《结构力学》龙驭球第7章位移法2.
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结构力学-位移法
则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
点转角可由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
§7.4 位移法举例
例1:
q
B EI C
EI
杆长为：l
A
解：1.确定未知量
未知量为: B
2.写出杆端力的表达式
BC杆
M Bc
3
EI L
二、基本未知量的确定
1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角
1
2
1
2.有侧移结构
1
2
3
例1. B
C 例2. B
C
A
A
只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B
只有一个刚结点B， 由于忽略轴向变形及C 结点的约束形式，B结 点有一个转角和水平位 移 B BH
例3. B
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
B
2
E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
A
ql3 96 EI
4E l
I
A
基本体系法解题要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系； （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
1）把结构拆成杆件，进行杆件分析； 2）再把杆件综合成结构，进行整体分析； （5）杆件分析是结构分析的基础。
第7章 位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 载作用下内力的计算。 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法 建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建 立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。
结构力学 位移法
1
第七章 位移法
7-1 位移法的基本概念
2
求解超静定结构的两种最基本的方法：
力法 位移法
力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选 用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法
力法与位移法最基本的区别： 3
基本未知量不同
（位移法基本方程）
在(1)(2)条件成立条件下，基本结构 的内力和位移与原结构相同。
解位移法基本方程
结点位移 未知量
内力
适用范围：
6
力法: 超静定结构
位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
7
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
位移法的准备工作
力法：以多余未知力基本未知量
位移法：以某些结点位移基本未知量
力法和位移法的解题思路：
力法：
先求多余未知力
结构 内力
结构 位移
力法的解题过程
4
力法的全部计算均在基本结构上
原结构
超静定结构
确定基本未知量： 多余未知力Xi
基本结构
施加条件:
原结构的变形协调条件
（力法基本方程）
在变形条件成立条件下，基本体 系的内力和位移与原结构相同。
8
三种单跨超静定梁作为基本构件
常用的形常数：杆轴弦转角
9
三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.
1
A
B
+
−
i
i = EI 线刚度
l
M AB = i MBA = −i
第七章 位移法
7-1 位移法的基本概念
2
求解超静定结构的两种最基本的方法：
力法 位移法
力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选 用各种各样的基本结构）。
位移法在解题上比较规范，具有通用性，因 而计算机易于实现。
位移法可分为：手算——位移法 电算——矩阵位移法
力法与位移法最基本的区别： 3
基本未知量不同
（位移法基本方程）
在(1)(2)条件成立条件下，基本结构 的内力和位移与原结构相同。
解位移法基本方程
结点位移 未知量
内力
适用范围：
6
力法: 超静定结构
位移法： 超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。
例：
7
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
位移法的准备工作
力法：以多余未知力基本未知量
位移法：以某些结点位移基本未知量
力法和位移法的解题思路：
力法：
先求多余未知力
结构 内力
结构 位移
力法的解题过程
4
力法的全部计算均在基本结构上
原结构
超静定结构
确定基本未知量： 多余未知力Xi
基本结构
施加条件:
原结构的变形协调条件
（力法基本方程）
在变形条件成立条件下，基本体 系的内力和位移与原结构相同。
8
三种单跨超静定梁作为基本构件
常用的形常数：杆轴弦转角
9
三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.
