陕西省2014届高三下学期第一次联考数学(理)试题答案
2014年高考理科数学陕西卷-答案
【解析】∵ ，∴ ，方差 .
【提示】根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
【考点】样本数据的均值和方差的性质
10.【答案】A
【解析】由题意可得出，此三次函数在 处的导数为0，依次特征寻找正确选项：
A选项，导数为 ，令其为0，解得 ，故A正确；
B选项，导数为 ，令其为0， 不成立，故B错误；
【提示】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，即可得出结论.
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率
7.【答案】B
【解析】A. ， ， ，不满足 ，故A错；
B. ， ， ，不满足 ，故B错；
C. ， ， ，满足 ，但 在 上是单调减函数，故C错.
（Ⅲ）在（Ⅱ）中取 ，可得 ，令 ，则 ， 依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式.
【考点】等差数列，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，类比推理
∴原命题的逆命题是假命题；
根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，
∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.故选：B.
【提示】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【考点】四种命题间的逆否关系
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ， ， ，
∴ 平面 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴四边形 是矩形.
（Ⅱ）如图，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，
∴ ， ，∴ ，即得 ，
2014年陕西高考理科数学试题及答案详解
2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年陕西卷（理01）】已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，则M N =（ ）.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π.2C π.4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω 【2014年陕西卷（理03）】定积分1(2)xx edx +⎰的值为（ ）.2Ae +.1B e +.C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x选∴,-0-1|)()2(11102∫=+=+=+【2014年陕西卷（理04）】根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是（ ）.2n A a n =.2(1)n B a n =-.2n n C a =1.2n n D a -=【答案】 C【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）32.3A π.4B π.2C π4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π【2014年陕西卷（理06）】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D【答案】 C【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 【2014年陕西卷（理07）】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+【2014年陕西卷（理08）】原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）（A ）真，假，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=【2014年陕西卷（理09）】设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a=+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则12,10,y y y 的均值和方差分别为（ ）（A ）1+,4a （B ）1,4a a ++ （C ）1,4 （D ）1,4+a【答案】 A【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，. 【2014年陕西卷（理10）】如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降， 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（ ）（A ）3131255y x x =- （B ）3241255y x x =- （C ）33125y x x =- （D ）3311255y x x =-+【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′=第二部分（共100分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.【2014年陕西卷（理11）】已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】 10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，【2014年陕西卷（理12）】若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y【2014年陕西卷（理13）】设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，若b a//，则=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a【2014年陕西卷（理14）】观察分析下表中的数据：多面体 面数（F ） 顶点数（V ) 棱数（E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________.【答案】 2+=+E V F【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得【2014年陕西卷（理15）】（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为.B （几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ，若2AC AE =,则EF =.C （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点(2,)6π到直线s i n ()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 【2014年陕西卷（理16）】 （本小题满分12分）ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.（1） a 、b 、c 成等数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin(A+C) ∴ sinA+sinC=2sin （A+C ）.(II) a,b,c 成等比例，∴ b 2=2c.由余弦定理得cosB=ac ac c a ac b c a 2222222-+=++≥2122=-ac ac ac ，当且仅当a=c 时等号成立.∴ cosB 的最小值为21.【2014年陕西卷（理17）】（本小题满分12分）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.（I ）证明：四边形EFGH 是矩形；（II ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.解 （I ）由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC, BD ⊥AD , AD ⊥DC, BD=DC=2，AD = 1.由题设，BC //平面EFGH, 平面EFGH ⋂平面BDC=FG, 平面EFGH ⋂平面ABC=EH,∴ BC// FG, BC//EH, ∴FG//EH. 同理EF//AD,HG//AD, ∴EF//HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形。
2014年陕西省西安市西工大附中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年陕西省西安市西工大附中高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）＝（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i2．（5分）若向量，满足||＝1，||＝，且⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．3．（5分）二项式展开式中的常数项是（）A．5B．﹣5C．10D．﹣104．（5分）把函数y＝f（x）的图象向右平移一个单位，所得图象恰与函数y＝e x 的反函数图象重合，则f（x）＝（）A．lnx﹣1B．lnx+1C．ln（x﹣1）D．ln（x+1）5．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则P A与平面A1B1C1所成角的大小为（）A．B．C．D．6．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个8．（5分）已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1＝﹣3，S5＝S10，则当S n取到最小值时n的值为（）A．5B．7C．8D．7或89．（5分）定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A．4B．3C．2D．﹣110．（5分）如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s 1和s2，那么（）（注：标准差，其中为x1，x2，…，x n 的平均数）＞s2B．，s1＜s2A．，sC．，s 1＜s2D．，s1＞s2二．填空题：本大题共7小题，共25分．其中12、13、14、题为必做题，15、16、17题为选做题，请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）将答案填写在题中的横线上．11．（5分）若x2dx＝9，则常数T的值为．12．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．13．（5分）在△ABC中，，，，则B＝．14．（5分）若直线y＝kx+1被圆x2+y2﹣2x﹣3＝0截得的弦最短，则实数k的值是．15．（5分）（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线ρ＝4sinθ表示圆，则点到圆心的距离为．16．（不等式选讲选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数a的取取值范围是．17．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2．AC是圆O的直径，PC与圆O 交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．（1）叙述并证明正弦定理（2）设，求sin B的值．20．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上任一点．（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有BC⊥DE；（Ⅱ）设＝λ，当平面EDC⊥平面SBC时，求λ的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角A﹣DE﹣C的大小．22．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程．（2）已知经过定点M（2，0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由．23．（14分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax2+2x（1）若曲线y＝f（x）﹣g（x）在x＝1与x＝处的切线相互平行，求a的值及切线斜率．（2）若函数y＝f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围．（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交与P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．