山东省日照市东港实验学校九年级数学总复习课时学案：第26课时 解直角三角形的应用
九年级数学复习解直角三角形山东教育版知识精讲
九年级数学复习解直角三角形某某教育版【本讲教育信息】一、教学内容复习解直角三角形二、学习目标：1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用锐角三角函数来表示直角三角形中两边的比。
2. 熟记30、45、60角的各个三角函数值，会计算含有特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊角的三角函数值计算角。
3. 理解并掌握直角三角形中边、角之间的关系，会用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，锐角三角函数解直角三角形。
4. 会用解直角三角形的有关知识解某些简单实际问题，进一步理解数形结合的思想。
三、重点、难点重点理解锐角三角函数，应用其解直角三角形；难点是解决一些生活实际问题。
（一）熟练掌握直角三角形的边角关系如图，ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：=A sin ba A tan ,cb A cos ,c a ==，所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。
解直角三角形的基本类型题解法如下表所示： 类型已知条件 解法两边两直角边a ，bA90B ,b aA tan ,b a c 22-︒==+= 一直角边a ，斜边cA90B ,c aA sin ,a c b 22-︒==-=一边、一锐角一直角边a ，锐角A斜边c ，锐角AA cos c b ,A sin c a ,A 90B ⋅=⋅=-︒=（二）弄清解直角三角形的涵义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
1. 隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件。
2. 已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形。
因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形的大小，更无法求其边长，所以不能解三角形。
初中九年级数学 解直角三角形及其应用
0.1m)?
B
A
D
C
3海里内有暗礁，一艘客轮以每小
时9海里的速度由西向东航行，行
至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,
继续行驶20分钟后，到达B处，又
测得灯塔P在它的北偏东45°,问客
轮不改变方向，继续前进有无触礁
解：过P的点作危P险D垂？直于AB，交AB的延
P
长∵线∠于1＝D60∠2＝45°∴
在R°t△BDP∠PBD∠=P4AD=30°,∠PBD=45°
例l3.一铁路路基的l 横断面是等腰梯 形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为 5.8米,斜坡与地面所成的角A为60 度.求路基低部的宽(精确到0.1米)
❖ 练习：热气球的探测器显示，从热 气球看一栋高楼顶部的仰角为30°， 看这栋高楼底部的俯角为60°，热 气球与高楼的水平距离为120m，这 栋高楼有多高？（结果精确到
3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走 60米，则他
（目标3） 上升 米，坡度是
D
C
4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面
的水平宽度为
A
B
3√3米，DC=4米，B=600，则
（1）斜坡AD 的铅直高度是
（2）斜坡AD 的长是 （3）坡角A的
（目标3） 6 如图从山 顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时 A
α
练习： 如图，某飞机于空中A 处探测到目标C，此时飞行高 度AC=1200米，从飞机上看低 平面控制点B的俯角α=16031／，
练习 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC
为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角 ∠BDC 为450,求此大厦的高度BC.
B
A 300
450
D
人教版九年级下册数学《解直角三角形的应用》锐角三角函数研讨复习说课教学课件
A
A．250米
B．250
米
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手抄报：课件/shouchaobao/
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C.
米
60°
D.500
米
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
探索新知
例 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔
北偏东30°方向上．
问：已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向
正东方向航行是否安全？
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50
H
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与B之间的
距离．（结果保留根号）
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M
C
N
第5课时 解直角三角形
解直角三角形的应用
重难点突破
九年级数学上册第26章解直角三角形26
3．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. (1)若c＝10，求a，b的值；
解：在 Rt△ ACB 中，cos A＝AACB＝35，即A1B5 ＝35， 解得 AB＝25.∵D 是边 AB 的中点，∴CD＝A2B＝225.
(2)sin ∠DBE的值．
解：由(1)易得 BD＝CD＝225，
由勾股定理得 CB＝ AB2－AC2＝20.
设 DE＝x，EB＝y(x>0，y>0)，则yx2＋ ＋x2225＝2＋624y52，＝400，
在 Rt△ BCD 中，BD＝1，∠BCD＝60°，tan∠BCD＝BCDD，
∴C1D＝tan 60°＝
3.∴CD＝
3 3.
综上所述，CD 的长为 2＋
3或 2－
3或
3 3.
7．如图，在△ ABD 中，AC⊥BD 于 C，CBDC＝32，E 是 AB 的中点，tan D＝2，CE＝1，求 sin∠ECB
＝AC2－CD2，∴AB2－DB2＝AC2－CD2.
∵AB＝4，AC＝5，∴42－(6－x)2＝52－x2，解得 x＝145. 15
∴在
Rt△ ACD
中，cos
∠ACB＝CADC＝
4 5
＝34.∵∠ACB
＝∠DEB，∴cos ∠DEB＝34.
