与直线013=+-y x 的夹角为6π的直线方程为04301=+-=+y x x 或8．已知一圆的圆心坐标为)1,2(-C ，且被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，则此圆的方程22(2)(1)4x y -++= 。
9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。
10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的 取值范围_____4-≤k 或43≥k11.已知关于x 0x m +=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。
1F 为椭圆的左焦点，则11112FA F P F P +++191F P FB ++的值___________。
44 二、选择题（每题4分）。
13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ C ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ）192522=+y x （B ）125922=+y x 或192522=+y x（C ）125922=+y x（D ）1251622=+y x 或191622=+y x15. 圆上的点到直线043=+y x 的距离的最大值是 （ C ）)(A53 B)(51)(C 552+ )(D 552-16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点， 长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能三、 解答题（共42分）。
上海数学高二下期中经典习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．13+B ．2C ．22+D ．03．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=4．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=5．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A ．32B ．3C ．34D ．34-6．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．89-B ．89C ．79D ．79-7．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π48．(0分)[ID ：13566]设a b c 、、是单位向量，且·0a b ＝，则()()a cbc -⋅-的最小值为A ．2-B 2C ．1-D ．19．(0分)[ID ：13549]将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 10．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 11．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．3π B ．2π C ．23πD ．56π13．(0分)[ID ：13540]已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=且sin cos 4B B =ABC ∆是（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形14．(0分)[ID ：13538]3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825B ．2425±C ．725-D ．72515．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．2C ．2-D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：13724]若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．17．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则ωφ=__________．18．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.19．(0分)[ID ：13719]设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)20．(0分)[ID ：13718]如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，23OC =，若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则(x ,y )=___________.21．(0分)[ID ：13709]已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若()()f AP AB R λλλ=-∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为43,则线段AB 的长度为________.22．(0分)[ID ：13700]在△ABC 中，60A ∠=°，M 是AB 的中点，若|AB|=2，|BC|=23，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________. 23．(0分)[ID ：13693]已知()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23πθ-=，求sin2αβ-=_______.24．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.25．(0分)[ID ：13645]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13822]已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴；③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 27．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22π xπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 28．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 29．(0分)[ID ：13740]在△ABC 中，已知内角A ＝，边BC ＝2，设内角B ＝x ，周长为y ．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．30．(0分)[ID ：13827]在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．A4．D5．B6．C7．A8．D9．B10．C11．D12．A13．A14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算19．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有20．(42)【解析】【分析】以OC为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO21．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】22．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应23．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．4．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.5．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 42ππααα<<∴-= B. 6．C解析：C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.7．A解析：A 【解析】 因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴， 所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π． 故选：A ． 8．D【解析】 【分析】根据向量的乘法运算展开,结合向量的数量积运算和夹角的有界性,即可求得最小值. 【详解】,,a b c 是单位向量()()a cbc ∴-⋅- 2·()b a a c c b =-+⋅+()01a b c =-+⋅+1,a b c =+1≥故选D 【点睛】本题考查了向量数量积的综合应用,向量夹角的应用,属于基础题.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3yx x x，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．10．C解析：C 【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=， 即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性12．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=， 即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.13．A解析：A 【解析】 【分析】由tan A +tan B =tan A tan B ，推导出C ＝60°，由sin cos 4B B =，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状． 【详解】∵tan A +tan B =tan A tan B ，即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），∴1tanA tanBtanAtanB+=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°，∵sin cos B B =，∴sin2B =, ∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°. 由题意知90A ≠︒ ∴△ABC 等边三角形． 故选A ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14．C解析：C 【解析】 【分析】 由3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】 由题意可得3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．15．A解析：A 【解析】 【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象， 所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于 解析：=4ω. 【解析】 【分析】由所给函数图像 过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2解析：2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】 【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=， 又因AC =1，BC =2， 所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.19．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有解析：①④ 【解析】 【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.20．(42)【解析】【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt △MO解析：(4,2) 【解析】 【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形，由题中角度关系可得出||4||4,||2||2ON OA OM OB ====；然后由向量加法的平行四边形法则得出OC ON OM xOA yOB =+=+，则可得出4,2x y ==，进而得出答案()(),4,2x y =.【详解】如图所示，以OC 为对角线作平行四边形，则有MON 120∠︒=，MOC 90∠︒=，MCO NOC 30∠∠︒==，所以在Rt △MOC 中，由||23OC =OM OC tan 302︒==， ON MC 2OM 4===；由向量加法的平行四边形法则可得OC ON OM =+，又因OC xOA yOB =+，得出ON xOA =，OM yOB =，0,0x y >>，则有||||ON x OA =，||||OM y OB =，则由以上等式可解的4,2x y ==，所以()(),4,2x y =.故答案为：()4,2. 【点睛】本题考查了向量平行四边加法法则的应用，考查了特殊直角三角形边长的求解，属于一般难度的题.21．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】解析：3【解析】 【分析】 设AC AB λ=,把()f λ化简为CP ,考虑CP 的几何意义，即()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离，由此可得结论.【详解】设AC AB λ=,则()=f AP AB AP AC CP λλ=--=, 因为AC AB λ=，所以点C 在直线AB 上，所以()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离.因为m 的最大值为43，所以圆心到直线AB 的距离为13，所以3AB =，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确()fλ的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.22．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应 解析：2316【解析】 【分析】先对DB 、DM 用AB 、DA 表示,并可将DB DM ⋅整理成关于DA 的二次函数,由余弦定理可解得4AC =,即确定DA 的范围,进一步求得其最小值 【详解】由题,DB DA AB =+,12DM DA AM DA AB =+=+, ()222113322cos1202222DB DM DA AB DA AB DA AB DA AB DA DA ⎛⎫∴⋅=+⋅+=++⋅=++⨯⨯︒⎪⎝⎭22332322416DA DA DA ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭设AC x =,由余弦定理得,2222cos60BC x AB AB x =+-︒,即(222222cos 60x x =+-⋅⋅⋅︒,整理后可得2280x x --=,解得4x =或2x =-（舍）[]0,4DA ∴∈ ∴当34DA =时, DB DM ⋅取得最小值为2316故答案为2316【点睛】本题考查数量积的应用,考查余弦定理的应用,考查平面向量基本定理的应用,考查二次函数求最值,考查运算能力23．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题解析：12-【解析】 【分析】由(0,)απ∈，可得2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12αθ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2αβ-的值．【详解】(0,)απ∈，∴(0,)22απ∈．1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=====⋅+，12αθ∴=．(,2)βππ∈，∴(22βπ∈，)π，∴(0,)22βππ-∈．1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπθ-∴=====--，222βπθ∴=-， 123πθθ-=，∴()2223αβππ--=，化为26αβπ-=-，1sinsin()262αβπ-=-=-．故答案为：12-． 【点睛】本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角 解析：[]0,4【解析】 【分析】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定 3【解析】 【分析】设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果． 【详解】 设DE x =，1201BAD AB AD ∠=︒==，，ABD △中，由余弦定理可得，2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，3BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，AB BC AD CD ⊥⊥，()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++22AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+223311cos 60101cos150022x x x x ︒︒=⨯⨯++-++⨯⨯++2322x x =-+ 221211616x ⎛=+≥ ⎝⎭，此时4DE x ==，【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．三、解答题 26．（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】 （Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈；由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤； 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.27．（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6． 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-． 因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈． 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．28．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】 【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以()()223110BA =-+-=，13,44BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，104BC =， 故ABC ∆的面积为110510244⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．29．（1）y ＝4sinx ＋＋2；（2）6．【解析】试题分析：（1）由已知条件及正弦定理得到，AB ＝，从而得到周长y ＝4sinx ＋＋2，同时求出角x 的范围即可；（2）由两角差的正弦公式及辅助角公式将（1）中的函数解析式化为y ＝4sin （x ＋）＋2，并结合角x的范围求最值即可．试题解析：（1）△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝，B ＞0，C ＞0，得0＜B ＜．应用正弦定理，得AC ＝·sinB ＝·sinx ＝4sinx ． AB ＝sinC ＝．∵y ＝AB ＋BC ＋CA ， ∴y ＝4sinx ＋＋2． （2）y ＝4（sinx ＋cosx ＋sinx ）＋2＝4sin （x ＋）＋2．∵＜x ＋＜， ∴当x ＋＝，即x ＝时，y 取得最大值6． 考点：①求解析式；②三角函数求最值．30．（123；（2）5. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD ABA ADB=∠∠，根据题设条件，求得2sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得223cos 1255ADB ∠=-=（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得2cos sin BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<，所以223cos 1255ADB ∠=-=； （2）由题设及（1）知，2cos sin BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=. 所以5BC =.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.。
青浦区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
