梯形的性质与判别、中位线

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梯形的定义和性质

梯形的定义和性质梯形是我们在数学学习中经常会遇到的一种几何图形。

那什么是梯形呢？梯形是指只有一组对边平行的四边形。

在这组对边中，通常较长的一条边被称为下底，较短的一条边被称为上底，另外两条不平行的边被称为腰。

梯形有着许多独特的性质，让我们一起来深入了解一下。

首先，梯形的内角和是 360 度。

这一点和所有的四边形是一样的。

因为任意一个四边形都可以分成两个三角形，而一个三角形的内角和是 180 度，所以四边形的内角和就是 360 度。

梯形的面积计算公式为：（上底＋下底）×高 ÷ 2 。

为什么是这样的计算公式呢？我们可以想象把两个完全相同的梯形拼接在一起，就会得到一个平行四边形。

这个平行四边形的底就是梯形的上底与下底之和，高与梯形的高相同。

而平行四边形的面积是底乘以高，所以一个梯形的面积就是这个平行四边形面积的一半，即（上底＋下底）×高 ÷ 2 。

梯形的两条腰的长度不一定相等。

但有一种特殊的梯形，叫做等腰梯形，它的两条腰长度相等。

等腰梯形除了具有梯形的一般性质外，还有一些独特的性质。

比如，等腰梯形的两个底角相等，两条对角线也相等。

我们再来说说梯形的中位线。

梯形的中位线是连接梯形两腰中点的线段。

梯形中位线的长度等于（上底＋下底）÷ 2 。

这个性质在解决很多与梯形相关的问题时非常有用。

在实际生活中，梯形也有很多的应用。

比如，我们常见的梯形堤坝，其横截面就是一个梯形。

通过梯形的面积计算，可以帮助工程师们准确地计算出所需的建筑材料数量。

在数学解题中，经常会遇到需要判断一个图形是否为梯形，或者利用梯形的性质来求解相关问题。

例如，已知一个梯形的上底、下底和高，求面积；或者已知梯形的面积、上底和下底，求高；又或者已知梯形的一些角度关系和边长，求其他未知量。

对于梯形的判定，除了要满足只有一组对边平行这个基本条件外，还需要注意一些细节。

比如，有时候图形看起来像是梯形，但需要仔细检查对边是否真的平行。

中考数学总复习基础讲练第20讲梯形(含答案点拨) 新人教版

考纲要求命题趋势1．了解梯形的有关概念与分类，掌握梯形的性质，会进行梯形的有关计算．2．掌握等腰梯形的性质与判定．3．能灵活添加辅助线，把梯形问题转化为三角形、平行四边形的问题来解决.等腰梯形的性质和判定是中考考查的内容，实际问题中往往和特殊三角形、特殊四边形的知识结合在一起综合运用.知识梳理一、梯形的有关概念及分类1．一组对边平行，另一组对边不平行的________叫做梯形．平行的两边叫做______，两底间的________叫做梯形的高．2．________相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3．梯形的分类：梯形⎩⎨⎧一般梯形特殊梯形⎩⎪⎨⎪⎧直角梯形等腰梯形4．梯形的面积＝12(上底＋下底)×高＝中位线×高．二、等腰梯形的性质与判定1．性质：(1)等腰梯形的两腰相等，两底平行．(2)等腰梯形同一底上的两个角________．(3)等腰梯形的对角线________．(4)等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．2．判定：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)同一底上的两个角相等的________是等腰梯形．(3)对角线相等的________是等腰梯形．三、梯形的中位线1．定义：连接梯形两腰________的线段叫做梯形的中位线．2．性质：梯形的中位线平行于两底，且等于________的一半．四、梯形问题的解决方法梯形问题常通过――→转化辅助线三角形问题或平行四边形问题来解答，转化时常用的辅助线有：1．平移一腰，即从梯形的一个顶点作另一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形．2．过顶点作高，即从同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个直角三角形．3．平移一条对角线，即从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形．4．延长梯形两腰使它们相交于一点，把梯形转化成三角形．5．过一腰中点作辅助线．(1)过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形；(2)连接一底的端点与一腰中点，并延长与另一底的延长线相交，把梯形转化成三角形．自主测试1．若等腰梯形ABCD的上底长AD＝2，下底长BC＝4，高为2，那么梯形的腰DC的长为( )A．2 B． 3 C．3 D． 52．如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A→M→N→C的小路(M，N分别是AB，CD中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )A．7米 B．6米 C．5米 D．4米3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论中，错误的是( )A．∠ADE＝∠CDEB．DE⊥ECC．AD·BC＝BE·DED．CD＝AD＋BC4．已知梯形的上底长为2，下底长为5，一腰长为4，则另一腰长x的取值范围是__________．考点一、一般梯形的性质【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD＝CD，∠BDC＝90°，AD＝3，BC＝8，求AB的长．解：如图，作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.∴AE∥DF，∠AEF＝90°.∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD＝3，AE＝DF.∵BD ＝CD ，DF ⊥BC ，∴DF 是△BDC 边BC 上的中线．∵∠BDC ＝90°，∴DF ＝12BC ＝BF ＝4.∴AE ＝4，BE ＝BF －EF ＝4－3＝1.在Rt △ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2，∴AB ＝42＋12＝17.方法总结遇到梯形问题，一般情况下通过作腰或对角线的平行线、高线、连对角线、延长两腰转化为三角形、平行四边形、直角三角形、矩形等问题来解决．触类旁通1 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，E ，F 两点在边BC 上，且四边形AEFD 是平行四边形．(1)AD 与BC 有何等量关系？请说明理由．(2)当AB ＝DC 时，求证：四边形AEFD 是矩形．考点二、等腰梯形的性质与判定【例2】如图，在等腰△ABC 中，点D ，E 分别是两腰AC ，BC 上的点，连接AE ，BD 相交于点O ，∠1＝∠2.(1)求证：OD ＝OE ；(2)求证：四边形ABED 是等腰梯形．分析：(1)根据已知条件可知利用全等三角形证明BD ＝AE ，根据∠1＝∠2可以证明OA ＝OB ，根据等式性质可知OD ＝OE ；(2)先证明四边形ABED 是梯形，然后证明两腰相等即可．证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AC ＝BC . ∴∠BAD ＝∠ABE .又∵AB ＝BA ，∠2＝∠1，∴△ABD ≌△BAE ，∴BD ＝AE . 又∵∠1＝∠2，∴OA ＝OB .∴BD －OB ＝AE －OA ，即OD ＝OE .(2)由(1)知，OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE .∴∠OED ＝12(180°－∠DOE )．同理，∠1＝12(180°－∠AOB )．∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB . ∵AD 不平行于BE ，∴四边形ABED 是梯形， ∵AE ＝BD ，∴梯形ABED 是等腰梯形．方法总结在证明一个四边形是等腰梯形时，必须先证明它是梯形，然后再通过两腰相等或同一底上的两个角相等，或者是对角线相等来证明梯形是等腰梯形．触类旁通2 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，M ，N 分别为AO ，DO 的中点，四边形BCNM是等腰梯形吗？为什么？考点三、有关梯形的计算【例3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B＝45°，AD＝2，BC＝42，求DC的长．分析：由于△ABC是等腰直角三角形，且BC＝42，可得出BC边上的高．只要通过平移腰CD，就可与BC边上的高构成直角三角形，从而求出CD.解：过点A作AE∥DC交BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，如图所示．∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形．∴AE＝DC，AD＝EC＝ 2.又∵AB⊥AC，∠B＝45°，BC＝42，∴AB＝AC＝4.∴AF＝BF＝2 2.∴EF＝BC－BF－EC＝ 2.在Rt△AFE中，AE＝AF2＋EF2＝222＋22＝10，即DC＝10.方法总结解决梯形问题作辅助线的方法要结合题目的条件和要证结论的需要灵活运用．若题中已知两对角线的条件，可考虑平移对角线，使两对角线在同一个三角形中；若已知两腰的某些条件，可考虑平移一腰；若已知两底角互余，可平移一腰或延长两腰构成直角三角形；若要求梯形的面积，常作出梯形的高．触类旁通3 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2 cm，则上底DC的长是__________cm.1．(2012山东临沂)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是( )A．AC＝BDB．OB＝OCC．∠BCD＝∠BDCD．∠ABD＝∠ACD2．(2012湖南长沙)下列四边形中，对角线一定不相等的是( )A．正方形 B．矩形C．等腰梯形 D．直角梯形3．(2012安徽)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2,4,3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )A．10 B．4 5C．10或4 5 D．10或2174．(2012湖南长沙)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠B＝60°，则BC 的长为__________．5．(2012四川内江)如图，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝____________.6．(2012四川南充)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE＝CD.求证：∠B＝∠E.1．梯形的上底长为5，下底长为9，则梯形的中位线长等于( )A．6 B．7C．8 D．102．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2 cm，则梯形ABCD的面积为( )A．33cm2 B．6 cm2C．63cm2 D．12 cm23．