2014年陕西省西安市西工大附中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）＝（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i【解答】解：故选：A．2．（5分）若向量，满足||＝1，||＝，且⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得＝0，即＝0，∴1+1××cos＜＞＝0．解得cos＜＞＝﹣．再由＜＞∈[0，π]，可得＜＞＝，故选：C．3．（5分）二项式展开式中的常数项是（）A．5B．﹣5C．10D．﹣10【解答】解：展开式的通项公式为，由5﹣5r＝0，解得r＝1即展开式中的常数项为．故选：D．4．（5分）把函数y＝f（x）的图象向右平移一个单位，所得图象恰与函数y＝e x 的反函数图象重合，则f（x）＝（）A．lnx﹣1B．lnx+1C．ln（x﹣1）D．ln（x+1）【解答】解：由函数y＝e x可得x＝lny，故函数的反函数为y＝lnx，由题意可得，把y＝lnx的图象向左平移一个单位，可得f（x）＝ln（x+1）的图象，故选：D．5．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则P A与平面A1B1C1所成角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠AP A1为P A与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠AP A1为P A与平面ABC所成角．∵＝＝．＝＝，解得．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴＝＝1，在Rt△AA1P中，，∴．故选：B．6．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），∴c＝2，a2＝4﹣1＝3，∴e＝．故选：B．7．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A．36个B．24个C．18个D．6个【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，各位数字之和为奇数的有两类：①两个偶数一个奇数：有C31A33＝18个；②三个都是奇数：有A33＝6个．∴根据分类计数原理知共有18+6＝24个．故选：B．8．（5分）已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a1＝﹣3，S5＝S10，则当S n取到最小值时n的值为（）A．5B．7C．8D．7或8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1＝﹣3，S5＝S10，∴＝10×（﹣3）+，解得d＝．∴＝，令a n≥0，解得n≥8．因此前7，8项的和取得最小值．故选：D．9．（5分）定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A．4B．3C．2D．﹣1【解答】解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S＝的值∵a＝＝1，b＝＝2∴S＝2×（1+1）＝4故选：A．10．（5分）如图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为和，标准差依次为s 1和s2，那么（）（注：标准差，其中为x1，x2，…，x n 的平均数）A．，s＞s2B．，s1＜s2C．，s 1＜s2D．，s1＞s2【解答】解：由茎叶图，得第1组的7名同学的体重分别为53 56 57 58 6170 72，∴第1组的7名同学体重的平均数为：＝（53+56+57+58+61+70+72）＝61kg因此，第1组的7名同学体重的方差为：s2＝[（53﹣61）2+（56﹣61）2+…+（72﹣61）2]＝43.00kg2，同理，第2组的7名同学体重的平均数为：＝（54+56+58+60+61+72+73）＝62kg因此，第2组的7名同学体重的方差为：s2＝[（54﹣62）2+（56﹣62）2+…+（73﹣62）2]＝63.14kg2，∴且s 1＜s2故选：C．二．填空题：本大题共7小题，共25分．其中12、13、14、题为必做题，15、16、17题为选做题，请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）将答案填写在题中的横线上．11．（5分）若x2dx＝9，则常数T的值为3．【解答】解：＝＝9，解得T＝3，故答案为：3．12．（5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．【解答】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为．另解：最左边的数a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11，…，a2一a1＝1，a3一a2＝2，a4一a3＝3，a5一a4＝4，＝n一1，…a n一a n﹣1累加得a n一a1＝1十2十3十4十…十（n一1）＝（1十n一1）（n一1），即a n＝1十n（n一1），则所求数为．13．（5分）在△ABC中，，，，则B＝．【解答】解：在△ABC中，，，，则由大边对大角可得B＜A，故B＜．再由正弦定理可得＝，解得sin B＝，故B＝，故答案为．14．（5分）若直线y＝kx+1被圆x2+y2﹣2x﹣3＝0截得的弦最短，则实数k的值是1．【解答】解：直线y＝kx+1过定点M（0，1），圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的圆心为（1，0），半径为r＝2，显然点M在圆内若直线y＝kx+1被圆x2+y2﹣2x﹣3＝0截得的弦最短，则圆心（1，0）与点M（0，1）的连线与直线y＝kx+1垂直，即k×＝﹣1，故k＝1故答案为115．（5分）（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线ρ＝4sinθ表示圆，则点到圆心的距离为．【解答】解：由曲线ρ＝4sinθ化为ρ2＝4ρsinθ，∴x2+y2＝4y，化为x2+（y﹣2）2＝4，可得圆心C（0，2）．由点，可得＝2，y A＝＝2，∴A．∴|AC|＝＝．故答案为：．16．（不等式选讲选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数a的取取值范围是（﹣∞，0）∪．【解答】解：令f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，则f（x）＝，如图所示．∵关于x的不等式存在实数解，∴＜f（x）max＝3，解得，故a的取值范围是（﹣∞，0）∪．故答案为（﹣∞，0）∪．17．已知P A是圆O的切线，切点为A，P A＝2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝．【解答】解：依题意，我们知道△PBA～△ABC，由相似三角形的对应边成比例性质我们有，即．故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n＝2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中项，a1＝1，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴＝2，∴＝2n﹣1，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n＝2n﹣1+a n，∴（2n﹣1+2n﹣1）＝[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）＝+＝n2+2n﹣1．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．（1）叙述并证明正弦定理（2）设，求sin B的值．【解答】解：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即＝＝（2R三角形外接圆的直径），证明：在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．作CH⊥AB垂足为点H，可得：CH＝a•sin B，CH＝b•sin A，∴a•sin B＝b•sin A，得到＝同理，在△ABC中，＝，∵同弧所对的圆周角相等，∴＝2R，则＝＝（2R三角形外接圆的直径）；（2）在△ABC中，∵a+c＝2b，由正弦定理可得sin A+sin C＝2sin B，∴2sin cos＝4sin cos，再由A﹣C＝，可得sin cos＝2sin cos，解得：sin＝，∴cos＝，则sin B＝2sin cos＝．20．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．【解答】解：（I）设事件A＝“张同学至少取到1道乙类题”则＝张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P（X＝0）＝＝P（X＝1）＝＝P（X＝2）＝+＝P（X＝3）＝＝X的分布列为EX＝21．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上任一点．（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有BC⊥DE；（Ⅱ）设＝λ，当平面EDC⊥平面SBC时，求λ的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角A﹣DE﹣C的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝2，∴BC⊥BD，∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BD，∵BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD，∵DE⊂面SBD，∴无论E点取在何处恒有BC⊥DE；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，设E（x，y，z），则∵＝λ，∴（x，y，z﹣2）＝λ（1﹣x，1﹣y，﹣z），∴E（，，），设平面SBC的一个法向量为＝（a，b，c），则∵＝（0，2，﹣2），＝（1，1，﹣2），∴，取平面SBC的一个法向量＝（1，1，1），同理可求平面EDC的一个法向量＝（2，0，﹣λ），∵平面EDC⊥平面SBC，∴•＝2﹣λ＝0，∴λ＝2；（Ⅲ）解：当λ＝2时，E（，，），同理可求平面ADE的一个法向量＝（0，1，1），取平面CDE的一个法向量＝（1，0，﹣1），则cosθ＝＝，∴二面角A﹣DE﹣C为120°．22．（13分）已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程．（2）已知经过定点M（2，0）且斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分∠APB？若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c．由抛物线方程得焦点，∴c＝．又短轴长为4，∴2b＝4，解得b＝2．∴a2＝b2+c2＝9．∴椭圆C的方程为．（2）假设在x轴上存在一个定点P（t，0）（t≠2）使得PM始终平分∠APB．设直线l的方程为my＝x﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（9+4m2）y2+16my﹣20＝0，则，．（*）∵PM平分∠APB，∴，∴，化为，把x1＝my1+2，x2＝my2+2代入上式得（2﹣t）（y1﹣y2）[2my1y2+（2﹣t）（y1+y2）]＝0，∵2﹣t≠0，y1﹣y2≠0，∴2my1y2+（2﹣t）（y1+y2）＝0．把（*）代入上式得，化为m（9﹣2t）＝0，由于对于任意实数上式都成立，∴t＝．因此存在点P满足PM始终平分∠APB．（也可以考虑利用k AP+k BP＝0）．23．（14分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝ax2+2x（1）若曲线y＝f（x）﹣g（x）在x＝1与x＝处的切线相互平行，求a的值及切线斜率．（2）若函数y＝f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围．（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交与P、Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．【解答】解：（1）y＝f（x）﹣g（x）＝，∴y'＝m'（x）＝，则m'（1）＝1﹣a﹣2＝﹣1﹣a，m'（）＝2﹣＝﹣，∵在x＝1与处的切线相互平行，∴m'（1）＝m'（），即﹣1﹣a＝，∴，a＝﹣2，此时切线斜率k＝m'（1）＝﹣1﹣（﹣2）＝2﹣1＝1．（2）∵y＝f（x）﹣g（x）＝，y'＝m'（x）＝，∴函数y＝f（x）﹣g（x）在区间上单调递减，则m'（x）＝≤0恒成立，即成立，∴a，设g（x）＝，则g（x）＝∵x，∴，∴g（x）∈（﹣1，3），∴a≥3．（3）设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．则点M、N的横坐标为x＝，C1在点M处的切线斜率为k1＝，x＝，k1＝，C2在点N处的切线斜率为k2＝ax+b，x＝，k2＝a+b．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1＝k2．即，则＝（x22﹣x12）+b（x2﹣x1）＝（x22+bx2）﹣（+bx1）＝y2﹣y1＝lnx2﹣lnx1．∴．设t＝，则lnt＝，t＞1①令r（t）＝lnt﹣，t＞1．则r′（t）．∵t＞1时，r'（t）＞0，∴r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）＝0．则lnt＞．这与①矛盾，假设不成立．故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．。
