上海市位育中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试卷
2017年徐汇区位育中学高二第一学期数学期中考试试卷
（川沙2017.11）
一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1、已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥b
，则x =_______. 【答案】9.
2、行列式2
-1-1-45
3-2
4
k
中，第2行第1列得元素的代数余子式的值为10，则实数k =_______.
【答案】6.
3、增广矩阵为3 m -1n 10æèçöø÷的二元一次方程组的实数解是x =1
y =2ìí
ïî
ï，则m +n =__________. 【答案】4-.
4、已知矩阵A =1234æèçöø÷，B =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛65，则AB =____________. 【答案】⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛3917.
5、已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 【答案】
23-y 3-2-=x .
6、直线l 的一个方向向量d
=（1,2），则l 与直线02-=+y x 的夹角为______________（结果
用反三角函数值表示）. 【答案】1010
3arccos
.
7、若实数x ,y 满足x -y +1£0x +y -3³0y £4ìíï
î
ï，则目标函数y x z +=2的最大值为_____________.
【答案】10.
8、与直线0532=++y x 平行，且距离等于13的直线方程是___________. 【答案】08-3201832=+=++y x y x 或.
9、若直线l ：3-kx y =与直线06-32=+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值
范围是___________.
【答案】)(2π
,6π.
10、在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则C B D A
•=____________.
【答案】10-.
11、在平面直角坐标系y xO 中，在所有以点（1,0）为圆心且与直线01-2--=m y my （R m ∈）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是_____________. 【答案】2)1-(22=+y x .
12、在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC =2PQ ，则△PAC 的面积的最大值为______________.
【答案】54.
二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13、关于向量，下列结论错误的是（ ）
【A 】0a
•=0；
【B 】a mn a n m
•=•)()(),(R n m ∈； 【C AB BA
【D 】),()(R n m a n a m a n m ∈•+•=•+
.
【答案】A .
14、如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x f 的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ）
【A 】曲线C 是方程()0,=y x f 的曲线;
【B 】方程()0,=y x f 的每一组解对应的点都在曲线C 上； 【C 】不满足方程()0,=y x f 的点()x,y 不在曲线C 上; 【D 】方程()0,=y x f 是曲线C 的方程. 【答案】C .
15、设P 是圆：4)1y 3-(22=++（）
x 上的动点，Q 是直线3-=x 上的动点，则PQ 的最小值为（ ）
【A 】6； 【B 】4； 【C 】3； 【D 】2.
【答案】B .
16、已知直线1l ：01-=+y ax ，2l ：R a ay x ∈=++,01，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：
①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；
②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）； ③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0=+y x 对称； ④如果1l 与2l 交于点M ，则MB MA •的最大值是1； 其中，所有正确的结论的个数是（ ） 【A 】1； 【B 】2； 【C 】3； 【D 】4. 【答案】C .
三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）
17、讨论关于x ，y 的一元二次方程组⎩⎨⎧
+=-+=+1
2)1(322m y m x y mx 的解得情况.
【答案】 讨论：（1） 2-≠m 且3≠m 方程组有唯一解； （2） 3=m 方程组无解；
（3） 2-=m 方程组有无穷多解. 18、已知圆O ：522=+y x .
（1）当直线l ：02=++a y ax 与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =22时，求直线l 的方程; （2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为52的圆方程. 【答案】
解（1）032-x 3-0323=+=++y y x 或; （2）20)6-()3(22=++y x .
19、已知1,2==b a
，b 与a 的夹角为45°. （1）求b
在a 方向上的投影；
（2）求b a
2+的值;
（3）若向量)b 3-a )-2(
λλ与（b a 的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.
【答案】 解（1）1； （2）10；
（3）)6,6()6,1( .
20、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .
（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；
（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；
（3）当032-≤≤+k 时，求折痕长的最大值.
【答案】
21、定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.
（1）设圆,1:220=+y x C 求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比3=λ的直线方程； （2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比2=λ，求此圆的C 的方程；
（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
43-(3-(:1)1(:2
22221=+=++））与y x C y x C 的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点
坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】。
上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题
绝密★启用前上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．下列三阶行列式可以展开为a b b ca c de efdf++的是（ ）A ．111a bc de f B ．111ab c defC ．111a bc d efD ．111ab cdef - 3．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C D4．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列外………内………C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．计算：AB AC BC -+=________6．如果向量 ，共线且方向相反，则 等于 . 7．已知2111n na n n=+，则lim n n a →∞= . 8．已知||6a =，||4b =，则||a b -的取值范围是________9．若12201102x x -=-，则x =________ 10．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________ 11．若11223PP PP =，则2P P =________1PP 12．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =______________ 13．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为________14．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，||2AB =，2BC BD =，则A C A B⋅=____15．已知函数()1x f x x=+，在9行9列的矩阵111213192122232991929399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⎝⎭中，○……………………线…○……………………线…()ij ia f j=，则这个矩阵中所有数之和为________16．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，当12x =-时，y 的取值范围是________三、解答题17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设1223a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.（1）求11x y+的值； （2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】a 、b 为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断.