9．如图，E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE 沿BE折叠得△BFE，点F落在边AD上． (1)求证：△ABF∽△DFE；
九年级数学下册28.2 《解直角三角形及其应用》PPT课件
解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度，
在Rt△OCB中，∠O
AC OC
180
4.5 ，
OB
OC cos∠O
6370 cos 4.5
6389km，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在 的.
例1 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号
目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的
组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组
合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的
地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少
（地球半径约为6 400km，取3.142，结果取整数）？
个角）， 其中∠C=90°.
B
(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c_2__；
c a
(2) 锐角之间的关系： ∠A+∠B=__9_0_°_；
A
a
bC
b
(3) 边角之间的关系：sinA=__c___，cosA=__c___，
a
tanA=___b__.
讲授新课
一 已知两边解直角三角形
合作探究
在图中的Rt△ABC中，
三 已知一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA = 1，
3
BC = 5， 试求AB的长.
解： C 90，cos A 1， AC 1 . 3 AB 3
设 AB x, AC 1 x，
B
中考数学一轮课件：第26课 直角三角形
A. 500 m C. 575 m
(第 5 题图) B. 525 m D. 625 m
6．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 点 E 在 DC 边的延长线上．若∠CAE＝15°，则 AE＝____8_ __．
(第 6 题图)
(第 7 题图)
7．如图，已知 AB⊥CD，垂足为 B，BC＝BE，若直接应用“HL”判定 △ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是___A_C_＝__D_E ．
【例 1】 (2015·湖北)如图，在△ABC 中，∠B＝30 °，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平
分∠ACB.若 BE＝2，则 AE 的长为( )
A. 3
B. 1
C. 2
D. 2
(例 1 题图)
解析 先根据线段垂直平分线的性质得出 BE＝CE＝2，故可得出∠B ＝∠DCE＝30°，再由角平分线定义得出∠ACB＝2∠DCE＝60°，∠ACE＝ ∠DCE＝30°，利用三角形内角和定理求出∠A＝180°－∠B－∠ACB＝90°， 然后在 Rt△ CAE 中根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半得出 AE＝21CE＝
第五章 基本图形（一）
知识梳理
第 26 课 直角三角形
知识回顾
1．直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角 (2)勾股定理：__a_2＋__b_2_＝__c_2
互余 ． (在 Rt△ABC 中，∠C＝90°)．
(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等 于斜边的___一__半 ．
测得 AM 的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为( D )
A. 0.5 km
冀教版九年级上册数学《解直角三角形的应用》说课教学复习课件
求飞机A到控制点B的距离.
解：由题意知∠B＝∠α＝30°.
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
sin B＝ AC 1
AB
2
∴AB＝2AC＝2 400 m．
答：飞机A到控制点B的距离为2 400 m．
知识讲解
如图所示,小明在距旗杆4.5 m的点D处,仰视旗杆顶
26.4 解直角三角形的应用
第1课时
课件
学习目标
1 理解仰角、俯角及方向角的概念. (重点)
2 能运用解直角三角形知识解决仰角、俯角和方向角有关的
实 际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方
程的 数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及
解题思路.(重难点)
知识回顾
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
B
A
α
β
D
俯角
C
水平线
解：如图， = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD
CD
tan a
, tan
.
AD
AD
BD AD tan a 120 tan 30
3
120
40 3(m).
3
CD AD tan 120 tan 60
120 3 120 3(m).
俯角
3 207.8 ．
CD CE DE 40 3 120
160
B
120米
D
3
3 277 .1．
3．
即学即练1如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的
26.4 解直角三角形的应用
1.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12 m，斜面
坡度为1∶2，则斜坡AB的长为( B )
A. 4 3m
B. 6 5m
C.12 5m
D.24 m
2.如图，某铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,已
知路基高AE为5米，左侧坡面AB长10米，则左侧坡面AB的
坡度为( C )
∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝
的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D
，请你计算AD的长(精确到0.1 m)．
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，
过点D作DF⊥BC于点F，
AE
在Rt△ABE中，sin ABE ,
AB
∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77.
∴ BF 4 6.93，
tan 30
DE＝CF＝4 m，
∴ AB＝AE＋EF＋BF
CD＝EF＝12 m．
≈4＋12＋6.93≈22.93 m．
在Rt△ADE中，
答： 路基下底的宽约为
22.93米.
DE
4
tan 45 ，
∵i
AE
AE
ℎ
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比 叫做坡面的坡
2024年秋季数学 冀教版Fra bibliotek九年级上册
1..加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与
坡面陡峭程度间的关系.
2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的
能力.
重点
坡度、坡角、坡面的概念，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.