陕西省2014届高三数学下学期第一次联考试题答案
高三数学试卷参考答案(理科)1．C 由题意得B ＝{0，1，2}.2．B 由题意可知：函数y ＝11－x在(1，＋∞)上是增函数．3．A 因为a ＝－4<3，所以b ＝a －4＝－4－4＝－8.4．A ∵z ＝(a －2i)i ＝2＋a i ，∴当a ＜0时，点M 在第四象限，∴“a ＝－1”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件．5．D |AB |＝1＋4＋4＝3，设正方体的棱长为a ，则3a ＝3，解得a ＝3，所以正方体的体积为3 3.6．B 因为f ()x ·f ()x ＋2＝13，所以f (x ＋2)＝13f （x ），解得函数f (x )周期为4，f (99)＝f (3)＝13f （1）＝132. 7．C 由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的3位数有C 14A 24个，其中个位上的数字为1的3位数有C 13C 13个，则所求3位数有C 14A 24－C 13C 13＝39个．8．D 先做⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1的区域如图可知在三角形ABC区域内，由z ＝x －y 得y ＝x －z 可知，直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线为y ＝x －(－2)＝x ＋2，作出直线y ＝x ＋2，交y ＝2x －1于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x ＋y ＝m 也过A 点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5，代入x ＋y ＝m 得，m ＝3＋5＝8. 9．A ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝1543，∴bc ＝15.又5sin B ＝3sin C ，根据正弦定理得5b ＝3c .由⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝15，5b ＝3c ，解得b ＝3，c ＝5，∴由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝19，∴△ABC 的周长为8＋19.10．D 由题知a 1⊥a 2，a 2⊥a 3，a 3⊥a 4，则a 1＝－a 3，a 2＝－a 4，a 1⊥a 4，且i 的最大值为4.T 2m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )2＝∑mi ＝1 a 2i ＋2(a 1·a 2＋a 1·a 3＋…＋a m －1·a m ) ＝m ＋2(a 1·a 2＋a 1·a 3＋…＋a m －1·a m )．若m ＝2时，T 2m ＝2，T m ＝2；若m ＝3时，T 2m ＝1，T m ＝1；若m ＝4时，T 2m ＝0，T m ＝0.11．4 由题可知c ＝22，∴m ＝c 2－a 2＝8－4＝4.12．2 由通项公式得常数项为(－2)4·C 45a ＝160，解得a ＝2. 13.6＋635＝6635 由前三个式子归纳的规律为n ＋nn 2－1＝n n n 2－1，所以第五个式子为6＋635＝6635. 14．22－2 设AB ＝x ，DP ＝y ，BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因x >2－x ，故1<x <2，因△ADP ≌△CB ′P ，故PA ＝PC ＝x －y .由PA 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2⇒y ＝2(1－1x)，1<x <2，记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝(1－1x )(2－x )＝3－(x ＋2x)≤3－22，当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值，此时长方形ABCD 的面积S 2＝x (2－x )＝2(2－2)＝22－2.15.A ．[2，＋∞) f (x )＝|x －1|＋|x －3|≥|(x －1)－(x －3)|＝2.B. 43如图，连结BC ，BE ，则∠1＝∠2，∠2＝∠A ， ∴∠A ＝∠1，又∠B ＝∠B ，∴△CBF ∽△ABC ，∴CB AB ＝BF BC ，CB AB＝CF AC ，代入数值得BC ＝2，AC ＝4，又由平行线等分线段定理得AC CD ＝AF FB ，解得CD ＝43. C. 14 把曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，把直线的极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )转化为直角坐标方程为y ＝x ，圆心到直线的距离为d ＝|1－2|2＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝14.16．解：(1)由题意，得m·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω＝13.(5分)(2)由(1)知f (x )＝sin(23x ＋π6)＋12，∵x ∈(－π，π)，∴－π2＜23x ＋π6＜5π6，当－π2＜23x ＋π6＜π2，即－π＜x ＜π2时，函数f (x )单调递增；当π2≤23x ＋π6＜5π6，即π2≤x ＜π时，函数f (x )单调递减． 综上可知，函数f (x )在(－π，π2)上单调递增，在[π2，π)上单调递减．(12分)17．解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1+(m＋n －2)d ，a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d ＝2a 1+ (p ＋q －2)d ，又m ＋n ＝p ＋q ，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .(6分)(2)当n ＝1时，b 1＝S 1＝A ＋B ＋C ；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn ＋C －[A (n －1)2＋B (n －1)＋C ]＝2An －A ＋B ，即当n ≥2时， 数列{b n }的通项公式为b n ＝2An －A ＋B ，当n ＝1时，b 1＝A ＋B ＋C ≠A ＋B ，所以数列{b n }不是等差数列．(12分)18．(1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，可得△ABC 为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ，所以PA ⊥AE . 而PA 平面PAD ，AD 平面PAD 且PA ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面PAD . (4分)(2)解：设AB ＝2，H 为PD 上任意一点，连结AH ，EH .由(1)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt△EAH 中，AE ＝3，所以当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大．此时tan∠EHA ＝AE AH ＝3AH＝3，因此AH =1.又AD ＝2，所以∠ADH ＝30°，所以PA ＝AD tan 30°＝233.(8分)(法一)因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD . 过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连结ES ，则∠ESO 为二面角E －AF －C 的平面角， 在Rt△AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32. 又F 是PC 的中点，如图,PC ＝PA 2＋AC 2＝433，∴AF ＝12PC ＝233，sin ∠SAO ＝AF FK ＝12，在Rt△ASO 中，SO ＝AO ·sin ∠SAO ＝34，所以SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋916＝214， 在Rt△ESO 中，cos∠ESO ＝SO SE ＝34214＝217， 即所求二面角的余弦值为217.(12分) (法二)由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0，0，0)，B (3，－1，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，33)， 所以AE →＝(3，0，0)，AF →＝(32，12，33)．设平面AEF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝0，32x 1＋12y 1＋33z 1＝0. 取z 1＝－1，则m ＝(0，233，－1)，因为BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，PA∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD →为平面AFC 的一个法向量．又BD →＝(－3，3，0)，所以cos 〈m ，BD →〉＝m ·BD →|m ||BD →|＝2373×12＝217.因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为217.(12分) 19．解：(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A .易知第一次取到偶数球的概率为24＝12，第二次取球时袋中有三个奇数，所以第二次取到奇数球的概率为34，而这两次取球相互独立，所以P (A )＝12×34＝38.(6分)(2)若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球； 若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球． 所以X 的可能取值为3，5，6，7，所以P (X ＝3)＝12×14＝18，P (X ＝5)＝12×24＋12×14＝38，P (X ＝6)＝12×14＋12×14＝14，P (X ＝7)＝12×24＝14，所以X 的分布列为数学期望EX ＝3×18＋5×38＋6×14＋7×14＝112.(12分)20．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C 上，即9a 2＋1b2＝1, ①又椭圆的离心率为63，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝(63)2＝23，②联立①②可解得a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(5分)(2)因为直线l 的方程为x ＝－22，设P (－22，y 0)，y 0∈(－233，233)，当y 0≠0时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然x 1≠x 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2112＋y 214＝1，x 2212＋y224＝1，则x 21－x 2212＋y 21－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2，又PM ＝PN ，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN 的斜率为－13·－22y 0＝223y 0，又l ′⊥MN ，所以直线l ′的方程为y －y 0＝－3y 022(x ＋22)，即y ＝－3y 022(x ＋423)，显然l ′恒过定点(－423，0)；当y 0＝0时，直线MN 即x ＝－22，此时l ′为x 轴亦过点(－423，0)．综上所述，l ′恒过定点(－423，0)．(13分) 21．解：(1)f (x )＝x 2＋2x －4ln x (x ＞0)，f ′(x )＝2x ＋2－4x＝2（x ＋2）（x －1）x，当x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝3.（4分）(2)f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax，若f (x )在(0，1)上单调递增，则2x 2＋2x ＋a ≥0在x ∈(0，1)上恒成立⇒a ≥－2x 2－2x恒成立，令u ＝－2x 2－2x ，x ∈(0，1)，则u ＝－2(x ＋12)2＋12，∴a ≥0.若f (x )在(0，1)上单调递减，则2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0，1)上恒成立⇒a ≤－2x 2－2x 恒成立，故a ≤－4.综上，a 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞).（8分）(3)(2t －1)2＋2(2t －1)＋a ln(2t －1)≥2t 2＋4t ＋2a ln t －3恒成立⇒a [ln(2t －1)－2ln t ]≥－2t 2＋4t －2⇒a [ln(2t －1)－ln t 2]≥2[(2t －1)－t 2]．当t ＝1时，不等式显然成立，当t ＞1时，t 2－(2t －1)＝t 2－2t ＋1＝(t －1)2＞0⇒t 2＞2t －1⇒ln t 2＞ln(2t －1) ⇒a ≤2[（2t －1）－t 2]ln （2t －1）－ln t 2在t ＞1时恒成立．令u ＝2[（2t －1）－t 2]ln （2t －1）－ln t2，即求u 的最小值．设A (t 2，ln t 2)，B (2t －1，ln(2t －1))，则k AB ＝ln （2t －1）－ln t2（2t －1）－t2，且A 、B 两点在g (x )＝ln x 的图像上，又∵t 2＞1，2t －1＞1，故0＜k AB ＜g ′(1)＝1，∴u ＝2·1k AB ＞2，故a ≤2，即实数a 的取值范围是(－∞，2].（14分）。
