15.1.2.1分式的基本性质
15.1.2分式的基本性质(2)
式时，应先将 各分母分解因 式，再找出最 简公分母。
课堂练习
y x 1 , 2, 1.三个分式 的最简公分母是（ 2 x 3 y 4 xy
）
A. 4 xy
B. 3 y
2
C. 12xy
2
2 2 12 x y D.
1 x , 2.分式 2 的最简公分母是_________. x x 2( x 1)
3.分母中所有字母的最高次幂。
例.通分：
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
2 a 2 b 2
c
最简 公分母
例.通分：
解：最简公分母是 2a 2b 2c
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
3 3bc 3 bc 2 2 2 2 2a b 2a b bc 2a b c 2 a b (a b) 2a 2a 2ab 2 2 2 2 ab c ab c 2a 2a b c
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的 所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就
得到了最简公分母
通过本课时的学习，需要我们掌握 1.分式的基本性质. 2.通分和约分是根据分式的基本性质的“等值”变形.
3
x x x6 x 7x 49 x
2
2 2
2
4 x 3 先进行分解因式，再约分
问题情景
1.分数的通分：
7 1 (1) 与 12 8
什么叫做分数的通分？
问题情景
1. 通分：
7 1 (1) 与 12 8
15.1.2分式基本性质考点与练习
15.1.1 分式的基本性质 考点闯关 考点1：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 用式子表示为：,(0),A AC A A C C B BC B B C÷==≠÷其中,,A B C 是整式。
1．下列各式从左至右的变形不正确的是（ ）A ．2233y y -=-B ．66y y x x -=-C ．22xy y x y x =D ．a a c b b c+=+ 2．若把分式5y x y+中的x 、y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A ．扩大5倍 B ．不变 C ．缩小5倍 D ．缩小52倍 3．不改变分式的值，把1312x y x y -+的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为______． 4.已知113x y-=，求5352x xy y x xy y +---的值 考点2：分式的约分（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分；找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时，将能因式分解的先因式分解。
（2）最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.5．下列分式中，是最简分式的是（ ）．A ．2xy xB ．222x y -C ．22x y x y +-D ．22x x + 6．约分：322369a b c a b = ；24424x x x ++=+ . 7．将下列各式约分；22318(1)24a b a b c； 25(3)(2)2(3)a a ----； 2222(3)21a a a --+.8.先化简，再求值：222(1),4x y x y +- 其中35,;2x y ==2223(2),96x xy x xy y --+ 其中32,.43x y ==-题型3：最简公分母与分式的通分通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母通分的关键是准确找出各分式的最简公分母最简公分母的确定方法⑴当各分母的系数都是整数时，取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；⑵所有分式的分母中凡出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；⑶相同字母（或式子）的幂的因式取指数最高的；⑷当分母是多项式时，一般应将能分解因式的多项式分解因式。
人教版数学八年级上册15.1.2分式的基本性质应用：约分、通分教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式约分、通分相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，演示分式通分的过程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。ຫໍສະໝຸດ （四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，在教学过程中，我注意到学生们在找最简公分母时容易出错。这可能是因为他们对分母的因数分解不够熟练。为了帮助学生克服这个难点，我计划在下一节课中增加一些关于因数分解的练习，让学生们多加练习，提高他们的运算速度和准确性。
此外，课堂上的实践活动和小组讨论环节，总体来说效果不错，学生们积极参与，课堂氛围活跃。但我发现有些小组在讨论时，个别成员参与度不高。为了提高小组讨论的效率，我打算在下次活动中，鼓励学生们轮流担任小组负责人，促使每个成员都积极参与讨论，提高团队协作能力。
-实践应用：设计实际问题，如“甲、乙两人分别以$\frac{3}{4}$和$\frac{4}{5}$的效率完成工作，问他们合作时的效率是多少？”帮助学生将分式知识应用于实际问题中。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质应用：约分、通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将复杂问题简化处理的情况？”比如购物时如何快速计算折扣后的价格。这个问题与我们将要学习的分式约分、通分密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式的奥秘。
15.1.2分式的基本性质(2)
1. 通分：
(1) 7 与 1 12 8
4 12 8 32
最简公分母：
解：7 12
72
12 2
14 24
1 8
1 3 83
3 24
4×3×2=24
2、计算：1 3 5 246
各分母的最 小公倍数12
1 16 6 2 26 12
3 33 9 4 43 12
5 52 10 6 62 12
1.约分的依据是：分式的基本性质
2.约分的基本方法是： 先找出分式的分子、分母公因式,再约
去公因式.