1
A
B
+
−
i
i = EI 线刚度
l
M AB = i MBA = −i
结构力学第07章 位移法-3
•
Δ j=1时，附加约束i方向的反力（或反力
矩）。
•
可正，可负，可为零。由反力互等定理 ：
kij = kji • 自由项FiP ： • 荷载单独作用下，附加约束i方向上的反力
（或反力矩）。可正，可负，可为零。
2. 基本方程是按一定规则写出的，它不依结构 的形式不同而异。基本方程中每一个系数都 是由结构的结点单位位移引起的附加约束反 力。结构的刚度愈大，反力（或反力矩）数 值愈大。
分两步考虑：
第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零，这时， 刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷载后，可求出基本 体系中的内力，同时，在附加约束上会产生约束力矩。
第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结点位移， 这时，附加约束中的约束力将随之改变。如果控制结点，使 与原结构的实际值正好相等，则约束力即完全消失。这时基 本体系形式上虽然还有附加约束，但实际上它们已经不起作 用，基本体系实际上处于放松状态，与原结构完全相同。
A
D
基本体系
FQBA
FQCD
F11
B
Δ1
A
F1P B FP A
CF21
F12
B
CΔ2 F22
D
A
D
C F2P
F1=F11+F12+F1P=0 F2=F21+F22+F2P=0
D
k11 B Δ1=1
C k21
k12 B
Δ2=1 C
k22
M1 图
A
D
M2 图
A
D
FΔ1+k12Δ2+F1P=0
-6i/l
0
12i/l2
3i/l2
FP
第七章-位移法
10
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i
B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)
(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)
(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。
q
q
A
BA
B
M
F AB
ql 2 8
M
F AB
M
F BA
ql 2 12
A i EI /l
A
BA
MBA 4iA MBA 2iA
i EI /l B
A
M AB 3iA
5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁 的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静 定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
C
M
F BA
0
M
F BC
ql 2 8
3、此令时B结AB点、产B生C杆转类角似于B ()B端。为固端且产生转角 B
的单跨超静定梁。
A
A
BiC
i
B
i
B
B3iB
B
3iB
B
i
i EI l
C
13
4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）
M BA 3iB
M BC
3iB
ql 2 8
A
D BH
8
习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个
数。(a) EI
EA
(b)
(1) 当EI、EA为无穷大时，
(3)
(2) (当c)EI、EA为有限值时， (6)
(1) 当0时，(10) (2) 当=0时，(9)
(d)
(1) 当不考虑轴向变形时，
(1) 当0时，
(4)
(3)
(2) 当考虑轴向变形时，(9)
(2) 当=0时，
9
小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不 包括支座结点）的转角或线位移。
第七章--位移法专题知识讲座
同理，另两类杆旳转角位移方程为
A端固定B端铰支
M AB
3i A
3i l
AB
MF AB
A端固定B端定向
M AB
i A
MF AB
M BA
i A
MF BA
A
B
位基
移本
法单
A
B
中跨
旳梁
超静定单跨梁旳力法成果(1)
形=形常数
载=载常数
形
形
载
表达要熟记！！！
超静定单跨梁旳力法成果(2) 载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(3) 载
第二种基本思绪
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
集中力FP ,力偶M .怎样求解?
以A 点转角做
M
q
Δ
FP FP
基本未知量,设
为 .在A 施加
限制转动旳约 束,以如图所示
FFP P
体系为基本体 系(基本构造旳
定义和力法相
仿).
根据两图结点平衡
第二种基本思绪
可得附加约束反力
利用“载常数”可作 利用“形常数”可作
载 载
1
超静定单跨梁旳力法成果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁旳力法成果(5) 载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(6) 载
载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(7) 载
形 载
载
超静定单跨梁旳力法成果(8) 载 载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(9) 载
2
载 载 载
超静定单跨梁旳力法成果(10) 载 载
已经有旳知识：
（1）构造构成份析；
（2）静定构造旳内力分析和位移计算；
（3）超静定构造旳内力分析和位移计算 力法；已解得如下单跨梁
结构力学位移法
结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。
它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。
下面将详细介绍位移法的原理和应用。
一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。
它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。
在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。
然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。
这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。
解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。
常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。
最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。
二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。
1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。
通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。
2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。
这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。
3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。
在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。
4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。
