小学奥数培优_等差数列(含答案)
第四讲等差数列（一）
解题方法
若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
【引例】:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:
（1）通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差
（2）项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
（3）求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2
注：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项
解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷
3+1=8,所以这个数列共有8项。
引申 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
答：这个数列共有27项
2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?
答: 这个数列共有19项
3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?
答：这个等差数列共有29项。
例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？
解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
引申 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
答案：第30项是117。
2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
答案: 第100项是299。
3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?答案：末项是49。
例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。
提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。
解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出2+4+6+8+…
+1990=(2+1990)×995÷2=991020。
计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
2、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。
3、计算100+99+98+…+61+60的和
例题4 计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)
提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。
解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式=992016-991020=996。
引申
1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002) 答案: 1002
2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99) 答案：50
3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
答案：4
例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
91
2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。
88。
三年级下册数学试题-奥数练习：等差数列(含答案)全国通用
等差数列初步(求公差与某一项、求项数)1.等差数列中，第9 项和第17 项相隔__________个公差．2.等差数列中，第6 项和第20 项相隔__________个公差．3.一个等差数列共有15 项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为30，那么末项是__________．4.一个等差数列，每一项都比它的前一项大2，第3 项为33，那么第10 项是__________．5.一个等差数列第4 项为25，第15 项为113，那么这个等差数列的公差是__________．6.一个等差数列第7 项为50，第12 项为75，那么这个等差数列的公差是__________．7.一个等差数列首项为5，末项为101，公差为8，那么首项和末项之间相隔了__________个公差．8.一个等差数列首项为20，末项为116，公差为6，那么首项和末项之间相隔了__________个公差．9.已知等差数列2，9，16，23，30，…，那么86 是这个等差数列的第__________项．10.已知等差数列3，9，15，21，27，…，那么93 是这个等差数列的第__________项．11.一个等差数列的首项为7，第8 项为91，127 是第__________项．12.一个等差数列的首项为12，第7 项为90，129 是第__________项．答案：1.（8） 2.（14） 3.（58）4.（47）5.（8） 6.（5）7.（12）8.（16）9.（13）10.（16）11.（11）12.（10）等差数列求和（配对求和、利用中间数求和）1.计算：13+17+21+25+29+33+37+41=__________．2.计算：32+34+36+38+40+42+44+46+48+50= __________．3.3+7+11+15+……，等差数列共12 项，那么这12 项的和是__________．4.4+7+10+13+……，等差数列共20 项，那么这20 项的和是__________．5.计算：5+7+9+……+53+55=__________．6.计算：13+19+25+……+67+73=_________．7.文雯为了增肥，计划每天吃包子，第一天她吃了5 个包子，以后每天都比前一天多吃 3 个包子，最后一天吃了32 个包子．那么文雯一共吃了________ 天包子，共吃8.