青浦区第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知数列，则5是这个数列的（ ） A ．第12项 B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．函数是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8D ．104． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5） C ．（4，﹣3，1）D ．（﹣5，3，4）5． 下列命题的说法错误的是（ ）A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0” 6． 已知函数f （x ）=31+|x|﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（﹣，）D ．7． 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．78． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞3D ．x ＜39． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A．112 B．114 C．116 D．12010．若复数（2+ai）2（a∈R）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣2 B．±2 C．0 D．211．如果点P在平面区域220,210,20x yx yx y-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，点Q在曲线22(2)1x y++=上，那么||PQ的最小值为（）A1B1C. 1D112．设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题13．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于.14．设,x y满足条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩，若z ax y=-有最小值，则a的取值范围为．15．已知（x2﹣）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是．16．直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最小值为．17．设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．18．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．三、解答题19．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．20．已知f （x ）=x 3+3ax 2+bx 在x=﹣1时有极值为0． （1）求常数 a ，b 的值；（2）求f （x ）在[﹣2，﹣]的最值．21．已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ，求实数x 、y 的值．22．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；（2）当三棱锥A ﹣BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。
上海青浦区实验中学数学高二下期中基础练习(培优提高)
一、选择题1．(0分)[ID ：13599]已知向量5168,77AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，68,77AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D ，E 是线段BC 上两点，且15BD BC =，13CE CB =，则向量AD 与AE 的关系是（ ） A ．2AD AE = B ．12AD AE =C ．AD AE ⊥D ．AD 与AE 成60︒夹角2．(0分)[ID ：13583]已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 3．(0分)[ID ：13577]设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x=的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ） A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真4．(0分)[ID ：13627]已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线2π3x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点11π(,0)12对称 C ．函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 5．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．B ．2C ．3D 6．(0分)[ID ：13624]设,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan( ) A ．34B ．34-C ．43D ．43-7．(0分)[ID ：13616]已知函数()sin(),f x x ϕ=-且23()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π=8．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A B ． C ．34D ．34-9．(0分)[ID ：13596]已知函数()sin()3f x x π=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ） A ．向左平移56π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移56π个单位 10．(0分)[ID ：13586]若1tan 3θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．4511．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ）A ．2B ．2-C ．2±D ．12±12．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 13．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 14．(0分)[ID ：13539]设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A ．若a b a b a b +=-⊥，则 B ．若,a b a b a b ⊥+=-则C ．若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=-15．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．(0分)[ID ：13728]已知向量(1,)a k =，(9,6)b k =-，若//a b ，则k =_________． 17．(0分)[ID ：13704]设等边三角形ABC 的边长为6，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅=______.18．(0分)[ID ：13703]已知ΔABC 是边长为√3的正三角形，PQ 为ΔABC 外接圆O 的一条直径，M 为ΔABC 边上的动点，则PM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是______. 19．(0分)[ID ：13679]已知平面向量,a b 满足()3b a b ⋅+=，且1a =，||2b =，则a b +=________．20．(0分)[ID ：13676]已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅=_______．(结果用数值表示)21．(0分)[ID ：13670]已知ABC ∆的面积为1，在ABC ∆所在的平面内有两点P ,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则四边形BCPQ 的面积为____________.22．(0分)[ID ：13665]已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 23．(0分)[ID ：13663]已知向量a →，b →均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b -等于___________；24．(0分)[ID ：13660]在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =，则AD BC ⋅=________ 25．(0分)[ID ：13641]若向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：13771]已知a 与b 的夹角为34π，且2a =，2b =. （1）求32a b +；（2）求32a b +与a 的夹角θ的大小. 27．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 28．(0分)[ID ：13764]在Rt ABC ∆中,090C ∠=,边AC BC 、的中点分别是E D 、,若,,2CA a CB b a b ====.（1）分别用a b 、表示AD →和BE →；（2）求AD BE 、所成钝角的大小(结果用反三角函数表示).29．(0分)[ID ：13787]M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交两边,AB AC 于点,P Q ，设,AP x AB AQ y AC ==，记()y f x =.（1）求函数()y f x =的表达式； （2）求APQ ABCS S ∆∆的取值范围.30．(0分)[ID ：13781]已知函数2()2sin cos 1)f x x x x =+-． （1）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b ，c ，锐角A 满足()26A f π-=A 的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．A 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C 13．A 14．C 15．B二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用17．-18【解析】【分析】由已知得由此根据数量积定义求出的值【详解】∵等边三角形的边长为6∴为中点∴∵∴∴故答案为：-18【点睛】本题考查向量数量积的求法是中档题解题时要认真审题注意平面向量加法法和向量18．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM⋅MQ再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM⋅MQ=PO+OM⋅MO+OQ=PO⋅MO+PO⋅OQ+OM⋅MO+OM⋅OQ=OM⋅OQ+OP+PO⋅O19．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题20．【解析】由题向量在向量方向上的投影为即即答案为-621．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以22．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公23．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力24．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】先求出=6,8AD （），=3,4AE （），所以2AD AE =，即得解. 【详解】1141()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+45168168,,(6,8)577577⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111215168268(),,3333377377AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3,4)=，所以2AD AE =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基底法和向量的坐标运算，考查共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.3．C解析：C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.4．C解析：C 【解析】 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【详解】最小正周期是π，22Tπω∴== 它的图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数， ()sin[2()]3f x x πϕ∴=-+为奇函数，则2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin(2)3f x x π∴=-， 由2,32x k k Z πππ-=+∈得5,122k x k Z ππ=+∈， 则()f x 的图象不关于2π3x =对称，故选项A 错误；由2,3x k k Z ππ-=∈得,62k x k Z ππ=+∈，则()f x 的图象不关于11π(,0)12对称，故选项B 错误； 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈ 取1k =-，得区间7[,]1212ππ--， 由ππ7,[,]2121212ππ⎡⎤--⊂--⎢⎥⎣⎦，知选项C 正确；函数()f x 的零点为,62k x k Z ππ=+∈， 则函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有23π和76π两个零点，故选项D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，单调性、奇偶性、对称中心、对称轴等性质，属于中档题.5．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．6．A解析：A 【解析】 【分析】由平方关系得出cos α，再结合诱导公式以及商数关系得出答案. 【详解】4cos 5α==-sin 353tan()tan cos 544απααα⎛⎫-=-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】函数()f x 的对称轴为12x k πϕπ-=+12x k πϕπ⇒=++,因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭, 所以23k πϕπ-=23k πϕπ⇒=-,即对称轴121526x k k k ππϕπππ=++=-+(12,k k N ∈) 则56x π=是其中一条对称轴,故选A. 8．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 42ππααα<<∴-= B. 9．A解析：A 【解析】函数5()cos sin()sin ()236g x x x x πππ⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦，所以将函数()f x 的图象向左平移56π个单位时，可得到()cos g x x =的图象，选A. 10．D解析：D 【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++. 故选D.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+====故选A ． 【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=， 即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．A解析：A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ 【详解】 因为2=(),2263T T Tππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-，所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．C解析：C 【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则a b ⊥不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠，所以B 不正确．对于C a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则cos 1θ=-，则a 与b 反向，因此 存在实数λ，使得a b λ=，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=，则22,a b a a b a λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b ≠-，则a b a b +≠-，所以D 不正确．故选C ．考点：平面向量的综合题15．B解析：B 【解析】 【分析】根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案. 【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,而||||cos ||=||cos i i i i i OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影为||OA OB OB ⋅,故④正确.()00,i i i i OA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB ⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点i A A 、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.二、填空题16．【解析】试题分析：由于所以解得考点：向量共线坐标表示的应用解析：【解析】试题分析：由于//a b ，所以()122169860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-． 考点：向量共线坐标表示的应用．17．-18【解析】【分析】由已知得由此根据数量积定义求出的值【详解】∵等边三角形的边长为6∴为中点∴∵∴∴故答案为：-18【点睛】本题考查向量数量积的求法是中档题解题时要认真审题注意平面向量加法法和向量解析：-18【解析】【分析】由已知得12BD BA AC=+，13AE AB BC=+，由此根据数量积定义求出BD AE⋅的值.【详解】∵等边三角形ABC的边长为6，AD DC=，∴D为AC中点，∴12BD BA AC=+，∵3BC BE=，∴13AE AB BC=+，∴1123BD AE BA AC AB BC⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111326BA AB BA BC AC AB AC BC⋅+⋅+⋅+⋅1113636cos6066cos6066cos60326=-+⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒36693=-+++18=-.故答案为：-18.【点睛】本题考查向量数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法和向量数量积公式的合理运用.18．34【解析】【分析】利用向量运算化简PM⋅MQ再求解即可【详解】由题易得OP=OQ=1故PM⋅MQ=PO+OM⋅MO+OQ=PO⋅MO+PO⋅OQ+OM⋅MO+OM⋅OQ=OM⋅OQ+OP+PO⋅O解析：34【解析】【分析】利用向量运算化简PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 再求解即可. 【详解】由题易得|OP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ |=1.故PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(PO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )⋅(MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ )=PO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +PO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑=OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +OP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ )+PO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=1−OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2, 故当M 为ΔABC 三边的中点时，|OM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |最小， 1−OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2取最大值,此时|OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=12,故PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是1−(12)2=34. 