一次函数与反比例函数
专题1--一次函数与反比例函数问题
B．x＞2 D．x＜－2或0＜x＜2
【变式训练3】如图，正比例函数 y1 k1x 的图像与反比例
函数
y2
k2 x
的图象相交于A、B
两点，其中点A
D
的横坐标
x 为2，当 y1＞y2 时， 的取值范围是 （ ）
A．x＜ 2或x＞2
B． x＜ 2或0＜x＜2
C． 2＜x＜0或0＜x＜2
真题回顾
例 （2015•广东）如图-1，反比例函数y=k/x（ k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直 线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数 的图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标； （3）在y轴上确定一点M，使点 M到C，D两点的距离之和d=MC+MD， 最小求点M的坐标.
∴m=﹣4，
∴y=﹣
（2）当x＜0时，kx+b﹣ ＞0的解集是x＜﹣4．
m x
【变式训练4】一次函数y=kx+b 与反比例函数 y= 图象相交于A（-1，4），B（2，n）两点， 直线AB交x轴于点D。 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点B 作BC⊥y轴，垂足为C，连接 AC交 x轴于点E，求△AED的面积S。
点
不 ①x的取值范围_x_≠_0____； ①x的取值范围_任__意__实__数；
同 ②图象是_双__曲__线_
②图象是_直__线____；
点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增 大而增__大__减__小_
第二、四 象限
一次函数与反比例函数知识梳理
函数知识梳理：（一）本章知识框架图：图象与性质反比例函数正比例函数一次函数直角坐标系函数的图象变量与函数相依关系运动变化实际问题（二）本章知识回顾： 1. 平面直角坐标系（1）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴构成了平面直角坐标系．（2）点的坐标：坐标平面内一对有序实数（x ，y ）所对应的点叫做这个点的坐标，其中x 叫做横坐标，y 叫做纵坐标．点的坐标特征；各象限点；关于坐标轴对称的点等等．（3）数轴上的点与实数构成一一对应关系，于是坐标平面上的点与实数对P （ｘ，ｙ）构成一一对应的关系． 2. 函数（1）函数的概念，设在一个变化范围内有两个变量ｘ﹑ｙ，如果对于ｘ的每一个值变量ｙ都有惟一确定的值与之对应，那么我们就说ｘ是函数ｙ中的自变量，ｙ是自变量ｘ的函数，其中ｘ的变化范围称自变量的取值范围（也称定义域）﹑函数ｙ的变化范围称为在自变量ｘ的变化条件下的函数ｙ的值（也称值域）．（2）函数的表示法有三种，即图像法，列表法和解析式法． 3. 一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数的定义：如果()为常数b k b kx y ,0≠+=，那么y 叫做x 的一次函数；当0=b 时，()且为常数,0≠=k kx y ，则y 叫做x 的正比例函数． （1）一次函数的作图方法，一次函数的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以我们通常在平面直角坐标系中，描出适合函数的两点，然后过这两点画一条直线，所得的图形就是一次函数的图象． （2）求一次函数的解析式通常有方程建模法和待定系数法两种．方程建模法：就是说根据条件里所有的相等关系，建立含有变量y 和x 的模型（方程）．然后化为一般形式．待定系数法：设()为常数b k b kx y ,0≠+=为一次函数模型，找两个适合函数的点的坐标代入得方程组，求解系数k 和b ．（3）一次函数的图象和性质当k ≠0时一次项系数k 、常数项b 的变化与函数图像的一般规律如下表．