【详解】解：a rQ 、b 为两个非零向量，()2222222a b a ba b a b a b -=-=+-=+20a b ∴=a b ∴⊥r r，即充分性成立；若a b ⊥，则0a b =()2222222a b a ba b a b a b ∴-=-=+-=+，即必要性成立；故222a b a b -=+是a b ⊥的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】由二阶行列式和三阶行列式的求解方法直接计算即可. 【详解】 由题干二阶行列式a b b c a c deef df++=ae bd bf ce af cd -+-+-,由AB 选项三阶行列式111a bcdef =111a b c d ef=ae bf cd ce bd af ae bd bf ce af cd ++---≠-+-+-,则AB 选项不对;由C 选项三阶行列式111a bcaf ce bd cd ae bf ae bd bf ce af cd def=++---≠-+-+-,则C 选项不对; 由D 选项三阶行列式111ab cdef ae bd bf ce af cd =-+-+--,则D 选项正确. 故选:D . 【点睛】本题考查了二阶行列式和三阶行列式的运算法则,直接运算即可,属于基础题,要求熟练掌握运算法则及运算能力. 3．B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OA nOB OAOA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA=，3OB =，0OA OB ⋅==229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 4．A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判定，得到答案． 【详解】由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈， 当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=， 所以3211111123121n n n a a a na a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列． 当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11n n a na n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n a a a a n a a a a a a n n----=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=，所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．0 【解析】【分析】根据向量的加减运算及运算律计算可得. 【详解】解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-= 故答案为：0 【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题. 6．【解析】试题分析： ， 共线，，又 与方向相反，考点：平面向量共线的充要条件 7．1- 【解析】 【详解】解：由题意可知2222121lim 11(1)(1)n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 8．[2,10] 【解析】 【分析】根据向量的三角形不等式可得. 【详解】 解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+ 6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈ 故答案为：[]2,10 【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题. 9．5- 【解析】 【分析】用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。
2017-2018年上海市上海中学高二上数学期中考试
上海中学高二期中试卷2017.11一. 填空题1.直线350x --=的倾斜角大小为2. 过点(2,1)A -与(1,2)B 半径最小的圆的方程为3. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = 4. 一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂 直，则这条直线方程为5. 行列式351236724---中，元素6-的代数余子式的值为6. 过点(2017,2017)P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为7.4=上的点到原点的最短距离为8. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆C 上至少存在 一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的取值范围是9. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(6,0)A ，(2,6)B -，若点C 满足 OC OA OB αβ=+，其中21αβ+=，则点C 的轨迹方程为10. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值大小与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是11. 已知OA a =，OB b =，若13OC a =，34OD b =，且AD 与BC 交于E 点，则OE = （用a 、b 表示）12. 已知正三角形的三个顶点(0,0)A 、(2,0)B、C ，一质点从AB 的中点0P 沿与 AB 夹角为θ的方向射到BC 边上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P ，若 1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为二. 选择题13. 已知向量(1,2)a =，(2,3)b x =-，若a //b ，则x =（ ）A. 3B. 34C. 3-D. 34-14. 若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m =（ ） A. 3- B. 1 C. 43D. 3 15. 动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++()λ∈R ，动点P 一定会过 △ABC 的（ ）A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a 、b ，||||1a b ==，0a b ⋅=，点Q 满足 2()OQ a b =+，曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤<，区域{|0P r Ω=<≤ ||,}PQ R r R ≤<，若C Ω为两段分离的曲线，则（ ）A. 13r R <<<B. 13r R <<≤C. 13r R ≤<<D. 13r R <<< 三. 解答题17. 若a 与b 是夹角为120°的两个单位向量. （1）若2a b -与a kb +垂直，求k ； （2）求2a b +与a b -的夹角.18. 运用行列式讨论关于x 、y 的方程组22(1)(1)1(1)(1)2a x a y a x a y ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩解的个数，并解出此方程组.19. 设集合1{(,)||2|}2A x y y x =≥-，{(,)|||}B x y y x b =≤-+，A B ≠∅.（1）求b 的取值范围；（2）若(,)x y A B ∈，且x y +的最大值为9，求b 的值；（3）当12b <≤时，若(,)x y AB ∈，求kx y +的最大值.20. 过点(2,1)P -的直线l 分别交12y x =(0)x ≥与2y x =-(0)x ≥于A 、B 两点. （1）设△AOB 的面积为245，求直线l 的方程； （2）当||||PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.21. 已知圆222:O x y r +=（O 为原点），与x 轴不重合的动直线l 过定点(,0)D m(0)m r >>，且与圆O 交于P 、Q 两点（允许P 、Q 重合），点S 为点P 关于x 轴的对称点. （1）若2m =，1r =，P 、Q 重合，求直线SQ 与x 轴的交点坐标；（2）求△OSQ 面积的最大值.参考答案一. 填空题 1. 3π 2. 22315()()222x y -+-= 3. 2- 4. 2114170x y -+=5. 296. 4034x y +=或y x =7.8. 3m ≥9. 65180x y +-= 10. a ≥11. 1293a b + 12.二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. A三. 解答题17.（1）54；（2）3π. 18. 当1a =时，无解；当1a ≠时，223(1)(22)a x a a a +=-++，21(1)(22)a y a a a -=-++. 19.（1）1b ≥；（2）9b =；（3）当(,1)k ∈-∞-，最大值2223k kb b -++； 当[1,1]k ∈-，最大值b ； 当(1,)k ∈+∞，最大值222kb k b -+-.20.（1）11122y x =-；（2）37y x =-.21.（1）1(,0)2；（2）当r m <≤，2max 2r S =；当m >，max 2r S m =.。
上海位育初级中学数学高二上期中知识点(含答案)