一个等差数列共15 项，那么这个等差数列的中间数是第__________项．9.一个等差数列共9 项，那么这个等差数列的中间数是第__________项．10.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5 周吃了20 根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了_________根香蕉．11.旦旦很喜欢吃包子，她每天吃的包子数成等差数列，已知她第6 天吃了30 个包子，那么旦旦前11天一共吃了__________个包子．12.已知一个等差数列的下列条件：① 第1 项是7；② 第7 项是25；③ 第8 项是28；④ 第13 项是43；⑤ 公差是3；⑥ 共13 项．以下选项中不能求出这个等差数列和的是__________．• A. ①、④和⑥• B. ③、⑤和⑥• C. ②和⑥• D. ③和⑥答案：1.（216） 2.（410） 3.（300）4.（650）5.（780）6.（473）7.（10,185）8.（8）9.（5）10.（180）11.（330）12.（D）等差数列应用(求中间数、中间数的应用)1. 9 个连续自然数之和为126，其中第5 个数是__________．2. 7 个连续自然数之和为105，其中第4 个数是__________．3.9 个连续自然数之和为135，其中最小的数是__________．4.9 个连续自然数之和为153，其中最大的数是_________．5.把248 表示成8 个连续偶数的和，其中最大的偶数是__________．6.等差数列中，第5 项到第13 项共有______ 项，第5 项到第13 项的中间项是第_______ 项．7.等差数列中，第3 项到第9 项共有________ 项，第3 项到第9 项的中间项是第_________ 项．答案：1.（14） 2.（15） 3.（11）4.（21）5.（38）6.（9,9）7.（7, 6）割圆术数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。
四年级下册数学试题-奥数培优：利用等差规律计算(含答案)全国通用
课 题 利用等差规律计算【精品】教学内容在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律．1+2+3+---+98+99+10050101=1+100+2+99++50+51 1444442444443共（）（）（）= 101×50,即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050.按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如：1，2，3，4．…是等差数列，公差为l ；l ，3，5，7，…是等差数列，公差为2；5，10，15，20，…是等差数列，公差为5．由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律：项数=（末项首项）÷公差+1第几项=首项+（项-1）×公差总和=（首项十末项）×项数÷2本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式计算下面各题：(1) 2+5+8+…+23+26+29;(2)(2+4+6+...+100) - (1+3+5+ (99)解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和，原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155.(2)解法一原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2=2550 - 2500=50,解法二原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99）=l×50= 50.两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列：1，2，3，4，…，2008，2009，2010.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商解原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010= (1- 2010)×2010÷2÷2010=1000. 5此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。
小学五年级奥数《等差数列题解》.doc
小学五年级奥数《等差数列题解》知识点：①等差数列的和 = （首项＋末项）×项数÷2②项数 = （末项－首项）÷公差＋1③公差 = 第二项－首项④等差数列的第n项 = 首项＋（n－1）×公差⑤首项 = 末项－公差×（项数－1）⑥末项 =首项＋公差×（项数－1）1、计算：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99=（1＋99）×50÷2=25002、求首项为5，末项为155，项数是51的等差数列的和。
（5＋155）×51÷2=160×51÷2=80×51=40803、计算：（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）=（1＋1999）×1000÷2－（2＋1998）×999÷2=1000000－999000=10004、计算：1÷1999＋2÷1999＋3÷1999＋……＋1998÷1999＋1999÷1999=【(1999+1)×1999÷2】÷1999=10005、有60个数，第一个数是7，从第二个数开始，后一个数总比前一个数多4。
求这60个数的和。
（1）末项为：7＋4×（60－1）=7＋4×59=7＋236=243（2）60个数的和为：（7＋243）×60÷2=250×60÷2=75006、数列3、8、13、18、……的第80项是多少？3+（80-1）×5=3+79×5=3+395=3987、求3＋7＋11＋……＋99=？①项数：（99-3）÷4＋1=96÷4＋1=25②和：（3+99）×25÷2=102×25÷2=12758、计算：1+3+5+7+9+11+13+9+7+5+3+1方法一：1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=(1+13)×7÷2+（1+11）×6÷2=(1+13)7+15=49+36=85方法二：1=121+3+4=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=521+3+5+7+9+11=621+3+5+7+9+11+13=721+3+5+7+9+11+13+9+7+5+3+1=72+62=49+36=85赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。