函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像k 值 b 值 位置 直线名称性质b>0 一、二、三象限 b ＝0 一、三象限k ＞0 b<0 一、四、三象限一撇 ①随x 的增大而增大②k 值越大直线的倾斜度越陡 b>0 二、一、四象限 b ＝0 二、四象限k ＜0 b<0 二、三、四象限一捺 ①y 随x 的增大而减小②k 值越大直线的倾斜度越平（4）函数与方程及不等式的联系函数反映的是整个变化过程中两个变量之间的关系，方程是某一时刻两个变量之间的关系，而不等式则是某一时段两个变量之间的关系 4. 反比例函数 （1）反比例函数的概念：形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数，自变量的取值范围是0≠x ．（2）反比例函数的图象是双曲线．（3）反比例函数的性质：①当k ＞0时，反比例函数xky =的图象在第一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；②当k ＜0时，反比例函数xky =的图象在第二、四象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．例题讲解：1、已知点P （x ，x+y ）与点Q （y+5，x-7）关于x 轴对称，则点Q 坐标为______。
一次函数与反比例函数的交点问题
一次函数与反比例函数的交点问题一次函数与反比例函数的交点问题，是许多学习数学的人都会遇到的一个难题。
今天，我将从理论和实践两个方面来探讨这个问题，并希望能够给大家带来一些启示和帮助。
我们来看一下一次函数和反比例函数的基本概念。
一次函数是指形式为f(x)=ax+b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。
反比例函数是指形式为g(x)=k/x的函数，其中k是常数，x是自变量。
这两种函数都有一个共同点，那就是它们的图像都是一条直线或曲线。
尽管一次函数和反比例函数在图像上看起来很相似，但它们在求交点的问题上却有着很大的不同。
对于一次函数来说，只要已知它的斜率和截距，就可以轻松地求出它与任意一条直线的交点；而对于反比例函数来说，即使知道了它的定义域和值域，也无法直接求出它与任意一条直线的交点。
这是因为反比例函数的图像是一个双曲线，而不是一条直线。
因此，要解决一次函数和反比例函数的交点问题，就需要采用一些特殊的方法。
其中一种比较常用的方法是“代入法”。
具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后将这条直线代入到反比例函数中去，得到一个关于x的一元二次方程。
接下来再解这个一元二次方程，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。
这种方法虽然比较繁琐，但在实际应用中却非常方便和有效。
除了“代入法”之外，还有一种比较简单且易于理解的方法叫做“待定系数法”。
具体来说，就是先设出一条直线的方程，然后根据这条直线与反比例函数的图像相交的条件，列出一组关于a、b、k的方程组。
最后再解这个方程组，就可以得到这条直线与反比例函数的交点坐标了。
这种方法不仅简单易懂，而且可以推广到其他类型的函数之间求交点的问题上。
一次函数和反比例函数的交点问题虽然看起来比较复杂，但只要掌握了一些基本的方法和技巧，就可以轻松地解决它。
希望大家在学习数学的过程中能够多多思考和探索，不断提高自己的能力和水平。
一次函数和反比例函数的结合问题
一次函数和反比例函数的结合问题 初中阶段，我们接触的函数总共有三类：一次函数、反比例函数和二次函数。
对于二次函数，它往往会和圆、四边形等知识点结合起来去考察学生的掌握情况，相对来说比较复杂。
但是一次函数和反比例函数，通常都是在这两种函数图象结合的基础之上进行知识点的考察和运用。
具体考察的方式如下：1、已知一次函数的解析式，求反比例函数的解析式例：如图，点A 是直线2y x =与曲线1m y x -=（m 为常数）一支的交点．过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且OB =2．求点A 的坐标及m 的值．解：由题意，可知点A 的横坐标是2，由点A 在正比例函数2y x =的图象上，∴点A 的坐标为()24，.又 点A 在反比例函数1m y x -=的图象上，142m -∴=，即9m =．由题目的已知条件，我们能够知道交点A 的和坐标，由于点A 既在一次函数的图象之上，又在反比例函数的图象之上，而一次函数的解析式是已知的，从而能够求出点A 的纵坐标，由于反比例函数中只有一个待定的系数，所以，我们只需要一个点的坐标就可以求出来，点A 的坐标已知，就已经具备求出反比例函数解析式的条件，用待定系数法就可以解决此类问题。
