2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第4章-第3节平面向量的数量积
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2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第4章-第5节数系的扩充与复数的引入
(1)已知 0<a<2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则|z|的 取值范围是( A．(1，5) C．(1， 5) ) B．(1，3) D．(1， 3)
(2)设复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为－ z ＝a－bi， 则 z－－ z 为( A．实数 C．0 ) B．纯虚数 D．零或纯虚数
2－a＝0， 1＋ai ∵ 是纯虚数，且 a∈R，∴ ∴a＝2. 2－i 2a＋1≠0，
【答案】 (1)A (2)A
【小结归纳】 (1)复数的分类与对应点的位置都可以从复数 z 的实部、 虚部两个方面施加影响，因此只需把复数化为代数形式，进 而列出实部、虚部满足的方程(不等式)组． (2)利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化， 解 题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式.
（1－i）2 5． 已知 ＝1＋i(i 为虚数单位)， 则复数 z＝( z A．1＋i C．－1＋i B．1－i D．－1－i
)
（1－i）2 －2i －2i（1－i） 解析：z＝ ＝ ＝ ＝ 1＋i 1＋i （1＋i）（1－i） －2（i＋1） ＝－1－i. 2
答案：D
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
2．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3 ∈C，有 z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________．
答案 1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (2)(a－c)＋(b－d)i ac＋bd bc－ad (3)(ac－bd)＋(ad＋bc)i (4) 2 2＋ 2 2i c ＋d c ＋d 2．z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
解析：(1)由题意，z＝a＋i，故|z|＝ a2＋1， ∵0<a<2，∴1<a2＋1<5， 从而 1< a2＋1< 5，即 1<|z|< 5. (2)∵z－－ z ＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi， 当 b＝0 时，z－－ z 为 0；当 b≠0 时，z－－ z 为纯虚数．
2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第7章-第7节-第1课时证明平行与垂直
2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，a 与 n 的夹角为 β.则 sinθ ＝|cosβ | ＝________．
3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝__________．
必考部分
第七章
立体几何
第七节
立体几何中的向量方法
[考纲考情 ] 1. 能用向量方法证明有关直线和平面关系 的一些定理． 2．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面 与平面的夹角的计算问题． 了解向量方法在研究立体几何问 题中的应用．
主干知识· 整合
热点命题· 突破 课时作业
主干知识·整合 01
2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2， 则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)⇔________． (2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个不共 线向量 v1 和 v2， 则 l∥α 或 l⊂α ⇔_____________________. (3)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l∥α 或 l⊂α ⇔______． (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1，u2，则 α∥β⇔ ______．
答案：B
4．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方 向向量分别是 a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，那么这条斜线 与平面所成的角是( A．90° C．45° ) B．30° D．60°
1 1 解析：∵cos〈a，b〉＝ ＝ ，又∵〈a，b〉∈[0， 2· 2 2 π]， ∴〈a，b〉＝60°.
全国通用2018高考数学大一轮复习第八篇平面解析几何第3节椭圆课件理
4.(2016·广东肇庆三模)直线 l:x-2y+2=0 过椭圆 x2 y2 =1(0<b< 5 b2
5 )的
一个顶点,则该椭圆的离心率为( D )
(A) 1 5
(B) 2 5
(C) 5 (D) 2 5
5
5
解析:由题意知,椭圆
x2 5
y2 b2
=1(0<b<
5 )的焦点在 x 轴上,顶点分别为
(± 5 ,0),(0,±b), 在 x-2y+2=0 中,令 x=0,得 y=1,
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准 方程
x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围
对称性
顶点
轴 焦点 焦距 离心率 a,b,c 的关系
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
|x|≤b;|y|≤a
1.(2016·山西康杰中学等四校联考)“m>0”是“方程 x2 y2 =1 表示椭 4m
圆”的( B ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析:“方程 x2 y2 =1 表示椭圆”等价于“m>0 且 m≠4”,因为“m>0” 4m
是“m>0 且 m≠4”的必要不充分条件.故选 B.