小学四年级奥数第4课等差数列及其应用试题附答案-精品
小学四年级上册数学奥数知识点讲解第4课《等差数列及其应用》试题附答案例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22, (98)⑤100,95,90,85,80,75,70.⑥20,18,16,14,12,10,8.例2求等差数列1,6,11,16…的第20项.例3已知等差数列2,5,8,11,14-,问例是其中第几项?例4如果一等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项.例5计算1+5+9+13+17+ (1993)例6建筑工地有一批转，码成如右图形状，最上层两块待，第2层6块砖，第3 层10块存…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，间中间一层多少块枝？这堆待共有多少块？例7求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.例8连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？例9100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450,取出其中第 1 个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？例10把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,那么，第1个数与第6个数分别是多少？例11把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.答案例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22, 98；⑤100,95,90,85,80,75,70.⑥20,18,16,14,12,10,8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示, 如:数列①中，d=2-l=3-2=4-3=-=l；数列②中，d=3-l=5-3--=13-11=2；数列⑤中，*100-95二95-90=…=75-70二5；数列⑥中，d=20-l8=18-16='-'=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6,10,14,18,22,98；⑥不是，因为第1项减去第2项不等于笫2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2 项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a,第2项记为抵，…，第n项记为an,an。
奥数等差数列
第七讲等差数列(1)1； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8；(2)2： 4； 6： 8； 10： 12； 14； 16；—(3)1； 4； 9： 16： 25； 36； 49；…上面三组数都是数列.数列中称为项；第一个数叫第一项：又叫首项；第二个数叫第二项……以此类推；最后一个数叫做这个数列的末项.项的个数叫做项数.一个数列中；如果从第二项起；每一项与它前面一项的差都相等；这样的数列叫等差数列. 后项与前项的差叫做这个等差数列的公差.如等差数列：4； 7； 10； 13： 16； 19： 22； 25； 28.首项是4；末项是28：共差是3.这一讲我们学习有关等差数列的知识.例题与方法例1、在等差数列1; 5： 9： 13： 17；…；401中401是第几项？例2、100个小朋友排成一排报数；每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3；小明站在第一个位置：小宏站在最后一个位置.已知小宏报的数是300；小明报的数是几？例3、有一堆粗细均匀的圆木；堆成梯形：最上面的一层有5根圆木：每向下一层增加一根；一共堆了28层.最下面一层有多少根？例4、1+2+3+4+5+6+-+97+98+99+100二？例5、求100以内所有被5除余10的自然数的和.例6、小王和小胡两个人赛跑；限定时间为10秒；谁跑的距离长谁就获胜.小王第一秒跑1米；以后每秒都比以前一秒多跑0.1米；小胡自始至终每秒跑1.5米；谁能取胜？练习与思考(每题10分；共100分.)1.数列4； 7： 10； ......... 295： 298中298是第几项?2.蜗牛每小时都比前一小时多爬0. 1米：第10小时蜗牛爬了1. 9米：第一小时蜗牛爬多少米？3.在树立俄；10： 13： 16；…中；907是第几个数？第907个数是多少？4.求自然数中所有三位数的和.5.求所有除以4余1的两位数的和.6.0. 1+0. 3+0. 58. +0. 7+0. 9+0 11+0 13+0 15+-0 99 的和是多少?7.梯子最高一级宽32厘米；最底一级宽110厘米；中间还有6级：各级的宽度成等差数列；中间一级宽多少厘米？8.有12个数组成等差数列；第六项与第七项的和是12：求这12个数的和.9.一个物体从高空落下；已知第一秒下落距离是4. 9米；以后每秒落下的距离是都比前一秒多9. 8米50秒后物体落地.求物体最初距地面的高度.10.求下面数字方阵中所有数的和.1； 2： 3；•••； 98； 99； 1002； 3： 4；…99； 100； 1013； 4： 5；…；100； 101： 102100, 101, 102, -197, 198, 199第八讲找规律你能找出下面各数列暴烈的规律吗？请在括号内填上合适的数》(1)8； 15； 22； ( )； 36；•••；(2)17； 1； 15；1： 13； 1； ( )； ( )；9；1；•••；(3)45； 1； 43；3： 41； 5； ( )；( )；37； 9；•••；(4)1； 2； 4； 8： 16； ( )； 64；•••；(5)10； 20； 21：42； 43； ( )；( )；174； 175；•••；(6) 1 ； 2； 3； 5：8： 13； 21 ；( )；55.