2、已知一次函数和反比例函数的两个交点坐标，求两个函数的解析式和三角形的面积例： 已知：如图，直线b kx y +=与反比例函数)0(<=x xk y 的图象相交于点A 和点B ，与x 轴交于点C ，其中A 点的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOC ∆的面积。
解：（1）∵ 反比例函数x k y '=（x ＜0）的图象相交于点A （－2，4），∴ 8-=k ． ∴ 所求的反比例函数的解析式为 x y 8-=． （2）∵ 反比例函数xy 8-=（x ＜0）的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为－4， ∴ 点B 的纵坐标为2，即点B 的坐标为)2,4(-．∵ 直线b kx y +=过点A )4,2(-、点B )2,4(-，∴ ⎩⎨⎧=+-=+-24,42b k b k 解得⎩⎨⎧==6,1b k ． ∴ b kx y +=的解析式为6+=x y ．此时，点C 的坐标为)0,6(-． ∴ △AOC 的面积为S =124621=⨯⨯ 在本题中，由于焦点坐标是已知的，所以，反比例函数和一次函数的解析式可以通过待定系数法求解出来，至于△AOC 的面积，一定要围绕面积公式底×高÷2找相关对应量。
一次函数与反比例函数探究与规律PPT课件
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4.已知:在矩形ABCD中,OB=4,OA=3.分别以OB、 OA所在直线为x轴和y轴,建立如图所示的平面直角坐 标系.F是边BC上的一个动点（不与B、C重合）,过F 点的反比例函数y=k/x(k>0)的图像与边AC交于点E. （1）求证:△AOE与△BOF的面积相等； （23）记请探S=索S:△是OE否F-S存△在EC这F,求样当的k点为F何,使值得时将,s△有CE最F大沿值EF, 对 最折大 后值,C为点多恰少好?落在AB上?若存在,求出点F的坐标;若不 存在,请说明理由.
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5
变式1:如图,已知一次函数y=kx+b的图象交反 比例函数y 4 2m (x＞0)的图象于点A、B，
x
交x轴于点C.若点A的坐标是（2,-4）. （1）求m的值； （2）若BC：AB=1：3,求一次函数的解析式 及点C的坐标.
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6
变式2：(广东)已知反比例函数y＝(m-8)/x的图 象经过点A（－1，6）．
.
E
G
-
F H9
变式2:如图,△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三
角形,点P1、P2在函数y=4/x(x＞0)的图象上,斜
4 2 边
是
(OA1、A,01A) 2都. 在x轴上,则点则A点2的An坐的标坐标
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变 P△Pn式(1xO3nA:，如1y,图△nP),,P2…A1在(1xA函12，,数△yP1y3)A、2x3AP(3x＞2,△(0xP) 2的n，A图ny-2象1)A，上n都，是等 边三角形,边OA1、A1A2、A2A3、…An-1An都 在x轴上.则P1的坐标为 .
题型一：代数类型
1.（2010•襄阳）已知正一比次例函函数数y=y2=x2+xk的图象 与反比例函数y=k/x的图象有一个交点的纵坐标 是2， （1）求反比例函数的解析式； （2）当-3≤x≤-11时,求反比例函数y的取值范围.