2014·陕西(理科数学) (1)
2014·陕西卷(理科数学)1．[2014·陕西卷] 设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1]D ．(0，1) 1．B [解析] 由M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }＝{x |－1<x <1，x ∈R }，得M ∩N ＝[0，1)．2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．B [解析] 已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.3．[2014·陕西卷] 定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －13．C [解析] ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(12＋e 1)－(02＋e 0)＝e .图1-1 4．[2014·陕西卷] 根据如图1-1所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －14．C [解析] 阅读题中所给的程序框图可知，对大于2的整数N ，输出数列：2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N －1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n .5．[2014·陕西卷] 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π35．D [解析] 设该球的半径为R ，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R )2＝(2)2＋12＋12，解得R ＝1，所以该球的体积为V ＝43πR 3＝43π.6．[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.456．C [解析] 利用古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况有C 25＝10(种)，选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有：选取的2个点的连线为正方形的4条边长和2条对角线长，共有6种．故所求概率P ＝610＝35.7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D. 8．[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 8．B [解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i ，且a ，b ∈R ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2，故原命题为真，所以其否命题为假，逆否命题为真．当z 1＝2＋i ，z 2＝－2＋i 时，满足|z 1|＝|z 2|，此时z 1，z 2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假．9．[2014·陕西卷] 设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a ，4B ．1＋a ，4＋aC ．1，4D ．1，4＋a9．A [解析] 由题意可知x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 1010＝1，故y －＝（x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10）＋10a10＝1＋a .数据x 1，x 2，…，x 10同时增加一个定值，方差不变．故选A.10．[2014·陕西卷] 如图1-2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )图1-2A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45xC ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x10．A [解析] 设该三次函数的解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d .因为函数的图像经过点(0，0)，所以d ＝0，所以y ＝ax 3＋bx 2＋cx .又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b ＝0，所以y ＝ax 3＋cx ，代入点(－5，2)得－125a －5c ＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y ′＝3ax 2＋c ，得当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧－125a －5c ＝2，75a ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1125，c ＝－35.故该三次函数的解析式为y ＝1125x 3－35x .11．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．11.10 [解析] 由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012 ＝10.12．[2014·陕西卷] 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C的标准方程为________．12．x 2＋(y －1)2＝1 [解析] 由圆C 的圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0，1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.13．[2014·陕西卷] 设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．13.12 [解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.14．猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．14．F ＋V －E ＝2 [解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 所满足的等式是F ＋V －E ＝2.15．[2014·陕西卷] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．图1-3 B ．(几何证明选做题)如图1-3，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．C ．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1的距离是________．15．A.5 B ．3 C ．1 [解析] A ．由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，代入数据，得m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，故m 2＋n 2 的最小值为 5.B ．由题意，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽ACB ，所以AE AC ＝EFBC .因为AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.C ．点⎝⎛⎭⎫2，π6的极坐标可化为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即点⎝⎛⎭⎫2，π6在平面直角坐标系中的坐标为(3，1)．直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ρsin θcos π6－ρcos θsin π6＝1，即该直线在直角坐标系中的方程为x －3y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得所求距离为d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.16．，，[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 16．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.17．[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．图1-417．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知， BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1.由题设，BC ∥平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ， 平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC ， ∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG ， ∴四边形EFGH 是矩形．(2)方法一：如图，以D D (0，0，0)，A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，DA ＝(0，0，1)，BC ＝(－2，2，0)， BA ＝(－2，0，1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵EF ∥AD ，FG ∥BC ， ∴n ·DA ＝0，n ·BC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1，1，0)， ∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA ||n |＝25×2＝105.方法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (0，0，1)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，F (1，0，0)，G (0，1，0)．∴FE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，FG ＝(－1，1，0)， BA ＝(－2，0，1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·FE ＝0，n ·FG ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1，1，0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA ·n |BA →||n |＝25×2＝105.18．，[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.19．，[2014·陕西卷] 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．19．解：(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800.P(X＝4000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”(i＝1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季利润不少于2000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.20．，，[2014·陕西卷] 如图1-5所示，曲线C由上半椭圆C1：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为32.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．图1-520．解：(1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．设C1的半焦距为c，由ca＝32及a2－c2＝b2＝1得a＝2，∴a＝2，b＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根． 由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0）， 得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k 2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分． 21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证． 方法三：如图，⎠⎛0nx x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(陕西卷,解析版)