一、选择题1．(0分)[ID ：13010]已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．(0分)[ID ：12999]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．(0分)[ID ：12995]在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2mnB ．2mnC ．4m nD ．16m n5．(0分)[ID ：12984]某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）A ．25B ．1225C ．1625D ．456．(0分)[ID ：12982]我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,高三年级600人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 ( ) A ．45,75,15B ．45,45,45C ．45,60,30D ．30,90,157．(0分)[ID ：12976]已知边长为2的正方形ABCD ，在正方形ABCD 内随机取一点，则取到的点到正方形四个顶点A B C D ，，，的距离都大于1的概率为（ ） A ．16πB ．4π C ．3224π- D ．14π-8．(0分)[ID ：12970]以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，89．(0分)[ID ：12959]为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+10．(0分)[ID ：12955]远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是( )A ．336B ．510C ．1326D ．360311．(0分)[ID ：12945]将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n)，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．11212．(0分)[ID ：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为A ．6B ．10C ．8D ．413．(0分)[ID ：12933]将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，814．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>15．(0分)[ID ：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（ ） A ．16B ．112C ．536D ．518二、填空题16．(0分)[ID ：13120]判断大小a =log 30.5，b =log 32，c =log 52，d =log 0.50.25，则a 、b 、c 、d 大小关系为_____________.17．(0分)[ID ：13119]下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.18．(0分)[ID ：13113]如果执行如图所示的程序框图，输入正整数()2N N ≥和实数12,,...,N a a a ，输出,A B ，若输入的N 为20，12,,...,N a a a 依次为87，76，89，98，68，76，89，94，83，86，68，79，95，93，89，87，76，77，84，96，则A B =－________．19．(0分)[ID ：13108]从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 20．(0分)[ID ：13098]从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.21．(0分)[ID ：13096]如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是．22．(0分)[ID：13090]如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a=_______．23．(0分)[ID：13070]课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．24．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。
上海市浦东新区2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、填空题1．4和10的等差中项是．2．等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=．3．向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=．4．=．5．在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为．6．等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=．7．S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8=．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则=．9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为．10．在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．11．若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为．12．数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于．二、选做题13．=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣214．已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n是（）A．7 B．7或8 C．8 D．915．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a416．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0三、解答题17．在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式a n及前n项和S n．18．已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．=2a n+1（n∈N*）19．已知数列满足a1=1，a n+1（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．20．已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m的值．21．已知各项为正的数列{a n}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k之间插入b k（k∈N*）+1后，得到一个新的数列{c n}，求数列{c n}的前100项之和T100．2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．4和10的等差中项是7．【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差中项的定义即可得出．【解答】解：4和10的等差中项==7，故答案为：7．2．等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=162．【考点】等比数列的通项公式．【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1=2，公比q=3，得a5=．故答案为：162．3．向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=（，﹣）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】与向量同向的单位向量是【解答】解：∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴与同向的单位向量=（，﹣），故答案为：（，﹣）．4．=2．【考点】极限及其运算．【分析】利用=，即可得出结论．【解答】解：==2，故答案为：2．5．在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为（0，3）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】市场P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．【解答】解：设P（a，b），点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，可得（a﹣2，b+1）=2（﹣1﹣a，5﹣b），可得a﹣2=﹣2﹣2a，b+1=10﹣2b，解得a=0，b=3．点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．6．等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=16．【考点】等比数列的通项公式．【分析】有已知求出q2，再由得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2=1，a4=4，得，∴．故答案为：16．7．S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n+2（n≥2，n∈N*），则S8=64．﹣1【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵a n=a n+2（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是公差为2的等差数列，﹣1又a4=7，∴a1+3×2=7，解得a1=1．∴S8=8+=64．故答案为：64．8．已知等边三角形ABC的边长为1，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，等边三角形ABC的边长为1，可知两向量模已知，夹角已知，故易求【解答】解：由题意，等边三角形ABC的边长为1，∴=﹣=﹣1×1×cos60°=﹣故答案为﹣9．已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量投影的意义解答．【解答】解：由已知向量在向量上的投影为==﹣1；故答案为：﹣1．10．在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．【考点】数列递推式．【分析】由S n=n2+1，n∈N*，可得n=1时，a1=S1=2；n≥2时，a n=S n﹣S n，即可得出．﹣1【解答】解：∵S n=n2+1，n∈N*，∴n=1时，a1=S1=2，=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1则a n=．