(7)1； 2； 3； 2： 3； 4； 3： 4； 5； 4； 5； 6； 6； 7；…从第一个数算起；前100个数的和是多少？练习与思考(第1题30分：其余每题10分：共100分.)(1)找规律；在括号内填上合适的数.(2)1,3,9,27, ( ),243;(3)2, 7, 12, 17,22, ( ), ( ),37;(4)1,3, 2,4, 3, ( ),4;(5)0,3,8, 15, 24, ( ) ,.48;(6)6, 3, 8, 5, 10, 7, 12,9, ( ), 11;(7)2, 3, 5, ( ), ( ), 17, 23;(8)81,64, ( )； 36； ( )； 16； 9： 4； 1；(9)1； 8； 9； 17； 26； ( )； 69；(10)4； 11； 18； 25； ( )； 39； 46；2.一串数按下面规律排列：1； 3： 5； 2； 4： 6； 3： 5； 7； 4： 6； 8； 5； 7； 9；…从第一个数算起；前100个数的和是多少？3.有一串黑白相间的珠子(如下图)；第100个黑珠前面一共有多少个白珠?在平面中任意作100条直线；这些直线最多能形成多少个交点?5. 在平面中任意作20条直线；这些直线最多可把这个平面分成多少个部分?序! 12315算51+12+33+51+72+<序! 6789• • •算53+111+132+153+17• • •根据上面的规律；第40个序号的算式是什么？算式T+103 ”的序号上多少?7.小正方形的边长是1厘米；依次作出下面这些图形.rFh-k rfzii_* cE二二二壬已知第一幅图的周长是10厘米.(1)36个正方形组成的图形的周长是多少厘米？(2)周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成?4.己知第一幅图的周长是10厘米.(1)36个正方形组成的图形的周厂是多少厘米？(2)周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成？8 在方格纸上画折线(如本讲例4图)；小方格的边长是1：图中的1； 2； 3； 4；…分别表示折线扩大第1： 2： 3； 4；…段.求折线中第100段的长度.长度是30的是第几段？能力测试(一)一、填空题(每空3分；工39分).1.在下面的括号里按照规律填上适当的数字.(1)1；2： 3； 4； 8：16：()； 64；128.(2)5；10； 15； 20；25： ( )； 35；40.(3)4；7：10： 13； 16；( )： 22； 25.(4)1； 1 ：2； 3； 5：8； 13；21 ；()(5)1024：512； 256： ( )：64： 32： 16； 8： 4.(6)2；5：11： 20： 32；( )： 65； 86.(7)1；3：2； 4； 3： 5；( )： 6： 5.(8)1； 4； 9； 16； 25； ( )； 49； 64.1.9个人9天共读书1620页；平均1个人1天共读书()页；照这样计算；5个同学5天读书()页.2.如果平均1个同学1天植树()棵：那么；3个同学4天共植树120棵.3.买3只足球和9只篮球共用了570元；买9只足球和27只篮球要用()元.二、计算题(每小题5分；共10分).1.2+4+6+8+10+ - +22+24+262.1+2+3+4+5+6+ …+1996+1997+1998三、应用题（第1〜4题10其余每题10分；第5题11分；共51分）.1.李老师将一叠练习本分给第一组的同学；如果每人分7本；还多7本.如果每人分9：那么有一个同学译本也分不到.第一组有多少同学？这叠练习本一共有多少本？2.一只小船在河中逆流航行176千米：用了11小时.一知水流速度是每小时4千米；这只小船返回原处要用多少小时？3.4只篮球和8只足球共买560元；6只篮球和3只足球共买390元.问：一只篮球和一只足球各买多少元？4.有10元钞票与5元钞票共128张:其中10元比5元多260元.两种面额的钞票各是多少张？5.下面是一种特殊数列的求和方法.要求数列2； 4； 8； 16； 32： 64； - ： 1024； 2048的和;方法如下:S = 2+4+8+16+32+64+ …+1024+204822S = 4+8+16+32+64+ …+1024+2048+4096用下面的式子减去上面的式子；就得到S =4096 - 2 = 4094即数列2： 4； 8； 16； 32： 64；…；1024； 2048 的和是4094.仔细阅读上面的求和方法；然后利用这种方法求卜面数列的和.1： 3： 9； 27； 81： 243；…；177147： 531441.。
小学奥数等差数列练习及答案【三篇】
小学奥数等差数列练习及答案【三篇】【篇一】知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数2项数=（末项-首项）公差+1末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项-首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数【篇二】典例剖析：例（1）在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+1,便可求出。
（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案：第48项是286，508是第85项例（2）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这个数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和能够利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。
练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案：1000例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11，的是91。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9，我们能够根据求和公式来计算。
解一：11+21+31+……+91=（11+91）92=459【篇三】1、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从1号开始摸着排下去。