所以 m-3>0 且 4-m>0 且 m-3>4-m,所以 7 <m<4.故选 D. 2
(3)(2015·黑龙江哈尔滨三中三模)椭圆 x2 + y 2 =1 的左、右焦点分别为 92
2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第4章-第2节平面向量基本定理及坐标表示
(5)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可 x1 y1 表示成 ＝ .( x2 y2 )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．下列各组向量：①e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)；②e1 1 3 ＝(3，5)，e2＝(6，10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(2，－4)，能 作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( A．① C．②③ B．①③ D．①②③ )
答案 1．(x1±x2，y1±y2) 2.(x2－x1，y2－y1) 3．(λx，λ y) 4.x1y2＝x2y1
―→ 4．(2015· 课标Ⅰ卷)已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量 AC ―→ ＝(－4，－3)，则向量 BC ＝( A．(－7，－4) C．(－1，4) ) B．(7，4) D．(1，4)
2 1 答案：3 －3
平面向量的坐标运算
1 ． 若 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， 则 a± b＝ ____________________； 2． 若 A(x1， y1 ) ， B(x2， y2)， 则 AB―→＝______________； 3．若 a＝(x，y)，则 λa＝________； 4．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔__________．
―→
―→
1．判断正误 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( (2)在△ABC 中，向量 AB ， BC 的夹角为∠ABC.( ) )
―→ ―→
(3)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2， μ 1＝μ2.( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内 的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( )
2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第3章-第5节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
，π
上的简图是
π 3 解析：令 x＝0 得 y＝sin(－ 3 )＝－ 2 ，排除 B，D. π π 由 f(－ 3 )＝0，f( 6 )＝0，排除 C.
答案：A
函数 y＝sinx 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤)
答案 |φ | φ | | ω
3．(2015· 山东卷)要得到函数 需将函数 y＝sin4x 的图象( π A．向左平移12个单位 π C．向左平移 3 个单位 )
π y＝sin B．向右平移12个单位 π D．向右平移 3 个单位
解析：由 y＝sin4x 得到
π y＝sin4x－ ，根据“左加右 12
π 减”的平移规律，只需将 y＝sin4x 的图象向右平移 个单 12 位．
答案：B
π 4． 将函数 y＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动10个 单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变)，所得图象的函数解析式是________．
π 解析：将 y ＝sinx 的图象向右平移 10个单位得到 y ＝
π sinx－ 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 的图象， 10
【解】 又
2π (1)∵T＝ ＝π，ω＝2，
ω
π π f ＝cos2× ＋φ ＝ 4 4
3 3 ，∴sinφ＝－ ， 2 2
π π 又－ <φ<0，∴φ＝－ . 2 3
(2)由(1)得
π f(x)＝cos2x－ ，列表： 3
ω x＋φ y＝Asin(ωx＋φ)
答案 0－φ ω π －φ 2 ω
1．用五点法作函数
π y＝sinx－ 6
2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第8章-第3节圆的方程
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．(2015· 北京卷)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 ( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：由题意，圆的半径为 2，故圆的方程为 (x－1)2 ＋(y－1)2＝2.
答案：(－1，1)
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
求圆的方程
【例 1】
根据下列条件求圆的方程：
(1)已知圆经过 A(2，－3)，B(－2，－5)，若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，则圆的标准方程是________． (2)已知△ABC 的三个顶点分别为 A(－1，5)，B(－2， －2)，C(5，5)，则其外接圆的一般方程是________．
(2)解法 1：设所求的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0， －D＋5E＋F＋26＝0， D＝－4， 则由题意有－2D－2E＋F＋8＝0，解得E＝－2， 5D＋5E＋F＋50＝0， F＝－20， 故所求的圆的一般方程为 x2＋y2－4x－2y－20＝0.
解法 2： 由题意可求得 AC 的垂直平分线的方程为 x＝2， BC 的垂直平分线的方程为 x＋y－3＝0， ∴两条垂直平分线的交点为(2，1)， 即圆心 P(2，1)， ∴半径 r＝|AP|＝ （2＋1）2＋（1－5）2＝5， ∴所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25， 即 x2＋y2－4x－2y－20＝0.
