等差等比数列下标性质及应用
等差等比数列下标性质及应用戎国华一． 教学目标：（一）知识与技能：等比等差数列的下标性质；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧与实际应用列下标性质的灵活应用教学难点：等比等差数列的下标性质教学重点：等差等比数学生的猜想能力能力训练：进一步培养方法推导比数列的下标性质及其教学目标：掌握等差等（二）过程能力与方法（三）态度情感与价值观：培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差等比数列的研究，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点（四）教学模式：多媒体，师生互动一.新课引入{}1524,n a a a a a ++等差数列中与的关系？{}3856,n a a a a a ++等差数列中与的关系？1524a a a a ++答：=3856a a a a ++答：={},,,,n m n p qa a a a 1.等差数列中有a 二.等差数列下标性质：111111(1)(1)2(2)(1)(1)2(2)m n p q m n p qa a a m d a n d a m n d a a a p d a q d a p q d a a a a +=+-++-=++-⎫⎪⎬+=+-++-=++-⎪⎭⇒+=+证明：111(1)(1)2(2)(1)(1)2(2)m n p q m n p qa a a m d a n d a m n d a a a p d a q d a p q d a a a a +=+-++-=++-⎫⎪⎬+=+-++-=++-⎪⎭⇒+=+证明：{}2.(,,,n m n pa a a 变形)等差数列中有a{}3627,n a a a a a ⋅⋅等比数列中与的关系？3627a a a a ⋅⋅答：={}21057,n a a a a a ⋅⋅等比数列中与的关系？21057a a a a ⋅⋅答：=三.等比数列下标性质：{},,,,n m n p q a a a a 1.等比数列中有a 11221111122111m n m n m n p q p q p q m n p qa a q a q a q a a q a q a q a a--+---+-⎫⋅=⋅=⎪⎬⋅=⋅=⎪⎭⇒⋅=⋅a 证明：a a a {},,,n m n pa a a 2.(变形)等比数列中有a {}76111032,20061.1a a a a a a a n +=+++求）若（为等差数列设例200627676111032=+⇒=+=+++a a a a a a a a ）（解：20067676111032=+⇒=++++a a a a a a a a ）解：四.例题选讲：{}18154S ,101.2求中，）等差数列（例=+a a a n 12020120()()35420()S 10()2a a a a a a a a a a a a ++++=+=+⇒==+=解：（）{}95S ,72求中，）等差数列（=a a n 6392)2(92)(9S 55919===+=a a a a 解：6392)2(2(9S 55919==+=a a a 解：2(18S (118321+=⇒++a a a a 解：90)(9)543)()15418201201918=+==+=+++a a a a a a a a ）（解：}18154S ,101.2求中，）等差数列（例=+a a a n 12020120()()35420()S 10()2a a a a a a a a a a a a ++++=+=+⇒==+=解：（）{}95S ,72求中，）等差数列（=a a n 6392)2(2)(9S 55919==+=a a a a 解：6392)2(92(9S 55919===+=a a a 解：2(18S (118321+=⇒++a a a a 解：90)(9)543)()15418201201918=+==+=+++a a a a a a a a ）（：{}1231011121320212223303....,......n a a a a a p a a a a q a a a a ++++=++++=++++例等差数列中,若，求？q q a a a a -+=++++30232221...解：{}12312322122233232............................,,n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a S S S S S ++++++++++⎫⎪++++⎬⎪++++⎭⇒--(1)a 思考:等差数列中，(2)a (3)a }12312322122233232............................,,n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a S S S S S ++++++++++⎫⎪++++⎬⎪++++⎭⇒--(1)a 思考:等差数列中，(2)a(3)a 思考：20d b a =-解：16020b a b -=+⋅280a a a a d ∴+=++⋅280a a a d ∴=++⋅1114.2167?21,67()4()8822396162n n n n n n n n nn a a a a a a a a n a a a a a S n ---+++=+++=+⇒+=⇒+=⇒==⇒=例一个等差数列S =396,前四项和为，末四项和为，求项数解：361234123136136136365.136216721,6736()4()88223962n n n n S a a a a a a a a a a a a a a S ---+++=+++=+⇒+=⇒+=⇒==例（）一个项数为项的等差数列的前四项和为，末四项和为，求解：23436353433136136365.136216721,6736()4()88223962n S a a a a a a a a a a a a S +++=+++=+⇒+=⇒=⇒==例（）一个项数为项的等差数列的前四项和为，末四项和为，求解：123363534331361361365.136********()4()223962n S a a a a a a a a a a a a S ++++++=+⇒+==⇒==例（）一个项数为项的等差数列的前四项和为，末四项和为，求解：3612436353433113636216721,67()88223962n n a a a a a n a a a a =+++=++===例（）一个项数为项的等差数列的前四项和为，末四项和为，36n ⇒={}()2435463510225,n a a a a a a a a a a ++=+n 练习：已知等比数列若＞，求的值。