反比例函数与一次函数的综合应用(含答案)
①k1<k2；②当 x<－1 时，y1<y2；③当 y1>y2 时，x>1；④当 x<0 时，y2 随 x 的增大而减
小．其中正确的有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
-1-
4．已知函数 y1＝x(x≥0)，y2＝4x(x>0)的图象如图所示，则以下结论： ①两函数图象的交点 A 的坐标为(2，2)； ②当 x>2 时，y1>y2； ③当 x＝1 时，BC＝2； ④两函数图象构成的图形是轴对称图形； ⑤当 x 逐渐增大时，y1 随着 x 的增大而增大，y2 随着 x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________．
反比例函数与一次函数的有关计算 类型1 利用点的坐标求面积 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝2x＋n 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， 与双曲线 y＝4x在第一象限内交于点 C(1，m)． (1)求 m 和 n 的值； (2)过 x 轴上的点 D(3，0)作平行于 y 轴的直线 l，分别与直线 AB 和双曲线 y＝4x交于点 P， Q，求△ APQ 的面积．
2．一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝kx(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如 图所示，则 k，b 的取值范围是( )
A．k>0，b>0
B．k<0，b>0
C．k<0，b<0
D．k>0，b<0
(第 2 题)
(第 3 题)
(第 4 题)
反比例函数与一次函数的图象与性质
3．(中考·仙桃】如图，正比例函数 y1＝k1x 和反比例函数 y2＝kx2的图象交于 A(1，2)，B 两点，给出下列结论：
函数专题之一次函数与反比例函数
函数专题之一次函数、反比例函数热点一：函数的定义与表达式；1.（1）k 为何值时，函数2(1)1k y k x k =+++是一次函数，它是正比例函数吗？（2）若函数2243my m x-=+-是y 关于x 的反比例函数，求m . 2．若直线y =kx +b 经过)0,25(，且与坐标轴所围成的三角形的面积为425，求该直线的表达式.3过点A ，A .y =x1C .y =x 12+4.11()(A x y B x ，，值分别为( )A ．12k =，2b = B ．49k =，1b = C ．13k =，13b = D ．49k =，13b =热点二：一次函数与反比例函数的图象与性质5．一次函数y 1=ax +b 与y 2=bx +a 的图象在同一坐标系中，大致是（ ）6.在函数(0)ky k x=>的图象上有三点111(,)A x y 、222(,)A x y 、333(,)A x y ，已知1230x x x <<<，则下列各式中，正确的是（ ）A ．130y y <<B ． 310y y <<C ． 213y y y <<D ．312y y y << 7.（2008浙江金华）如图1，已知双曲线y =xk(k >0)与直线y =k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：（1）若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y =xk(k >0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A .P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.热点三：函数问题之数形结合8.（2011浙江杭州）如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点M (2，m )，N (-1，n )，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A ．102x x <-<<或 B ．12x x <->或C ．1002x x -<<<<或D ．102x x -<<>或9.如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为 ____________ ．热点四：反比例函数k 的几何意义10.（2011四川南充）过反比例函数y =xk(k ≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B ,C ，如果△ABC 的面积为3.则k 的值为 .11．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy x y 24=-=和的图像交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC ,BC 则△ABC 的面积为___________；12.（2010衡阳）如图，已知双曲线(0)ky k x=>经过直角三角形OAB 的斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若三角形OBC 的面积为3，则k =___________；13.(2010 四川) 如图，函数()0ky x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB BC 、相交于点.D E 、若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．1B . 2C . 3D . 41A 2A 3B 2B 1B 3C 2C 1C Oxy3A14.(2010 广西)如图所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且11223OA A A A A ==，分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与()80y x x=>的图象分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B ，2B ，3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ，2C ，3C ，连接1OB ，2OB ，3OB ，那么图中阴影部分的面积之和为___________.热点五： 一次函数的应用15.（2011江苏泰州）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m 的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m /min 的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min 后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为 S 1 m ,小明爸爸与家之间的距离为S 2m ,,图中折线OABD ，线段EF 分别是表示S 1、S 2与t 之间函数关系的图象． （1） 求S 2与t 之间的函数关系式：（2） 小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？16.春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分钟）的关系如图所示，已知售票的前a分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）．（1）求a的值．（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数．