故答案为：34【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及正三角形中的关系等.属于中等题型.19．【解析】【分析】利用化简求得然后利用计算出【详解】∵∴又∵∴故填：【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算考查平面向量模的求解策略属于基础题【解析】 【分析】利用()3b a b ⋅+=化简求得1a b ⋅=-，然后利用22||2a b a a b b +=+⋅+计算出||a b +.【详解】∵()3b a b ⋅+=，∴23b a b ⋅+=，又∵||1a =，||2b =， ∴1a b ⋅=-，22||212a b a a b b +=+⋅+=-=【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查平面向量模的求解策略，属于基础题.20．【解析】由题向量在向量方向上的投影为即即答案为-6 解析：6-【解析】由题向量a 在向量b 方向上的投影为2-，即cos ,2,3, 6.a b a ba ab ab a b a b b⋅⋅===-=∴⋅=-⋅即答案为-6.21．【解析】【分析】根据可判断出的位置并作出图形然后根据三角形的面积公式可求解出即可求解出四边形BCPQ 的面积【详解】因为所以是线段的中点又因为所以所以所以是上靠近的一个三等分点作出图示如下图：因为所以解析：23【解析】 【分析】根据0,PA PC QA QB QC BC +=++=可判断出,P Q 的位置并作出图形，然后根据三角形的面积公式1sin 2S bc A =可求解出APQS ，即可求解出四边形BCPQ 的面积.【详解】因为0PA PC +=，所以P 是线段AC 的中点， 又因为QA QB QCBC ++=，所以QA QB QC BQ QC ++=+，所以2QA BQ =，所以Q 是AB 上靠近B 的一个三等分点，作出图示如下图：因为121111sin sin 232323APQSAB AC A AB AC A ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以12133BCPQ S =-=四边形. 故答案为：23. 【点睛】本题考查根据向量的线性运算求图形面积，难度一般.对于线段AB ，若存在点P 满足：()*AP PB N λλ=∈，则P 是AB 的一个()1λ+等分点.22．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公解析：13【解析】 【分析】本题首先可根据5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．【详解】因为cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 45πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题．23．【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方再开方得结果【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积考查基本求解能力【解析】 【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果. 【详解】2239619611a b a b a b -=+-⋅=+-⨯⨯=【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.24．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题 解析：6-【解析】 【分析】由2DC BD =可得13BD BC =,利用向量的线性运算可得()21133AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭,再求出AB BC ⋅和2BC 即可.【详解】由题意,2DC BD =,则13BD BC =,66cos6018AB BC BA BC ︒⋅=-⋅=-⨯=-,26636BC =⨯=,()211118366333AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+=-+⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为:6-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题解析：0或-3 【解析】 【分析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】由题意，向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为0或3-． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）252）25arccos 5. 【解析】 【分析】 (1)利用2|32|(32)a b a b +=+计算可得;(2)利用cos θ(32)|32|||a b a a b a +⋅=+2=.【详解】(1)222|32|(32)9124a b a b a a b b +=+=+⋅+====(2)cos θ(32)|32|||a b a a b a +⋅=+2=3422(⨯+⨯==. 所以arccos 5θ=. 【点睛】本题考查了求向量的模,向量的夹角,属于基础题.27．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】 【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=， 解得34m =-．所以(BA =-=13,44BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，104BC =，故ABC ∆的面积为15244=． 【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．28．（1）12AD b a =-，12BE a b =-；（2）4arccos 5π-（答案形式不唯一）.【解析】 【分析】（1）根据题意可得12AD CD AC CB CA =+=-,12BE CE BC CA CB =+=-,整理即可；（2）利用数量积求向量AD 和BE 的夹角余弦值,再利用反三角函数表示钝角即可 【详解】（1）由题,可得1122AD CD AC CB CA b a =+=-=-, 1122BE CE BC CA CB a b =+=-=-（2）由题,0a b ⋅=,则222222111151111224222242222AD BE b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=--+⋅=--=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222211112252444AD b a b a b a b a ⎛⎫=-=-⋅+=+=⨯+= ⎪⎝⎭,即5AD =2222222211112252444BE a b a a b b a b ⎛⎫=-=-⋅+=+=⨯+= ⎪⎝⎭,即5BE =4cos ,55AD BE AD BE AD BE⋅-<>===-⋅则AD BE 、所成钝角为4arccos 5π- 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数量积的应用,考查反三角函数求角,考查运算能力29．（1）()41x y f x x ==-，1(1)3x ；（2）11[,]43 【解析】 【分析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于,x y 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为1，则APQ ∆的面积241x S xy x ==-，1(1)3x ，利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【详解】（1）如图所示： D 为BC 的中点，M 为AD 的中点， ∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+，,AP xAB AQ y AC ==， ∴1144AM AP AQ x y =+，又PQM 三点共线， ∴11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x 。
上海市高中高二下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．过点，且一个法向量为的直线的点法向式方程是________.(2,3)P (3,1)n =-【答案】3(2)(3)0x y ---=【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.【详解】在所求直线上任取一点,则所求直线的方向向量为, (,)x y (2,3)x y --再根据直线的方向向量与法向量垂直可得, ,(3,1)(2,3)0x y -⋅--=即. 3(2)(3)0x y ---=故答案为: .3(2)(3)0x y ---=【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题. 2．若，求圆心坐标为___________. 22240x y x y +--=【答案】(1,2)【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得出答案.【详解】解：由，可得圆的标准方程为， 22240x y x y +--=22(1)(2)5x y -+-=所以圆心坐标为. (1,2)故答案为：.(1,2)3．椭圆的焦距是______.22124x y +=【答案】【解析】根据椭圆中，，的数量关系求解．a b c【详解】解：椭圆的焦距是．22124x y +=2c ===故答案为：．【点睛】本题考查了椭圆中，，的数量关系，属于基础题．a b c 4．双曲线的两条渐近线夹角为________．2213y x -=【答案】3π【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出1212tan 1k k k k α-=+渐近线的夹角．【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，2213y x -=y =y =设两条渐近线的夹角为锐角，α则．tan α3π故答案为3π【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法以及夹角公式，属于基础题．5．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______. ():2130l ax a y a +-+-=a l 【答案】()5,3-【分析】把直线方程化为，令，求出，的值即可.(21)30a x y y ++--=21030x y y ++=⎧⎨--=⎩x y 【详解】因为直线可化为，():2130l ax a y a +-+-=(21)30a x y y ++--=令，解得，21030x y y ++=⎧⎨--=⎩5,3x y ==-所以直线过定点， l (5,3)-故答案为：.(5,3)-6．若原点到直线：的距离为4，则的值是______. l 80ax y ++=a【答案】【解析】，再求解即可.4=【详解】解：由点到直线的距离公式可得：，解得，4d ==a =故答案为：【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.7．已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长l (1,0)-20x y -=22480x y x y +-+=l 为__【答案】【解析】先求出直线的方程，再求出圆心与半径，计算圆心到直线的距离，由垂径定理求l C r l d 弦长．||AB 【详解】解：由题意可得，的方程为，l 210x y ++=可化为，圆心，半径22480x y x y +-+= 22(2)(4)20x y -++=(2,4)-r =圆心到的距离，∴(2,4)-l dAB ∴===故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．8．设是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且满足，则的面积是12,F F 2214x y +=P 1260F PF ∠=︒12PF F ∆___________． 【详解】由题意，得，(1222201212+=4+260=PF PF PF PF PF PF cos -⋅⎧⎪⎨⎪⎩即，则， 12221212+=4|+|=12PF PF PF PF PF PF -⋅⎧⎪⎨⎪⎩2123412PF PF ⋅=-即，所以的面积为. 124||||3PF PF ⋅=12PF F ∆0121sin602S PF PF =⋅=点睛：本题考查椭圆的定义和余弦定理的应用；在处理椭圆或双曲线中涉及两个焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义（定和或定差）进行处理，往往再结合正弦定理、余弦定理进行求解. 9．已知，是曲线上的动点，为直线上的一个()1,2M -N 22:6290C x y x y +--+=P 220x y ++=动点，则的最小值为______. PM PN +【答案】1【分析】根据题意，求得关于直线的对称点，结合图像即可得到当三点M 220x y ++=H ,,P H C 共线时，取得最小值.PM PN +【详解】如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆，22:6290C x y x y +--+=()3,1C 1则根据圆的性质可知，的最小值为， PN 1PC -设关于直线的对称点为，M 220x y ++=(),H m n 则可得，解得，即，2211222022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+⨯+=⎪⎩32m n =-⎧⎨=-⎩(3,2)H --连接，分别交直线与圆于， HC 220x y ++=C ,P N 则， 111PM PN PM PC PH PC HC +≥+-=+-≥-当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值， ,,P H C 1所以的最小值为. PM PN +1故答案为:110．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和1F 2F P 123F PF π∠=双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得 4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中，3π化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 2212134e e +=所以心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos，①3π3π在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③， ， 2212134e e +=所以由柯西不等式得（1+）（）≥（213221213e e +11e1211e e +≤所以【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题．二、单选题11．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ） 1a =10x ay +-=10ax y -+=A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判10x ay +-=10ax y -+=a R ∈断得解.【详解】因为直线与直线相互垂直， 10x ay +-=10ax y -+=所以， 1()(1)0a a ⨯+⨯-=所以.a R ∈所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直1a =10x ay +-=10ax y -+=1a =10x ay +-=线相互垂直”的充分条件；10ax y -+=当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线10x ay +-=10ax y -+=1a =1a =与直线相互垂直”的非必要条件.10x ay +-=10ax y -+=所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 1a =10x ay +-=10ax y -+=故选：A【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.12．已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取()2,1A -()B 5,3--l ()1,1l AB l 值范围是（ ） A ． B ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭22,3⎡⎤-⎢⎣⎦C ．D ．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解. ()1,1PA PB 【详解】如图所示：若直线与线段相交， l AB 则或 ， PA k k ≤PB k k ≥因为，， 11221PA k --==--312135PB k --==--所以直线的斜率取值范围是. l (]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭故选：A.【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.13．已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，若上的点满足E ()222210x y a b a b +=>>2F 1A E P 2PF x⊥轴，，则的离心率为（ ）123sin 5PA F ∠=E A ． B ．C ．D ．12251415【答案】C【分析】由题意构建方程，进而转化为的齐次式，从而得到结果. ,a c 【详解】∵， 123 sin 5PA F ∠=∴ 123tan 4PA F ∠=∴，即 2123tan 4b a PA F a c ∠==+24310e e +-=∴. 14e =故选：C14．已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，延长 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F A 2AF C于点，若△为等腰三角形，则椭圆的离心率（ ） B 1ABF e =A ．BCD ．1312【答案】B【解析】由△为等腰三角形，可知，可求出，设，结合椭圆的定1ABF 1||BF BA =2AF a =1F B x =义可求得，过点作轴的垂线，交轴于点，易知，可求出点的坐32x a =B x xC 22AOF BCFA A ∽B 标，将点的坐标代入椭圆方程，进而可求出离心率.B 【详解】在直角三角形中，，且， 2AOF 2AF a ==1AF a =易知，，故等腰△中，. 1BF a >BA a >1ABF 1||BF BA =设，则，1BF x =22||BF BA AF x a =-=-由椭圆的定义知，则，解得，所以， 122F B F B a +=2x x a a +-=32x a =212BF a =过点作轴的垂线，交轴于点，易知，B x xC 22AOF BCF A A ∽所以，故点的坐标为，211||,22BC b F C c ==B 3,22c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭将点的坐标代入椭圆方程得，解得，故B 22229144c b a b +=22213c e a ==e 故选：B.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题15．设直线的方程为. (1)20,a x y a a R +++-=∈（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求a 的值.【答案】（1）或（2）30x y +=20x y ++=3a =【分析】（1）讨论截距是否为0：当截距为0时，过原点，代入可得，进而得直线方程；当截距a 不为0时，使得截距相等，求得，进而得直线方程；a （2）先求得直线在轴，轴上的截距，结合面积为1，即可解方程求得a 的值. x y 【详解】（1）由题意知，当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0， 此时，直线的方程为； 2a =30x y +=当直线不过原点时，由截距相等，得，则， 221a a a --=+0a =直线的方程为，20x y ++=综上所述，所求直线的方程为或. 