人教版九年级下册数学课件《解直角三角形及其应用》
2021/3/20
20
2.三角函数的应用
2021/3/20
21
解析：
解：延长CA、DB相交于点E， ∠CAB=∠D=90°， ∠ABD=120°，∠C=60°.
在Rt△ABE中，∠E=90°-∠C=30°,
2021/3/20
点拨：构造直角三角形进行解三角形
E
22
2.三角函数的应用
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
∴∠C=180°-∠CBA-∠CAB=30°，
∴∠C=∠CAB，∴BC=BA=20（海里），
∠CBD=90°-∠CBE=60°， D
2021/3/20
37
2
C
6B
2021/3/20
∠B ， AC ， BC ∠A ， ∠B ， AB AB， AC， BC
5
1.解直角三角形
总结：在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可
以求出其余三个元素.
定义：在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形.
2021/3/20
答：河宽为68.30米.
E
2021/3/20
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2.三角函数的应用
【练7-3】小丽眼睛距地面1.5米，小丽为了测旗杆AB的高度，站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小 丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度.
2021/3/20
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解析：
【练7-3】小丽眼睛距地面1.5米，小丽为了测旗杆AB的高度，站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小 丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度.
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复习教学目标：
1、知道坡度、仰角、俯角的含义；
2、会根据方位确定点的位置，并会将点的位置用正确的方位来表示；
3、能将实际问题转化为数学问题，并能自己设计方案测量物体的高度。
复习教学过程设计：
Ⅰ【唤醒】
一、填空：
1、坡度i= ───────── = （填坡角a的三角函数名称）。
2、仰角、俯角的顶点在 ，是 和 的夹角。
二、判断：
1、若地面上的甲看到高山上的乙的仰角为20o，则乙看到甲的俯角为20o。„„ （ ）
2、已知一斜坡的坡度为1﹕4，水平距离为20m，则该斜坡的垂直高度为5m。„„（ ）
３、小明沿斜坡为i＝３﹕4的斜坡前进８m，则他所在的位置比原来升高了6m。（ ）
三、选择：
１、河堤的横断面如图1所示，堤高BC是5m，迎水斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等
于：„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）
A、1﹕3 B、1﹕2.6 C、1﹕2.4 D、1﹕2
2、为了测量学校某教学楼的高度，在距离该教学楼30m的A处，测得楼顶的仰角为a，则教学楼的高
为：„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）
A、──── B、30 tanα C、30sinα D、────
3、、如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45 o，∠C=120 o，AB=8，则CD的长为„（ ）
A、863 B、46 C、823 D、42
4、如图3，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E点，EC=1，SinB= ，则四边形ABCD的周长为等
于„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）
A、20 B、52 C、42 D、48
（ ）
tanα
30
30
sinα
第2页（共3页）
图1 图2 图3
Ⅱ【尝试】
例1：如图，甲、乙两建筑物相距120m，甲建筑物高50m，乙建筑物高75m。求俯角α和β的大小。
解略
答案：∠α≈22 o37’12’’ ∠β≈11 o46’6’’
例1图 例2图
例2：为响应哈尔滨市人民政府“形象胜于生命”的号召，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣
传条幅（如图），在乙建筑物的顶部D点测得顶端A点的仰角为45 o，测得条幅底端E点的俯角为30 o，求
底部不能直接到达的两建筑物之间的水平距离（答案可带根号）。
分析：解决测量问题时，要分清谁是测量者，谁是被测量者，即分清仰角、俯角的顶点。本题中测量者为
D，被测量者为A、E，所以应该作出过D点的水平线，即过D作DF⊥AC。
解略。答案：45-153
提炼：将斜三角形转化成直角三角形时，若不能直接解出某一直角三角形，则应设未知数，将两个直角三
第3页（共3页）
角形联合起来，用方程思想来解。
例3：如图，某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经过16小时的
航行到达。此时，接到气象部门的通知，一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60o方向移动，
距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
⑴、B处是否会受到台风的影响？请说明理由。
⑵、为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少小时内卸完货
物？
分析：要看B处是否会受到影响，则需求出B点与台风中心的最小
距离。因台风中心在一直线上运动，所以是求出直线外一点B与直
线AC上所有点的连线中的最短线段，即垂线段的长度。
解⑴：过B点作BD⊥AC于D点，∵AB=20×16=320海里，∠BAC=30o∴BD=160海里<200海里。∴受台风
影响。
⑵：∵BD=160，BE=200，∴DE=120，AD=1603，∴AE=1603-120，
∴t=160312040=433≈3.9h
提炼：将实际问题转化成数学问题时，应注意过B点做哪条线的垂线段，常见的错误是过B点作AB的垂
线段。
Ⅲ【小结】
1、基本数学思想方法：方程思想、转化思想、数形结合思想；
2、解题的注意点：⑴分清俯角、仰角的顶点；⑵准确地作出垂线段。