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，F为AD的中点，则点F到BC的距离是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于O ，∠ABD ＝30°，AC ⊥BC ，AB ＝8 cm ，则△COD 的面积为( )A ．433cm 2B ．43cm 2C ．233cm 2D ．23cm 25．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DE ，梯形ABCD 的周长为26，BE ＝4，则△DEC 的周长为__________．(第5题图)6．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BCD 的平分线的交点E 恰在AB 上．若AD ＝7 cm ，BC ＝8 cm ，则AB 的长度是__________ cm.(第6题图)7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝3，BC ＝4，则梯形ABCD 的面积是__________．(第7题图)8．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AD ＝4，BC ＝8，则AE ＋EF ＝__________.(第8题图)9．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形．参考答案导学必备知识自主测试1．D 2．B 3．C 4．1＜x ＜7 探究考点方法触类旁通1．解：(1)AD ＝13BC .理由如下：∵AD ∥BC ，AB ∥DE ，AF ∥DC ，∴四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形， ∴AD ＝BE ，AD ＝FC .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴AD ＝EF ，∴AD ＝BE ＝EF ＝FC ，∴AD ＝13BC .(2)证明：∵四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，∴DE ＝AB ，AF ＝DC . ∵AB ＝DC ，∴DE ＝AF .又∵四边形AEFD 是平行四边形， ∴四边形AEFD 是矩形．触类旁通2．解：是等腰梯形．根据三角形中位线定理有，MN ∥AD ∥BC ，且MN ≠BC ，∴四边形BCNM 为梯形．在矩形ABCD 中，AO ＝DO ，又M ，N 分别是AO ，DO 的中点，∴OM ＝ON ，∴CM ＝BN ，∴四边形BCNM 是等腰梯形．触类旁通3．2 ∠CAB ＝90°－60°＝30°，∵等腰梯形ABCD 中，∠BAD ＝∠B ＝60°， ∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝30°.又∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝30°＝∠DAC . ∴CD ＝AD ＝BC ＝2 cm. 品鉴经典考题1．C 对于A ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ，故本选项正确；对于B ，∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△DCB (SAS)，∴∠ACB ＝∠DBC ，∴OB ＝OC ，故本选项正确；对于C ，∵无法判定BC ＝BD ，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误；对于D，∵∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ACD，故本选项正确．故选C.2．D 根据正方形、矩形、等腰梯形的性质，它们的两条对角线一定相等，只有直角梯形的对角线一定不相等．故选D.3．C 考虑两种情况．①如图：因为CD＝22＋42＝25，点D是斜边AB的中点，所以AB＝2CD＝4 5.②如图：因为CE＝32＋42＝5，点E是斜边AB的中点，所以AB＝2CE＝10，故原直角三角形纸片的斜边长是10或4 5.4．4 过点A作AE∥CD交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝2，AD＝EC＝2.∵∠B＝60°，∴BE＝AB＝AE＝2，∴BC＝BE＋CE＝2＋2＝4.5．9 过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，则AB＝CE，BE＝AC＝BD.∵BD⊥AC，AB＝2，CD＝4，∴BD⊥BE，DE＝6，∴梯形高为3，∴S梯形ABCD＝(2＋4)×3÷2＝9.6．证明：∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵AD∥BC，∴∠CDE＝∠DCB.∴∠E＝∠DCB.∵AB＝DC，∴∠B＝∠DCB.∴∠B＝∠E.研习预测试题1．B 2．A 3．C 4．A 5．18 6．15 7．98．10 如图，过点D作DG∥AC，交BC的延长线于点G.易得四边形ACGD 为平行四边形，∴CG ＝AD ＝4，BG ＝BC ＋CG ＝8＋4＝12. ∵AC ⊥BD ，AC ∥DG ，∴BD ⊥DG .∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝BD ＝DG . ∴△BDG 为等腰直角三角形．又∵DF ⊥BC ，∴DF ＝12BG ＝6.∴AE ＋EF ＝DF ＋AD ＝6＋4＝10.9．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＝12∠DAB ＝30°.又∵CE ⊥AC ，∴∠E ＝60°＝∠CBE .∴CE ＝BC ＝AD . ∵CD ∥AE ，AE ＝AB ＋BE ＝DC ＋BE ≠DC ， ∴四边形AECD 是等腰梯形．。