30x y +=20x y ++=（2）由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为、， x y 21a a -+2a -，()122121a a a -⨯-=+解得3a =【点睛】本题考查了直线方程截距的概念，直线方程的求法，由直线围成图形面积的应用，属于基础题.16．如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为r 的圆C 的一段劣OA PA弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设Q 为圆心C 与P 连线与路面的交点．（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上？（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段上，求的最大值． OQ HQ【答案】（1）；（2）.r =(12-【分析】（1）以O 为原点，以所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设圆心，根据圆心OA (,)C a b C 到A ，P 的距离相等得到，再由圆心在直线PQ 上联立求解.100a b +-=（2）由（1）知，当时，灯罩轴线所在直线方程为，易得；当100a b +-=2a =2x =0HQ =2a ≠时，设灯罩轴线所在方程为：，令得到，然后由10(2)2a y x a --=--0y =2012,0a Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解. 20||12HQ a a=--【详解】（1）以O 为原点，以所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：OA则， (0,8),(2,10),(7,0)A P Q ∴直线的方程为．PQ 2140x y +-=设，则，两式相减得：， (,)C a b 222222(2)(10)(8)a b r a b r ⎧-+-=⎨+-=⎩100a b +-=又，解得， 2140a b +-=4,6a b ==∴．r ==∴当Q 恰好在路面中线上． r =（2）由（1）知，100a b +-=当时，灯罩轴线所在直线方程为，此时 2a =2x =0HQ =当时，灯罩轴线所在方程为：， 2a ≠10(2)2ay x a --=--令可得，即，0y =2012x a =-2012,0a Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵H 在线段上，∴，解得． OQ 2012a a-…210a ……∴，2020||12121212HQ a a a a ⎛⎫=--=-+-=- ⎪⎝⎭…当且仅当即时取等号．20a a=a =∴的最大值为．HQ (12-【点睛】本题主要考查直线，圆的实际应用以及基本不等式的应用，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.17．设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线22:12x E y +=1l ()0M m ，2l ()0N n ，1l A 2l 分别与椭圆相交于两点和两点.12l l ，E A B ，C D ，(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积; M N ，E 1l x ⊥ABCD (Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:; 1l ABCD 0m n +=(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由. ABCD 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析【解析】(Ⅰ)计算得到故，，，，计算得到面积. A ⎛-⎝1,B ⎛-⎝C ⎛⎝1,D ⎛ ⎝(Ⅱ) 设为，联立方程得到，1l ()y k x m =-2122221224212221k mx x k k m x x k⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，根据得到，得到证明. AB CD =22m n=(Ⅲ) 设中点为，根据点差法得到，同理，故，得到AB (),P a b 20akb +=20c kd +=112PQ k k k=-≠-结论.【详解】(Ⅰ)，，故，，，. ()1,0M -()1,0N A ⎛- ⎝1,B ⎛- ⎝C ⎛ ⎝1,D ⎛ ⎝故四边形的面积为ABCD S =(Ⅱ)设为，则，故，1l ()y k x m =-()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22222214220k x k mx m k +-+-=设，，故， ()11,A x y ()22,B x y 2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故 AB CD ==即，，故. 22m n =m n ≠0m n +=(Ⅲ)设中点为，则，， AB (),P a b 221112x y +=222212x y +=相减得到，即，()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=20a kb +=同理可得：的中点，满足， CD (),Q c d 20c kd +=故，故四边形不能为矩形. 11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+ABCD 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．0m >Γ2213x y m m +=C 2222m x y m -=（1）求椭圆与双曲线的方程；ΓC （2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（C 1k 2k 1l 2l C P Q P ，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；Q 121k k ×=-PQ （3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且(0,2)T :l y x b =+ΓA B l ，求实数的取值范围．9410TA TB <⋅<b 【答案】（1）椭圆的方程为，双曲线的方程为；（2）详见解析.（3）见Γ2213x y +=C 221x y -=解析．【分析】（1）利用椭圆和双曲线的性质，结合焦点相同，建立方程，计算m 值，即可．（2）设出直线方程，代入双曲线方程，建立等式，计算P 的坐标，同理得到Q 的坐标，结合1l 121k k ×=-，可以得到，发现直线PQ 与x 轴平行，故证之．（3）结合题意，设出直线AB 的方程，P Q y y =代入椭圆解析式中，建立方程，计算出AB 的中点M 坐标，而M 又在直线l 上，代入，结合题目所提供的不等式，建立不等关系，即可得到b 的范围． 【详解】解：（1）由题意，，所以．221m m =+1m =所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．Γ2213x y +=C 221x y -=（2）双曲线的右顶点为，因为，不妨设，则， C ()1,0121k k ×=-10k >20k <设直线的方程为，1l ()11y k x =-由,得， ()1221,1y k x x y ⎧=-⎨-=⎩()22221111210k x k x k -+--=则,()，. 2121111P k x k +⋅=-2221112221112211,1,111P P k k k x x k k k ++=-=--=---2111221112111P k k y k k k ⎛⎫+=-= ⎪--⎝⎭同理，，，222211Q k x k +=-22221Q ky k =-又，所以，. 121k k ×=-222122211111Q P k k x x k k ++==-=---2122212211Q P k k y y k k -===--因为，所以直线与轴平行，即为定值，倾斜角为0． ， P Q y y =PQ x PQ k 0（3）设，，直线的方程为，()11,A x y ()22,B x y AB y x n =-+由整理得， 22,1,3y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2346330x nx n -+-=△，故．()()()222616331240n n n =---=->22n -<<，，1232nx x +=()212314n x x -=设的中点为，则，， AB ()00,M x y 120324x x n x +==004ny x n =-+=又在直线 上，所以，． ()00,M x y :l y kx b =+344n n b =+()1,12nb =-∈-因为，，()11,2TA x y =- ()22,2TB x y =-所以()()()()11221122,2,2,2,2TA TB x y x y x x n x x n ⋅=-⋅-=-+-⋅-+-()()()()()()22212123132222222n n n x x n x x n n --=--++-=-+-，所以．又，．2255542222n n b b =-+=++<102b -<<9410TA TB <⋅< 1b 4≠-即.111b ,,0244⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本道题考查了椭圆与双曲线的性质，直线与圆锥曲线位置关系，难度较大．19．如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直(1,0)E 22:4O x y +=A B C(2,0)AB 线与圆的另一交点为.O D（1）当点坐标为(0，-2)时，求直线的方程；B CD （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线 恒过定点； A x F A B BF （3）求四边形面积的取值范围.ACBD S【答案】（1）；（2）直线恒过定点；（3）.220x y +-=BF (4,0)T (0,【解析】（1）当时，直线的斜率为2，由与垂直，直线的斜率为，由此(0,2)B -AB CD AB CD 12-能求出直线的方程；CD （2）由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为，设方程为，BF x (,0)T t AB 1x my =+，，然后联立直线的方程与圆的方程消元，求出 11(,)A x y 22(,)B x y AB ，，然后利用算出答案即12y y +12y y ⋅1221122112121212121212(1)(1)2()21x y x y my y my y my y y y my y t y y y y y y y y ++++++====+++++可；（3）当直线与轴垂直时，求出四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线AB x ACBD AB x 方程为，则直线方程为，求出点到直线的距离，从而得AB kx y k 0--=CD 20x ky +-=O AB 到弦长和，然后表示出面积，然后用换元法能求出四边形面积的范围． AB CD ACBD 【详解】（1）当点坐标为时，直线的斜率为， B ()0,2-AB ()02210--=-因为与垂直，所以直线的斜率为，CD AB CD 12-所以直线的方程为，即． CD ()122y x =--220x y +-=（2）设，，则，由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为11(,)A x y 22(,)B x y 11(,)F x y -BF x(,0)T t 设由题意直线斜率存在且不为，设方程为，代入圆可得：AB 0AB 1x my =+O ， 22(1)230m y my ++-=∴，， 0∆>12221m y y m +=-+12231y y m -⋅=+∵三点共线 ∴，解得 ,,B F T 1211210yy yt x x x ++=--121122112112()y x x x y x y t x y y y y -+=+=++∴1221122112121212121212(1)(1)2()2312142x y x y my y my y my y y y my y t m y y y y y y y y m++++++-====+=⋅+=++++-∴直线恒过定点BF (4,0)T （3）当直线与轴垂直时，，所以四边形面积． AB x 4AB CD ==ACBD 1·2S AB CD ==当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即， AB x AB ()1y k x =-(0)k ≠kx y k 0--=则直线方程为，即 CD ()12y x k=--20x ky +-=点到直线，所以O ABAB ==点到直线， O CD CD ==则四边形面积ACBD 11··222S AB CD ===令（当时四边形不存在），211k t +=>0k =ACBD 所以，S=(0,=综上：四边形面积的取值范围为．ACBD S (0,【点睛】结论点睛：（1）圆中的弦长要用几何法计算，较代数法简单；（2）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度相乘的一半.20．如图，已知双曲线的方程为（），两条渐近线的夹角为，焦C 22221x y a b -=0a b >>3arccos 5点到渐近线的距离为．、两动点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象1M N C 限，是直线与双曲线右支的一个公共点，.P MN MP PN λ=（1）求双曲线的方程；C （2）当时，求的取值范围；1λ=PM PN ⋅（3）试用表示的面积，设双曲线上的点到其焦点的距离的取值范围为集合，若λMON △S C Ω，求的取值范围.5λ∈ΩS【答案】（1）；（2）；（3）. 2214x y -=(],1PM PN ⋅∈-∞- S ⎫∈+∞⎪⎪⎭【解析】（1）先由题意，得到双曲线的渐近线方程，根据夹角公式，由题中条件，得到，224a b =再由点到直线距离公式，求出，进而可得出结果；,a b （2）先由题意，设，，，，当，得到代入双()2,M m m ()2,N n n -0m >0n >=1λ,2m n P m n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，曲线方程，得到，再计算向量数量积，即可得出结果； 1mn =（3）同（2），设，，，，()2,M m m ()2,N n n -0m >0n >由得，代入双曲线方程，得到，再由点到直线距离公MP PN λ= 22,11m n m n P λλλλ+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭()214mn λλ+=式，两点间距离公式，求出，由题中条件，求出，进而()2111122S λλλλ+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭)10+λ⎡∈∞⎣，可求出结果.【详解】（1）由题意双曲线渐近线为.0bx ay ±=根据夹角公式. 2222222222345b a a b a b a b a b --==⇒=++.2114b a =⇒=⇒=所以.2214x y -=（2）由题意，设，，，，()2,M m m ()2,N n n -0m >0n >当时，，则 =1λMP PN = ,2m n P m n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，整理得；()22()144m n m n -+-=1mn =又，，,2m n PM m n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,2n m PN n m --⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以()()()()2222255·424444m n PM PN m n m n mn m n mn +=---=-++=-+++ ，当且仅当时，等号成立；54414mn ≤-⋅+=-1m n ==所以.(]·,1PM PN ∈-∞-（3）同（2），设，，，，()2,M m m ()2,N n n -0m >0n >由得，即，MP PN λ= ()OP OM ON OP λ-=-()1OP OM ON λλ+=+ 则 122,1111m n m n OP OM ON λλλλλλλ+-⎛⎫=+= ⎪++++⎝⎭ 所以.22,11m n m n P λλλλ+-⎛⎫⎪++⎝⎭把点的坐标代入双曲线的方程得.P 22221141m n m n λλλλ+⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭ 所以，222()()(1)m n m n λλλ+--=+()214mn λλ+=因为直线的斜率为，MN 22MN m nk m n+=-则直线的方程为，即，MN ()222m ny m x m m n+-=--()()2240m n x m n y mn +---=所以点到直线的距离为O ()()2240m n x m n y mn +---=d=所以，()211222S MN d mn λλ+=⋅⋅==由题意知，，所以，0λ>()2111122S λλλλ+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭.212111122S λλλλλ++⎛⎫=⋅=++ ⎪⎝⎭设是双曲线右支上一点，记双曲线左右焦点分别为，，(),P xy ()1F)2F 由双曲线的性质可得，， 12PF PF >=，， 2x x =-[)2,x ∈+∞所以，即双曲线上的点到其焦点的距离的范围是， )22,PF ∈-+∞)2,+∞由题意可得，， )10+λ⎡∈∞⎣，令，，()1112f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭)10+x ⎡∈-∞⎣，任取，12110x x <<<则显然成立，()()()121212121211111110222f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以在上单调递增， ()1112f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭)10+x ⎡∈∞⎣，因此 ()()min 10f x f=即min S =所以. S ⎫∈+∞⎪⎪⎭【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法：（1）函数法：用其他变量表示参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解； （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的范围； （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的取值范围； （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.。
上海市2023学年高二下学期期中数学试题(解析版)