5.例55336453422522;532225642342=+⇒=++=++⇒==a a a a a a a a a a a a a a a a a a 解：24346522243546335535;22255a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==⇒++=++=+=-解：{}0,n n a a <等比数列中,且⇒()11001210030,100,lg lg lg n a a a a =+++＞求的值。
6.例解：1100121000,100,lg lg lg n a a a a a a =+++＞求的值。
对5098399210015050100110099321...100100lg )(lg ...lg =======a a a a a a a a a a a a a 对5098399210015050100110099321...100100lg )(lg ...lg =======a a a a a a a a a a a a a 对5098399210015050100110099321...100100lg )(lg ...lg ====a a a a a a a a a a a 对5098399210015050100110099321...100100lg )(lg ...lg =======a a a a a a a a a a a a a {}123101320212223101011121321222330123111213201231010111213207.,...,...,......,...,...n b b b b b b b q b b b b b b b b b q q b b b b b b b b b b S b b b b S +++=+++=+++++++++==+++++⇒+++=++++=例等比数列若求？解：2010212223303020221222330,S b b b S S q b b p-++-⇒++=成等比数列}p q b b b b S S b b b b S S b b b b S b b b b q b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b q b b b p b b b b b n 2232221203023222110202013121110321102013121130232221101032120131211302322212013121110321......,...,.........,.........,...,...,.6=++++⇒-=++++-=++++++++⇒=++++++++++++++++++++=+++=++++成等比数列解：求若等比数列例}p q b b b b S S b b b b S S b b b b S b b b b q b b b b b b b b q b b b b b b b b b b b b q b b b b p b b b b b n 2302322212030302322211020201312111010321102013121130232221101032120131211302322212013121110321......,...,.........,......,...,...,.6=++++⇒-=++++-=++++=+++⇒=++++++++=+++++++++++=++++=++++成等比数列解：？求若等比数列例}p q b b b b S S b b b S S b b b b S b b b q b b b b b b b q b b b b b b b b b b b q b b b b p b b b b b n 2302322212030302322211020201312111010321102013121130232221101032120131211302322212013121110321......,...,.........,.........,...,...,.6=++++⇒-=++++-=++++=++++⇒=++++++++=++++++++++++=++++=++++成等比数列解：？求若等比数列例{}1212221223232(1).............(2)......(3).....,,n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a S S S S S +++++++⎫⎪+++⎬⎪+++⎭⇒--等比数列中成等比数列课后总结：。
等比数列的性质及其应用 课件
例3:a,b,c,d成等比数列,a+b,b+c,c+d均不为0. 求证:a+b,b+c,c+d成等比数列.
变式：
已知数列an满足a1 1, an1 2an 1， (1)求证：数列an 1是等比数列；
(2)求数列an的通项公式.
小结
等差数列与等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列
(2)在等比数列an中，a15 10, a45 90,则a60 270.
(3)在等比数列an中，若a1 a2 2, a3 a4 4，
则a4 a5
(4)在 1 和n间插入n个正数，使得这n 2个数成等比数列， n
求插入的这n个数的积.
Tn
1 n
a1
全国名校高中数学优质学案专题汇编（经典问题附详解）
等差数列
等比数列
如果一个数列从第2项起， 如果一个数列从第2项起，每
定义
每一项与它前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列
一项与它的前一项的比等于同 一个常数，那么这个数列就叫
就叫做等差数列.
做等比数列.
数学 表达
an+1-an= d(常数)
an+1 an
{bn}是公比为q的等比数列
性质１：an=am+(n-m)d
bn bm q nm
性质２：若n+m=2p，
则am+an=2ap.
若n+m=2p，
则aman=（ap）2.