2014年陕西高考数学试题〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，如此M N =〔 〕.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是〔 〕 .2A π.B π.2C π.4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.定积分1(2)x x e dx+⎰的值为〔 〕.2Ae +.1B e +.C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是〔 〕.2n A a n =.2(1)n B a n =-.2n n C a =1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】Cq a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.底面边长为12为〔 〕32.3A π.4B π.2C π4.3D π【答案】 D 【解析】6.从正方形四个顶点与其中心这5个点中，任取2个点，如此这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔 〕1.5A 4.5D【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===如下函数中，满足“()()()f x y f x f y +=〞的单调递增函数是〔 〕〔A 〕()12f x x = 〔B 〕()3f x x = 〔C 〕()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 〔D 〕()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“假设12,z z 互为共轭复数，如此12z z =〞，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的答案是〔 〕〔A 〕真，假，真 〔B 〕假，假，真 〔C 〕真，真，假 〔D 〕假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，假设i i y x a=+〔a 为非零常数，1,2,,10i =〕，如此12,10,y y y 的均值和方差分别为〔 〕1+,4a 〔B 〕1,4a a ++ 〔C 〕1,4 〔D 〕1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，下降飞行轨迹为某三次函数图像的一局部，如此函数的解析式为〔 〕3131255y x x =- 〔B 〕3241255y x x =- 〔C 〕33125y x x =- 〔D 〕3311255y x x =-+ 【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′= 第二局部〔共100分〕填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分〕.,lg ,24a x a ==如此x =________.【答案】 10 【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以，假设圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，如此圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，假设b a//，如此=θtan _______.【答案】 21【解析】14. 观察分析下表中的数据：多面体 面数〔F 〕 顶点数〔V ) 棱数〔E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜测一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.〔考生注意：请在如下三题中任选一题作答，如果多做，如此按所做的第一题评分〕.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，如此22m n +的最小值为.B 〔几何证明选做题〕如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，假设2AC AE =,如此EF =.C 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】 A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CB EFAC AE ACB AEF ，且相似与C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕 16. 〔本小题总分为12分〕ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； 〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 〔1〕 省略 〔2〕21【解析】 〔1〕C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a〔2〕.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==〔本小题总分为12分〕四面体ABCD 与其三视图如下列图，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.〔I 〕证明：四边形EFGH 是矩形；〔II 〕求直线AB 与平面EFGH 夹角 的正弦值.【答案】 〔1〕 省略 〔2〕510【解析】 〔1〕.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====〔2〕510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><===>=<∴=======∴n AB n AB n AB n AB n FG n FE n z y x n EHGF FG FE AB G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.〔本小题总分为12分〕在直角坐标系xOy 中，点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域〔含边界〕上〔1〕假设0=++PC PB PA ，求OP；〔2〕设),(R n m AC n AB m OP ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 〔1〕 22 〔2〕 m-n=y-x, 1【解析】 〔1〕22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A 〔2〕19.〔本小题总分为12分〕在一块耕地上种植一种作物，每季种植本钱为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：〔1〕设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；〔2〕假设在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.【答案】 〔1〕〔800,0.2〕〔2000,0.5〕〔4000,0.3〕 〔2〕 0.896【解析】 〔1〕3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 的分布列如下表：〔2〕896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X〔本小题总分为13分〕如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y xC a b y a b +=>>≥和局部抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为2.求,a b 的值； 过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q 〔均异于点,A B 〕，假设AP AQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】 〔1〕 a=2,b=1 〔2〕 )1-(38-x y =【解析】 〔1〕14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x y c b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线〔2〕)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过21.〔本小题总分为14分〕 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；假设()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；〔3〕设n N +∈，比拟(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明. 【答案】 〔1〕nx xx g n +=1)( 〔2〕,1](-∞ (3) 前式 > 后式 【解析】〔1〕 +++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx x x g xk x x g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x x xx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，，〔2〕,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x a x x x x a x x x ax x x xax x x x x g x ag x f〔3〕+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a nx h x xx x x h nnnn g g g g nn n n g x x x g。
陕西省2014届高三下学期第一次联考数学(理)试题Word版含解析
陕西省2014届高三下学期第一次联考数学（理）试题考生注意：1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在试卷后面的答题卷上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容，第一部分（共5 0分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）． 1．设2:log f xx 是集合A 到集合B 的映射，若A={l ，2，4}，则对应的集合B 等于A ．{0，1}B ．{0，2}C ．{0，1，2}D ．{1，2} 2．下列函数中，在区间（1，+∞）上是增函数的是A ．1y x =-+B ．11y x=- C ．2(1)y x =--D ．13xy -=3．根据下列算法语句，当输入a=-4时，输出的b 的值为 A ．-8 B ．5 C ．5 D ．84．复数(2)(,z a i i ai =-R 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=-1”是“点M在第四象限”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知空间上的两点A （—1，2，1）、B （—2，0，3），以AB 为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为A ．3B ．C ．9D ．6．函数()f x 满足()(2)13,(1)2,(99)f x f x f f ⋅+==若则等于A ．213B ．132C ．2D ．137．由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字且个位上的数字不能为1的3位数共有 A ．28个 B ．36个 C ．39个 D ．42个8．实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y 的最小值为-2，则实数m 的值为A ．5B ．6C ．7D ．89．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且角A=60°，若ABC S ∆=5sinB=3sinC ，则ABC 的周长等于 A ．B ．14C ．D ．1810．设互不相等的平面向量组(1,2,3,)i a i =，满足①1i a =；②10i i a a +⋅=．若12(2)m m T a a a m =+++≥，则m T 的取值集合为A．B．{C．{D．第二部分（共1 0 0分）二、填空题：把答案填在答题卷中的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）．11．双曲线2214x y m-=的焦距为m= 。