梯形的中位线

角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9，则
此梯形旳中位线长是 …（ C ）
A．10
B．11
2
C．125
D．12
ADBC源自E有一种木匠想制作一种木梯，共需5根横木共200cm，其中最上端旳横木长20cm，求其他四根横木旳长度？
（每两根横木旳距离相等）
如图所示旳梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD垂直相交于O，MN是中位线，∠DBC=30°，求证：AC=MN.
④已知等腰梯形旳周长为80 cm，中位线与腰长相等，则它旳中位线长 20 cm；
例1：一把梯子如图所示,其中四边形 AKLB是梯形. 已知AC=CE=EG=GK， BD=DF=FH=HL, AB=0.6m，CD=0.7m. 求EF、GH、KL旳长.
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
例2：如图，梯形ABCD中,AD∥BC, E
A
D
O
M
N
B
C
E
思索
在梯形ABCD中，DC∥AB，腰 AD=BC，CE⊥AB，BE=1cm，中位线长为2.5cm，求底AB和DC旳长
D
C
A
F
E
B
小结：
三角形中位线定理：
三角形旳中位线平行于第三边，且等于第三边旳二分之一。
梯形中位线定理：
梯形旳中位线平行于两底，而且等于两底和旳二分之一。
之一。
A
D
M
N
B
C
E
动已手知量：一在量梯形ABCD中，AD∥BC，
AM=MB，DN=NC,
求证：MN∥BC， MN= 12（BC+AD）

梯形的性质与判定

辅导讲义教师梅荣科目数学上课日期总共学时学生年级上课时间第几学时类别基础提高培优科组长签字教务主管签字校区主任签字一、教学目标二、上课内容1、会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定；2、掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题三、家庭作业：四、家长签名（本人确认：孩子已经完成“课后作业”）_________________一．知识点1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.是梯形四边形ABCD BC AD CD AB ⇒⎭⎬⎫≠// 2．等腰梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠=BDAC BCD ADC CBADAB ABCD BC AD BC AD CD AB 是等腰梯形四边形//3．直角梯形是直角梯形四边形ABCD BC AD AB CB CD AB ⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠⊥// . 4．平行线等分线段定理 1234l l l l A B B C C D ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥11111A B B C C D ==.5．中位线定理⑴、三角形中位线定理ABC ∆中： 1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，.⑵、梯形中位线定理梯形ABCD 中： AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质 ①、等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②、等腰梯形的两条对角线相等．③、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； 2. 等腰梯形的判定①、同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形．②、对角线相等的梯形是等腰梯形．C BAD 底角腰底高BCA D CAB Dl 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B ABN CM A B NC A MD三、梯形中常见的辅助线我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下：梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．例题精讲【板块一、特殊梯形的性质和判定】特殊梯形的性质例1.⑴下列说法正确的是( )A．梯形是特殊的平行四边形B．等腰梯形的两底角相等C．有两邻角相等的梯形是等腰梯形D．有且只有一组相邻角为直角的四边形是直角梯形⑵如图是六个等边三角形组成的一个正六边形，请问图中共有_____ 个平行四边形，______个等腰梯形。

梯形的特征与性质

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梯形的特征与性质
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目录
01 梯形的定义与基本性质 02 梯形的分类 03 梯形的性质与判定 04 梯形的应用 05 特殊梯形与拓展知识
梯形的定义与基本
01
性质
梯形是只有一组对边平行的四边形
定义：梯形是四边形中只有一组对边平行的一种特殊四边形
性质：梯形的对角线互相平分，且梯形的一组对角相等
分类：等腰梯形和不等腰梯形
面积计算公式：梯形面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2
梯形的对角线互相平分
定义：梯形中，对角线互相平分
的应用。
梯形的高与面积的关系
梯形的高：从上底到下底的垂直距离
梯形的高与面积的关系：高是影响梯形面积的重要因素，高越大，面积越小；反之，高越小，面积越大。
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梯形的面积计算公式：面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2
添加标题
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判定梯形的高与面积的关系：可以通过比较梯形的上底、下底和高来判定其面积的大小和形状。
特殊梯形与拓展知
05
识
等腰梯形的性质与判定
性质：等腰梯形两腰相等，且同一底上的两个角相等判定：根据性质，可以通过测量或证明来判定一个四边形是否为等腰梯形拓展知识：等腰梯形的性质在几何学中有广泛应用，如计算面积、周长等特殊情况：当等腰梯形的一个底角为90度时，它就变成了一个矩形
直角梯形的性质与判定
定义：有一个直角，且另外两角为锐角的梯形