故答案为：．11．若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由数列的前n项和求出首项和通项公式（n≥2），把首项代入求a，得到等比数列的通项公式，求出公比，代入无穷递缩等比数列的所有项和的公式得答案．【解答】解：由，得，=（n≥2），∵数列{a n}是等比数列，∴，得a=﹣1．∴，则，则数列{a n}的各项和为．故答案为：﹣1．12．数列{a n}中，a n=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于3．+1【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．【解答】解：∵且a1=2，∴a2===﹣3，a3===﹣，a4===，a5===2，不难发现数列{a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1，∵2015=503×4+3，∴数列{a n}前2015项的积为：=3，故答案为：3．二、选做题13．=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量平行的坐标关系解答即可．【解答】解：因为=（1，2），=（k，4），∥，所以4=2k，解得k=2；故选：B．14．已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n是（）A．7 B．7或8 C．8 D．9【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】S n=n2﹣15n看作关于n的二次函数．结合二次函数的图象与性质可以求解．【解答】解：S n=n2﹣15n=（n﹣）2﹣，∴数列{S n}的图象是分布在抛物线y=（x﹣）2﹣上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以x=为对称轴，且|﹣7|=|8﹣|，所以当n=7，8时，S n有最小值．故选B．15．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【考点】数学归纳法．【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：C．16．下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0【考点】等比数列的通项公式；命题的真假判断与应用；等差数列的通项公式．【分析】由等差中项的概念判断①；由充分必要条件的判断方法判断②；举例说明③④错误；【解答】解：对于①，若2b=a+c，则b﹣a=c﹣b，即a，b，c成等差数列，故①正确；对于②，由b2=ac，不一定有a，b，c成等比数列，反之，若a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴b2=ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，故②错误；对于③，若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列错误，如1，2，4成等比数列，但﹣1，﹣，2不是等比数列，故③错误；对于④，由，不一定有，如，故④错误．∴正确命题的个数是1个，故选：C．三、解答题17．在等差数列{a n }中，已知a 1+a 2=2，a 2+a 3=10，求通项公式a n 及前n 项和S n ． 【考点】等差数列的前n 项和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2=2，a 2+a 3=10，可得2a 1+d=2，2a 1+3d=10，联立解得a 1，d ．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2=2，a 2+a 3=10，∴2a 1+d=2，2a 1+3d=10， 联立解得a 1=﹣1，d=4．∴通项公式a n =﹣1+4（n ﹣1）=4n ﹣5， 前n 项和S n ==2n 2﹣3n ．18．已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．【解答】解：|3﹣2|2==36+36﹣12×=36；|3﹣2|=6．19．已知数列满足a 1=1，a n +1=2a n +1（n ∈N*） （1）求证：数列{a n +1}是等比数列； （2）求{a n }的通项公式．【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）给等式a n +1=2a n +1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{a n +1}是等比数列，得证；（2）设数列{a n +1}的公比为2，根据首项为a 1+1等于2，写出数列{a n +1}的通项公式，变形后即可得到{a n }的通项公式． 【解答】解：（1）由a n +1=2a n +1得a n +1+1=2（a n +1）， 又a n +1≠0，∴=2，即{a n +1}为等比数列；（2）由（1）知a n +1=（a 1+1）q n ﹣1，即a n =（a 1+1）q n ﹣1﹣1=2•2n ﹣1﹣1=2n ﹣1．20．已知=（m ﹣2）+2， =+（m +1），其中、分别为x 、y 轴正方向单位向量． （1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m 的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】由已知，将与坐标化，利用平面向量的坐标运算解答即可．（1）将m代入两个向量的坐标，进行数量积的坐标运算即可；（2）分别求出+，﹣的坐标，利用向量垂直数量积为0，求出m．【解答】解：因为、分别为x、y轴正方向单位向量，所以=（m﹣2，2），=（1，m+1），所以（1）m=2时，=（0，2，），=（1，3），与的夹角的余弦值，所以与的夹角为arccos；（2）+=（m﹣1，m+2），﹣=（m﹣3，1﹣m），又（+）⊥（﹣），所以（m﹣1）（m﹣3）+（m+2）（1﹣m）=0，即﹣5m+5=0，解得m=1．21．已知各项为正的数列{a n}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}，求数列{c n}的前100项之和T100．【考点】数列的求和；数列递推式；数列的极限．【分析】（1利用q=，即可得出．（2）利用等比数列的求和公式可得f（n）=，f（n+1）=．再利用极限的运算法则即可得出．（3）由a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：可得b n==n（n≥2），b1=1满足上式，可得b n=n．设S n表示数列{c n}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50），即可得出．【解答】解：（1）∵a1=2，a5=32，∴q==2，∴a n=2n．（2）f（n）=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n==，f（n+1）=．∴===4．（3）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2），又∵a1b1=2，即b1=1满足上式，∴b n=n；设S n表示数列{c n}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50）=2+22+…+250+1+2+…+50=+=251+1273．2016年11月14日。
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试题
上海市位育中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{|2,},{|}A x x x R B x x a =≤∈=≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.2．函数y =cos x +cos （x +）的最大值是 .3．函数()22log 1y x =+（0x <）的反函数是______. 4．方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是_______.5．若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =_______.6．在等差数列{}n a 中，13464,2,a a a a +=+=-若2log n n a b =，则12lim()n n b b b →∞++…+=_______.7．若ABC △的面积2221(),3S a b c =+-则C ∠=_________. 8．复数z a bi =+，其中{1,3,5},{0,2,4,6},a b ∈∈则得到的复数z 的模不大于5的概率是_____.9．若函数14()121x f x a a x=的最小值是非负数，则符合条件的整数a 的一个可能值是______.10．函数sin arcsin y x x =+的值域是______.11．定义：若函数()f x 的图像经过变换T 后所得的图像对应的函数与()f x 的值域相同，则称变换T 是()f x 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①21()(1),f x x T =-将函数()f x 的图像关于y 轴作对称变换； ②12()21,x f x T -=-将函数()f x 的图像关于x 轴作对称变换；③3(),1xf x T x =+将函数()f x 的图像关于点（-1，1）作对称变换； ④4()sin(),3f x x T π=+将函数()f x 的图像关于点（-1，0）作对称变换；其中T 是()f x 的同值变换的有_______.（写出所有符合题意的序号）12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．二、单选题13．已知集合2{|3},{|log 1},M x x N x x =<=>则M N =（ ）A ．∅B ．{|03}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|23}x x <<14．若(sin )3cos 2,f x x =- 则(cos )f x =( ) A ．3cos2x - B ．3sin 2x - C ．3cos2x +D ．3sin 2x +15．n S 是等差数列n a }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 为（ ） A ．310B ．13C ．18D ．1916．定义两个平面向量的一种运算sin ,a b a b θθ⊗=⋅⋅为,a b 的夹角，则对于两个平面向量,a b ，下列结论错误的是（ ） A ．a b b a ⊗=⊗B ．()=()a b a b λλ⊗⊗C ．2222()+()=a b a b a b ⊗⋅⋅D ．若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221=a b x y x y ⊗-三、解答题17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积．18．已知向量(cos ,sin ),(cos ,3cos ),0m x x n x x ωωωωω==>，函数1()2f x m n =⋅-，其最小正周期为π． （1）求函数()f x 的表达式及单调递增区间；（2）在ABC 中，,,a b c 分别为A B C ，，的对边，ABCS为其面积，若()1,1,2ABC Af b S ==△求a 的值． 19．已知椭圆E 长轴的一个端点是抛物线212y x =的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若,A B 是椭圆E 的左右端点，O 为原点，P 是椭圆E 上异于,A B 的任意一点，直线AP BP 、分别交y 轴于,M N ，问OM ON ⋅是否为定值，说明理由． 20．设数列{}n a 为首项是4，公差为1的等差数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和，且22n S n n =+。