性质３： 若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
若n+m=p+q
则bn bm=bp bq
数列知识点所有性质总结(1)
三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列一、填空题1. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________2. 在等差数列中已知13d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 3. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 4. 正整数前n 个数的和是___________5. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________二、选择题1. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）A.84B.72C.60D.48 2. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（ ）A.6B.3C.12D.43. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20项的和等于（ ）A.160B.180C.200D.2204. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ）A.45B.75C.180D.300三、计算题1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的有关未知数： （1）151,,5,66n a d S ==-=-求n 及n a ； （2）12,15,10,n n d n a a S ===-求及2. 设等差数列{}n a 的前n 项和公式是253n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公式3. 如果等差数列{}n a 的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n 项和的公式。
等比数列一、填空题1. 若等比数列的首项为4，公比为2，则其第3项和第5项的等比中项是______．2. 在等比数列｛a n ｝中，(2)若S 3=7a 3，则q ＝______；(3)若a 1＋a 2＋a 3＝-3，a 1a 2a 3＝8，则S 4=____．3. 在等比数列｛a n ｝中，(1)若a 7·a 12=5，则a 8·a 9·a 10·a 11=____； (2)若a 1＋a 2＝324，a 3+a 4＝36，则a 5＋a 6＝______； 4. 一个数列的前n 项和S n ＝8n-3，则它的通项公式a n ＝____．二、选择题3、已知｛a n ｝是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6=25，那么a 3＋a 5的值等于 [ ]A ．5B ．10C ．15D ．204、.等差数列｛a n ｝的首项a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于 [ ]A ．3B ．2C ．-2D ．2或-25、.等比数列｛a n ｝中，a 5＋a 6＝a 7-a 5＝48，那么这个数列的前10项和等于 [ ]A ．1511B ．512C ．1023D ．10246、.等比数列｛a n ｝中，a 2＝6，且a 5-2a 4-a 3＝-12，则a n 等于 [ ]A ．6B ．6·(-1)n-2C ．6·2n-2D ．6或6·(-1)n-2或6·2n-2数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式a n ；(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1S n －S n －1n ＝，n；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如a n ＋1－a n ＝f (n )， 累积法，如a n ＋1a n ＝f (n )；(5)转化法：a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0，且A ≠1)．2、求和常用的方法：(1)公式法：①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=②⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn(2)裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项. 应掌握以下常见的裂项： ①111(1)1n n n n =-++②1111()()n n k k n n k =-++③222111*********();12111(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k<=--=<<=---+++-- ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++⑤=<<=(3)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 项和公式的推导方法) .(4)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这是等差数列前n 项和公式的推导方法) .(5)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.二、知能运用典型例题考点1：求数列的通项（累加）【例1】已知数列{}na 满足211=a，nn a an n ++=+211，求na 。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第一讲等差数列、等比数列
(2)求Sn.并求Sn的最小值．
[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时.Sn取得最小值.最小值为－16.
例1 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.a1＋a3＝30.S4＝120.设bn＝1＋log3an.那么数列{bn}的前15项和为( B )
6．(20xx·全国卷Ⅰ.14)记Sn为数列 的前n项和．若Sn＝2an＋1.则S6＝－63..
[解析]依题意. 作差得an＋1＝2an.
所以数列{an}是公比为2的等比数列.
又因为a1＝S1＝2a1＋1.
所以a1＝－1.所以an＝－2n－1.
所以S6＝ ＝－63.
7．(20xx·全国卷Ⅱ.16)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a1＝－7.S3＝－15.
A．1B．2
C．4D．8
[解析]设{an}的公差为d.则由
得
解得d＝4.
故选C．
4．(20xx·全国卷Ⅲ.9)等差数列{an}的首项为1.公差不为0.若a2.a3.a6成等比数列.则{an}的前6项和为( A )
A．－24B．－3
C．3D．8
[解析]由已知条件可得a1＝1.d≠0.
由a ＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d).
(3)注意整体思想.如在与等比数列前n项和有关的计算中.两式相除就是常用的计算方法.整体运算可以有效简化运算．
G
1．(20xx·邵阳模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2a3＝2a1.且a4与2a7的等差中项为 .则S5＝( B )
SXC039高考数学必修_等差等比数列下标和的性质运用
等差、等比数列“下标和”性质的运用定理：等差数列{a n }中，m+n=i+j ，则a m +a n =a i +a j ，等比数列{a n }中，m+n=i+j ，则a m ·a n =a i ·a j （m 、n 、i 、j ∈+N ）。
证明：若{a n }是等差数列，a m +a n =2a 1+(m+n -2)d, a i +a j =2a 1+(i+j -2)d ,∵m+n=i+j ,∴(m+n -2)d=(i+j -2)d,即a m +a n = a i +a j (其中d 为公差)若{a n }是等比数列，a m ·a n =a 12q m+n-2, a i ·a j = a 12q i+j-2, ∵ m+n=i+j ∴q m+n-2= q m+n-2 即a m ·a n =a i ·a j (其中q 为公比)。
这一性质可表述为：等差数列的下标和相等则相应的项的和相等，等比数列的下标和相等则相应的项的积相等；但必须注意：两项和（积）只能等于两项和（积），三项和只能等于三项和……。
等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。
例1．在等差数列{}n a 中，972a a a ++为常数，则其前（ ）项和也为常数（A ）6 （B ）7 （C ）11 （D ）12解析：等差数列{}n a 的前k 项和为常数即k a a +1为常数，而972a a a ++=36a 为常数， ∴26a =111a a + 为常数，即前11项和为常数，选C 。
注意：千万不要以为972a a a ++= 18a =171a a +，那就大错特错了！等差数列中“n 项和”与“两项和（转化为a 1+a n ）”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n 项和”联系起来。
例2．等比数列{n a }中，a 4+a 6=3，则a 5（a 3+2a 5+a 7）=解析：a 5（a 3+2a 5+a 7）=a 5a 3+2a 52+a 5a 7=a 42+2a 4a 6+a 62=(a 4+a 6)2=9例3．在正项的等差数列{n a }和正项的等比数列{n b }中，有11b a =，1212--=k k b a ，试比较k a 与k b 的大小。
人教版高中数学必修五课件：第二章 数列2-4-2 等比数列的性质
【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？ 提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l， 所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)， 那么aman=apal吗？ 提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2， 因为m+n=p+l，所以aman=apal.