青浦高级中学2022学年第二学期高二年级数学期中2023.4一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）1. 等差数列首项为2，公差为2，则等差数列的通项公式为______{}n a n a =【答案】 2n 【解析】【分析】直接根据基本量写出等差数列通项公式【详解】设等差数列的公差为，由题意，. {}n a d 2(1)22n a n n =+-⨯=故答案为：2n 2. 两数1与4的等比中项为______ 【答案】 2±【解析】【分析】根据等比中项的概念进行计算. 【详解】1与4的等比中项为.2=±故答案为：.2±3. 将循环小数化为分数：______（循环节为23） 0.23= 【答案】2399【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式进行求解【详解】根据时，可得： 1q <111111n a a a q a q q-+++=- . 2110.23230.230.230.230.231100100991100=+⨯+⨯+==- 故答案为：23994. 无论我们对函数求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险e x y =阻，都要不忘初心，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数，则它的导函()e xf x x =⋅数______ ()f x '=【答案】()1e xx +【解析】【详解】根据导数的乘法运算法则， 可知，()()()e e e 1e x x x x x x x x '''⋅=⋅+⋅=+所以，.()()1e xf x x '=+故答案为：.()1e xx +5. 设函数，则___． ()ln xf x x=(1)f '=【答案】 1【解析】【分析】求出函数的导函数，代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以； ()ln x f x x =()21ln x f x x -'=()21ln1111f -'==故答案为：16. 函数在处的切线方程为______ ()sin f x x =π1,62⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 12y =+【解析】【分析】求导，根据切点和导数的几何意义得到切线斜率，由点斜式写出方程.【详解】，则，于是在处的切线斜率为，故切线方程()sin f x x =()cos f x x '=π1,62⎛⎫⎪⎝⎭π6f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝为：，即. 1π26y x ⎫-=-⎪⎭12y =故答案为： 12y =+7. 二项式的展开式中，所有的系数之和为______ ()51x +【答案】 32【解析】【分析】令，即可得出答案. 1x =【详解】令，1x =即可得出二项式展开式中，所有项的系数之和为. 5232=故答案为：.328. 某同学有4本相同的小说书，1本散文书．从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有______种【解析】【分析】根据题意，分为选出的4本书都是相同的小说书和选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书，两种情况，结合分类计数原理，即可求解.【详解】若选出的4本书都是相同的小说书时，此时只有1中赠法； 若选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书时，有4中不同的赠法， 由分类计数原理得，共有种不同的赠法. 145+=故答案为：.59. 数列满足：，，且（，），则该数列前100项和{}n a 11a =23a =21n n n a a a ++=-n ∈N 0n >100S =______ 【答案】 5【解析】【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得是以6为周期的数列.进而求出{}n a ，即可根据周期性得出答案.1234560a a a a a a +++++=【详解】由已知可得，，，，，32a =41a =-53a =-62a =-，，，711a a ==823a a ==932a a ==所以，是以6为周期的数列. {}n a 又，1234560a a a a a a +++++=所以，12345699101000S a a a a a a a a ++++++++=L .()123456123416a a a a a a a a a a =+++++++++13215=++-=故答案为：5.10. 星期一小明在参加数学期中考试，那么再过天后是星期______（填一、二、三、四、五、六、1002日） 【答案】 三【解析】 【分析】化简，结合二项展开式求得除以的余数，即可求解.333331002(2)2(71)2=⋅=+⋅7【详解】由题意，可得.333331002(2)2(71)2=⋅=+⋅又由，3303313232333333(71)22(C 7C 7C 71)+⋅=⋅⋅+⋅++⋅+ 所以除以的余数为，所以再过天后是星期三. 1002721002故答案为：三 11. 的展开式中，含有的项为______()6212x x ++4x 【答案】 4195x【分析】表示有个因式相乘，根据的来源分析即可.()6212x x++6()212x x ++4x 【详解】表示有个因式相乘，可能来源如下：()6212x x ++6()212x x++4x（1）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是；4()212x x ++x 214x 46C 15=（2）有个提供，剩下的个提供常数，此时系数是；2()212x x ++22x414x 2262C 60⨯=（3）有个提供，个提供，个提供常数，此时系数是；2()212x x++x 122x114x 2164C C 2120⨯⨯=于是的系数为，含有的项为. 4x 1560120195++=4x 4195x 故答案为：4195x 12. 某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚的兴趣．书上说，斐波那契数列满足：，，的通项公式为{}n F 121F F ==()123n n n F F F n --=+≥{}n F .在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数n nn F ⎤⎥=-⎥⎦列．该学习兴趣小组成员也提出了一些结论：①数列是严格增数列；②数列的前n 项和满足；{}1n n F F +-{}n F n S 21n n S F +=-③；④.222121n n n F F F F F ++++= ()2122321222n n n F F F F F F F -++++= 那么以上结论正确的是______（填序号） 【答案】②③ 【解析】【分析】根据数列的特征以及递推公式，即可判断①；由已知可得，累加法即可得出11n n n F F F +--=②；，变形可得时，，然后累加，即可得出③；举例，验2112F F F =2n ≥211n n n n n F F F F F +-=-1n =证，即可判断④.【详解】对于①，由题意可知，，，. 210F F -=3211F F F -==4321F F F -==由已知，则当时，单调递增.0n F >2n ≥{}n F 所以，时，由已知可知，单调递增，且. 3n ≥11n n n F F F +--={}1n n F F +-10n n F F -->所以数列在时，为严格增数列. {}1n n F F +-3n ≥但是该数列的前三项不满足，故①错误； 对于②，当时，有2n ≥， 11F =， 210F F -=F F F -=，432F F F -=，L 11n n n F F F +--=，21n n n F F F ++-=两边同时相加可得，， 212101n n n F F F F S +=+++++=+ 所以，，故②正确；21n n S F +=-对于③，由已知可得，，2112F F F =， ()222312312F F F F F F F F =-=-，()233423423F F F F F F F F =-=-L ，()21111n n n n n n n n F F F F F F F F +-+-=-=-两边同时相加可得，22212n F F F +++ 122312342311n n n nF F F F F F F F F F F F F F +-=+-+-++- ，故③正确；1n n F F +=对于④，当时，左边为，右边为，显然不成立，故④错误. 1n =121F F =()()224239F F F =+=所以，结论正确的是②③. 故答案为：②③.【点睛】关键点睛：由递推公式推得，，进而累加法，逐项相消即可得出.11n n n F F F +--=n S 二、选择题（13，14题每题4分，15，16题每题5分，共18分）13. 5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（ ） A. 144种 B. 72种 C. 36种 D. 18种【答案】B 【解析】【分析】由题意可先安排除甲乙之外的3人，再用插空法排甲乙2人，即得答案. 【详解】由题意5个人排一排，甲乙不相邻，先排其余3人，再将甲乙插空即可， 故不同的排法有种， 3234A A 72=故选：B14. 二项式的展开式中，有理项有（ ）项(121A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】r【详解】二项式展开式的通项为(121+，.12211212C 1C r rr rr r T x -+=⨯⨯=⨯0,1,2,,12r = 所以，当为偶数时，该项为有理项，即，共7项. r 0,2,4,6,8,10,12r =故选：C.15. 对于以下结论：①若公比，那么等比数列前n 项和存在极限；[)()1,00,1q ∈-⋃②为数列最大的项，那么对任意的n （，，）都成立； k a {}n a k n a a >n ∈N 0n >n k ≠③函数的导数为，若，那么为函数的极值点； ()f x ()f x '()00f x '=0x x =④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数. ()f x ()f x '()0f x '≥()f x 正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】A 【解析】【分析】取特殊值、特殊数列、特殊函数，即可说明各个结论，进而得出答案. 【详解】设数列前项和为， n n S 对于①，当时，，1q =-()111n n a a -=-所以，当为奇数时，； n 1n S a =当为偶数时，.n 0n S =又，所以此时，没有极限，故①错误；10a ≠n S 对于②，对于数列，可知中的每一项都为数列中最大的项，但是显然不成立，故②1n a ={}n a k n a a >错误；对于③，对于函数，有恒成立，()3f x x =()230f x x '=≥所以，函数为R 上的增函数，即函数没有极值点. ()f x 又，显然不是的极值点，故③错误； ()00f '=0x =()f x 对于④，对于常函数，有恒成立， ()1f x =()00f x '=≥但显然不是单调递增函数，故④错误. ()f x 所以，正确的个数为0个. 故选：A .()f x ()g x ()()f x g x ''>(),x a b ∈A.B.()()f x g x <()()f x g x >C. D.()()()()f x g b g x f b +<+()()()()f x g a g x f a +>+【答案】CD 【解析】【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数，利()()()h x f x g x =-用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断.()h x R 【详解】对于AB ，不妨设，，则，，满足题意， ()2f x x =()1g x =()2f x '=()0g x '=若，则，故A 错误(排除)， ()1,x a b =∈()()21f x g x =>=若，则，故B 错误(排除)；()0,x a b =∈()()01f x g x =<=对于CD ，因为，在上的导函数存在，且， ()f x ()g x R ()()f x g x ''>令，则，所以在上单调递增，()()()hx f x g x =-()()()0h x f x g x '=-'>'()h x R 因为，即，所以， (),x a b ∈a x b <<()()()h a h x h b <<由得， ()()h x h b <()()()()f x g x f b g b -<-则，故C 正确； ()()()()f x g b g x f b +<+由得， ()()h a h x <()()()()f a g a f x g x -<-则，故D 正确. ()()()()f x g a g x f a +>+故选：CD.三、解答题（14+14+14+18+18，共78分）17. （1）已知等比数列首项为，公比为q （），前n 项和为，请推导等比数列的求和公{}n a 1a 1q ≠n S 式：；()111n n a q S q-=-（2）已知等差数列前n 项和为，满足，，求. {}n b n T 15b =116T b =n T 【答案】（1）答案见解析 ；（2）． ()112n n T n -=【解析】【分析】（1）直接利用错位相减法即可求解；（2）先求等差数列的公差，然后利用等差数列前n 项和公式即可求解. 【详解】（1）的前n 项和为{}n a ，①211231111n n n S a a a a a a q a q a q -=++++=++++两边同乘公比q 得，② 23111111n n n qS a q a q a q a q a q -=+++++ ①②得，-()()11111nnn q S a a q a q-=-=-因为，所以.1q ≠()111n n a q S q-=-（2）设等差数列的公差为，则， {}n b d 11161,51110115555255b d d T b d d b ⨯=+=+++==因为，所以，所以，所以， 116T b =555555d d +=+1d =-()116n n b b n d =+-=-所以.()()11122n n n b b n n T +-==18. 已知二项式（，）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是．22nx ⎫+⎪⎭n ∈N 0n >10:1（1）求展开式中含的项 1x -（2）求系数最大的项 【答案】（1） 13112T x -=（2）或17261792T x-=1171792T x -=【解析】【分析】（1）由已知得出二项式展开式的通项为，然后根据已知列出方程式，整理求5212C n r rr r nT x-+=⋅解即可得出.进而由，得出，代入通项即可得出答案； 8n =8512r-=-2r =（2）设第项的系数为，然后求解不等式组，得出或.代入通项，1r +182C rrr a +=⋅112r rr r a a a a +++≥⎧⎨≥⎩=5r 6r =即可得出答案. 【小问1详解】由已知可得，二项式展开式的通项为，. 52122C 2C rn rn rr r rr n n T x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭0,1,2,,r n = 所以，，44222C 102C nn⋅=⋅即，()()422!2!104!4!2!2!n n n n ⋅⋅=⨯--整理可得，，解得，或（舍去负值）， 25240n n --=8n =3n =-所以，.8n =由可得， ， 8512r-=-2r =所以，展开式中含的项为.1x -2211382C 112T x x --=⋅⋅=【小问2详解】由（1）可知，该二项式展开的第项的系数为.1r +182C r rr a +=⋅设第项系数最大，则应有，1r +112r rr r a a a a +++≥⎧⎨≥⎩即， 118811882C 2C 2C 2C r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩即，解得.()()29128r r r r ⎧≤-⎪⎨+≥-⎪⎩56r ≤≤因为，所以或. N r ∈=5r 6r =当时，；=5r 825175522682C 1792T xx--=⋅⋅=当时，.6r =83066112782C 1792T xx --=⋅⋅=综上所述，系数最大的项为或.17261792T x-=1171792T x -=19.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P 与每日生产产品件数()间的关系为，每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.（注：正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%） （1）将日利润（元）表示成日产量（件）的函数；（2）求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值. 【答案】（1）y=－+3600（1≤x≤40）（2）该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大343x 值为72000元 【解析】【分析】（1）由题为实际问题，可利用题目给出的条件；正品率=产品的正品件数÷产品总件数×100%，和，建立相应的函数关系；（注意定义域）．242004500x P -=（2）由（1）已知函数的解析式，可运用导数求出函数的单调区间和最值．即：为函数的增区()0f x '>间，反之为减区间．结合实际意义可得．【详解】（1） 224200420040002000(1)45004500x x y x x--=⨯-⨯-3436003x x =-∴ 所求的函数关系是． 343600(,140)3y x x x N x *=-∈≤≤（2） 显然，令，解得． 2'36004y x =-'0y =30x =列出的变化情况如下表所示： ,,x y y 'x （1，30） 30 （30，＋∞） y′ + 0 - y ↗极大值 72000↘由上表得，当时，函数取最大值， 30x =343600(,140)3y x x x N x *=-∈≤≤最大值为（元） 3436003030720003⨯-⨯=∴ 该厂的日产量为件时，日利润最大，其最大值为元．307200020. 已知数列满足，．{}n a 11a =()1132n n n a a n --=+≥（1）求，2a 3a （2）求数列的通项公式{}n a （3）如果数列满足，，若对，恒成立，求{}n b 32nn n b a =-()1n n n S b =-2n nA SB S ≤-≤N n ∈0n >的最小值B A -【答案】（1）；24a =313a =（2） 312n n a -=（3）2512【解析】【分析】（1）根据数列递推式即可求得答案； （2）利用累加法即可求得数列的通项公式；（3）利用（2）的结论可得，以及的表达式，分类讨论求得的最大值和最n b ()1nn n S b =-()1nn n S b =-小值，结合函数单调性可得的最值，再结合恒成立，可得范围，即可求得2n nS S -2nn A S B S ≤-≤,A B 答案.【小问1详解】由题意得；212112343;a a a --++===2312313934313a a a --==++==+【小问2详解】，()111132,3n n n n n n a a n a a ----=-=+≥∴ ，2213214313133,3,,3,n n n a a a a a a a a --∴-====--- 累加可得， ()1113123133 (31333332)n n n n a a --=---++++==-又，又也适合该式， 1311,2n n a a =∴-=11a =故. 312n n a -=【小问3详解】由（2）知， ()311,1,N,0231,222n n n n n n n a b a S n n ⎛⎫=-=-∴=- -∴-∈⎭=>⎪⎝当n 为奇数时，， 111122n nn S ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，且， n S ∴n 112⎛⎫> ⎪⎝⎭1+； 1131122n S S ∴<≤=+=当n 为偶数时，， 111122n n n S ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，且， n S ∴n 112⎛⎫< ⎪⎝⎭1-，而， 21n S S ∴≤<22133==,1244n S S ⎛⎫∴≤< ⎪⎝⎭1-综上，的最大值和最小值分别为，，函数在上单调递增， n S 32342y t t =-()0,∞+由对，恒成立， 2n nA SB S ≤-≤N n ∈0n >∴， min max 232232321,334122642n n n n A S B S S S ⎛⎫⎛⎫≤-=-=-≥-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为. B A ∴-1232561212⎛⎫--= ⎪⎝⎭21. 已知函数()ln 1f x x ax =++（1）当时，求的最大值1a =-()f x （2）讨论函数的单调性()f x （3）对任意的，都有成立，求实数的取值范围 ()0,x ∈+∞()e xf x x ≤a 【答案】（1）0（2）答案见解析（3）．(],1-∞【解析】 【分析】（1）求导，研究函数的单调性，从而得出最值；（2）结合函数的定义域，分类讨论的范围，解导函数的不等式即可；a （3）先证明恒成立，分析出，先找到符合题意的的范围， ()e 10xh x x =--≥(ln )0h x x +≥a 然后证明该范围的补集不符题意即可.【小问1详解】时，，1a =-()ln 1f x x x =-+由，所以， 0x >()111x f x x x-'=-=当时，，所以函数在上单调递增；01x <<()0f x ¢>()f x ()01,当时，，所以函数在上单调递减；1x >()0f x '<()f x ()1,+∞故函数；()()max 1ln1110f x f ==-+=【小问2详解】定义域为，， (0,)+∞()1f x a x '=+当时，，在上递增； 0a ≥()10f x a x'=+>()f x (0,)+∞当时，令，解得，令，解得. a<0()10f x a x '=+>10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10f x a x +'=<1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭于是时递增；时递减 10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x 1,x a ∈-+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 【小问3详解】任意都有成立，故，即. ()0,x ∈+∞()e x f x x ≤()ln 1e xf x x ax x =++≤ln e ln 1x x x ax +≥++设，由增函数加增函数得增函数，在上单调递增，()ln g x x x =+()g x ()0,x ∈+∞又，，故存在唯一的，使得； 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0()0g x =设，，当时，单调递增， ()e 1x h x x =--()e 1xh x '=-0x >()0h x '>()h x 当时，单调递减，0x <()0h x '<()h x 于是时，取得最小值，故恒成立.0x =()h x (0)0h =()0h x ≥于是，即， ln (ln )e (ln )10x x h x x x x ++=-+-≥ln e ln 1x x x x +≥++当，即时取得等号.ln 0x x +=0x x =显然时，符合题意；1a ≤ln e ln 1ln 1x x x x x ax +≥++≥++当时，对不等式，取,即，1a >ln e ln 1x x x ax +≥++0x x =00ln 00e ln 1x x x ax +≥++根据上面的分析：，得到，即00ln 00eln 1x x x x +=++00ln 0000ln 1e ln 1x x x x x ax +++=≥++0(1)0a x -≥， 但，，即得到矛盾，于是不成立. 1a >01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0(1)0a x -<1a >综上， 1a ≤。
上海市2020学年高二数学下学期期中试题(含解析)
高二数学下学期期中试题（含解析）一：选择题。