上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．下列命题正确的是（ ）A ．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行C ．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行D ．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．2215．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，且3,4,AB AC AB AC ==^，112AA =，则球O 的半径为 （ ）A ．5.5B ．6C ．6.5D ．716．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN 恒与平面ABD 平行；②异面直线AC 与MN 恒垂直．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①为假命题，②为假命题；三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，求：(1)异面直线AD与AC所成角的大小；1(2)求点C到平面ABC D的距离．11四、作图题18．沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.五、解答题19．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．六、证明题20．如图， 在四棱锥P ABCD -中， PD ^底面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，PD DC =， ,E F 分别是,AD PB 的中点．(1)证明：EF //平面PCD ．(2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ^，2AB AD BC AB E F ==，，、分别为棱BC BP 、中点．(1)求证：平面AEF ∥平面DCP ；(2)若平面PBC ^平面ABCD ，直线AP 与平面PBC 所成的角为45o ，且CP PB ^，求二面角P AB D --的大小．七、填空题22．正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成从而直线m 在平面a 内，这与已知条件矛盾，所以直线,m n 为异面直线.（2）祖暅原理：夹在两个平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，设与平面a 平行且距离为d 的平面b 截两个几何体得到两个截面，则图②与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分），在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为()22πR d -，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以圆环的面积为()22πR d -，所以截得的截面的面积相等，则图②几何体的体积即为图①半球的体积.EF 为液面，EF ∥水平线，∴∠BEF ＝β∵AD ∥BC ，∴∠DFE ＝∠BEF ＝β，∵∠ABC ＝2p ，∴α＋β＝2p ，图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为（2）如图，过F 作FQ ∥CD 交BC 于Q在Rt CDFÐ=，20△中，FCD aCD=，则=-．AF a3020tan此时容器内能容纳的溶液量为：【分析】（1）证明//EF 平面PCD ，//AE 平面PCD ，即可证明结论；（2）根据面面垂直性质定理得45APB Ð=o ，进而得AB PB =，再根据题意证明PC ^平面ABP 可得PBC V 为直角三角形，再根据几何关系得60PBC Ð=o ，进而根据PBC Ð是二面角P AB D --的平面角求解即可.【详解】（1）证明：因为E F 、分别为棱BC BP 、中点，所以，在PBC V 中，//EF PC ，因为EF Ë平面PCD ，PC Ì平面PCD ，所以，//EF 平面PCD ，因为AD BC ∥，2BC AB E =，为棱BC 中点．所以，//,AD CE AD CE =，所以，四边形ADCE 是平行四边形，所以，//CD AE因为AE Ë平面PCD ，DC Ì平面PCD ，所以，//AE 平面PCD ，因为,,AE EF E AE EF Ç=Ì平面AEF ，所以，平面AEF ∥平面DCP（2）解：因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC Ç平面ABCD BC =，AB BC ^，AB Ì。
高二数学上学期期中试题文9
2017—2018学年度高二第一学期期中考试数学（文科）试题（试卷分值：150分 考试时间：120分钟 ）注意事项：第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置，第Ⅱ卷的答案必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡的相应位置上，否则不予计分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是A. 一个圆柱B. 一个圆锥C. 两个圆锥D. 一个圆台2. 下列命题正确的是A. 棱柱的侧面都是长方形B. 棱柱的所有面都是四边形C. 棱柱的侧棱不一定相等D. 一个棱柱至少有五个面3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的等腰三角形，其中1OA OB ==，则原平面图形的面积为A. 1 32D. 2 4. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π5. 下列命题正确的是A. 四边形确定一个平面B. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C. 经过三点确定一个平面D. 经过一条直线和一个点确定一个平面6. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC. 若//m α，//m β，则//αβD. 若m α⊥，n α⊥，则//m n7. 已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为A. B. C. D.9. 直线20x y -+=的倾斜角为A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 135︒10. 已知圆C 的圆心(2,3)-，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程为A. 22460x y x y +-+=B. 224680x y x y +-++=C. 22460x y x y +--=D. 224680x y x y +-+-=11. 已知点(1,3)P 与直线l ：10x y ++=，则点P 关于直线l 的对称点坐标为A. (3,1)--B. (2,4)C. (4,2)--D. (5,3)--12. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，有以下结论：①//BD 平面11CB D ； ②1AC BD ⊥； ③1AC ⊥平面11CB D ；④直线11B D 与BC 所成的角为45︒．其中正确的结论个数是A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13. 已知圆C ：222220x y x y +++-=和直线l ：20x y -+=，则圆心C 到直线l 的距离为 .14. 在正方体1111ABCD A BC D -的各条棱中，与直线1AA 异面的棱有 条.15. 直线210x ay +-=与直线(1)10a x ay ---=平行，则a 的值是 .16. 已知正方体1111ABCD A BC D -的一个面1111A B C D A ，B ，C ，D 都在半球面上，则正方体1111ABCD A BC D -的体积为 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题10分，第18~22题每题12分）17. （本小题满分10分）已知菱形ABCD 中，(4,7)A -，(6,5)C -，BC 边所在的直线经过点(8,1)P -.（1）求AD 边所在的直线方程；（2）求对角线BD 所在的直线方程.18. （本小题满分12分）已知动圆C 经过点(1,2)A -，(1,4)B -.（1）求周长最小的圆的一般方程；（2）求圆心在直线240x y --=上的圆的标准方程.19. （本小题满分12分）四边形ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点．（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：BD PC ⊥．20. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDE 中，//BE CD ，BE BC ⊥，AB AC =，平面BCDE ⊥平面ABC ，M 为BC 的中点．（1）若N 是线段AE 的中点，求证：//MN 平面ACD ；（2）若1BE =，2BC =，3CD =，求证：DE ⊥平面AME ．21. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别为11AC ，BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：在棱AC 上存在一点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积．22. （本小题满分12分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），C 是圆柱底面圆周上不与A ，B 重合的一个点.（1）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1. C2. D3. A4. B5. B6. D7. A8. C9. B 10. A 11.C 12.D二、填空题（每小题5分，共20分）12或0 16.三、解答题（第17题10分，第18~22题每题12分）17. （1）直线AD斜率为5(1)268AD BC PCk k k---====-，由点斜式方程，得72(4)y x-=+，即2150x y-+=；（2）对角线互相垂直，1157(5)646BDACkk=-=-=----，线段AC的中点为(1,1)，由点斜式方程，得51(1)6y x-=-，即5610x y-+=18. （1）以线段AB为直径的圆的周长最小，AB中点坐标(0,1)，AB=圆的标准方程为22(1)10x y+-=，一般方程为22290x y y+--=；（2）线段AB中垂线的斜率为1112431(1)ABkk=-=-=----，中垂线方程为113y x=+，联立方程113240y xx y⎧=+⎪⎨⎪--=⎩，得圆心坐标(3,2)，半径r=标准方程为22(3)(2)20x y-+-=19. （1）连接AC，OE，则AC经过正方形中心点O，由O是AC的中点，E是PC的中点，得//OE PA，又OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以//PA平面BDE；（2）由PO⊥平面ABCD，得PO BD⊥，又正方形对角线互相垂直，即BD AC⊥，PO AC O=点，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，得BD PC⊥．20. （1）取AB的中点H，连接MH，NH，由N是AE的中点，得//NH BE，又//BE CD ，得//NH CD ，NH ⊄平面ACD ，所以//NH 平面ACD ，同理可证，//MH 平面ACD ，而MHNH H =点，所以平面//MNH 平面ACD ， 从而//MN 平面ACD ；（2）连接AM ，DM ，EM ，由AB AC =，M 为BC 的中点，得AM BC ⊥，又平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE 平面ABC BC =，AM ⊂平面ABC ，所以AM ⊥平面BCDE ，则AM DE ⊥，由勾股定理，在Rt EBM ∆中，1BE =，112BM BC ==，得EM ，在Rt DCM ∆中，3CD =，112CM BC ==，得DM 在直角梯形BCDE 中，由平面几何知识计算得DE ==，所以222E M D E D M +=，即EM DE ⊥，而AM EM M =点，所以DE ⊥平面AME ．21. （1）由侧棱垂直于底面，1BB ⊥平面ABC ，得1BB AB ⊥，又AB BC ⊥，1BC BB B =点，所以AB ⊥平面11B BCC ，从而平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）取AC 中点M ，连接1C M ，FM ，由F 为BC 的中点，知//FM AB ，FM ⊄平面ABE ，得//FM 平面ABE ，因为1//AM C E ，1AM C E =，所以四边形1AMC E 为平行四边形，则1//C M AE ，1C M ⊄平面ABE ，得1//C M 平面ABE ，而1CM F M M =点， 平面1//C FM 平面ABE ，即存在AC 中点M ，使得平面1//C FM 平面ABE ；（3）点E 到底面的距离即为侧棱长12AA =，在Rt ABC ∆中，2AC =，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =11122ABC S AB BC ∆=⋅==，所以12323E ABC V -=⨯=. 22. （1）由条件，AB 为底面圆的直径，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点，所以AC BC ⊥，又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，则1AA BC ⊥，1A AAC A =点，所以BC ⊥平面1AAC ，从而平面1A BC ⊥平面1A AC ； （2）设圆柱的母线长为h ，底面半径为r ，则圆柱的体积为2r h π，当点C 是弧AB 的中点时，ABC ∆为等腰直角三角形，面积为2r ， 三棱锥1A ABC -的体积为221133r h r h ⨯⨯=， 三棱柱111A B C ABC -的体积为2r h ，则四棱锥111A BCC B -的体积为2221233r h r h r h -=， 四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比为23π．。
2015-2016年上海市徐汇区位育中学高二上学期期末数学试卷与解析
2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=．2．（4分）直线关于直线x=1对称的直线方程是．3．（4分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．4．（4分）若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是．5．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．6．（4分）若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=．7．（4分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．8．（4分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．9．（4分）已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L 上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．10．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．（4分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．（4分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．13．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）14．（4分）直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．（10分）已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．16．（10分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．17．（12分）已知椭圆G：=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．18．（12分）过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．2015-2016学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．（4分）若直线x﹣2y+5=0与直线2x+my﹣6=0互相垂直，则实数m=1．【解答】解：直线x﹣2y+5=0的斜率为直线2x+my﹣6=0的斜率为∵两直线垂直∴解得m=1故答案为：12．（4分）直线关于直线x=1对称的直线方程是x+2y﹣2=0．【解答】解：直线关于直线x=1对称，可知对称直线的斜率为，且过（2，0）点，所求直线方程为：x+2y﹣2=0．故答案为：x+2y﹣2=0．3．（4分）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．【解答】解：由2ρcosθ=1，可得直线方程为x=，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x﹣1）2+y2=1．如图，∴弦AB的长为．故答案为：．4．（4分）若θ∈R，则直线y=sinθ•x+2的倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）．【解答】解：直线y=sinθ•x+2的斜率为sinθ，设直线的倾斜角为α，则tanα=sinθ∈[﹣1，1]∴α∈[0，]∪[，π）；故答案为：[0，]∪[，π）．5．（4分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：6．（4分）若|z1|=|z2|=2，且|z1+z2|=2，则|z1﹣z2|=2．【解答】解：由|z1+z2|=2，得，即2z1z2=4，∴，∴|z1﹣z2|=2．故答案为：2．7．（4分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C1：（t为参数）与曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）有一个公共点在x轴上，则a等于．【解答】解：曲线C1：（t为参数）化为普通方程：2x+y﹣3=0，令y=0，可得x=曲线C2：（θ为参数，a＞0 ）化为普通方程：∵两曲线有一个公共点在x轴上，∴∴a=故答案为：8．（4分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为69．（4分）已知直线L：x+y﹣9=0和圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0，点A在直线L 上，B、C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC=45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为[3，6] ．