等差数列与等比数列性质总结
a1 q
qn
cqn
{an}为常数数列⇔q＝1； {an}为摆动数列⇔q<0．
{an}递增⇔
a1>0或 q>1
a1<0 {an}递减⇔ 0<q<1
a0<1>q0<点1击进或入aq相1><应10模块
知识梳理
（3）.等比数列前n项和公式
Sn a1 a2 a3 a4 ....... an2 an1 an ① 错位相 qSn a1q a2q a3q a4q ....... an2q an1q anq qSn a2 a3 a4 a5 ....... an1 an anq ② 减法 ①-② (1- q)Sn a1 anq
则Sm , S2m Sm , S3m S2m ,...... 成等差数列。
(3)中项比性质:等差数列anbn 中，Sn Tn 是其前n项和，
an S 2n1
bn
T2 n 1
点击进入相应模块
知识梳理
3.等差数列的性质
(4)奇数项和与偶数项和性质:等差数列an 中，奇数项有n+1项，
点击进入相应模块
上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。
知识梳理
（2）.等差数列通项公式常用结论
结论1.等差数列{an}中,首项为a1，公差d an=am+(n-m)d (其中，m，n N*,n m)
结论2：等差数列通项公式 an － a1= (n－1)d函数性：
直线的一般形式： y kx b
a3 － a2=d， a4 …－…a3=d， an－1－an－2=d, an －an－1=d. 这（n－1）个式子迭加
第四章4.3.1第2课时 等比数列的应用及性质PPT课件(人教版)
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差为－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
证明 由已知，有2a2＝a1＋a3，
①
a23＝a2·a4，
②
a24＝a13＋a15.
③
由③得a24＝aa3＋3·aa55，
∴a4＝a23a＋3·aa55.
④
由①得 a2＝a2 a3·a23a＋3·aa55.
∴a3＝aa1＋3＋aa35a5， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得 a23＝a1·a5.
1
所以a8＝103
3
同理 a4a5a6＝a35＝ a52
3
2=
a2a8
3 1 1 2
1
2 53 103 =502 =5
2
三、等比数列的判定与证明
例3 已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4. (1)求a1的值；
解 因为Sn＝2an＋n－4， 所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4， 解得a1＝3.
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个
繁育成
A.64
√ B.128
C.256
D.255
解析 某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次， 所以经过2小时，这种细菌由1个繁育成28＝256.
等差数列下标和性质
等差数列下标和性质数列是高考的重要考查的内容之一，在高考试卷中常常是一道小题（选择题或填空题）和一道大题（解答题）。
数列问题一般离不开等差数列或等比数列，而等差数列或等比数列的下标等和性质是高考的热点。
本文就以一些高考题为例谈谈等差数列下标和性质。
一、数列的下标等和性质1. 等差数列的下标等和性质：已知{an}为等差数列，m，n，p，q∈N ，且m+n=p+q则am +an =a p+aq 。
证明：设等差数列{an}的公差为d，则am +an =[a 1+（m-1）d]+[ a1+（n-1）d]=2a1 +（m+n-2）d=2 a 1+（p+q -2）d=[ a1 +（p-1）d]+[ a1 +（ q-1 ）d]=ap +aq 。
所以等式成立。
2. 等比数列的下标等和性质：已知{an}为等比数列，m，n，r，s∈N ，且m+n=r+s，则 aman = aras 。
（证略）。
二、下标等和性质的应用1.直接应用例1.在等差数列{an}中，a3 =7， a5 =a 2+6.则a6 =__________.解析：本题常常会用一般解法，但比较费时，若用下标等和性质，显得很容易。
具体解法如下：两等式相加，得：a3+a5=a2+13，所以：a6=13例2.{an}为等差数列，a7 -2a4 =-1，a3 =0，则公差d=（）A.-2B.-12C12D.2解析：依题意，得;（a3+a7）-2a4=-1，所以d=a5-a4=-12，选择B 类似的试题还有：1.已知等比数列{an}满足a n>0，n=1，2，……，且a5 *a2n-5 =2 2n（n≥3），则当n≥1时，2 a1 +2 a 3 +……+ 2 a2n-1 =（）A.n（2n-1）B.（n+1）2C.n2D.（n-1）2（答案C）2.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3 a9 =2a52 ， a2 =1则a1=（）A.2B.2C.22D.12（答案C）3.已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，a5 = ______ （答案：15 ）4.已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（）A.4B.5C.6D.7（答案：C）5.等比数列{an} 中，a4=4 ，则a2・a6 等于（）A.4B.8C.16D.32（答案：C）2.与前n项和结合：例3.设Sn 是等差数列{ an}的前n项和，a12 =-8， S9=-9，则S16=_______.解析：S9=9（a1+a9）2=-9，所以a5=a1+a92=-1，所以：S16=16（a1+a16）2=8（a5+a12）=-72例4. 已知两个等差数列{ an} 和{ bn} 的前n 项和分别为An 和Bn ，且An Bn =7n+45n+3 ，则使得 anbn为整数的正整数 n的个数是（）A.2B.3C.4D.5解析： anbn = 2an2bn = （2n-1）（a1+a2n-1）（2n-1）（b1+b2n-1）= A2n-1B2n-1= 7（2n-1）+45（2n-1）+3 = 7n+19n+1=7+12n+1 ，要使 anbn 为整数，只须n+1=2，3，4，6，12即n=1，2，3，5，11，所以正整数n的个数是5。
二级结论专题8 数列