3.约分的结果是：整式或最简分式
例：约分
25a2bc3 (1) 15ab2c
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
解：(1)12aa 5522 b bc3c55 aab• b•5c3 a cb2c
分母为 12x3y4z。
1
6y2
2x3 y2z 12x3 y4z
1 3xyz
1
2x2 z
4x2 y3 12x3 y4z
6xy4 12x3 y4z
2、试确定下列分式的最简公分母：
（分母中虽然有的因式是多项式， 但仍然是积的形式。）
1
x
x(x y) y(x y)2
y (x y)(x y)
最简公分母是：xy(x-y)2(x+y)
分数的通分： 把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不
改变分数的值，叫做分数的通分。
通分的关键是确定几个分数的 最最小简公公倍分数母。
和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原 来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
问题 类比分数的通分你能把下列分式 化为分母相同的分式吗？
15.1.2分式的基本性质课件3
思考:
分数和分式在约分和通分的 做法上有什么共同点？这些做 法根据了什么原理？
课内练习
1. 约分： 2bc 2b
ac
a
(x y)y xy 2
x2 xy (x y)2
xy xy
x x y
x2 y2 x y (x y)2 x y
2. 通分：
(1)
2c bd
与
3ac 4b2
(2)
3 3bc 3bc 2a2b 2a2b bc 2a2b2c a b (a b) 2a 2a2 2ab ab2c ab2c 2a 2a2b2c
(2)最简公分母是(x + 5)(x－5).
2x 2x(x 5) 2x2 10 x x 5 (x 5)( x 5) x2 25 3x 3x(x 5) 3x2 15 x x 5 (x 5)( x 5) x2 25
2xy (x y)2
与
x2
x
y2
8bc 3acd 4b2d 4b2d
2x2 y 2xy2 (x y)2(x y)
x2 xy (x y)2(x y)
本课小结
1. 分式的基本性质 2. 如何对分式进行约分、通 分
x
x x
y
x2
x
2x
( x
2
)
(x2
x
x 2x)
x
x
1
2
观察与思考
联想分数的通分和约分，由例2你能想出 如何对分式进行通分和约分吗？
通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适
当的整式，不改变分式的值，把 a b 2a b和
ab
a2
化成相同分母的分式 .
x2 xy
约的分分： 子利 和用 分分 母式 的的公基因本式性x，质不，改约变去分式x的2 x值2 ，xy使
课件2：15.1.2分式的基本性质（2）
的最简公分母为m2-n2
D.
1 a(x-y)
与
1 b(y-x)
的最简公分母为ab(x-y)(y-x)
【解析】选D.∵(x-y)=-(y-x),∴
1 与 1 的最
a(x-y) b(y-x)
简公分母是ab(x-y).
3.
已知
1 a
1 b
1 2
,
则
ab ab
的值是（
）
A. 1
2
B.－
1 2
C.2
D.－2
2x x5
（x2x5•) •
(x 5) 2 x 2 10x
(x 5)
x2 25
3x 3x • x 5 （x 5) •
(x 5) 3 x 2 15x
(x 5)
x 2 25
1.化简
x2 -6x+9 2x-6
的结果是(
)
A.
x+3 2
B. x2 +9 2
C. x2 -9 2
x-3
D. 2
例题
例2 通分
11 (1) a 2b , ab2 .
解 ：1 a 2b
2b
1b a2b b
b a 2b2
，
1 1a a . ab2 ab2 a a 2b2
（1）
3
2 a2 b 与
a b
a b2 c
解： （1）最简公分母是 2 a2b2 c
3
第 十 五 章
分
式
【解析】选D.将已知通分得
b a 1 ,故 ab 2, ab 2.
ab 2 b a
a b
4.化简： x2 9 = ． x3
【解析】 x2 9 (x 3)(x 3) x 3.