动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。
结构力学-第7章-位移法习题答案
EA=∞ E
EA=∞ F
EI
2EI EI
A
B
C
6m
6m
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
7- 34
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11
4 243
EI , R1p
Fp
4 243
EIZ1
Fp
0
Z1
243 4EI
（4）画 M 图
(d)
E
F
EA
EA
A
B
FP aa
C EI1=∞
2a
D
FP a
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
2a
7- 35
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11
2 5
EA / a, R1p
6 5
Fp
2 5
EA a
Z1
6 5
Fp
0
Z1
3a EA
（4）求最终弯矩图
7- 41
(d)
l
E q
GB
D
ql F
EI=常数
A
C
l 2
l
l
l
解：（1）确定基本未知量 两个位移未知量，各种 M 图如下
7- 42
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11
结构力学教学课件第7章
A
(c) M P 图
B
C
D
A
(d) M 图
例7-5-4
求:
A,B两端点的相对竖向位移AB
q=5kN/m
B
(a)
C
D 2m 2m
10kNm
12kNm B C
2kNm
D
(b) M P 图
B C
D
(c) M 图
§7.6 温度改变时静定结构的
位移计算
A B B`
静定结构受到温度改变的影响时，发 生满足约束允许的变形和位移，为零 内力状态。
虚力方程——求位移。
虚位移方程及应用 虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系 可能的任意微小的刚体虚位移上， 所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力 （内力、约束力、支座反力）。
如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构）， B端上有一集中荷载FP，求A端需用 多大的力FA，该杠杆体系能平衡。
1 F Ri ci ( 10) 2.5rad 4 1
2
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类 非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变 成正比例，即服从虎克定律。 几何线性——结构的变形（或位 移）是微小的，在进行结构的内 力和位移分析计算中，可按其原 有的几何尺寸考虑。
FA c FP a
B c A a
(↓)
例7-2-1试用单位位移法（虚位移
法）求图(a)所示简支梁的支座B的约 束反力。
(a)
a L
C
B
b
(b)
C` C
P
B` B ( B =1) B
分析：
(c) M P 图
B
C
D
A
(d) M 图
例7-5-4
求:
A,B两端点的相对竖向位移AB
q=5kN/m
B
(a)
C
D 2m 2m
10kNm
12kNm B C
2kNm
D
(b) M P 图
B C
D
(c) M 图
§7.6 温度改变时静定结构的
位移计算
A B B`
静定结构受到温度改变的影响时，发 生满足约束允许的变形和位移，为零 内力状态。
虚力方程——求位移。
虚位移方程及应用 虚位移方程
使体系上真实的平衡力系，在体系 可能的任意微小的刚体虚位移上， 所作的外力总虚功等于零的方程。
虚位移方程用于求真实的未知力 （内力、约束力、支座反力）。
如图7-2-2(a)所示以杠杆（机构）， B端上有一集中荷载FP，求A端需用 多大的力FA，该杠杆体系能平衡。
1 F Ri ci ( 10) 2.5rad 4 1
2
()
§7.3 结构位移计算公式
变形体可分两大类 非线性变形体
线性弹性体
物理线性——材料的应力与应变 成正比例，即服从虎克定律。 几何线性——结构的变形（或位 移）是微小的，在进行结构的内 力和位移分析计算中，可按其原 有的几何尺寸考虑。
FA c FP a
B c A a
(↓)
例7-2-1试用单位位移法（虚位移
法）求图(a)所示简支梁的支座B的约 束反力。
(a)
a L
C
B
b
(b)
C` C
P
B` B ( B =1) B
分析：
结构力学电子教案第七章静定结构位移计算ppt课件
a 1
c y1
yC
EI
1 EI
(1 y1
2
y2 )
2
b
1 EI
al 2
(2 3
c
1 3
d)
bl 2
(1 3
c
2 3
d
)
y2
d
1 EI
l 6
(2ac
2bd
ad
bc)
结构力学电子教案
a 1
c y1
第七章 静定结构位移计算
第8页
2 b
d y2
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。
处理原则也和上面一样，
第七章 静定结构位移计算
第12页
在图乘法中，当各杆段的截面不相等时，应分段图乘， 再进行叠加。
yc
EI
1y12y23y3
E1I E2I E3I
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
三．图乘法位移计算举例
第13页
例1 试求图a 所示刚架C 点的竖向位移 C y 。
解 （1）作实际状态的 M P 。
均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
MB
MA
qa 2
8
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第10页
结构力学电子教案
第七章 静定结构位移计算
第11页
在图乘法中，当yc所属图形不是一段直线而是若干段 直线组成时，应分段图乘，再进行叠加。
yc EI
E 1( I1y12y23y3)
结构力学电子教案
可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。
E ycIE 1( I1y12y2)
结构力学第七章
结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节
第1节
7.1 基本概念
基本概念
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
• 为了说明位移法的基本概念,我们来分析图 ( d )所示刚架的位移.它在 均布荷载 q 作用下将发生虚线所示的变形,在刚结点 C 处两杆的杆端 均发生相同的转角 c (这个位移本章统一用 Z1 来表示).我们用位移
本章目录
7.1 基本概念 7.2 等截面直杆的转角位移方程 7.3 基本未知量数目的确定和基本结构 7.4 位移法典型方程及计算步骤 7.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 7.6 对称性的利用
基本要求
1.了解结构含义及结构的分类 2. 了解荷载的各种分类 3 .掌握结构计算的三个方面 4 .了解结构力学研究的具体内 容和任务
法分析内力时可略去各杆的轴向变形,即认为两杆长度不变,因而结点
C 没有线位移.下面就来讨论根据 C 点的位移 Z1 来确定各杆内力.
结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节
第1节
7.1 基本概念
基本概念
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 结构力学课件
第七章 位移法
章目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 结构力学课件
第 2 节 等截面直杆的转角位移方程
7.2.3 一端固定、另一端定向支撑的单跨超静定梁
第七章 位移法
章目录 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 桥梁支座 结构力学课件
第 3 节 基本未知量数目的确定和基本结构
7.2 等截面直杆的转角位移方程