二级结论专题8数列二级结论1：等差数列的性质【结论阐述】设n S为等差数列{}n a的前n项和，则有如下性质：项的性质在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,,n n m n ma a a++为等差数列，公差为md从第二项起每一项是它前一项与后一项的等差中项，也是与它等间距的两项的等差中项：()()1122,2n n n n n k n ka a a n a a a n k-+-+=+≥=+>两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等：即若m n r s+=+，则m n r sa a a a+=+；若,m n p r s t++=++则m n p r s ta a a a a a++=++若{}{},n na b为项数相同的等差数列，则{}n nka lb±仍为等差数列（,k l为常数）等差数列的图像是直线上一列均匀分布的孤立点(当0d≠时，()1na dn a d=+-是n的一次函数)和的性质①232,,,n n n n nS S S S S--也成等差数列，公差为2n d②当0d≠时，2122nd dS n a n⎛⎫=+-⎪⎝⎭是n的二次函数③nSn⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列③n为奇数时，121,,1n nS nS S a S naS n+--===+奇奇中偶偶；n为偶数时，212,=2nnaSnS S dS a+-=奇奇偶偶④若{}{},n na b为项数相同的等差数列，且前n项和分别为n S与,nT则()()2121212121,21n m m n m m m m m S a S a b T b n T -----==-（处理方法分别设221122,n n S A n B n T A n B n=+=+）单调性在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,,n n m n m a a a ++ 为等差数列，公差为md【应用场景】应用等差数列的性质，可以很方便地、快捷地解决有关等差数列的计算、最值问题，以及证明题.【典例指引1】（2022·山西太原·高二月考）1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2k S =，28k S =，则4k S =（）A ．28B ．32C ．16D ．24【典例指引2】2．已知等差数列{}n a 共有()*2n n N ∈项，若数列{}n a 中奇数项的和为190，偶数项的和为210，11a =，则公差d 的值为（）A ．2B ．4C ．54D ．52【针对训练】（2022·北京·人大附中高二期末）3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且120S >，130S <，若n k S S ≤对n ∈*N 恒成立，则正整数k 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7（2022·江苏·高二月考）4．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且n n S T =2703n n ++，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足2132n n S n T n +=+，则64a b =（）A ．32B ．23C ．1314D ．1（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高三月考（文））6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且611S =，917S =，则15S =（）（2022·河南·高二月考）7．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且有192a a +=，468b b +=，则99S T 的值为（）A ．16B ．14C ．2D ．38．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，n ∈N *.若S 12>0，S 13<0，则数列{|an |}的最小项是（）A ．第6项B ．第7项C ．第12项D ．第13项9．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ．现有下列4个命题①若100S =，则280S S +=；②若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；③若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大；④若78S S <，则89S S <．其中正确的命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知等差数列{}n a 的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．40（2022·重庆·西南大学附中高二期末）11．已知等差数列{}n a 共有21n +项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则1n a +的值为（）．A ．30B ．29C ．28D ．2712．设Sn 为等差数列{an }的前n 项和，若{an }的前2017项中的奇数项和为2018，则S 2017的值为________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若250S >，260S <，则数列(),25n n S n N n a +⎧⎫∈≤⎨⎬⎩⎭中的最大项是第______项.14．等差数列{}n a 中，67S S <，78S S >，给出下列命题：①0d <，②96S S <，③7a 是各项中最大的项，④7S是n S中最大的值，⑤{}n a为递增数列.其中正确命题的序号是______.二级结论2：等比数列的性质【结论阐述】设n S为等比数列{}n a的前n项和，则有如下性质：③10,01a q ><<时，数列{}n a 是递减数列，如数列1111,,,,248 ；④10,1a q >>时，数列{}n a 是递增数列，如数列1,2,4,8, ；⑤10,01a q <<<时，数列{}n a 是递增数列，如数列1111,,,,248---- ；⑥10,1a q <>时，数列{}n a 是递减数列，如数列1,2,4,8,---- .【应用场景】应用等比数列的性质，可以很方便地、快捷地解决有关等比数列的计算、最值问题，以及证明题.【典例指引1】（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）15．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3【典例指引2】16．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【针对训练】（2022·广东潮阳·高二期末）17．等比数列{}n a 的各项均为正数，且383=a a ，则3132310log log log a a a +++= （）A ．5B ．10C ．4D ．32log 5+（2023·江苏·高二月考）18．在等差数列{}n a 中，若100a =，则有等式121219n n a a a a a a -+++=+++ (19n <且N n *∈)成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若111b =，则有（）A ．121219n n b b b b b b -⋅⋅⋅⋅⋅=⋅L L (19n <且N n *∈)B ．121221n n b b b b b b -⋅⋅⋅⋅⋅=⋅L L (21n <且N n *∈)C ．121921n n b b b b b b -++=++++L L (19n <且N n *∈)D ．121122n n b b b b b b -++=++++L L (21n <且N n *∈)19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43S =，89S =，则16S 的值为（）A ．12B ．30C ．45D ．8120．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（）A ．2B ．73C ．310D ．