小学奥数等差数列求和习题及答案
等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前〃项的和为这个数列的和.二、表达方式：常用S.来表示.三：求和公式：和=(首项+末项)X项数+2, = (%+%)x/? + 2.对于这个公式的得到可以从两个方而入手：(思路1) 1 + 2+3 +…+98 + 99 + 100= (14-100)+(2 + 99)+(3 + 98) + ... + (50 + 51) =101x50 = 5050共50个1.1(思路2)这道题目,还可以这样理解：和=1 + 2 + 3 + 4 +・・・+ 98 + 99 +100+ 和=ioo+ 99 + 98 + 97+…+ 3 + 2+12 倍和= 101+ 101+ 101+ 101+…+ 101+ 101+ 101即,和=(100 + 1)x100 + 2=101x50=5050.四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半：或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数.譬如：① 4+8 + 12+…+ 32 + 36 = (4 + 36)x9 + 2 = 20x9 = 1800,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20x9；②65 + 63 + 61+…+5 + 3 + 1 = (1 + 65)x33 + 2 = 33x33=1089,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33x33 o例题精讲：例1:求和：(1) 1+2+3+4+5+6 = (2) 1+4+7+11+13=(3) 1+4+7+11+13+-+85=分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和.例如(3)式项数二(85-1) 4-3+1=29和二(1+85) X294-2=1247答案：(1) 21 (2) 36 (3) 1247例2：求以下各等差数列的和.(1)1+2+3+4+…+199(2)2+4+6+…+78(3)3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和.例如⑴式二(1+199) X 1994-2=19900答案：(1) 19900 (2) 1160 (3) 5355例3: 一个等差数列2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,这个数列的和是多少？分析：根据中项定理,这个数列一共有7项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：8x7 = 56答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少.分析：这个数列的首项是1,末项是401,项数是(401-1) =4+1=101,所以根据求和公式, 可有：和二(1+401) X101-？ 2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……,问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是2,公差是3,项数是61的等差数列的和,根据末项公式:末项=2+ (61-1) X3=182根据求和公式:和二(2+182) X614-2=5612例6：把自然数依次排成“三角形阵",如图.第一排1个数；第二排3个数：第三排5个数：…求：1(1)第十二排第一个数是几？最后一个数是几？ 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16(2) 207排在第几排第几个数？...................(3)第13排各数的和是多少?分析：整体看就是自然数列,每排的个数的规律是1,3, 5, 7...即为奇数数列假设排数为n(n>2de自然数),那么这排之前的数共有(n-1) (n-1)个.(1)第十二排共有23个数.前而共有(1+21) Xll+2=121个数,所以第十二排的第一个数为122,最后一个数为122+ (23-1) X 1=144(2)前十四排共有196个数,前十五排共有225个数,所以207在第十五排,第十五排的第一个数是197,所以207是第(207-197=10)个数(3)前十二排共有144个数,所以第十三排的第一个数是145,而第十三排共有25 个数,所以最后一个数是145+ (25-1) X 1=169,所以和二(145+169) X25^-2=3925答案：(1) 122； 144 (2)第十五排第10个数(3) 3925例7: 15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理,中间的数即第8个数为：1995 - 15 = 133,所以这个数列最大的奇数即第15个数是：133 + 2x(15-8) = 147 0答案：147.例8:把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列,那么中间一个数为210 + 7=30,所以, 这7 个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.答案：第1个数：15：第6个数：40.例9:等差数列15, 19, 23,……443,求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差二19T5=4项数二(443-15) 4-4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为:15, 23, 31……439,公差为8,和为(15+439) X 544-2=12258 偶数项组成的数列为：19, 27, 35……443,公差为8,和为(19+443) X544-2=12474 差为12474-12258=216答案：216例10：在1〜100这一百个自然数中,所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数,在1〜100中,我们很容易知道能被9整除的最小的数是9 = 9x1,最大的数是99 = 9x11,这些数构成公差为9的等差数列,这个数列一共有：11 — 1 + 1 = 11 项,所以,所求数的和是：9 + 18 + 27 +…+99 = (9 +99)x11+2 = 594. 