专题21 梯形

答案：17
4．梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，∠C＝70°，∠B＝40°，则AB的长为()
A．2B．3C．4D．5
答案：B
5．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为()
A．9B．10.5C．12D．15
答案：C
在Rt△CDF中，CF＝＝1.5，
所以BC＝1.5＋4＋4.5＝10.
(2)如图，过点C作AD的平行线CE交AB于点E.
∵AB∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE＝AD＝4，DC＝AE＝5.
∵AD∥EC，∴∠CEB＝∠A.
∵∠A＋∠B＝90°，∴∠CEB＋∠B＝90°.
∴∠ECB＝90°，即△ECB是直角三角形．
解析：过点D作DE∥AB交BC于点E，易证△DEC是等边三角形，∴DC＝EC＝BE＝AD＝AB，∴梯形ABCD的周长为30.
答案：30
2．(2009·宁波)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，作DE∥AB交BC于点E，若AD＝3，BC＝10，则CD的长是________．
2．判定：(1)定义法；(2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．
（三）梯形的中位线
1．定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线．
2．判定：(1)经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰；(2)定义法．
3．性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm
解析：∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴∠AEB＝∠C＝60°，AD＝EC＝2 cm.在等腰梯形ABCD中，∠B＝∠C＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE＝DC＝2 cm.∴梯形ABCD的周长为：AD＋AB＋BC＋CD＝2＋2＋2×2＋2＝10 (cm)．