12或（2023·全国·高二月考）21．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++= ，24242k a a a +++= ，则k =（）A ．2B ．3C ．4D ．5（2023·江西·奉新县一中高一月考）22．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）A ．4B ．6C ．8D ．10（2022·上海·高考真题）23．已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A ．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B ．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C ．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D ．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥（2023·全国·高二月考）24．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m ∈N ，满足22519,1m m m m S a m S a m +==-，则数列{}n a 的公比为（）A ．2-B ．2C ．3-D ．325．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，132,14a S ==，若n nnb a =，则数列{}n b 中最大的项为_____.26．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，其前n 项和为n S ，下列命题中正确的是______．（写出全部正确命题的序号）（1）若等比数列{}n a 单调递增，则10a >，且1q >；（2）数列：23243,,n n n n n n S S S S S S ---，……，也是等比数列；（3）()*11,2n n S qS a n N n -=+∈≥；参考答案：1．B【分析】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列，结合题干数据，可得解【详解】由等差数列{}n a 前n 项和的性质，可得k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -成等差数列，∴()2322k k k k k S S S S S -=+-，解得318k S =.∴2，6，10，418k S -成等差数列，可得4210618k S ⨯=+-，解得432k S =.故选：B 2．A【分析】计算得出20S S nd -==奇偶，利用等差数列求和公式得出()201190S n n =+-=奇，由此可解得n 与d 的值.【详解】由题意()1211902n n n a a S na -+===奇，()2212102n n n a a S na ++===偶，所以，()121019020n n S S n a a nd +-=-==-=奇偶，()()()()1211112011902n n n a a S na n n d n n n d n n -+===+-=+-=+-=⎡⎤⎣⎦奇，所以，10n =，2d =.故选：A.【点睛】本题考查等差数列公差的求解，同时也考查了等差数列奇数项和偶数项的和的问题，考查计算能力，属于中等题.3．C【分析】由等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质可得670,0a a ><，所以等差数列{}n a 的前6项为正数，从第7项起为负数，由此即可求出正整数k 的值.【详解】由题意可得()()()1121211267105502a a S a a a a +==+=+>，所以670a a +>，又()113137101002a a S a +==<，所以70a <，又670a a +>可得60a >，所以等差数列{}n a 的前6项为正数，从第7项起为负数，所以6n S S ≤，所以6k =.故选：C.4．B【分析】根据给定条件结合等差数列性质及前n 项和公式，将nna b 用n 表示出即可作答.【详解】依题意，12121211211()(21)21()(21)2n n n n n n a a n S a T b b b n ----+⋅-==+⋅-，又n n S T =2703n n ++，于是得21212(21)702(17)322(21)311n n n n a S n n b T n n n ---++====+-+++，因此，要n n a b 为整数，当且仅当321n +是正整数，而n N *∈，则1n +是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n 的值有1，3，7，15，31五个，所以使得nna b 为整数的正整数n 的个数为5.故选：B 5．D【解析】根据等差数列前n 项和公式的特点，令(21),(32)n n S kn n T kn n =+=+，又665443a S Sb T T -=-即可求值.【详解】由题意，令(21),(32)n n S kn n T kn n =+=+，∴665443785515633a S S k k b T T k k--===--，故选：D【点睛】关键点点睛：由等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数形式的特点，设n S 和n T ，结合项与前n 项和的关系求值.6．D【分析】应用等差数列片段和性质：363961291512,,,,S S S S S S S S S ----成等差数列，求15S 即可.【详解】由等差数列片段和的性质：363961291512,,,,S S S S S S S S S ----成等差数列，∴633962()S S S S S -=+-，可得3163S =，同理可得12703S =，∴1299615122()S S S S S S -=-+-，可得1530S =.故选：D 7．B【分析】利用等差数列的求和公式可求得9S 、9T 的值，即可得解.【详解】由等差数列的求和公式可得()199992a a S +==，()()19469993622b b b b T ++==，因此，9991364S T ==.故选：B.8．B【分析】由等差数列的前n 项和可得a 6＋a 7>0，a 7<0，从而可得a 6>0，根据公差d <0即可得出答案.【详解】由题意S 12>0，S 13<0及S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)，S 13＝13a 7，得a 6＋a 7>0，a 7<0，所以a 6>0，a 6>|a 7|，且公差d <0，所以|a 7|最小.故选：B 9．B【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可.【详解】①中若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=，那么()()2811128281029S S a d a d a d +=+++=+160d =-≠．故①不正确：②中若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=L ，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=，所以使0n S >的最大的n 为15，故②正确：③中若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大．