2014高考数学(理科)陕西卷真题答案解析
2014高考数学（理科）陕西卷真题答案解析
举国瞩目的2014高考已结束，新东方在线高考名师团队联合西安新东方高考名师第一时间对2014高考北京物理真题进行了点评，希望能对考生、家长有所帮助，也希望对2015高考考生提供借鉴。
以下是西安新东方高考数学名师对2014陕西高考数学（理科）真题的解析和点评。
[0,1N =考察解不等式及集合的交并补关系
tanθ=1
；
．
5 ; 225a b +=；(a 2222
5
55
ma nb m n a b ++≥
=
=+ ABC ∆，
)
3,1，
平面平面由题设，可知，）由该四面体的三视图解（EH
FG EH BC FG BC EFGH EFGH BC BD ∴∴////,//,//1(2)(0,0,1)(2,2,0)(2,0,1)n z 0
D DA BC BA DA →
→
→
→
→
→
==-=-∴⋅==⎧⎨解法一：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则得
线面平行、垂直性质应用；建立空间坐标系，利用法向量求线面夹角理科18
在直角坐标
m n y x -=-两式相减，得
令y x t -=，由图知，当直线y x t =+过点1，故m n - 的最大值为1.
向量坐标运算；线性规划
的方程.
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(完整版)2014年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•陕西）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1]B．[0，1）C．（0，1]D．（0，1）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．解答：解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选B．点评：本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）（2014•陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可．解答：解：（2x+e x）dx=（x2+e x）=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）A．a n=2n B．a n=2（n﹣1）C．a n=2n D．a n=2n﹣1考点：程序框图；等比数列的通项公式．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．解答：解：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n=2n．故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计；排列组合．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）（2014•陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）xD．f（x）=3x考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．解答：解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选D．点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．解答：解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选：B．点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）（2014•陕西）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答：解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．10．（5分）（2014•陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A．y=﹣x B．y=x3﹣xC．y=x3﹣x D．y=﹣x3+x考点：导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．解答：解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误．故选：A．点评：本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．12．（5分）（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．解答：解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．14．（5分）（2014•陕西）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是F+V﹣E=2．考点：归纳推理．专题：归纳法；推理和证明．分析：通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．解答：解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V ﹣E=2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2故答案为：F+V﹣E=2点评：本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．（不等式选做题）15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．（几何证明选做题）16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；立体几何．分析：证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（坐标系与参数方程选做题）17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin（θ﹣）=1的距离是1．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解答：解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即﹣x+y=1，即x﹣y+2=0，故点（，1）到直线x﹣y+2=0的距离为=1，故答案为：1．点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（12分）（2014•陕西）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC．如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，∴AD∥EF．∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，∴AD∥GH．由平行公理可得EF∥GH．∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，∴BC∥FG．∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，∴BC∥EH．由平行公理可得FG∥EH．∴四边形EFGH为平行四边形．又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH．∴四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）解：解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH∥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，∴MN⊥平面EFGH⊥，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，∵△MEH是等腰直角三角形，∴MN=，又MF=AB=，∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是．解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1．又E为AB中点，∴F，G分别为DB，DC中点．∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．则．设平面EFGH的一个法向量为．由，得，取y=1，得x=1．∴．则sinθ=|cos＜＞|===．点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y ﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21．（12分）（2014•陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．22．（13分）（2014•陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p=，从而y p=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．解答：解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．。
2014年陕西高考理科数学试题及答案
2014年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•陕西）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A ．[0，1]B．[0，1）C．（0，1]D．（0，1）2．（5分）（2014•陕西）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π3．（5分）（2014•陕西）定积分（2x+e x）dx的值为（）A ．e+2B．e+1C．e D．e﹣14．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）A ．a n=2n B．a n=2（n﹣1）C．a n=2n D．a n=2n﹣15．（5分）（2014•陕西）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A ．B．4πC．2πD．6．（5分）（2014•陕西）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A ．B．C．D．7．（5分）（2014•陕西）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A ．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=（）x D．f（x）=3x8．（5分）（2014•陕西）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A ．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假9．（5分）（2014•陕西）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A ．1+a，4B．1+a，4+a C．1，4D．1，4+a10．（5分）（2014•陕西）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A ．y=﹣x B．y=x3﹣x C．y=x3﹣x D．y=﹣x3+x二、填空题目（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2014•陕西）已知4a=2，lgx=a，则x=_________．12．（5分）（2014•陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为_________．13．（5分）（2014•陕西）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=_________．14．（5分）（2014•陕西）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_________．（不等式选做题）15．（5分）（2014•陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为_________．