(1)若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x －3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是( A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 )
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：18-平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
=
������ 成 |������|
������ ������ ������ ,则向量 与 是方向相同的单位向量,所 |������| |������| |������| ������ ������ b 共线同向,即使 = 成立的充分条件为选项 C. |������| |������|
������ |������|
考点40
考点41
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
1.向量的线性运算
向量运算 定 义 求两个向 量和的运 算 求a与b 的相反向 量-b 的 和的运算 叫做 a 与 b 的差 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律: a+b=b+a; (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c)
加法
减法
a-b=a+(-b) 三角形法则
专题十八
平面向量的概念及线性运算、 平面向量的基本定理
向量方法是一种全新的证明方法和解题手段,平面向量的线性运算 和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面向量知识一般不会在解答 题中独自命题,但是可能会与平面几何、三角函数、数列、导数等 结合在一起考查.在选择题中,经常出现在平面图形中已知部分几 何量求解平面向量的夹角与数量积等问题,而且往往这一部分题目 比较复杂,难以找到突破口,有较大难度,需要我们利用向量方法进 行解题.
=
2.(2015课标Ⅱ,理13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,��� = ������, 【解析】 由题意知存在常数 t∈R,使 λa+b=t(a+2b),得 解之 1 = 2������, 1 得 λ= .
2
1 2
考点40
2018-2019高考新课标数学(理)大一轮复习讲义课件：第9章-第1节算法初步
答案：C
2．(2015· 天津卷)阅读如图的程序框图，运行相应的程 序，则输出 S 的值为( )
A．－10 C．14
B．6 D．18
解析：第一次循环得：i＝2，S＝20－2＝18；第二次循 环得：i＝4，S＝18－4＝14；第三次循环得：i＝8，S＝14 －8＝6，此时满足判断框内的条件，输出 S 的值为 6.
【答案】 C
【小结归纳】 (1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功 能， 然后根据“是”的分支成立的条件进行判断； (2) 对条件结构， 无论判断框中的条件是否成立， 都只能 执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支.
(2015· 课标全国卷Ⅱ) 如图程序框图的算法思路源于我 国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该 程序框图， 若输入的 a， b 分别为 14， 18， 则输出的 a＝( )
答案 1．若干个依次执行的步骤 3．循环体
1．①算法可以无限的操作下去； ②算法的每一步操作必须是明确的、可行的； ③一个程序框图一定包含顺序结构； ④一个程序框图不一定包含条件结构和循环结构． 以上说法正算法必须在有限步操作后停止，所以①不正确； 算法的每一步操作都是明确的、可行的，所以②正确；一个 程序框图一定包含顺序结构， 但不一定包含条件结构和循环 结构，所以③与④都正确．
答案：B
3．(2015· 北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为( )
A．3 C．5
B．4 D．6
1 3 解析：执行程序框图：a＝3×2＝2， 3 1 k＝0＋1＝1， < 不成立； 2 4 3 1 3 3 1 a＝2×2＝4，k＝1＋1＝2，4<4不成立； 3 1 3 3 1 a＝ × ＝ ，k＝2＋1＝3， < 不成立； 4 2 8 8 4 3 1 3 3 1 a＝8×2＝16，k＝3＋1＝4，16<4成立，结束循环，输 出 k 的值为 4，故选 B. 答案：B
2．(2015· 天津卷)阅读如图的程序框图，运行相应的程 序，则输出 S 的值为( )
A．－10 C．14
B．6 D．18
解析：第一次循环得：i＝2，S＝20－2＝18；第二次循 环得：i＝4，S＝18－4＝14；第三次循环得：i＝8，S＝14 －8＝6，此时满足判断框内的条件，输出 S 的值为 6.
【答案】 C
【小结归纳】 (1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功 能， 然后根据“是”的分支成立的条件进行判断； (2) 对条件结构， 无论判断框中的条件是否成立， 都只能 执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支.