故③正确④中若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况，故④不正确故选：B.10．B【分析】根据偶数项等差数列的奇偶项项数相等，则2nS S d -=奇偶即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为4d =，项数为n ，前n 项和为n S ，则2402nS S d n -===奇偶，即这个数列的项数为20，故选择B .【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，偶数项和与奇数项和的关系，属于中档题.11．B【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有()1n +项，其和为()()121121129022n n a a an n +++⋅+=⋅+=，∴()11290n n a ++=．偶数项共有n 项，其和为2211226122n n n a a an n na +++⋅=⋅==，∴129026129n a +=-=．故选：B ．12．4034【解析】根据等差数列的性质得120172201610092a a a a a +=+== ，可得135201710091009a a a a a +++⋯+=，可解得10092a =，又201712201710092017S a a a a =++⋯+=，代入可得值.【详解】因为1352017100910092018a a a a a +++⋯+==，所以10092a =，故2017122017100920174034S a a a a =++⋯+==.故答案为：4034.【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于得出120172201610092a a a a a +=+== ，属于基础题.13．13【解析】由已知可得数列{}n a 是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列25121225,,,S S S a a a …从第14项起为负值，而13121213,,,S S Sa a a ⋯为递增数列，则答案可求．【详解】解：在等差数列{}n a 中，由250S >，260S <，得125126()2502()2602a a a a +⨯⎧>⎪⎪⎨+⨯⎪<⎪⎩，∴1313140a a a >⎧⎨+<⎩，则数列{}n a 是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，数列25121225,,,S S S a a a …从第14项起为负值，而13121213,,,SS Sa a a ⋯为递增数列，∴数列25121225,,,S S S a a a …的最大项是第13项．故答案为：13．【点睛】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前n 项和的应用，属于中档题．14．①②④【分析】直接利用等差数列{}n a 中，67S S <，78S S >，进行转换，进一步求出公差为负值，且70a >，80a <，最后求出结果．【详解】等差数列{}n a 中，67S S <，78S S >，所以126127a a a a a a ++⋯+<++⋯+，则70a >．所以127128a a a a a a ++⋯+>++⋯+，则80a <．所以①870d a a =-<正确．②96S S <整理得789830a a a a ++=<正确．③7a 是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误．④7S 是n S 中最大的值，正确；⑤{}n a 为递增数列．错误，应改为递减数列．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用、数列的单调性的应用、数列的前n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．15．C【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，L 成等比数列求解.【详解】解：因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则62mS =，则632m S S -=-，故633S S S -=966312S S S S -=--，所以964m S S -=，得到934S m =，所以9334S S =.故选：C.16．C【分析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得q 的值，再利用等比数列的求和公式可求得k 的值，由此可得出该数列的项数.【详解】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N*∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++= 奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++== 奇偶，170285S q S ∴===偶奇，等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k=，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题.17．A【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有293847561103a a a a a a a a a a =====，则531323103293847561103log log log log ()lo 3g a a a a a a a a a a a a a +++== =5.故选：A 18．B【分析】根据等差数列的加法运算类比等比数列的乘法运算以及等差和等比数列的性质即可得答案.【详解】在等差数列{}n a 中，若(),,,N s t p q s t p q *+=+∈则s t p q a a a a +=+，若0m a =，则1222210n n m n m n a a a a ++----++++= ，所以121221n m n a a a a a a --+++++=+ 成立，当10m =时，121219n n a a a a a a -+++=+++ (19n <且N n *∈)成立，在等比数列{}n b 中，若(),,,N s t p q s t p q *+=+∈则s t p q b b b b =，若1m b =，则1222211n n m n m n b b b b ++----= ，所以121221n m n b b b b b b --= 成立，当11m =时，12n b b b L ＝1221n b b b -L (21n <且N n *∈)成立，故选：B.19．C【分析】根据题意可得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，由此可求出.【详解】显然公比不为-1， {}n a 是等比数列，则4841281612,,,S S S S S S S ---也成等比数列，483,9S S == ，846S S ∴-=，12812S S ∴-=，则1221S =，161224S S -=，则1645S =.故选：C.20．B【解析】根据等比数列的性质求解．