（几何证明选做题）16．（2014•陕西）如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=_________．（坐标系与参数方程选做题）17．（2014•陕西）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsin （θ﹣）=1的距离是_________．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18．（12分）（2014•陕西）△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin （A+C ）；（Ⅱ）若a ，b ，c 成等比数列，求cosB 的最小值．19．（12分）（2014•陕西）如图1，四面体ABCD 及其三视图（如图2所示），过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H ．（Ⅰ）证明：四边形EFGH 是矩形；（Ⅱ）求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．20．（12分）（2014•陕西）在直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （2，3），C （3，2），点P （x ，y ）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n （m ，n ∈R ），用x ，y 表示m ﹣n ，并求m ﹣n 的最大值．21．（12分）（2014•陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg ）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg ）610概率0.40.6（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．22．（13分）（2014•陕西）如图，曲线C 由上半椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0，y≥0）和部分抛物线C 2：y=﹣x 2+1（y≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （均异于点A ，B ），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．23．（14分）（2014•陕西）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），g n+1（x）=g（g n（x）），n∈N+，求g n（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明．2014年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项．解答：解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）．故选B．点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分）考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据微积分基本定理计算即可解答：解：（2x+e x）dx=（x2+e x）=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．4．（5分）考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．解答：解：由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等边数列，∴a n=2n．故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．解答：解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．6．（5分）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计；排列组合．分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．解答：解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C 错．D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选D．点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题．8．（5分）考点：四种命题．专题：阅读型；简易逻辑．分析：根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．解答：解：根据共轭复数的定义，命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴逆命题是假命题；根据否命题与逆命题是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，∴命题的否命题是假命题；逆否命题是真命题．故选：B．点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答：解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．10．（5分）考点：导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式．解解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，下依次特征寻找正确选项：答：A选项，导数为，令其为0解得x=±5，故A正确；B选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故B错；C选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故C错；D选项，导数为，令其为0解得x=±5不成立，故D错．故A．点评：本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用．二、填空题目（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．12．（5分）考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．13．（5分）考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．解答：解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0．∴2tanθ=1，∴tanθ=．故答案为：．点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．14．（5分）考点：归纳推理．专题：归纳法；推理和证明．分析：通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案．解答：解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2．根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立．因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2故答案为：F+V﹣E=2点评：本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．（不等式选做题）15．（5分）考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．（几何证明选做题）16．（2014•陕西）考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3．故答案为：3．点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．（坐标系与参数方程选做题）17．（2014•陕西）考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果．解答：解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得点（2，）即（，1）；直线ρsin（θ﹣）=1即x﹣y=1，即x﹣y﹣2=0，故点（，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离为=1，故答案为：1．点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18．（12分）考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（12分）考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．解答：（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC．如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，∴AD∥EF．∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，∴AD∥GH．由平行公理可得EF∥GH．∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，∴BC∥FG．∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，∴BC∥EH．由平行公理可得FG∥EH．∴四边形EFGH为平行四边形．又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH．∴四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）解：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1．又E为AB中点，∴F，G分别为DB，DC中点．∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．则．设平面EFGH的一个法向量为．由，得，取y=1，得x=1．∴．则sinθ=|cos＜＞|===．点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答磁体的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题．20．（12分）考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值．解答：解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（x﹣1，y﹣1）+（x﹣2，y﹣3）+（x﹣3，y﹣2）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21．（12分）考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X40002000800P0.30.50.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．22．（13分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案．解答：解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p=，从而y p=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．点评：本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题．23．（14分）考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．解答：解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明．①当n=1时，，结论成立．②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证．点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题．祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