梯形的性质和判定

梯形【学习目标】1、会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定；2、掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题．【重点、难点】1、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念，并了解它们之间的关系；2、探索等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用它们进行有关的证明和计算；3、通过对梯形辅助线的探索，学会将未知问题转化为已知问题，培养化归意识．【知识梳理】一、相关概念定理 1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.是梯形四边形ABCD BC AD CD AB ⇒⎭⎬⎫≠//2．等腰梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠=BDAC BCD ADC CBADAB ABCD BC AD BC AD CD AB 是等腰梯形四边形//3．直角梯形是直角梯形四边形ABCD BC AD AB CB CD AB ⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠⊥// . 4．平行线等分线段定理 1234l l l l A B B C C D ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥11111A B B C C D ==.5．中位线定理⑴、三角形中位线定理ABC ∆中： 1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，.⑵、梯形中位线定理梯形ABCD 中： AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①、等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②、等腰梯形的两条对角线相等．③、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； 2. 等腰梯形的判定①、同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②、对角线相等的梯形是等腰梯形． C BAD底角腰底高BCAD CA B Dl 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B ABN CM A BN C AM DD C B A ABC D E F 我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下：梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线．【例题精讲】【板块一、特殊梯形的性质和判定】【例1】 (2006广安市中考)已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接,AE DE . 求证:ADE ∆是等腰三角形.DE CAB【例2 】(希望杯试题)如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，AC 平分DAB ∠，且23AC =，则梯形ABCD 的周长等于________.【补充】(希望杯试题)如图，在直角ABC ∆中， 90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，2BC =，D 为AC 的中点，从D 作DE AC ⊥与CB 的延长线相交于E ，以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连接DF ，则DF 的长为_________.【例3】如图所示．四边形ABCF 中，//12AB DF AC DF FC AD ∠=∠=<，，，．（1）求证：ADCF 是等腰梯形；（2）若ADC ∆的周长为16厘米，3AF =厘米，3AC FC -=厘米，求四边形ADCF 的周长．F EDCBA【板块二梯形的常见辅助线】【1、过顶点向底边作垂线】【例4】如图，已知等腰梯形周长是20，AD BC ∥，AD BC <，120BAD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，求梯形ABCD 的面积.DCB A【例5】(2007年北大附中期末试题、2007年北京市中考题)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=︒，AE BD ⊥于E ，1AE =，求梯形ABCD 的高.EDC BA【补充】如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，对角线AC 与BD 相交于点O ，120BOC ∠=︒，2AD =，4BC =.求等腰梯形ABCD 的面积.DOC BA【例6】梯形的上底为a ，下底为b (b>a)，两个底角分别为45︒、60︒，求梯形的面积.ABCDDC A B A B CD 【补充】等腰梯形的下底等于对角线，而上底等于高，则上底与下底的比值为 .A BCD【例7】如图，已知梯形ABCD 中，DC AB ∥，BD AD =，AC AB =，90ADB ∠=︒， ⑴、求证：30CAB ∠=︒；⑵、若BD 和AC 交于E ，求证：BE BC =.ABCD E【补充】如图，梯形ABCD 中，AB CD AD DC BD a BC b ====∥，，，求AC 的长． DC BA【2、过顶点作一腰的平行线】【例8 】 (2007年北达资源期末考试)如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 平分BCD ∠，若50B ∠=︒，80C ∠=︒，2AD =，求BC 的长．ABCD【例9】(2006长沙中考)如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，2AD =，8BC =，则此等腰梯形的周长为（） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22【例10】如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，8AB =，3AD =，6CD =，并且90B C ∠+∠=︒，则该梯形的面积为_________．A B CDA B C D 【补充】(希望杯试题)在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，()12EF BC AD =-，则B C ∠+∠=_________.A BCDE F【补充】(全国联赛试题) 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，30B ∠=︒，60C ∠=︒，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，已知7BC =，3MN =，则EF =___________.N A BCDEF M【例11】（2008朝阳二模）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3BC AD =． ⑴、如图甲，连接AC ，如果ADC ∆的面积为6，求梯形ABCD 的面积； ⑵、如图乙，E 是腰AB 上一点，连接CE ，设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且1223S S =，AEBE的值； ⑶、如图丙，如果AB CD =，CE AB ⊥于点E ，且3BE AE =，求B ∠的度数．丙乙甲EDCBAEABC DDC BA【3、平移对角线】【例12】如图，等腰梯形ABCD 中， AC BC AD =+，则DBC ∠的度数是_________.【补充】如图，等腰梯形ABCD 的下底AB a =，两对角线相互垂直且长均为b .试求上底的长及梯形的面积，并讨论问题有解时a 与b 之间的关系.ED C B A M D C B A A BC DENA B C D M 【例13】如图所示，等腰梯形ABCD 的下底AB a =，两对角线相互垂直且长均为b .试求上底的长及梯形的面积，并讨论问题有解时a 与b 之间的关系．DCBA【例14】已知：如图，梯形ABCD 中，512AD BC AC BD AC BD ⊥==∥，，，.求：梯形ABCD 中位线的长.DBCA【板块三与梯形腰的中点及中点相关的题型】【例15】如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，M 是DC 的中点，试比较AM 、BM 的大小.MDCBA【补充】(重庆市数学竞赛题) 如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，E 是AD 的中点. ⑴、当AB 、DC 、BC 满足什么关系时，BE CE ⊥？ ⑵、若BC AB DC =+，是否有BE CE ⊥？⑶、当BC AB DC =+时，ABE ∠、CBE ∠满足什么关系？⑷、若DCE BCE ∠=∠，AB 、DC 、BC 满足何种关系？【例16】(重庆市数学竞赛题) 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，DEC ∆的面积为S ，则四边形ABCD 的面积为_________.【补充】（上海市数学竞赛题）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，8BC =，M 是AB 的中点，若MD CD ⊥，则梯形的面积为_______.【例17】(河南省数学竞赛试题)如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，M 是BC 的中点，MN AD ⊥，垂足为N . 求证：梯形面积S MN AD =⋅.【例18】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD AB ⊥，E 是AD 上的点，BE CE =，90BEC ∠=︒，M 是BC 的中点.求证：ADM ∆是等腰直角三角形.ABCDE M【补充】（2009北京）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=︒，45C ∠=︒，1AD =，4BC =，E 为AB 中点，EF DC ∥交BC 于点F ，求EF 的长．FE DCBA【课后作业】1、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD BD DC =⊥，，且BD 平分ABC ∠.若梯形ABCD 的周长为20cm ，求：梯形的中位线长.DCB A2、(浙江省中考题)梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BC DC =，30C ∠=︒，AD a =，则BC 的长为_________.DCBA3、在梯形ABCD 中，两底4AD =，8BC =，对角线AC BD ⊥，且6AC =，则DBC ∠=________. 【解析】过点D 作AC 的平行线即可，30DBC ∠=︒.4、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BD CD =，90BDC ∠=︒，3AD =，8BC =．求AB 的长．ODC BA5、如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90D ∠=︒，M 是BC 的中点，2BC CD =，50DAM ∠=︒，则AMC ∠=__________.ABCD M6、（2006北京）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，BE CD ⊥于点E ，1AD =，22CD =．求BE 的长．ED C BA。