【解答】解：圆M：2x2+2y2﹣8x﹣8y﹣1=0方程可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=（）2，设A点的横坐标为a．则纵坐标为9﹣a；①当a≠2时，k AB=，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得k=，直线AC的方程为y﹣（9﹣a）=（x﹣a）即5x﹣（2a﹣9）y﹣2a2+22a﹣81=0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即≤，化简得a2﹣9a+18≤0，解得3≤a≤6；②当a=2时，则A（2，7）与直线x=2成45°角的直线为y﹣7=x﹣2即x﹣y+5=0，M到它的距离d==＞，这样点C不在圆M上，还有x+y﹣9=0，显然也不满足条件，综上：A点的横坐标范围为[3，6]．故答案为：[3，6]．10．（4分）椭圆+=1（a＞b＞0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±，|OQ|sin （θ±），由P、Q在椭圆上，得：=+，①=+，②①+②，得+=+，∴当|OP|=|OQ|=时，乘积|OP|•|OQ|最小值为．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11．（4分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵==．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．12．（4分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M （2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3∴p=2∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴∴|OM|=故选：B．13．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．14．（4分）直线L：+=1与椭圆E：+=1相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得△PAB的面积等于3，则这样的点P共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：设P1（4cosα，3sinα）（0＜α＜），即点P1在第一象限的椭圆上，考虑四边形P1AOB面积S，S=S△OAP1+S△OBP1=×4（3sinα）+×3（4cosα）=6（sinα+cosα）=6sin（α+），∴S max=6．∵S=×4×3=6为定值，△OAB的最大值为6﹣6．∴S△P1AB∵6﹣6＜3，∴点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选：B．三、解答题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15．（10分）已知复数z满足|z﹣2|=2，z+∈R，求z．【解答】解：设z=x+yi，x，y∈R，则z+=z+，∵z+∈R，∴=0，又|z﹣2|=2，∴（x﹣2）2+y2=4，联立解得，当y=0时，x=4或x=0 （舍去x=0，因此时z=0），当y≠0时，，z=1±，∴综上所得z1=4，z2=1+i，z3=1﹣i．16．（10分）已知以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）和B（3，4），线段AB 的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|=4．（1）求直线CD的方程；（2）求圆P的方程．【解答】解：（1）直线AB的斜率k AB=1，AB中点坐标为（1，2），…（3分）由题意可知直线AB与CD垂直，故k AD•k AB=﹣1．所以k CD=﹣1．∴直线CD方程为y﹣2=﹣（x﹣1）即x+y﹣3=0 …（6分）（2）设圆心P（a，b），则由点P在直线CD上得：a+b﹣3=0 ①…（8分）又CD的长是圆P的直径，所以直径|CD|=4，∵以点P为圆心的圆经过点A（﹣1，0）∴|PA|=2．∵P（a，b），A（﹣1，0）∴|PA|2=（a+1）2+b2=（2）2②…（10分）由①②解得或∴圆心P（﹣3，6）或P（5，﹣2）…（12分）∴圆P的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=40 或（x﹣5）2+（y+2）2=40…（14分）17．（12分）已知椭圆G：=1，过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线L交椭圆G于A，B两点．（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）求m的取值范围；（3）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【解答】解：（1）由椭圆G：=1，可得a2=4，b2=1，∴=，∴椭圆的焦点坐标为，．（2）由题意可知：|m|≥1．当m≠±1时，设切线L的方程为：y=k（x﹣m）．∵直线L与圆x2+y2=1相切，∴圆心（0，0）到直线的距离d=r，∴，化为k2m2=1+k2．（*）直线L的方程与椭圆的方程联立，化为（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，∵直线L与椭圆由两个不同的交点，∴△＞0，即64k4m2﹣16（1+4k2）（k2m2﹣1）＞0，化为1+4k2＞k2m2，把（*）代入上式可得，化为m2﹣1＞0．解得m＞1或m＜﹣1．当m=±1时，直接验证满足题意．综上可知：m的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．（3）当m=1时，切线L的方程为x=1，联立，解得，|AB|=．同理m=﹣1时，|AB|=．当m≠±1时，由（2）可得x1+x2=，．∴|AB|====≤2．由基本不等式可知当且仅当m=时取等号．综上可知：|AB|的最大值为2．18．（12分）过抛物线y2=2Px（P＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1，N1．（1）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（2）记△AMM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=时，如图所示，设M，N．则，，．则=（﹣p，y1）•（﹣p，y2）=p2+y1y2．（*）设直线MN的方程为my+=x，联立，化为y2﹣2pmx﹣p2=0．∴．代入（*）可得=p2﹣p2=0．∴AM1⊥AN1；（2）假设存在λ，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．设M，N．则M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2），不妨设y1＞0．设直线MN：my+a=x，联立，化为y2﹣2pmy﹣2pa=0．∵△＞0成立，∴y1+y2=2pm，y1y2=﹣2pa．S1==，同理S3=，．∴S1S3====pa2（pm2+2a）．==a2（4p2m2+8pa）=4pa2（pm2+2a），∴4pa2（pm2+2a）=λpa2（pm2+2a），解得λ=4．故存在λ=4，使得对任意的a＞0，均有S22=λS1⋅S3成立．四、附加题19．设椭圆E：=1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：（a，b＞0）过M（2，），N（，1）两点，∵，解得：，∴，椭圆E的方程为…（2分）（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组，得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即8k2﹣m2+4＞0，…．（4分），要使，需使x1x2+y1y2=0，即，所以3m2﹣8k2﹣8=0，所以，又8k2﹣m2+4＞0，∴，∴，即或，∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，∴圆的半径为，，，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或，…（7分）而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且…..（8分）∵，∴，=，…（10分）①当k≠0时∵，∴，∴，∴，当且仅当时取”=”…（11分）②当k=0时，…．（12分）③当AB 的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，…（13分）综上，|AB |的取值范围为，即：…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 yxo()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。
上海市位育中学高二数学上学期期中试题