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陕西省2014届高三下学期第一次联考数学（理）试题高三数学试卷参考答案(理科)1．C 由题意得B ＝{0，1，2}.2．B 由题意可知：函数y ＝11－x 在(1，＋∞)上是增函数．3．A 因为a ＝－4<3，所以b ＝a －4＝－4－4＝－8.4．A ∵z ＝(a －2i)i ＝2＋a i ，∴当a ＜0时，点M 在第四象限，∴“a ＝－1”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件．5．D |AB |＝1＋4＋4＝3，设正方体的棱长为a ，则3a ＝3，解得a ＝3，所以正方体的体积为3 3. 6．B 因为f ()x ·f ()x ＋2＝13，所以f (x ＋2)＝13f （x ），解得函数f (x )周期为4，f (99)＝f (3)＝13f （1）＝132.7．C 由0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的3位数有C 14A 24个，其中个位上的数字为1的3位数有C 13C 13个，则所求3位数有C 14A 24－C 13C 13＝39个．8．D 先做⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由z ＝x －y 得y ＝x －z 可知，直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线为y ＝x －(－2)＝x ＋2，作出直线y ＝x ＋2，交y ＝2x －1于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x ＋y ＝m 也过A 点，由⎩⎨⎧y ＝2x －1y ＝x ＋2，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝5，代入x ＋y ＝m 得，m ＝3＋5＝8.9．A ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝1543，∴bc ＝15.又5sin B ＝3sin C ，根据正弦定理得5b ＝3c .由⎩⎨⎧bc ＝15，5b ＝3c ，解得b ＝3，c ＝5，∴由余弦定理得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝19，∴△ABC 的周长为8＋19. 10．D 由题知a 1⊥a 2，a 2⊥a 3，a 3⊥a 4，则a 1＝－a 3，a 2＝－a 4，a 1⊥a 4，且i 的最大值为4.T 2m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )2＝∑mi ＝1 a 2i ＋2(a 1·a 2＋a 1·a 3＋…＋a m －1·a m ) ＝m ＋2(a 1·a 2＋a 1·a 3＋…＋a m －1·a m )．若m ＝2时，T 2m ＝2，T m ＝2；若m ＝3时，T 2m ＝1，T m ＝1；若m ＝4时，T 2m ＝0，T m ＝0.11．4 由题可知c ＝22，∴m ＝c 2－a 2＝8－4＝4. 12．2 由通项公式得常数项为(－2)4·C 45a ＝160，解得a ＝2. 13.6＋635＝6635由前三个式子归纳的规律为n ＋nn 2－1＝n nn 2－1，所以第五个式子为6＋635＝6635. 14．22－2 设AB ＝x ，DP ＝y ，BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因x >2－x ，故1<x <2，因△ADP ≌△CB ′P ，故P A ＝PC ＝x －y .由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2⇒y ＝2(1－1x )，1<x <2，记△ADP 的面积为S 1，则S 1＝(1－1x )(2－x )＝3－(x ＋2x )≤3－22，当且仅当x ＝2∈(1，2)时，S 1取得最大值，此时长方形ABCD的面积S 2＝x (2－x )＝2(2－2)＝22－2.15.A ．[2，＋∞) f (x )＝|x －1|＋|x －3|≥|(x －1)－(x －3)|＝2. B. 43如图，连结BC ，BE ，则∠1＝∠2，∠2＝∠A ，∴∠A ＝∠1，又∠B ＝∠B ，∴△CBF ∽△ABC ，∴CB AB ＝BF BC ，CB AB ＝CFAC，代入数值得BC ＝2，AC ＝4，又由平行线等分线段定理得AC CD ＝AF FB ，解得CD ＝43. C. 14 把曲线⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，把直线的极坐标方程θ＝π4(ρ∈R )转化为直角坐标方程为y ＝x ，圆心到直线的距离为d ＝|1－2|2＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝14.16．解：(1)由题意，得m·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx2＝sin(2ωx ＋π6)＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π， 又ω＞0，所以ω＝13.(5分)(2)由(1)知f (x )＝sin(23x ＋π6)＋12，∵x ∈(－π，π)，∴－π2＜23x ＋π6＜5π6，当－π2＜23x ＋π6＜π2，即－π＜x ＜π2时，函数f (x )单调递增；当π2≤23x ＋π6＜5π6，即π2≤x ＜π时，函数f (x )单调递减． 综上可知，函数f (x )在(－π，π2)上单调递增，在[π2，π)上单调递减．(12分)17．解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1+(m ＋n －2)d ， a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d ＝2a 1+ (p ＋q －2)d ，又m ＋n ＝p ＋q ，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .(6分) (2)当n ＝1时，b 1＝S 1＝A ＋B ＋C ；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn ＋C －[A (n －1)2＋B (n －1)＋C ]＝2An －A ＋B ，即当n ≥2时，数列{b n }的通项公式为b n ＝2An －A ＋B ，当n ＝1时，b 1＝A ＋B ＋C ≠A ＋B ，所以数列{b n }不是等差数列．(12分)18．(1)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，可得△ABC 为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为P A ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ，所以P A ⊥AE . 而P A 平面P AD ，AD 平面P AD 且P A ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面P AD . (4分)(2)解：设AB ＝2，H 为PD 上任意一点，连结AH ，EH .由(1)知AE ⊥平面P AD ，则∠EHA 为EH 与平面P AD 所成的角． 在Rt △EAH 中，AE ＝3，所以当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大．此时tan ∠EHA ＝AE AH ＝3AH ＝3，因此AH =1.又AD ＝2，所以∠ADH ＝30°，所以P A ＝AD tan 30°＝233.(8分) (法一)因为P A ⊥平面ABCD ，P A 平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面ABCD . 过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连结ES ，则∠ESO 为二面角E －AF －C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32. 又F 是PC 的中点，如图,PC ＝P A 2＋AC 2＝433，∴AF ＝12PC ＝233，sin ∠SAO ＝AFFK ＝12，在Rt △ASO 中，SO ＝AO ·sin ∠SAO ＝34，所以SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋916＝214， 在Rt △ESO 中，cos ∠ESO ＝SO SE ＝34214＝217，即所求二面角的余弦值为217.(12分)(法二)由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0，0，0)，B (3，－1，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，33)， 所以AE →＝(3，0，0)，AF →＝(32，12，33)．设平面AEF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝0，32x 1＋12y 1＋33z 1＝0.取z 1＝－1，则m ＝(0，233，－1)，因为BD ⊥AC ，BD ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ，故BD →为平面AFC 的一个法向量． 又BD →＝(－3，3，0)，所以cos 〈m ，BD →〉＝m ·BD →|m ||BD →|＝2373×12＝217.因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为217.(12分) 19．解：(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A .易知第一次取到偶数球的概率为24＝12，第二次取球时袋中有三个奇数，所以第二次取到奇数球的概率为34，而这两次取球相互独立，所以P (A )＝12×34＝38.(6分)(2)若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球； 若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．所以X 的可能取值为3，5，6，7，所以P (X ＝3)＝12×14＝18，P (X ＝5)＝12×24＋12×14＝38，P (X ＝6)＝12×14＋12×14＝14，P (X ＝7)＝12×24＝14，所以X 的分布列为数学期望EX ＝3×18＋5×38＋6×14＋7×14＝112.(12分)20．解：(1)由题意知点(3，－1)在椭圆C 上，即9a 2＋1b 2＝1, ①又椭圆的离心率为63，所以c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝(63)2＝23，②联立①②可解得a 2＝12，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(5分)(2)因为直线l 的方程为x ＝－22，设P (－22，y 0)，y 0∈(－233，233)， 当y 0≠0时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然x 1≠x 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2112＋y 214＝1，x 2212＋y 224＝1，则x 21－x 2212＋y 21－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2，又PM ＝PN ，即P 为线段MN 的中点， 故直线MN 的斜率为－13·－22y 0＝223y 0，又l ′⊥MN ，所以直线l ′的方程为y －y 0＝－3y 022(x ＋22)， 即y ＝－3y 022(x ＋423)，显然l ′恒过定点(－423，0)； 当y 0＝0时，直线MN 即x ＝－22，此时l ′为x 轴亦过点(－423，0)． 综上所述，l ′恒过定点(－423，0)．(13分) 21．解：(1)f (x )＝x 2＋2x －4ln x (x ＞0)， f ′(x )＝2x ＋2－4x ＝2（x ＋2）（x －1）x ，当x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝3.（4分）(2)f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax，若f (x )在(0，1)上单调递增，则2x 2＋2x ＋a ≥0在x ∈(0，1)上恒成立⇒a ≥－2x 2－2x 恒成立， 令u ＝－2x 2－2x ，x ∈(0，1)，则u ＝－2(x ＋12)2＋12，∴a ≥0.若f (x )在(0，1)上单调递减，则2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0，1)上恒成立⇒a ≤－2x 2－2x 恒成立， 故a ≤－4.综上，a 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞).（8分）(3)(2t －1)2＋2(2t －1)＋a ln(2t －1)≥2t 2＋4t ＋2a ln t －3恒成立⇒a [ln(2t －1)－2ln t ]≥－2t 2＋4t －2⇒a [ln(2t －1)－ln t 2]≥2[(2t －1)－t 2]．当t ＝1时，不等式显然成立，当t ＞1时，t 2－(2t －1)＝t 2－2t ＋1＝(t －1)2＞0⇒t 2＞2t －1⇒ln t 2＞ln(2t －1) ⇒a ≤2[（2t －1）－t 2]ln （2t －1）－ln t 2在t ＞1时恒成立．令u ＝2[（2t －1）－t 2]ln （2t －1）－ln t 2，即求u 的最小值．设A (t 2，ln t 2)，B (2t －1，ln(2t －1))，则k AB ＝ln （2t －1）－ln t 2（2t －1）－t 2，且A 、B 两点在g (x )＝ln x 的图像上，又∵t 2＞1，2t －1＞1，故0＜k AB ＜g ′(1)＝1，∴u ＝2·1k AB＞2，故a ≤2，即实数a 的取值范围是(－∞，2].（14分）。