（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？17.（2010湖北）如图所示，某地区对某种药品的需求量y1（万件），供应量y2（万件）与价格x（元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=－x + 70，y2=2x－38，需求量为0时，即停止供应.当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量.（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量.（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于该地区突发疫情，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以利提高供应量.根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量.y2=2x－38y1=－x+70O x(元/件)热点六：一次函数与反比例综合18. （2010 湖北） 如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①△CEF 与△DEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ；③△DCE ≌△CDF ； ④A C B D =．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）19.（2011山东聊城）如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数42my x-=（x >0）图象于点A 、B ，交x 轴于点C ． （1）求m 的取值范围；（2）若点A 的坐标是（2，－4），且13BC AB =，求m 的值和一次函数的解析式；。
新高一数学衔接课专题四 一次函数与反比例函数
k 1 2k b 1 数y=kx+b中得 解得 b 1 k b 2
∴一次函数表达式为y=-x-1； (2)在y=-x-1中当y=0时，得x=-1, ∴直线y=-x-1与x轴的交点C(-1,0), ∴
SΔ A O B SΔ A O C SΔ B O C
解:（1） ∵点A(-2,1)在反比例函数 y=m/x的图象上， ∴m=－２×１＝－２ ∴反比例函数的表达式为y=-2/x ∵点Ｂ（１,n）也在反比例函数 y=-2/x的图象上， ∴n=－2,即B(1,-2), 把A(-2,1)、Ｂ(1,-2）代入一次函
y Ａ(-2,1) O x C Ｂ(1,n)
1 1 1 3 11 1 2 1 2 2 2 2
（3）x<-2或0<x<1
是一次函数 y kx b m 的图象和反比例函数 y 的图象的两个交点． x (1)求反比例函数和一次函数的解析式；
4) 巩固练习已知 A(4，n) B(2，
四、反比例函数的图象与性质
函数 k 图象
y
0
象限
x增大，y如何变化
（k≠0） k>0
在每一象限内 ___________ ，y随x的 减小 增大而________. 一、三 x 在每一象限内 ，y随x _______________ 的增大而________. 增大
k<0
0
y x 二、四
例1、已知：一次函数y=(4m+1)x-(m+1) （1）m为何值时， y 随 x 增大而减小？ 1 m 4 （2）m为何值时，此直线与y轴交点在x 轴下方？
y 8 , y x 2 x
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
初三一轮复习一次函数与反比例函数知识点
知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0 k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是()－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. 例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解 两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用y=k2x+b y=k1x+b9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答. 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△OPE＞S△AOC=S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
一次函数与反比例函数复习教案
一次函数与反比例函数—面积问题(1)
学习目标：
1.能解决一次函数与反比例函数的综合应用问题。
2.掌握用割补法求三角形的面积。
3.掌握用平行线转化法求三角形的面积（平行线间的距离处处相等，同底等高）
4.已知面积用割补法或平行线转化法求点的坐标。
课前热身：
1.反比例函数（k≠0）的图像经过P（3,2），反比例函数的解析式。
2. 一次函数与x轴，y轴交于A、B点，则A点坐标，B点坐标。
3.一次函数沿y轴向上平移3个单位，则平移后解析式为。
例1、已知：如图，一次函数y=－2x+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在平面上有一点P。
（1）如图1，若点P的坐标为（－1，－2），求△ABP的面积。
（2）如图2，当点P在一次函数y=－2x的图象上时，求△ABP的面积。
中考链接：
（2016年A19题）如图，在平面直角坐标xOy 中，正比例函数y=kx
的图象与反比例函数 的图象都经过点A （2，﹣2）． （1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积．
变式：
（2016•成都改编）如图，在平面直角坐标xOy 中，正比例函数y=kx 的图象与反比例函数 的图象都经过点A （2
，
）0≠m （y x
m =）0≠m （y x
m =
﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接OC，AC，若△OAC的面积为6，求平移后一次函数的解析式。
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一次函数与反比例函数应用题专训 一、利用图象求解析式 试题1、（2015辽宁省朝阳,第23题10分）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B，A公司有铵肥3吨，每吨售价750元；B公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：元/千米）与运输重量a（单位：吨）的关系如图所示． （1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）； （2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．
考点： 一次函数的应用． 专题：应用题． 分析：（1）利用待定系数法分别求出当0≤a≤4和当a＞4时，b关于a的函数解析式； （2）由于1≤x≤3，则到A公司的运输费用满足b=3a，到B公司的运输费用满足b=5a﹣8，利用总费用=购买铵肥费用+运输费用得到y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]2m，然后进行整理，再利用一次函数的性质确定费用最低的购买方案． 解答：