中考数学第五章四边形第22讲梯形精品课件(含11真题和12预测题)

(2011·广东)如图所示，在直角梯形纸片ABCD中， AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°.折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF＝CF＝8.
(1)求∠BDF的度数； (2)求AB的长．【点拨】在直角三角形中求线段的长度，常运用锐角三角函数求解．折叠的本质是轴对称．【解答】(1)∵FB＝FC，∠C＝30°，∴∠FBC＝∠C＝30°. 由折叠的性质得∠DBF＝∠FBC＝30°.又∵∠DFB＝∠C＋∠FBC＝60° ，∴∠BDF＝180°－∠DBF－∠DFB＝180°－30°－60°＝90°.
【解析】CD＝DE＝AB＝6，CE＝BC－BE＝BC－AD＝8－5＝ 3.∴△CDE的周长＝DE＋DC＋EC＝6＋6＋3＝15.
【答案】15
15．(2011·呼和浩特)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD 的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为________．
考点三梯形的中位线 1．定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线． 2．判定：(1)经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰； (2)定义法． 3．性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
考点四解决梯形问题的基本思路及辅助线的作法
1．基本思路：梯形问题分割―转、―化→拼接三角形或平行四边形． 2．常见辅助线的作法：
【答案】A
9．(2011·潍坊)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝ 90°，BC＝CD＝2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P ，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是( )
A．CP平分∠BCD B．四边形ABED为平行四边形 C．CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分 D．△ABF为等腰三角形

1.5中位线——梯形的中位线

12999数学网 C G B FE DA CB FED A 9上第一章1.5中位线——梯形的中位线九年级数学备课组课型：新授【学习目的】： 1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理；2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”；3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力；4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣。

【重点难点】：教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．教学难点：梯形中位线定理的证明．【情景创设】上一节课我们通过对三角形的中位线定理的再认识，知道顺次连接四边形各边的中点会得到一个平行四边形，那么如果我顺次连接的是矩形，菱形或正方形，又会得到什么样的图形呢？ 1.梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.2.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.如图所示：EF 是的中位线，回答下列问题：（1）EF 与BC 有什么关系？（BC EF 21= ）（2）如果AD//BC ，那么DF 与FC ，AD 与GC 是否相等？为什么？（3）EF 与AD 、BG 有何关系？[)(21,//BG AD EF BG EF +=]，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD ，则EF 为梯形ABGD 的中位线.由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.现在我们来证明这个定理.已知：如图所示，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，证：EF//BC ，EF=)(21AD BC +求【典题选讲】例1：如图所示，有一块四边形的地ABCD ，测得，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积.【学习体会】（1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？（2）梯形中位线有什么性质？（3）梯形中位线定理的特点是什么？（4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？12999数学网。

九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版知识精讲

九年级数学等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：等腰梯形、三角形中位线、梯形中位线1. 等腰梯形：性质：等腰梯形的同一底边上的两个内角相等。

等腰梯形的两条对角线相等。

判定：同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

2. 三角形的中位线定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

3. 梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。

【典型例题】例1. 已知等腰梯形ABCD 中，AB=CD ，∠===B AD cm BC cm 601549°，，，求它的腰长。

A D分析：要求腰长，也就是求AB 的长，通过作辅助线将已知条件集中到一个三角形中，过A 作AE//CD 交BC 于E ，得到一个平行四边形AECD 和△ABE ，易知△ABE 是等边三角形，由BE=BC －AD ，这样问题就解决了。

解：过A 作AE//DC 交BC 于E∵四边形ABCD 是等腰梯形 ∴∠=∠=B C 60° 又∵AD//BC ，AE//DC ∴四边形AECD 是平行四边形。

∴====∴=AD EC cm AE DC AB CD AB AE15，，∴△ABE 是等边三角形。

又 BC cm =49∴=-=∴==BE cm AB BE cm49153434()A D例2. 已知：如图所示，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC=BC+AD ，求∠DBC 的度数。