在1q ≠-时，24264,,S S S S S --仍成等比数列．【详解】设24,3S k S k ==，由数列{}n a 为等比数列(易知数列{}n a 的公比1q ≠-)，得24264,,S S S S S --为等比数列又242,2S k S S k=-=644S S k∴-=67,S k ∴=647733S k S k ∴==故选：B ．【点睛】结论点睛：数列{}n a 是等比数列，若0m S ≠，则232,,m m m m m S S S S S --成等比数列．简称等比数列的片断和仍成等比数列．注意{}n a 是等比数列与232,,m m m m m S S S S S --成等比数列之间不是充要条件．21．B【解析】本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++= 得出()2284k q a a ++=，再然后根据24242k a a a +++= 求出2q =，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++= ，所以2q =，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.22．C【详解】设等比数列项数为2n 项,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶，则85,170S S ==奇偶,所以=2S q S =偶奇，结合等比数列求和公式有：()22122112==185112nna q S q --⨯=--奇，解得n =4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C 选项.23．D【分析】根据等比数列的前n 项和公式与通项公式可得20220a >与20221a >，进而可得1a 、q 取值同号，即可判断A 、B ；举例首项和公比的值即可判断C ；根据数列的单调性可得1n n T T ->，进而得到1n a >，求出1q ≥，即可判断D.【详解】A ：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q>，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B ：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q>，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C ：若等比数列11a =，公比12q =，则11(122(1)1212nn n S -==--，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D ：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >，即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确.故选：D 24．B 【分析】根据22519,1m m m m S a m S a m +==-，解关于q 的方程，注意1q =还是1q ≠的讨论，代入公式即可求解.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则22mmS S =，与题中条件矛盾，故()()212122111115111.19,8.8,111mm mmm m m m mm m a q S a a q m qq q q q S a a q m a q q---+-≠==+=∴=====--- 33,8,2m q q ∴=∴=∴=.故选：B【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明q 的取值时，要考虑q 是否为1.25．12【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，其中0q >，求得2q =，得到2n n a =，进而得出2n nnb =，结合数列的函数特性，即可求解.【详解】根据题意，设正项等比数列{}n a 的公比为q ，其中0q >，因为132,14a S ==，可得2322214S q q =++=，解得2q =或3q =-，因为0q >，所以2q =，所以112n nn a a q -==，则2n n n n n b a ==，故122121,222b b ===，当2n ≥时，则由11112(1)112(1)212n n n n nb n n b n n --===+≤---，则有1234b b b b =>>> ，所以数列{}n b 中最大的项为12.故答案为：12.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，以及数列的函数特性，其中解答中熟记等比数列的公式，进而得出数列{}n b 的通项公式，结合数列的函数特性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.26．（3）【分析】对于（1），若等比数列{}n a 单调递增，则()11110n n n a a a q q +--=⋅->，解不等式即可判断；对于（2），举出反例，如1q =-，n 为偶数，经过计算即可判断；对于（3），由123n n S a a a a =++++ ()1111n a q a a a -=++++ ，计算即可判断.【详解】解：对于（1），若等比数列{}n a 单调递增，则()11110n n n a a a q q +--=⋅->，所以101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，故（1）错误；对于（2），若1q =-，n 为偶数，则20,0n n S S ==，即20n n S S -=，因为等比数列中的项不可能为0，故此时23243,,n n n n n n S S S S S S ---，……，不是等比数列，故（2）错误；对于（3），当*,2n N n ∈≥时，123n n S a a a a =++++ ()1111n a q a a a -=++++ 11n qS a -=+，故（3）正确.故答案为：（3）.。
等比数列求和公式及性质
练习:
（1）如果一个等比数列前5项的和等 于10，前10项的和等于50，那么它前 15项的和等于多少？
的 ( 2) 已知Sn是等比数列 an
前n项和, 且Sn 48, S 2 n 60. 求S3n的值.
思考：
1 2 3 4 n S n . 求和： n 2 4 8 16 2
推导公式
已知： 等比数列 { n}， 求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q a1q 作 减 法
a
a q， n
1，
s
2
a1q3 a1qn1 a1qn
若q=1,
已知a1, q, n时
通项公式:
已知a1, q, an时
an=a1• q
n-1
等比数列的前n项和例题
例5（1） 求等比数列 的和. 1 解: a1 1, q , n 10 2
1 1 1 1， , , , 的前10项 2 4 8
1 1 1 2 S10 1 1 2
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn =
a1 ( 1 – q n ) 1–q
7
(q 1)
等比数列前n项求和公式
na1 , (q 1), na1 , (q 1) S n a1 a1q n 于是 S n a1 an q 1 q , (q 1). 1 q , (q 1).
S5