指数函数题型汇总(章节练习)
指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨.
1.比较大小
例1 已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x
f c 的大小关系是_____.
分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内.
解:∵(1)(1)f x f x +=-,
∴函数()f x 的对称轴是1x =.
故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-,
∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则3
21x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x
f f >.
综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.
2.求解有关指数不等式
例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________.
分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围.
解:∵22
25(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数,
∴31x x >-,解得14x >.∴x 的取值范围是14??+ ???
,∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.
3.求定义域及值域问题
例3 求函数216
x y -=- 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤,
∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-,
∞. 令26x t -=,则1y t =-,
又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴206
1x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤.
∴函数的值域是[)01,
. 评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.
4.最值问题
例4 函数221(01)x x y a
a a a =+->≠且在区间[11]-,上有最大值14,则a 的值是_______. 分析:令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t 的取值范围.
解:令x t a =,则0t >,函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-,其对称轴为1t =-.
∴当1a >时,∵[]11x ∈-,,
∴1x a a a ≤≤,即1t a a
≤≤. ∴当t a =时,2max (1)214y a =+-=.
解得3a =或5a =-(舍去);
当01a <<时,∵[]11x ∈-,,
∴1x a a a ≤≤,即1a t a
≤≤, ∴ 1t a =时,2max 11214y a ??=+-= ???
, 解得13a =或15a =-(舍去),∴a 的值是3或13
. 评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等.
5.解指数方程
例5 解方程223380x x +--=.
解:原方程可化为29(3)80390x x ?-?-=,令3(0)x t t =>,上述方程可化为298090t t --=,解得9t =或19
t =-(舍去),∴39x =,∴2x =,经检验原方程的解是2x =.
评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.
6.图象变换及应用问题
例6 为了得到函数935x y =?+的图象,可以把函数3x y =的图象( ).
A .向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度
B .向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度
C .向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度
D .向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度
分析:注意先将函数935x
y =?+转化为235x t +=+,再利用图象的平移规律进行判断. 解:∵29353
5x x y +=?+=+,∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得到函数935x y =?+的图象,故选(C ).
评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等.
习题
1、比较下列各组数的大小:
(1)若,比较与;
(2)若,比较与;
(3)若,比较与;
(4)若,且,比较a与b;
(5)若,且,比较a与b.
解:(1)由,故,此时函数为减函数.由,故.
(2)由,故.又,故.从而.
(3)由,因,故.又,故.从而.
(4)应有.因若,则.又,故,这样.又因,故.从而,这与已知矛盾.
(5)应有.因若,则.又,故,这样有.又因,且,故
.从而,这与已知矛盾.
小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解.
2曲线分别是指数函数 ,和的图象,则与1的大小关系是 ( ).
(
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 .
小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值
3 求下列函数的定义域与值域.
(1)y =231-x ; (2)y =4x +2x+1+1.
解:(1)∵x-3≠0,∴y =2
31-x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}.又∵31-x ≠0,∴231-x ≠1, ∴y =23
1
-x 的值域为{y |y>0且y ≠1}. (2)y =4x +2x+1+1的定义域为R.∵2x >0,∴y =4x +2x+1+1=(2x )2+2·2x +1=(2x +1)2>1.
∴y =4x +2x+1+1的值域为{y |y>1}.
4 已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值
解:设t=3x ,因为-1≤x ≤2,所以
931≤≤t ,且f(x)=g(t)=-(t-3)2
+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。
5、设 ,求函数 的最大值和最小值. 分析:注意到
,设 ,则原来的函数成为 ,利用闭区间上二次函数的值域
的求法,可求得函数的最值.
解:设 ,由 知, ,函数成为 , ,对称轴 ,故函数最小值为
,因端点
较 距对称轴 远,故函数的最大值为 .
6(9分)已知函数
)1(122>-+=a a a y x x 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值. .解: )1(122>-+=a a a y x x , 换元为)1(122a t a
t t y <<-+=,对称轴为1-=t . 当1>a ,a t =,即x =1时取最大值,略
解得 a =3 (a = -5舍去)
7.已知函数
( 且 ) (1)求 的最小值; (2)若 ,求 的取值范围.
.解:(1) , 当 即 时,
有最小值为 (2)
,解得
(完整word版)指数函数题型归纳
指数函数及其性质应用 1.指数函数概念 叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为. 一般地,函数 2. 函数 名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点图象过定点,即当时,. 奇偶性非奇非偶 单调性在上是增函数在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图 象的影响 在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针 方向看图象,逐渐减小.
指数函数题型训练 题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型 (1)21 51- ? ?? ?? 3 251?? ? ?? (2) 2.51.7 3 1.7 (3)0.8 14?? ? ?? 1.8 12?? ??? (4) 0.5 a ()0.6 0,1a a a >≠ 归纳: 2、“同指不同底”型 (1)5 6 311?? ? ?? 5 6 833?? ? ?? (2)9 2 4 归纳: 3、“不同底不同指”型 (1)0.3 1.7 3.1 0.9 (2) 2.5 1.7 30.7 (3)0.1 0.8 - 0.2 9 - (4)b a (01)a b a b <<< (5) 1 23-?? ? ?? 13 3 归纳: 综合类:(1)已知232()3 a =,132()3 b =,232 ()5c =则a 、b 、c 的大小关系为 (2)如果0m <,则2m a =,1 ()2 m b =,0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为 题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点 2、函数()150,1x y a a a +=->≠图像必过定点,这个定点是 3、已知对不同的a 值,函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ,则P 点的坐标 是 归纳: 题型三 解指数函数不等式 1、2212 2≤?? ? ??-x 2、 8 21()33 x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++
指数函数经典例题和课后习题
指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下:
指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.
指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =
【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.