分析：由等腰梯形的性质得AC=BD ，又题设与对角线有关，考虑平移对角线BD 到AE 的位置，则∠=∠DBC E ，需求∠E ，猜想△ACE 是等边三角形。

解：过A 作AE//BD 交CB 的延长线于E ，则四边形AEBD 是平行四边形。

∴==∴=+=+=AE DB AD BECE BC BE BC AD AC，∵梯形ABCD 是等腰梯形。

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梯形的性质与判别与中位线
一，等腰梯形的判别
例1：如图，在四边形ABCD中，已知AB不平行CD，AD∥
BC
，请你添加一个条件：，使得加上这个
条件后能够推出四边形
ABCD是等腰梯形.

二，等腰梯形的性质

例
1.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、
BD
相交于点O，以下四个结论：①DCBABC ，
②OA=OD ，③
BDCBCD
，④SAOB=SDOC，其中

正
确的是
（
）。
例
3.（2010 湖北咸宁）如图，菱形ABCD由6个腰长为2，
且全等的等腰梯形镶嵌而成，则线段
AC的长为（）

A．3 B．6 C．33 D．63

三，梯形中常作的辅助线
梯形中常作的辅助线（一）
例，
梯形ABCD中，∠B=60°，∠C=45°，AD=3，DC=4.
求梯形
ABCD的面积.

梯形中常作的辅助线（二）
例：
(1)以线段a=16，b=11为梯形的两底，c=10为一腰，
那么另一腰
d的长度的范围是______ 。
(2)
如图，已知:在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
AD=4,BC=7,
∠B＝60° .
则梯形
ABCD的周长为_________.

梯形中常作的辅助线（三）
例：（1）、梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，
且
AC=3cm,BD=4cm，求梯形ABCD的面积。
（
2）、梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形
面积为
_________．
梯形中常作的辅助线（四）
四．中位线定理
三角形中位线与梯形中位线
（一）三角形的中位线：
⑴连结三角形两边中点的线段叫做
三角形的中位线．
区别三角形的中位线与三角形的中
线。
⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
F
E
D

C
B

A
（二）梯形的中位线
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。
⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
例
1. （2009年重庆市江津区）在△ABC中，BC=10，B1 、
C
1
分别是图①中AB、AC的中点，在图②中，

2121
、C、C、B
B

分别是AB,AC的三等分点，在图③中

921921
;C、CCB、、BB
分别是AB、AC的10等分点，

则
992211
CBCBCB
的值是（）

A
. 30 B. 45 C.55 D.60

① ② ③
例
2. （2009江苏）如图，已知EF是梯形ABCD的中位
线，△
DEF的面积为4平方厘米，则梯形ABCD的面积
为
-------------平方厘米。

五．中点四边形
例
1，（2010 山东滨州）如图，四边形ABCD中，E、F、
G
、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
(1)
请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么.
(2)
若使四边形EFGH为矩形、菱形、正方形，那么四边
形
ABCD的对角线应分别具有怎样的性质？
（
3）四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积有什么
数量关系？并说明理由。
（
4）连接EG,FH,EG与FH相交于点O,试探索S
四边形

AEOH
+S四边形FCGO与S四边形BFOE+S四边形DHOG数量关系.并说明

理由。
例
2.（2009湖北省荆门市）等腰梯形ABCD中，E、F、
G
、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是（）
A
．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
例
3. 2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为
ba、
，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形

A
1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1
的中点为顶点作菱形
A
2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009
的面积用含
ba、
的代数式表示为．

A
B
C

A
1
B

C
1

A
2

B
2

C
2

D
2

A
3
B

C
3

第20题图
3
ABECDQ图1 A

CD
Q
图2

六．综合题
例
1.（2010 江苏连云港）如果一条直线把一个平面图形的
面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图
形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对角线所在
的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（
1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一
定是三角形的面积等分线的有
________；
（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到
E
，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请
你给出这个结论成立的理由，并过点
A作出梯形ABCD
的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）
；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S
△
ADC

＞
S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？

若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理
由．
例
2．（2010江苏徐州）如图①，梯形ABCD中，∠C=90°．动
点
E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA—AD—DC运动
到点
C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，
它们运动时的速度都是
1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF
的面积为
y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其
中曲线
OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图
中的信息，解答下列问题：
(1)
梯形上底的长AD=_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2；
(2)
当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关
系式
(注明自变量的取值范围)；
(3)
当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：
2.