(2015· 课标全国卷Ⅱ) 如图程序框图的算法思路源于我 国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该 程序框图， 若输入的 a， b 分别为 14， 18， 则输出的 a＝( )
答案 1．若干个依次执行的步骤 3．循环体
1．①算法可以无限的操作下去； ②算法的每一步操作必须是明确的、可行的； ③一个程序框图一定包含顺序结构； ④一个程序框图不一定包含条件结构和循环结构． 以上说法正算法必须在有限步操作后停止，所以①不正确； 算法的每一步操作都是明确的、可行的，所以②正确；一个 程序框图一定包含顺序结构， 但不一定包含条件结构和循环 结构，所以③与④都正确．
答案：B
3．(2015· 北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为( )
A．3 C．5
B．4 D．6
1 3 解析：执行程序框图：a＝3×2＝2， 3 1 k＝0＋1＝1， < 不成立； 2 4 3 1 3 3 1 a＝2×2＝4，k＝1＋1＝2，4<4不成立； 3 1 3 3 1 a＝ × ＝ ，k＝2＋1＝3， < 不成立； 4 2 8 8 4 3 1 3 3 1 a＝8×2＝16，k＝3＋1＝4，16<4成立，结束循环，输 出 k 的值为 4，故选 B. 答案：B
2018-2019学年高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习课件：第一章 第一节 集合
知识点三
关系
相等
同
______ A＝B
知识点二
知识点一
必记结论
若集合 A 中有 n 个元素，则其子集个数为
知识点二
2n，真子集个数为 2n－1，非空真子集的个数为 2n－2. 易误提醒 易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要
知识点三
忘了空集和它本身．
知识点二
知识点一
[自测练习]
2．已知集合 A＝{x|x＝a＋(a2－ 1)i}(a∈R，i 是虚数单位)，若 A
知识点三
知识点一
易误提醒 心．
运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空
知识点二
必记结论
UA)∩(∁UB)．
∁ U(A∩B) ＝ ( ∁ UA) ∪ (∁ UB) ， ∁ U(A∪ B) ＝ ( ∁
知识点三
知识点三
4． (2015· 广州一模)已知全集 U＝
知识点一
试题
解析
{1,2,3,4,5}，集合 M＝{3,4,5}，N ＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示
知识点一
知识点一
[自测练习]
试题
解析
1．已知 a∈R，若{－1,0,1} ＝
1 ， a2， 0 a
1 2 ≠ 0 ， a ≠ 0 ， a ≠ － 1 ，只 a 有 a2＝1. 1 当 a＝1 时，a＝1，不满足 互异性，∴a＝－1.
知识点二
，则 a＝
－1 ________.
知识点三
M∩N＝{5}，A 错误；∁UM ＝{1,2}，(∁UM)∩N＝{1,2}， B 正确； ∁UN＝{3,4}， M∩(∁
UN) ＝ {3,4} ， C
知识点二
(B ) A．M∩N
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第四篇 平面向量
第 1节
平面向量的概念及线性运算
最新考纲
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量 相等的含义. 3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,理解 其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意
义,理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几 何意义.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
解析:①不正确,a与b方向不一定相同,②正确;③正确;④a与b方向相反 时,命题不成立;⑤当b=0时,命题不成立.
4.如图,在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点.若 AD = AB + AC ,则λ +μ = .
解析:因为 D 是 BC 上任意一点,即 D,B,C 三点共线, 又 AD = AB + AC ,则λ+μ=1.
数 乘
4.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使得 b=λ a .
【重要结论】
A,B,C 三点共线,O 为 A,B,C 所在直线外任一点,则 OA = OB + OC 且λ +μ =1.
对点自测
1.如图,已知D,E,F分别是△ABC的边BC,AB,AC的中点,则下列说法正确的 是( A .
3.给出下列命题. ①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“ AB = DC ”是“四边形 ABCD 为平行四 边形”的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且 a∥b”; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中真命题的序号是( A ) (A)②③ (B)①② (C)③④ (D)④⑤
1 3 1 3 所以 AC = AB + AD ,则 m= ,n= , 2 2 2 2 1 3 所以 m-n= - =-2. 2 2 答案: -2
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―→ ―→
)
【解析】
―→
AB ＝(2，1)， CD ＝(5，5)，由定义知 AB
―→
―→
在 CD 方向上的投影为
―→
―→ ―→
AB · CD | CD |
―→
15 3 2 ＝ ＝ 2 . 5 2
【答案】 A
3 已知|a|＝2，向量 a 与 b 的夹角是4π ，则 a 在 b 上的投 影是________．
2 2 2 ≤ x2 ＋ y · x ＋ y 1 1 2 2.
2．平面向量数量积的运算律 (1)a· b＝b· a(交换律)． (2)λa· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(结合律)． (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c(分配律)．
4．判断正误 (1)(a· b)· c＝a· (b· c) ．( ) )
答案：D
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方向上的投影为________．
解析：b 在 a 方向上的投影为 1 3 |b|cos120°＝3×(－2)＝－2.