试题2、（2015辽宁省盘锦,第42题14分）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸
引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示． （1）a= 6 ，b= 8 ； （2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式； （3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少
人？ 考点：一次函数的应用． 分析：（1）根据函数图象，用购票款数除以定价的款数，计算即可求出a的值；用第11人到20人的购票款数除以定价的款数，计算即可求出b的值； （2）利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1，分x≤10与x＞10，利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与x的函数关系式即可； （3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50﹣n），然后分0≤n≤10与n＞10两种情况，
试题3、（2015齐齐哈尔,第25题8分）甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度是 60 千米/时，t= 3 小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米． 二、利用表格求函数解析式 试题1、（2015青海，第25题8分）某玩具商计划生产A、B两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生产投入资金不少于22400元，但不超过22500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具．假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本和售价如表： 型号 A B
成本（元） 200 240 售价（元） 250 300 （1）该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？ （2）该玩具商如何生产，就能获得最大利润？
试题2、（2015天津,第23题10分）（2015天津）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min． 设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50） （Ⅰ）根据题意，填写下表： 上升时间/min 10 30 … x
1号探测气球所在位置的海拔/m 15 35 … x+5 2号探测气球所在位置的海拔/m 20 30 … 0.5x+15 （Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由； （Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？
试题3、（2015湖北十堰，第23题8分）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）． x（亩） 20 25 30 35
z（元） 1700 1600 1500 1400 （1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值． ． 试题4、（2015辽宁铁岭）（第24题）某蔬菜经销商去蔬菜生产基地批发某种蔬菜，已知这种蔬菜的批发量在20千克～60千克之间（含20千克和60千克）时，每千克批发价是5元；若超过60千克时，批发的这种蔬菜全部打八折，但批发总金额不得少于300元．
（1）根据题意，填写如表： 蔬菜的批发量（千克） … 25 60 75 90 …
所付的金额（元） … 125 300 300 360
… （2）经调查，该蔬菜经销商销售该种蔬菜的日销售量y（千克）与零售价x（元/千克）是一次函数关系，其图象如图，求出y与x之间的函数关系式； （3）若该蔬菜经销商每日销售此种蔬菜不低于75千克，且当日零售价不变，那么零售价定为多少时，该经销商销售此种蔬菜的当日利润最大？最大利润为多少元？
三、利用等量关系求函数解析式 试题1、（2015，福建南平，23，分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元． （1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值； （2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．
①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式； ②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本． （注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）
试题2、（2015黄冈,第23题10分）我市某风景区门票价格如图所示黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队,计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120 人，乙团队人数不超过50 人.设甲团队人数为x 人,如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为W 元.
(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)若甲团队人数不超过100 人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱；
(3“) 五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50 人时，门票价格不变；人数超过50 人但不超过100 人时，每张门票降价a 元;人数超过100 人时，每张门票降价2a 元.在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400 元，求a 的值.
利用一次函数的性质求得最大值．注意确定x 的取值范围． 试题3、（2015齐齐哈尔,第27题10分）母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元． （1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ （2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？ （3）根据市场行情，销售一个A钟礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？
试题4、（2015梧州,第24题8分）梧州市特产批发市场有龟苓膏粉批发，其中A品牌的批发价是每包20元，B品牌的批发价是每包25元，小王需购买A、B两种品牌的龟苓膏共1000包． （1）若小王按需购买A、B两种品牌龟苓膏粉共用22000元，则各购买多少包？ （2）凭会员卡在此批发市场购买商品可以获得8折优惠，会员卡费用为500元．若小王购买会员卡并用此卡按需购买1000包龟苓膏粉，共用了y元，设A品牌买了x包，请求出y与x之间的函数关系式． （3）在（2）中，小王共用了20000元，他计划在网店包邮销售这批龟苓膏粉，每包龟苓膏粉小王需支付邮费8元，若每包销售价格A品牌比B品牌少5元，请你帮他计算，A品牌的龟苓膏粉每包定价不低于多少元时才不亏本（运算结果取整数）？