也可以从找规律角度分析.答案：594例11: 一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起,前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律,但是如果3个一组,会发现这样一个数列：6, 9,12, 15 ............即求首项是6,公差是3,项数是105+3=35的和末项末+3* (35-1) =108和二(6+108) *35+2=1995例12：在下而12个方框中各填入一个数,使这12个数从左到右构成等差数列,其中10、16 已经填好,这12个数的和为.□ □□ □□画□□画□□□分析：由题意知：这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数10和16知：公差为2, 那么第一个方格填26 ,最后一个方格是4 ,由等差数列求和公式知和为：(4 + 26)x12 + 2 = 180.答案：180.本讲小结：L 一个数列的前〃项的和为这个数列的和,我们称为.2.求和公式：和=(首项+末项)x项数+2 , = (% + %)x〃 +2.3.对于任意一个奇数项的等差数列,各项和等于中间项乘以项数.练习：1.求和：(1) 1+3+5+7+9= (2) 1+2+3+4+・・・+21 二(3) 1+3+5+7+94-- + 39=分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和. 答案：(1) 25 (2) 231 (3) 4002.求以下各等差数列的和.(1)1+2+3+…+100(2)3+6+9+…+39分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和. 答案：(1) 5050 (2) 2733. 一个等差数列4, 8, 12,16, 20, 24, 28, 32, 36这个数列的和是多少？分析：根据中项定理,这个数列一共有9项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：20X9=180答案：1804.所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是11,末项是99的奇数数列的和为多少.和二(11+99) X 45+2=2475答案：24755.数列1、5、9、13、……,这串数列中,前91个数和是多少?分析：首项是1,公差是4,项数是91,根据重要公式,可得：末项= 1+ (91-1) X4=361和二(1+361) X914-2=16471答案：164716.如图,把边长为1的小正方形叠成“金字塔形〞图,其中黑白相间染色,如果最底层有15个正方形,问：“金字塔〞中有多少个染白色的正方形,有多少个染黑色的正方于分析：由题意可知,从上到下每层的正方形个数组成等差数列, 厂其中4=1, 〞 = 2,?=15,所以〃 = (15-D+2 + l=8,所以,白色方格数是：1 + 2 + 3 +…+ 8=(l + 8)x8 + 2 = 36黑色方格数是：1 + 2 + 3 +…+7=(l + 7)x7 + 2 = 28.答案：287. (2005 + 2006 + 2007 + 2021 + 2021 + 2021 + 2021^ 2021 =.分析：根据中项定理知：2005 + 2006 + 2007 + 2021 + 2021 + 2021 + 2021=2021 x 7,所以原式= 2021x7^2021 = 7 o答案：7.8.把248分成8个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列.平均数：248 ・ 8=31,第4 个数：31-1=30：首项：30-6=24：末项：24+ (8-1) X2=38O即：最大的数为38.答案：389.求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差.分析：解法1：可以看出,2, 4, 6, 2000是一个公差为2的等差数列,1, 3, 5,…,1999也是一个公差为2的等差数列,且项数均为1000.所以：原式二(2+2000)X10004-2- (1+1999) X1000-？2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等,且对应项差1,所以1000项就差了1000个1,即原式二1000X1=100010.在1~ 100这一百个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算1~ 100的自然数和,再减去能被9整除的自然数和,就是所有不能被9整除的自然数和了^ 1 + 2 +…+100 = (1 + 100)x100 +2 = 5050 ,9 + 18 + 27 +…+99 = (9 + 99)x11+2 = 594 ,所有不能被9整除的自然数和：5050-594 = 4456.如果直接计算不能被9整除的自然数和,是很麻烦的,所以先计算所有1~100的自然数和,再排除掉能被9整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了.答案：59411.一个建筑工地旁,堆着一些钢管(如图),聪明的小朋友,你能算出这堆钢管一共有多少根吗？分析：观察发现,这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3,公差是1 ,末项是10, 项数是8根据求和公式,和二(3+10)根+2=52 (根)所以这堆钢管共有52根.答案：52根.12.求100以内除以3余2的所有数的和.解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列,首先求出一共有多少项,(98-2)+3+1 = 33 ,再利用公式求和(2+98)x 33 + 2 = 1650 0。
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册等差数列(试题)含答案与解析
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册等差数列(试题)含答案与解析奥数专题：精编人教版小学数学五年级上册等差数列（试题）含答案与解析题目一：计算：5, 10, 15, 20, ...第20项是多少？每相邻两项之差是多少？解析一：根据题目，我们可以观察到数列中的每一项相差5，说明这是一个等差数列。