3 答案：－2
平面向量数量积的运算律与性质
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹 角． (1)数量积：a· b＝|a||b|cosθ ＝x1x2＋y1y2.
答案 1．|a||b|cБайду номын сангаасsθ 2．|a|cosθ 3．|b|cosθ |a||b|cosθ
1．判断正误 (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向 量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数 乘运算的运算结果是向量．( )
.(
π (3)两个向量的夹角的范围是0， 2
―→ ―→
―→ ―→
―→ ―→
3 2 ＝ a. 2
BD · CD ＝| BD |· | CD |cos〈 BD ， CD 〉＝ 3a2cos30°
―→ ―→
―→ ―→
【答案】 D
(2016· 河北邢台模拟)在△ABC 中，AB＝AC＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边 AB 上的高，则 CD ·CB ＝( 9 A．－4 27 C. 4 9 B.4 27 D．－ 4
考向 1 平面向量数量积的定义 【例 1】 (2015· 山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a，
∠ABC＝60°，则 BD · CD ＝( 3 2 A．－2a 3 2 C.4a
―→ ―→
)
3 2 B．－4a 3 2 D.2a
【解析】 由题意可知〈 BD ， CD 〉＝〈 BD ， BA 〉 ＝30°，在△BCD 中，|BD| ＝ |BC|2＋|CD|2－2|BC|· |CD|cos120° ＝ 3 a ， 所 以
)
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．等边三角形 ABC 的边长为 1， BC ＝a， CA ＝b，
―→
―→
―→
AB ＝c，那么 a· b＋b· c＋c· a 等于( A．3 B．－3 3 C.2
) 3 D．－2
解析：由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且 a 与 b 的夹角为 120 °，b 与 c 的夹角为 120°，c 与 a 的夹角也为 120°.故 a· b 3 ＋b· c＋c· a＝－ . 2
主干知识· 整合
热点命题· 突破 课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
平面向量的数量积
1．数量积的定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的 夹角为 θ，则数量____________叫做 a 与 b 的数量积，记作 a· b，即 a· b＝____________． 2．向量的投影：设 θ 为 a 与 b 的夹角，则______(|b|cos θ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的投影． 3．数量积的几何意义：数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影________的乘积．
(2)a· b＝a· c(a≠0)，则 b＝c.(
答案：(1)× (2)×
5．(2015· 重庆卷)已知非零向量 a，b 满足|b|＝4|a|，且 a⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( π A. 3 2π C. 3 π B. 2 5π D. 6 )
解析：因为 a⊥(2a＋b)，所以 a· (2a＋b)＝0，得到 a· b
2 (2)模：|a|＝ a· a＝ x1 ＋y2 1.
x1x2＋y1y2 a· b (3)夹角：cosθ ＝ ＝ 2 2 2 2. |a||b| x1＋y1· x2＋y2
(4)两非零向量 a⊥b 的充要条件：a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝ 0. (5)|a· b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|
必考部分
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第三节
平面向量的数量积
[考纲考情 ] 1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意 义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积 的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系．
2 － 2| a | a · b ＝－2|a|2，设 a 与 b 的夹角为 θ，则 cosθ＝ ＝ ＝ |a||b| 4|a|2
2π 1 －2，又 0≤θ≤π，所以 θ＝ 3 ，故选 C.
答案：C
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
平面向量的数量积及运算
平面向量数量积的定义、 几何性质及运算是高考的热点 内容，它主要涉及以下三方面内容：
3 2 解析：a 在 b 上的投影是|a|cos4π＝2×－ ＝－ 2. 2
―→ ―→
)
解析：在△ABC 中，AB＝AC＝3， ∠BAC＝30°，CD 是边 AB 上的高， 3 ―→ ―→ 则有 CD＝AC· sin30°＝2.∴ CD ·CB ＝| CD |· | CB |·cos∠BCD＝ CD ＝4. 故选 B.
―→ ―→
―→2 9
答案：B
考向 2 平面向量数量积的几何意义 【例 2】 已知点 A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)， D(3，4)，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为( 3 2 A. 2 3 2 C．－ 2 3 15 B. 2 3 15 D．－ 2