1.直线与平面所成角的范围______． 【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得 直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r ，则a b +=r r ____．【解析】【分析】 利用空间向量的坐标运算法则求出a b +r r ，由此能求出结果. 【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r∴()=1,3,5a b +--r r ∴a b +==r r 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =u r ，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-r ，且//l α，则m =____【答案】1-【解析】【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥u r r ，则=0d n u r rg ，进而得到4950m +-=，解得即可. 【详解】解：由题意可得d n ⊥u r r ，则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为___． 【答案】2π 【解析】【分析】由题意可得，AD ⊥平面11ABB A ，从而得到1AD A B ⊥，即可得到答案.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，∵AD ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A∴1AD A B ⊥∴异面直线1A B 与AD 所成的角的大小为2π 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.5.已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30o ，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50π【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯o∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为：50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二面角l αβ--为60o ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60o【解析】【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60o ，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60o ，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60οθ=故答案为：60o【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.7.下列四个结论中假命题的序号是_____．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．【答案】①④【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解：对于①，若l α⊥，则α内任意两条直线都与l 垂直，显然命题①是假命题； 对于②，由平行公理可知命题②是真命题；对于③，将直线a 平移到b 的位置，由于b c ⊥，故而a c ⊥，故命题③是真命题； 对于④，在直线a 上取P 点，在直线b 上取点A ，B ，则PA ，PB 都与a ，b 相交，显然PA ，PB 相交，故命题④是假命题.故答案为：①④【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质，熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.8.互不重合的三个平面可以把空间分成_____个部分【答案】4、6、7、8【解析】分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系)，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系)，则可将空间分为8部分；故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体，考查了空间中平面与平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力.9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____.【答案】1【解析】【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF 3∠=时，EF ==故答案为：1．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题10.设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45o，且两地所在纬度圈上的弧长为24R，则A、B之间的球面距离是_____（结果用含有R的代数式表示）【答案】3Rπ【解析】【分析】由题意可得：北纬45o圈的半径是22R，并且得到AB R=，所以A、B两地所在的球心角为60︒，即可得出答案.【详解】解：由题意可得：北纬45o2∵在北纬45o圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于24R∴过A、B两点的小圆的圆心角为90o，即AB R=∴A、B两地所在的球心角为60︒∴A、B两地间的球面距离为3Rπ故答案为：3R π. 【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角形的有关知识，考查学生的计算能力与想象能力.11.已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且12PA PB PC ===，，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为___． 【答案】23【解析】【分析】根据题意利用等体积法计算P 点到平面ABC 的距离，即为PD 的最小值.【详解】解：∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且1PA PB ==，=2PC∴AB AC BC ===∴C 点到AB 的距离为2∴ABC ∆的面积为1322设点P 到平面ABC 的距离为h ，则11131123232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ∴23h = 即PD 的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算，考查了等体积法.12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为_______。
青浦区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
青浦区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知四个函数f （x ）=sin （sinx ），g （x ）=sin （cosx ），h （x ）=cos （sinx ），φ（x ）=cos （cosx ）在x ∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（）A ．f （x ）﹣①，g （x ）﹣②，h （x ）﹣③，φ（x ）﹣④B ．f （x ）﹣①，φ（x ）﹣②，g （x ）﹣③，h （x ）﹣④C ．g （x ）﹣①，h （x ）﹣②，f （x ）﹣③，φ（x ）﹣④D ．f （x ）﹣①，h （x ）﹣②，g （x ）﹣③，φ（x ）﹣④2． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）3． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．30B ．50C ．75D ．1504． 函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________5． 已知x ，y ∈R ，且，则存在θ∈R ，使得xcos θ+ysin θ+1=0成立的P （x ，y ）构成的区域面积为（ ）A ．4﹣B ．4﹣C ．D ． +6． 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．7． 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A ∪B 等于（ ）A ．{﹣1，0，1，2，4}B ．{﹣1，0，2，4}C ．{0，2，4}D ．{0，1，2，4}8． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）A ．程序流程图B ．工序流程图C ．知识结构图D ．组织结构图9． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x << 10．已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣811．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥αB ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥αC ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥βD ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β12．二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．41二、填空题13．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且，则= ．14．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．15．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为 ．16．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________．17．某种产品的加工需要 A ，B ，C ，D ，E 五道工艺，其中 A 必须在D 的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有 种．（用数字作答） 18．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：113=；5323+=；119733++=；1917151343+++=；…若)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，则m 的值为 .【命题意图】本题考查了归纳、数列等知识，问题的给出比较新颖，对逻辑推理及化归能力有较高要求，难度中等.三、解答题19．已知函数f （x ）=．（1）求f （f （﹣2））；（2）画出函数f （x ）的图象，根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f （x ）在区间（﹣4，0）上的值域．20．已知角α的终边在直线y=x 上，求sin α，cos α，tan α的值．21．（本题满分15分）已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力. 22．设函数()xf x e =，()lng x x =．（Ⅰ）证明：()2eg x x≥-； （Ⅱ）若对所有的0x ≥，都有()()f x f x ax --≥，求实数a 的取值范围．23．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量与共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．24．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．青浦区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1． 【答案】 D【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f （x ）；图象②④恒在x 轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h （x ）和Φ（x ）， 又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h （x ）， 那图象④对应Φ（x ），图象③对应函数g （x ）． 故选：D ．【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．2． 【答案】A解析：抛物线C ：y x 82的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），∵，∴2m=﹣a ，4=﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A ．3． 【答案】B【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5，则其体积V=S ×h=30×5=50．故选B ．4． 【答案】A【解析】解：f （0）=d ＞0，排除D ， 当x →+∞时，y →+∞，∴a ＞0，排除C ，函数的导数f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，则f ′（x ）=0有两个不同的正实根，则x 1+x 2=﹣＞0且x 1x 2=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0，方法2：f ′（x ）=3ax 2+2bx+c ，由图象知当当x ＜x 1时函数递增，当x 1＜x ＜x 2时函数递减，则f ′（x ）对应的图象开口向上，则a ＞0，且x 1+x 2=﹣＞0且x 1x 2=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0， 故选：A5．【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，则（cosθ+sinθ）=﹣1，令sinα=，则cosθ=，则方程等价为sin（α+θ）=﹣1，即sin（α+θ）=﹣，∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，∴|﹣|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，直线y=x的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4﹣，故选：A【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．6．【答案】A【解析】解：因为抛物线y2=8x，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）又双曲线．渐近线为y=有点到直线距离公式可得：d==1．故选A ．【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．7． 【答案】A【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A ∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}． 故选：A ．【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．8． 【答案】D【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图， 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．故选D ．【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 10．【答案】B【解析】解：∵f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2， ∴f （﹣2）﹣g （﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．即f （2）+g （2）=f （﹣2）﹣g （﹣2）=﹣16． 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．11．【答案】D【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误；在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．【答案】B 【解析】试题分析：()21212121101010242=⨯+⨯+⨯=，故选B. 考点：进位制二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且， ∴S 4=5S 2，又S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，∴（S 4﹣S 2）2=S 2（S 6﹣S 4）， ∴（5S 2﹣S 2）2=S 2（S 6﹣5S 2），解得S 6=21S 2，∴==．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S 2表示S 4和S 6是解决问题的关键，属中档题．14．【答案】 ．【解析】解：∵曲线y=x 2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）∴曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x﹣x 3）+（x 3﹣x ）=．故答案为：．15．【答案】 （±，0） y=±2x ．【解析】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x ，即为y=±2x ． 故答案为：（±，0），y=±2x ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．16．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．17．【答案】 24【解析】解：由题意，B 与C 必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，因为A 必须在D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，故答案为：24．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．18．【答案】10【解析】3m 的分解规律恰好为数列1，3，5，7，9，…中若干连续项之和，32为连续两项和，33为接下来三项和，故3m 的首个数为12+-m m .∵)(3+∈N m m 的分解中最小的数为91，∴9112=+-m m ，解得10=m .三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）函数f （x ）=．f （﹣2）=﹣2+2=0， f （f （﹣2））=f （0）=0.3分 （2）函数的图象如图：…单调增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞）（开区间，闭区间都给分）… 由图可知：f （﹣4）=﹣2，f （﹣1）=1，函数f （x ）在区间（﹣4，0）上的值域（﹣2，1]．…12分．20．【答案】【解析】解：直线y=x ，当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，），则sin α=，cos α=，tan α=；当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（﹣1，﹣），则sin α=﹣，cos α=﹣，tan α=．【点评】本题考查三角函数的定义，涉及分类讨论思想的应用，属基础题．21．【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．【解析】（1）∵点(1,2)R 在抛物线C 上，22212p p =⨯⇒=，…………2分即抛物线C 的方程为24y x =；…………5分22．【答案】【解析】（Ⅰ）令e e ()()2ln 2F x g x x x x =-+=-+，221e e ()x F x x x x-'∴=-=由()0e F x x '>⇒> ∴()F x 在(0,e]递减，在[e,)+∞递增，∴ min e ()(e)ln e 20e F x F ==-+= ∴()0F x ≥ 即e()2g x x≥-成立． …… 5分（Ⅱ） 记()()()x xh x f x f x ax e e ax -=---=--， ∴ ()0h x ≥在[0,)+∞恒成立，()e x xh x e a -'=+-， ∵ ()()e 00x x h x e x -''=-≥≥，∴ ()h x '在[0,)+∞递增， 又(0)2h a '=-， …… 7分 ∴ ① 当 2a ≤时，()0h x '≥成立， 即()h x 在[0,)+∞递增， 则()(0)0h x h ≥=，即 ()()f x f x ax --≥成立； …… 9分 ② 当2a >时，∵()h x '在[0,)+∞递增，且min ()20h x a '=-<， ∴ 必存在(0,)t ∈+∞使得()0h t '=．则(0,)x t ∈时，()0h t '<，即 (0,)x t ∈时，()(0)0h t h <=与()0h x ≥在[0,)+∞恒成立矛盾，故2a >舍去． 综上，实数a 的取值范围是2a ≤． …… 12分 23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为，代入椭圆方程得．整理得①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，解得或．即k的取值范围为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由方程①，．②又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数k．【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．24．【答案】【解析】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N+），∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A，由正弦定理得，则，∴，得cosA=，由余弦定理得，cosA==，∴=，化简得，n=4，∴a=4、b=5、c=6，cosA=，又0＜A＜π，∴sinA==，∴△ABC的面积S===．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．。