位育中学2014学年第一学期高二年级期中考试数学试卷一、填空题（本大题满分42分，每小题3分） 1．已知矩阵2591A -⎛⎫=⎪⎝⎭，11021B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A -2B =_______________．2．下列关于算法的说法，正确的序号是_______________． (1) 一个问题的算法是唯一的； (2) 算法的操作步骤是有限的；(3) 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义； (4) 算法执行后一定产生确定的结果．3．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k =_______________．4．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________．5．O 为平行四边形ABCD 内一点，已知OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则OD u u u r=_______________． 6．已知直线l 的倾斜角是直线y =2x +3倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为_______________． 7．在数列}{n a 中，12a =且1130n na a +=，若n S 是}{n a 的前n 项和，则n n S ∞→lim =_______________．8．已知(2,1),(,1)a b λ=--=r r ，若a ρ与b r夹角为钝角，则实数λ取值范围是_______________．9．∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为_______________．10．直线ax +by =ab (a >0,b <0)不经过第_______________象限．11．点(a ,b )在直线x +2y -1=0上，则a 2+b 2的最小值为_______________．12．已知向量33(cos ,sin )22x x a =r ，(cos ,sin )22x xb =-r ，[0,]x π∈，则a b +r r的取值范围为_______________．13．如图，平面内有三个向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r ，其中OA u u u r 与OB u u u r 的夹角为120︒，OA u u u r与OC 的夹角为30︒，且||||1OA OB ==u u u r u u u r ，||23OC =u u u r(,)OC xOA yOB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则(x ,y )=___________．14．设 a b c r r r，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题： ①方程20ax bx c ++=r rr r 不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=r r r r 有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥r r r；③方程22220a x a bx b +⋅+=r r r r 有唯一的实数解b x a=-rr ；④方程22220a x a bx b +⋅+=rr r r 没有实数解．其中真命题有_______________．(写出所有真命题的序号)CB A O二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ）A ．ACB ．BACC ．ABCD ．AB -AC 16．下列命题中，正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r rB ．若//a b r r，则222()a b a b ⋅=⋅r r r rC ．若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD ．若//a b r r ，则存在实数k ，使b ka =r r17．若直线l 1:mx +y -1=0，l 2:4x +my +m -4=0，则“m =2”是“直线l 1⊥ l 2”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18．O 是∆ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中P 为平面上任意一点），则点O 是∆ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、解答题（本大题满分46分）19．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．若根据右面的框图，产生数列{a n }． (1) 当04965x =时，写出所产生数列的所有项； (2) 若要产生一个无穷常数列，求x 0的值．20．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．已知矩阵13mP m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N ．(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组．21．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6y开始 输入A ←x 0结束A =-1 打印A A ←(4A -2)/(A +1)Yes No分．直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,3)，且AM t AB =u u u u r u u u r（t∈R ）．(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围．22．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．(1) 直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；(2) 过点P (1,2)作直线l 交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，求使PA PB ⋅u u u r u u u r取得最大值时，直线l 的方程．23．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知向量(,)u x y =r 与向量(,)v x y x y =-+r 的对应关系用()v f u =r r表示．(1) 证明：对于任意向量a r 、b r及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r ；(2) 证明：对于任意向量a r，|()|2||f a a =r r ；(3) 证明：对于任意向量a r 、b r ，若a b ⊥r r，则()()f a f b ⊥r r ．参考答案及评分标准2014-11-14一、填空题（本大题满分42分，每小题3分） 1．025131-⎛⎫ ⎪-⎝⎭2．(2),(3),(4) 3．-14 4．(cos θ,sin θ)5．a c b +-r r r6．43-7．38．1(,2)(2,)2-⋃+∞9．3210．四 11．1512．[0,2] 13．(4,2)14．①, ④二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．C16．B17．D18．C三、解答题（本大题满分46分） 19．（本题满分8分） 解：(1) 11119a =，215a =，31a =-． 3分 (2) 由1421n n n n a a a a +-==+,得x 0=1,或x 0=2． 8分20．（本题满分8分）解：(1) 由PQ =M +N ，得1323mx y mx my m +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，方程组为1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； 3分(2) 1(3)3m D m m m m==-+-，11(3)23x D m m m -==-++- ,12(3)323y m D m m m m -==++5分1︒当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；2︒当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；3︒当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R )．8分解：(1) (6,3)AB =u u u r ，(6,3)AM t AB t t ==u u u u r u u u r，(3,3)AC =-u u u r ，(63,33)CM AM AC t t =-=-+u u u u r u u u u r u u u r，∵CM AB ⊥u u u u r u u u r ，∴4590CM AB t ⋅=-=u u u u r u u u r ，∴15t =；4分(2) 点M 在线段AB 上，AC 的斜率k 1=-1，AB 的斜率k 2=2， ∴k ≤-1,或k ≥2，8分 3[arctan 2,]4πθ∈． 10分(2) 另解：当12t =时，CM 的斜率不存在； 当12t ≠时，CM 的斜率311221221t k t t +==+--在区间1[0,)2和1(,1]2单调递减，7分 ∴k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈． 10分22．（本题满分10分）解：(1) 对任意的实数k ，(3,1)是直线方程y -1=k (x -3)的解，∴定点坐标为(3,1)； 4分(2) 直线l 的斜率存在，设l :y -2=k (x -1)，则2(1,0)A k-,B (2-k ,0)，由21020k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩，的k <0， 6分(1,)PA k =--u u u r ，2(,2)PB k=--u u u r ，2122()4PA PB k k k k⋅=+=--+≤--u u u r u u u r ，8分当且仅当1k k-=-,即k =-1时，max ()4PA PB ⋅=-u u u r u u u r ， 此时，直线l 的方程为y -2=-(x -1)，即x +y -3=0．10分证：(1) 设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++r r∵12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++r r11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+r r11221122(,)mx my nx ny mx my nx ny =-+-+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+r r r r；4分(2) ∵22222221111111111|()||(,)|()()2()2||f a x y x y x y x y x y a =-+=-++=+=r r∴|()||f a a =r r；7分(3) 由a b ⊥r r ，得0a b ⋅=r r，由(1),(2)结论可得222222222|()()||()|2||2(2)2||2|||()||()|f a f b f a b a b a a b b a b f a f b +=+=+=+⋅+=+=+r r r r r r r r r r r r rr∴()()0f a f b ⋅=r r ，()()f a f b ⊥r r ． 10分。