分式15.1.2分式的基本性质-人教版八年级数学上册备课教案
第十五章 15.1.2分式的基本性质知识点1：分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母同乘以(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为: =,=,C≠0,其中A、B、C是整式.关键提醒:(1)基本性质式子中的A、B、C表示的是整式.(2)C是不为零的整式.C是一个含有字母的代数式,由于字母的取值是任意的,所以C就有等于0的可能性.因此运用分式的基本性质时,考查C的值是否为0,已成为重点.(3)分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.知识点2:分式的约分1. 利用分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分.2. 约分的关键是找出分子与分母的公因式.公因式的确定方法:①当分子和分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式.②当分子和分母是多项式时,先把多项式因式分解,再确定.归纳整理:进行约分时,应注意以下几点:(1)当分式的分子与分母都是单项式时,可直接约分,也就是约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂;(2)当分式的分子与分母都是多项式时,应先进行因式分解,再进行约分;(3)当分式的分子或分母的系数是负数时,可利用分式的基本性质,把负号提到分式的前面;(4)约分的结果应化为最简分式.知识点3：分式的通分(1)分式的通分:利用分式的基本性质,使分子和分母同时乘以适当的整式,不改变分式的值把几个分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分.(2)最简公分母:各分母所有因式的最高次幂的积,叫作最简公分母.(3)分式通分的关键是确定几个分式的最简公分母.最简公分母的确定方法:①取各分母系数的最小公倍数;②凡单独出现的字母,则连同它的指数作为最简公分母的一个因式;③同指数幂取次数最高的,这样得到的因式的积就是最简公分母.考点1：分式的性质【例1】不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含“-”号.(1);(2);(3).点拨:(1)改变分子、分母的“负”号,分式的值不变;(2)改变分子和分式本身的符号,分式的值不变;(3)改变分母和分式本身的符号,分式的值不变.解:(1)=;(2)=-;(3)=-.考点2：分数约分的计算【例2】下列约分正确的有( ).①=;②=1;③=0;④=.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个点拨:①分子、分母中的m分别与a和b相加,而不是相乘,故分子、分母没有公因式,①错误;②(m-n)3=-(n-m)3,约分后结果为-1,②错误;③分子、分母完全相同,约分以后应为1,③错误;④分子a2-2a-3=(a-3)(a+1),分母a2+2a+1=(a+1)2,约去公因式(a+1),结果为,④正确.答案:A.考点3：分数通分的计算【例3】通分:与.解:因为最简公分母是(m+3)(m-3),所以=,==-.点拨:通分的关键是确定各分母的最简公分母.先确定两个分式的最简公分母是(m+3)(m-3),再利用公式的基本性质分别变形.。
人教版八年级数学上册教案-15.1.2分式的基本性质分式通分
在本次教学活动中，我注意到学生在学习分式的基本性质与通分这一章节时，存在一些理解和掌握上的难点。首先，我发现学生在理解分式基本性质时，对于为何乘除同一个数（除数不为0）不会改变分式的值这一点上存在困惑。在今后的教学中，我需要更加形象、具体地解释这一性质的数学原理，以便学生能够更好地理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式基本性质和通分方法这两个重点。对于难点部分，如选取公倍数和分解因式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式通分相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式通分的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式通分的基本概念。通分是指将分母不相同的分式通过乘以适当的整式，使分母相同，以便进行加减运算。它是分式运算中的重要环节，帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{x+1}$通分，以及通分在简化分式运算中的作用。
在授课过程中，我也注意到学生在解决实际问题时构建分式模型的能力较弱。为了提高学生的这一能力，我将在下一节课中增加一些关于建模的讲解和练习，帮助学生学会如何从实际问题中抽象出分式模型。
此外，教学流程的设计方面，导入新课环节的问题设置可能还不够吸引学生的兴趣，今后我需要在这个环节下更多功夫，设计更具趣味性和启发性的问题，激发学生的学习兴趣和好奇心。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质与通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同单位的量进行换算的情况？”比如，将米和厘米的长度进行加减。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式通分的奥秘。