上海市高二数学下学期期中考试试卷含答案(共3套)
上海市高二下学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有 种不同的走法2. 3600有 个正约数3. 有一组统计数据共10个，它们是2、4、4、5、5、6、7、8、9、x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为4. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与11B D 所成角是5. 0到9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BC D --的大小是7. 直线3445x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的斜率为 8. 从5个男生，4个女生中任意选两个，则至少有一个女生的概率是9. 如图，已知AB 是平面α的一条斜线，B 为斜足，AO α⊥，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，则斜线AB 和平面α所成角是10. 若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有 种不同的分法11. 已知2624120126(243)(1)(1)(1)x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则0246a a a a +++=12. 已知从1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球（0m n <<，,m n ∈*N ），共有1m n C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和1m -个白球，共有01111m m n n C C C C -+种取法，即有等式01m n C C +1111m m n n C C C -+=成立，试根据上述思想，化简下列式子：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+= （1k m n ≤<≤，*,,k m n ∈N ）二. 选择题13. 若532m m P P =，则m 的值为（ ）A. 5B. 3C. 6D. 714.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l α⊥”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 关于直角AOB 在定平面α内的射影有如下判断：①可能是的0°角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角；其中正确判断的序号是（ ）A. ②③⑤B. ①②③C. ①④⑤D. ①②③④⑤16. 一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的个数是（） A. 63 B. 65 C. 67 D. 69三. 解答题17. 三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法；（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.18. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 的中点.（1）求证：BM ⊥平面11A B M ；（2）求异面直线BM 和1B A 所成的角的大小.19. 某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的.（1）若上午某一时段A 、B 、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是14、23、25，求这一时段A 、B 、C 三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是13，求这一时段办公室电脑数无法满足需求的概率.20. 已知在33()2n x x -的展开式中，第6项为常数项.（1）求n ；（2）求含2x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.21. 设四边形ABCD 为矩形，点P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，若1PA AB ==，2BC =.（1）求PC 与平面PAD 所成角的大小；（2）在BC 边上是否存在一点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为2，若存在，求出BG 的值，若不存在，请说明理由；（3）若点E 是PD 的中点，在△PAB 内确定一点H ，使CH EH +的值最小，并求此时 HB 的值.参考答案一. 填空题1. 142. 453. 5.64. 3π5. 6486. 4π7. 54-8. 13189. 45° 10. 150 11. 61(31)2+ 12. m n k C + 二. 选择题13. A 14. B 15. D 16. C三. 解答题17.（1）4320；（2）14400.18.（1）证明略；（2）10arccos. 19.（1）13；（2）11243. 20.（1）10n =；（2）454；（3）2223101()2T C x =-，556101()2T C =-，8829101()2T C x -=-. 21.（1）5arctan ；（2）存在，1BG =； （3）延长CB 到C '，使得C B CB '=，连结C E '，过E 作EE AD '⊥于E '，∴22141104CH EH C H EH C E EE C E '''''+=+≥=+=+=， 当且仅当C '、H 、E 三点共线时等号成立，∴min 41()2CH EH +=， 过H 作HH AB '⊥于H '，连结HB ，∴在Rt △HH B '中，13HH '=，23H B '=，2222125()()33HB HH H B ''=+=+=.上海市高二第二学期期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成角的大小为 .2. 已知向量()()23,2,3,4,2,a x b x x =+=-，若a b ⊥，则实数x 的值是 .3.球的表面积为216cm π，则球的体积为 .4.一条直线上的3个点A,B,C 到平面M 的距离为1，这条直线和平面的关系是 .5．正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值为 .6.圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为 .7.如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆则平面图形是 .8.把地球看作半径为R 到额球，A 点位于北纬30，东经20，B 点位于北纬30，东经80，则A,B 两点的球面距离是 .9.下面命题：（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a,b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a//b ；（3）与同一平面所成角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成角为θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ.其中正确的命题序号为 .10.由曲线222,2,2,2x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为1V ，满足()()2222224,11,11x y x y x y +≤+-≥++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式 .11.如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的比为2，OG xOA yOB zOC =++,则,,x y z 的值分别为 .12.如图，1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围是为 .（用集合表示） 二、选择题：13．已知,m n 是异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l 与A.与,m n 相交B.至少与,m n 中的一条相交C. 与,m n 都不相交D. 至多与,m n 中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 83πB. 3πC. 103πD. 6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB ，CD 的长度分别等于27,43，M,N 分别为AB,CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动.下列四个命题：①弦AB,CD 可能相交于点M ；②弦AB,CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1.其中真命题的个数是A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16．四棱锥P ABCD -底面是正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在平面ABCD 内的轨迹一定是三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，190,2,22,BAC AB AC AA ∠====,E F 分别是1,BC AA 的中点，求：（1）FE 与底面所成角的大小；（2）异面直线FE 和1A B 所成角的大小.18.（本题满分14分）图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=，且,AD CD DE CG FG FE ====，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱.（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =求制作该储蓄罐所需材料的总面积S ，（精确到整数位，材料厚度，按键及投币口的面积忽略不计）.19.（本题满分14分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14,8AB AA ==（1）求异面直线1B C 与11A C 所成角的大小；（2）若E 是线段1DD 上（不含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题.20.（本题满分16分）如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60,,2.ABC PA AC a PB PD a ∠=====点E 在PD 上，且:2:1PE ED =.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使得三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小.21.（本题满分16分）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆..（1）求圆锥的母线与底面所成角的大小；（2）过底面中心1O且平行于母线AB的平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆22221x ya b+=的面积公式为S abπ=）.高二下学期期中考试数学试卷一、填空题（40分）：1.若161615144m P =⨯⨯⨯⨯，则正整数m =_______________；2.已知一个正四面体的棱长为2，则它的高是_______________；3.某校共有师生1800人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为150的样本，已知从学生中抽取的人数为140，则该学校的教师人数是_______________；4.由0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数有_______________个；5.某高中元旦晚会有一节目是现代舞，选了5位男生和4位女生参加，舞蹈老师在排练前，让他们男女间隔排列，则排列的方式有_______________种；6.已知正三角形ABC 的边长43，则到三个顶点的距离都为2的平面有_______________个；7.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都是2，M 是1BB 的中点，则异面直线1AC 与CM 所成角的大小是_______________；8.从0、1、2、6、8中任意选择3个不同数作为一元二次方程20ax bx c ++=的三个系数，则所得到的一元二次方程有实数根的概率是_______________；9.设集合{}1,2,3,,2020A =，选择A 的两个非空子集B 和C ，要使C 中最小的数大于B 中的最大数，则不同的选择方法有_______________；10.a ，b 为空间两条互相垂直的直线，直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴旋转，30ABC ∠=︒，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成45°角；⑤直线AB 与a 所成角的最大值为60°；④直线AB 与a 所成角的最大值为30°；其中正确的是_______________.（填写所有正确结论的编号）二、选择题（16分）11.已知一组数据6、7、8、x 、y 的平均数是7，则这组数据的中位数是（ ）A.6B.7C.8D.不确定12.已知两个不同的平面α、β，A 、B 、C 是三个不同线的三个点，且它们都在平面α内，则“A 、B 、C 到平面β距离相等”是“平面//α平面β”的（ ）条件A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.非充分非必要 13.从集合{}1,2,3,4,,15中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（ ）个A.98B.56C.84D.49 14.以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A.1480B.1468C.1516D.1492三、解答题（10+10+12+12=44分）15.在二项式()32nx -的展开式中.（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.16.2020年初，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴武汉参加救助工作，该医院完中现有3名护理专家1A ，2A ，3A ，5名外科专家1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，2名心理治疗专家1C ，2C .（1）求1人中有1位外科专家，1位心理治疗师的概率；（2）求至少含有2位外科专家，且外科专家1B 和护理专家1A 不能同时被选的概率.17.如图所示的几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，//AF DE ，AF ⊥平面ABCD ，BAD α∠=.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）若60α=︒，求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值；（3）若90α=︒，P 是EAC △内的一点，求点P 到平面ABCD ，平面EDA ，平面EDC 的距离的平方和最小值.18.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且球的半径为3，P ，Q 分别是BC ，1BC 上的动点.（1）求正方体1111ABCD A B C D -的棱长；（2）求1PQ QD +的最小值；（3）若平面1PAB 与平面11ADC B 所成二面角的大小为α，平面1PDC 与平面11ADC B 所成二面角的大小+的最小值，及此时P点的位置. 为β，试求αβ参考答案：1.13；2.3；3.120；4.18；5.2880；6.8；7.90°；8.1124； 9.2019100921⨯+；10.②④；11.B ；12.C ；13.A ；14.B ；。
2023年上海中学高二下期中数学试卷及答案
上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线l在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2-，则l的方程是______．2.若动点A，B分别在直线1:70l x y+-=和直线2:50l x y+-=上移动，求线段AB的中点M到原点的距离的最小值为________．3.点M与两个定点()0,0O，()2,0P的距离的比为3:1，则点M的轨迹方程为______．4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．6.点()1,2A，点()2,4B--，点P在坐标轴上，且APB∠为直角，这样的点P有______个．7.二项式321nxx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为______．8.已知点()2,0A-，动点B的纵坐标小于等于零，且点B的坐标满足方程221x y+=，则直线AB的斜率的取值范围是______．9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).10.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．11.如图，在55⨯的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．12.已知,,,,,A B C D E F 六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF 的顺序的排列情况有______种．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且过原点，则它的方程为（）A.()()22345x y -+-= B.()()223425x y +++=C.()()22345x y ++-= D.()()223425x y ++-=14.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则()P B A 为（）A.12B.16C.115D.1315.过点()3,0P作一条直线l ，它夹在两条直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（）A.8240x y +-=B.8240x y --=C.8240x y ++= D.8240x y ++=16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下B 和C ，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A 先向敌方成员开枪，之后若B 未倒下，则B 向敌方成员开枪，之后按C ，A ，B ，C ，A ，B ，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（）A.518B.736C.14 D.19三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量(),X B n p ，若()2E x =，()43D x =，求p 的值．18.求抛物线C ：2y x =上的点到直线l ：112y x =-的最小距离．19.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为16，4．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的a ，b 的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品，从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由.21.