首先，我们可以通过找规律来求解第20项。
观察前几项，我们看到第1项是5，第2项是10，第3项是15，可以发现每一项都是前一项加上5得到，如此往复。
我们可以写出通项公式An = A1 + (n-1)d ，其中An表示第n项，A1表示第1项，d表示公差。
代入题目中的数据：A1 = 5d = 5那么我们可以用公式计算第20项是多少：A20 = A1 + (20-1)dA20 = 5 + 19(5)A20 = 5 + 95A20 = 100所以第20项是100。
接下来我们来计算每相邻两项的差：d = A2 - A1d = 10 - 5d = 5所以每相邻两项之差是5。
题目二：在等差数列2, 5, 8, 11, ...中，求第n项的值，并计算前n项和。
解析二：根据题目，我们可以观察到数列中的每一项相差3，说明这是一个等差数列。
我们同样可以通过找规律来求解第n项。
观察前几项，我们看到第1项是2，第2项是5，第3项是8，可以发现每一项都是前一项加上3得到，如此往复。
我们可以写出通项公式An = A1 + (n-1)d ，其中An表示第n项，A1表示第1项，d表示公差。
代入题目中的数据：A1 = 2d = 3根据通项公式，第n项的值可以计算如下：An = A1 + (n-1)d接下来，我们计算前n项的和，可以利用求和公式Sn = (n/2)(A1 + An)：Sn = (n/2)(A1 + An)= (n/2)(2 + A1 + (n-1)d)= (n/2)(2 + 2 + (n-1)3)= (n/2)(4 + 3n - 3)= (n/2)(3n + 1)现在我们可以根据题目来计算第n项的值和前n项的和。
4年级奥数培优讲义-1-等差数列-难版
- 1 - 精品资料之奥数培优讲义适用：华杯、希望、年级：四年级科目：小学奥数内容：奥数培优教程（资料来源于学校内部，供各位老师学习交流使用，欢迎大家下载参考）按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项。
第二个数叫第二项，…，最后一个数叫做末项。
（1）1，2，3，4，5，...，100； （2）1，3，5，...，33； （3）5，10，15， (105)这三个数列都有共同的规律：从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫等差数列。
后项与前项的差叫该数列的公差。
如第一个数列中，公差=2-l=1；第二个数列中，公差=3-l=2；第三个数列中，公差=10-5=5。
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2 以及另外两个重要公式：（1）项数=（末项-首项）÷公差+l （2）末项=首项+公差×（项数-1）【例1】★把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【解析】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141【小试牛刀】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？ 【解析】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。
末项=2+（21-1）×3=62【例2】★从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。
【解析】199 典型例题知识梳理【小试牛刀】观察右面的五个数：19、37、55、a 、91排列的规律，推知a =________ 。
【解析】19+18=37，37+18=55，所以a =55+18=73【例3】★2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【解析】方法一：利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320564÷=，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．【小试牛刀】1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【解析】我们可以找中间的两个数其中一个为y ，那么这8个数为：6y -，4y -，2y -，y ，2y +，4y +，6y +，8y +，根据题意可得：88256y +=，所以31y =，最大的奇数是839y +=．【例4】★在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994． 【解析】每个数比前一个数大7，根据求通项1(1)n a a n d =+-的公式得1()1n n a a d =-÷+，列式得： (19946)7284-÷=2841285+=即第285个数是1994．【小试牛刀】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第n 项=首项+公差1n ⨯-（），所以，第201项532011605=+⨯-=（），对于数列5，8，11，，65，一共有：6553121n =-÷+=（），即65是第21项．【例5】★★⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【解析】⑴要求第8项，必须知道首项和公差．第6项-第4项64=-⨯（）公差 ，所以 ， 公差6=；第4项=首项3+⨯公差 ，21=首项36+⨯，所以，首项3= ；第8项=首项7+⨯公差45= ．⑵公差7=，首项2=，第6项37=．【小试牛刀】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【解析】71-50=21。
四年级奥数题及答案-等差数列
连接bd由三角形等积变形bod的面积等于阴影部分的面积又adb的面积等于bcd的面积都是平行四边形abcd的一半所以阴影部分的面积是平行四边形abcd的14面积为10平方厘米
四年级奥数题及答案-等差数列
如图，பைடு நூலகம்行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是多少？
等差数列答案：连接BD,由三角形等积变形，ΔBOD的面积等于阴影部分的面积，又ΔADB的面积等于ΔBCD的面积，都是平行四边形ABCD的一半，所以阴影部分的面积是平行四边形ABCD的1/4，面积为10平方厘米。