（1）已知k 、n 为正整数，k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=：（2）已知k 、n 为正整数，求证：1121C C C C C nnnn n n n n k n k n+++++++++⋅⋅⋅+=；（3）m 、n 为正整数，2n ≥，求证：()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-．上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2-，则l 的方程是______．【答案】2360x y --=【解析】【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式．【详解】因为直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2-，则直线l 的方程是132x y +=-，即2360x y --=，故答案为：2360x y --=．2.若动点A ，B 分别在直线1:70l x y +-=和直线2:50l x y +-=上移动，求线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由题意线段AB 的中点M 的集合为与直线1:70l x y +-=和直线2:50l x y +-=距离相等的直线，记为l ，则M 到原点距离最小值为原点到l 的距离，结合点到直线的距离公式可求．【详解】由题意线段AB 的中点M 的集合为与直线1:70l x y +-=和直线2:50l x y +-=距离相等的直线，记为l ，则M 到原点距离最小值为原点到l 的距离，设直线:0l x y m ++=，=解得6m =-，所以:60l x y +-=，根据点到直线的距离公式可得，M=故答案为：3.点M 与两个定点()0,0O ，()2,0P 的距离的比为3:1，则点M 的轨迹方程为______．【答案】2299(416x y -+=【解析】【分析】设出动点(,)M x y3=，再化简即可得到结果.【详解】设点(,)M x y ，3=，两边平方化简得2222990x y x +-+=，即2299(416x y -+=，所以点M 的轨迹方程为2299(416x y -+=.故答案为：2299(416x y -+=.4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【解析】【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×44A =96种考点：排列、组合及简单计数问题5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．【答案】1260【解析】【分析】利用排列知识即可求出结果.【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共有99342342A 1260A A A =种.故答案为：1260.6.点()1,2A ，点()2,4B --，点P 在坐标轴上，且APB ∠为直角，这样的点P 有______个．【答案】4【解析】【分析】分情况讨论，设出轴上P 点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.【详解】若P 在x 轴上，可设(,0)P x ，则(1,2),(2,4)AP x BP x →→=--=+，由APB ∠为直角可得(1)(2)80AP BP x x →→⋅=-+-=，即2100x x +-=，214(10)0∆=-⨯->，故有两解；当P 在y 轴上，可设(0,)P y ，则(1,2),(2,4)AP y BP y →→=--=+，由APB ∠为直角可得2(2)(4)0AP BP y y →→⋅=-+-+=，即22100y y +-=，224(10)0∆=-⨯->，故两解.综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，故答案为：47.二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x 的指数为 0方程有解，即可求出正整数n 的最小值.【详解】由题意，在321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，展开式中含有非零常数项，展开式的通项为()335121C C rn rrn n rr n r T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵展开式中含有非零常数项，∴当350n r -=时,解得：53rn =∴当3r =时,n 最小，为 5故答案为：5.8.已知点()2,0A -，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 的坐标满足方程221x y +=，则直线AB 的斜率的取值范围是______．【答案】,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用条件，将问题转化成求直线AB 与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果.【详解】由题知，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 的坐标满足方程221x y +=，所以点B 的轨迹方程为221(0)xy y +=≤，当直线AB 与圆相切时，设直线AB 方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，1=，解得3k =±，因为B 的纵坐标小于等于零，所以33k =-，由图易知，直线AB的斜率的取值范围,03k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故答案为：,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).【答案】1080【解析】【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2216422222C C C 45A A =种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有44A 24=种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.故答案为：1080.【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解2216422222C C C A A 中分母的意义．10.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．【答案】0.38144【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..【详解】前6局中,连赢六局的概率为()660%，前6局中,连赢五局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-，前6局中,连赢四局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-，前6局中,连赢三局且第6局也赢的概率为()()()()44260%160%60%160%⨯-+⨯-，所以第6局的获得2分的概率为：()660%()()5260%160%+⨯⨯-()()()()44260%160%60%160%+⨯-+⨯-0.18144=，第6局的获得1-分的概率为160%0.4-=，第6局的获得1分的概率为10.181440.40.41856--=，⨯+⨯+-⨯=，所以第6局的获得的分数的数学期望是20.1814410.41856(1)0.40.38144故答案为：0.3814411.如图，在55⨯的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．【答案】4200【解析】【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理得解.【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个.①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120×20=2400种;C C=25种，在该行该列分②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有1155C C=36种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共别填入2个圆圈的方法有2244⨯⨯种;计:25362=1800综上，不同的符合条件的填入方法有4200种.故答案为：4200种A B C D E F六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字12.已知,,,,,母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序的排列情况有______种．【答案】120【解析】【分析】利用条件，分析得到每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序，这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF的顺序，这里不妨记A，B，C，D，E，F六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，首先，考虑一种情况：假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，即第一次让“B”归位，第二次让“C”归位，第三次让“D”归位，第四次将“E”与“F”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意；若A，B，C，D，E，F均不在对应的自己位置，但经过一次交换后，可使得两个字母同时归位，此时也不能满足“必须进行5次操作”的情况，C E F A B D，同时交换,B E可使两者同时归位，此时只需交换四次即可，例如，,,,,,F E D C B A，只需交换三次即可，不合要求，而,,,,,所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位，B C D E F中的一个，有5种选择，不妨设放的为C，1号位可放,,,,B D E F中选一个，有4种选择，不妨设放的为F，则3号位不能放A，可从剩余,,,则5号位不能放A，否则可先交换,A F，再交换,A C，交换过程中出现交换一次使两个字母同时归位的情况，B D E种选择一个，有3种选择，不妨设放的为B，故5号位可从,,字母A可选择4号位或5号位，有2种选择，剩余,D E只有1种放法，才能满足要求，⨯⨯⨯⨯=种.综上，总的排序方法有54321120故答案为：120【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于，分析出要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且过原点，则它的方程为（）A.()()22345x y -+-= B.()()223425x y +++=C.()()22345x y ++-= D.()()223425x y ++-=【答案】D 【解析】【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.【详解】设圆的半径为r ，因为圆心是()3,4C -，且过点(0,0)，所以5r ==，所以半圆的方程为()223(4)25x y ++-=，故选：D.14.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则()P B A 为（）A.12B.16C.115D.13【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A 发生的概率与事件AB 发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P (B |A )的值.【详解】根据题意，记小骰子的点数为x ，大骰子的点数为y ，事件A 包含的基本事件有“4,6x y ==”，“5x y ==”，“6,4x y ==”共3个,∴事件A 发生的概率31()6612P A ==⨯，而事件A B 包含的基本事件有“6,4x y ==”一个，可得事件AB 发生的概率1()36P AB =，()1(|)()3P AB P B A P A ∴==.故选：D 15.过点()3,0P作一条直线l ，它夹在两条直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（）A.8240x y +-=B.8240x y --=C.8240x y ++=D.8240x y ++=【答案】B 【解析】【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为()3y k x =-，进而得出交点，根据点P 为两交点的中点建立等式，求出k 的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：3x =，不符合题意；所以直线斜率存在设为k ，则直线l 方程为()3y k x =-，联立直线1l 得：()323242202k x y k x k k x y y k -⎧=⎪⎧=-⎪-⇒⎨⎨--=⎩⎪=⎪-⎩，联立直线2l 得：，()33316301k x y k x k kx y y k -⎧=⎪⎧=-⎪+⇒⎨⎨-++=⎩⎪=⎪+⎩，所以直线l 与直线1l ，直线2l 的交点为：324336,,,2211k k k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭，又直线l 夹在两条直线1l 和2l 之间的线段恰被点P 平分，所以3233466,02121k k k kk k k k ---+=+=-+-+，解得：8k =，所以直线l 的方程为：8240x y --=，故选：B.16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下B 和C ，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A 先向敌方成员开枪，之后若B 未倒下，则B 向敌方成员开枪，之后按C ，A ，B ，C ，A ，B ，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（）A.518B.736C.14 D.19【答案】A 【解析】【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下A 被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B 、C 两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：乙甲甲乙，B 甲C ，C 甲B ，B 甲乙甲，C 甲乙甲，事件概率分别记为(1,2,3,4,5)i P i =，则111111322336P =⨯⨯⨯=，2111132212P =⨯⨯=，3111132212P =⨯⨯=，411111322224P =⨯⨯⨯=，511111322224P =⨯⨯⨯=，所以甲最终获胜的概率是11152236122418P =+⨯+⨯=,故选：A三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量(),X B n p ，若()2E x =，()43D x =，求p 的值．【答案】13【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.【详解】因为随机变量(),X B n p ，所以()2E x np ==，()()413D x np p =-=，两式相除可得213p -=，解得13p =.18.求抛物线C ：2y x =上的点到直线l ：112y x =-的最小距离．【答案】8【解析】【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.【详解】设抛物线2y x =上的点200(,)P x x ，则点P 到直线112y x =-，即220x y --=的距离2201152(35488x d -+==，当且仅当014x =时取等号，所以所求最小距离为8.19.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为16，4．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的a ，b 的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）1000.0040.030,,n b a ===（2）联表见解析，没有【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，计算样本容量n 及,a b 的大小即可；（2）由题意列出联表，计算2K 与临界值比较得出结论.【小问1详解】由题意可知，样本容量161000.01610n ==⨯，40.00410010b ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030.a =----=【小问2详解】100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100()22100242030261001.4492.705050465469K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ，∴没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品，从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由.【答案】（1）9()50E Y =；（2）设备M 的性能为丙级别.理由见解析【解析】【分析】（1）对于次品个数Y 的数学期望()E Y 的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件个数求得，再根据该分布符合3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，进行期望的求值（2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>，94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，三个条件中只有一个符合，等级为丙【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于2μσ-的零件有2件，大于2μσ+的零件有4件，共计6件，从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6310050=，依题意3~3,50Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故39()35050E Y =⨯=；（2）由题意知，62.8μσ-=，67.2μσ+=，260.6μσ-=，269.4μσ+=，358.4μσ-=，371.6μσ+=，所以由图表知道：80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>，94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，所以该设备M 的性能为丙级别.【点睛】对于正态分布题型的数据分析，需要结合μσ，的含义来进行理解，根据题设中如()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算μσ-，μσ+等数据时21.（1）已知k 、n 为正整数，k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=：（2）已知k 、n 为正整数，求证：1121C C C C C nnnn n n n n k n k n+++++++++⋅⋅⋅+=；（3）m 、n 为正整数，2n ≥，求证：()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据组合数的公式及阶乘的定义化简变形即可得证；（2）由组合数的性质11C C C mm m n nn -++=可证明；（3）利用（1）和（2）的结论，及()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++可证明.【详解】（1）()()()()()111!!C C !!1![11]!k k nn n n n k k n k n k k n k --⋅-===----- ，11C C k k n n k n --=∴.（2）由11C C C mm m n nn -++=知，12C C C C n n n n n n n n k++++++⋅⋅⋅+1112C C C C n n n n n n n n k +++++=++++ 122C C C n n n n n n k ++++=+++ 133C C C n n n n n n k++++=+++ ⋯⋯11C n n k +++=.（3）由（1）可知，2n ≥时，()()()()()1111C C C 111n n n n m n m n m m n n n m n m n n n --+-++-+==+-+--，而()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++，故11111111111C C C 12n n n n n n n n m n n n n n n n n m-----++-----+++++++ ，2222212C C C C n n n n n n n n m ------+-<++++ 11n n m C -+-=，故()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-，其中2n ≥.。