厦门市华侨中学九年级上学期期中考试数学试题111
2022-2023学年福建省厦门市思明区华侨中学九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年福建省厦门市思明区华侨中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师2021年9月18日微信账单的收支明细(正数表示收入，负数表示支出，单位：元)，张老师当天微信收支的最终结果是( )A. 收入90元B. 支出8元C. 支出5元D. 收入6元2. 抛物线y=−3(x−4)2+5左平移2个单位再向下平移1个单位后所得到的新函数的顶点坐标是( )A. (−6,4)B. (2,6)C. (2,4)D. (6,4)3. 关于一元二次方程x2−2√5x+4=0根的情况描述正确的是( )A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 不能确定4. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A=100°，则∠BOD=( )A. 80°B. 50°C. 160°D. 100°5. 方程3x2+2x+1=3的解相当于函数y=3x2+2x+1的( )A. 函数值为0时自变量的值B. 函数值为3时自变量的值C. 自变量为0时的函数值D. 自变量为3时的函数值6. 如图，在平行四边形ABCD中，BC=5，S▱ABCD=10√6，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上三种都有可能7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )A. (54√3+10)cmB. (54√2+10)cmC. 64cmD. 54cm8. 如图1，有两全等的正三角形ABC，DEF，且D，A分别为△ABC，△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图2所示．求图1与图2中，两个三角形重迭区域的面积比为何( )A. 2：1B. 3：2C. 4：3D. 5：49. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)有一根为x=2019，则关于y的一元二次方程cy2+by+a=0(ac≠0)必有一根为( )A. 12019B. −12019C. 2019D. −201910. 已知二次函数y=ax2−2ax+c，当−3<x<−2时，y>0；当3<x<4时，y<0.则a与c满足的关系式是( )A. c=−15aB. c=−8aC. c=−3aD. c=a二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 计算：(√2)0+1=______．12. 抛物线y=2x2−bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为______．13. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为______．14. 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______．15. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t−5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．16. 已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是直线BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共15.0分）17. (1)解方程：x 2+4x +2=0．(2)计算：√−273−(13)−1+|√3−2|．(3)化简求值：(1−2x+3)÷x+1x 2−9，其中x =3−√3．四、解答题（本大题共8小题，共71.0分。
福建省厦门市九年级上数学期中试卷
厦门九中2020—2021学年九上期中考试卷数学（试卷总分：150分答卷时间：120分钟）班级姓名座号注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．3．作图题先用2B铅笔作图，确定后再用0.5的黑色签字笔描一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2. 关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣23. 二次函数y＝(x+3)2+5有（）A．最大值5 B．最小值5 C．最大值﹣3 D．最小值﹣34．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+3＝0 B．x2+x＝0 C．x2 +2x＝﹣1 D．x2＝15．在直角坐标系中，点A（﹣7，）关于原点对称的点的坐标是（）A．（7，）B．（﹣7，﹣）C．（﹣，7）D．（7，﹣）6．配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100 B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t﹣）2＝D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝7. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0图18．已知一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c部分自变量与对应的函数值如下表当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞5 D．x＜﹣1或x＞49.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高一丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（）A．x2＝（x﹣1）2+102B．（x+1）2＝x2+102C．x2＝（x﹣1）2+12D．（x+1）2＝x2+1210.若二次函数y＝ax2+b x+c的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）(y1≠n)则下列命题正确的是（）A．若a>0且| x 1﹣1|＞| x 2﹣1|，则y1＜y2B．若a<0且 y1<y2，则|1﹣x 1|＜|1﹣x 2| C．若| x 1﹣1|＞| x 2﹣1|且 y1＞y2，则a<0 D．若x 1+ x 2=2 （x1≠x2），则AB∥CD二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11. 一元二次方程x2﹣2x＝0的解是12.抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是13．如图2，菱形ABCD中，点O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为3和4时，则阴影部分的面积为图214.点A1(m,n)在抛物线C1：y=−2x2上，将抛物线C1平移后得到抛物线C2，点A1的对应点A2(m+1,n+2),则抛物线C2的解析式是15.如图3，将含有30°角的直角三角板OAB 放置在平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，且A 点坐标为（，1）,若将三角板绕原点O 顺时针旋转75°，则点A 的对应点A 1的坐标为16.点P (m,n) 在二次函数y ＝x 2﹣2ax +3图象上，当2≤m ≤3时，n ≥2a ，则a 的值为 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17.（本题满分8分） 解方程：x 2﹣2x ﹣4＝0 18.（本题满分8分）如图4，已知线段AB 绕着点P 逆时针旋转得到线段CD ，其中点C 是点A 的对应点． 用尺规作图的方法确定旋转中心P （要求：不写作法，保留作图痕迹）19.（本题满分8分）已知抛物线y ＝x 2+bx +c 经过原点，对称轴为直线x ＝1，求该抛物线的解析式并画出函数图象． 20.（本题满分8分） 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a ＝﹣121.（本题满分8分）如图5，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，线段AD 是线段AB 绕A 点按逆时针方向旋转90°得到的， △EGF 由△ABC 沿CB 方向平移得到的，且直线EG 过点D ． （1）求证：AD ⊥DG（2）若CF ＝10，∠BAC ＝30°，求AB 的长．22.（本题满分10分）已知 m,n 是关于x 的一元二次方程x 2+a x ﹣5＝0的两根， （1）求mn 的值（2）若a =−1,求m 3+6 n ﹣5的值图5图3图423.（本题满分10分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？24.（本题满分12分）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点．（1）若关于x的一元二次方程为x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2m＝0．①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；②直线l1：y＝x+5与x轴交于点A，直线l2过点B（1，0），且l1与l2相交于点C（﹣1，4），若由①得到的点M在△ABC的内部，求m的取值范围．（2）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx+3（2﹣k）的图象？若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．25.（本题满分14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（6，0）（1）若点（0，1）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式（2）若该抛物线与直线y=3只有一个交点P，抛物线上任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜3时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当3＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，OB交l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：NM平分∠ONB。
福建省厦门市华侨中学九年级上册期中数学试卷 含解析
九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5左平移2个单位再向下平移1个单位后所得到的新函数的顶点坐标是（ ）A．（﹣6，4）B．（2，6）C．（2，4）D．（6，4）3．关于一元二次方程x2﹣2x+4＝0根的情况描述正确的是（ ）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定4．△ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数（ ）A．60°B．40°C．80°D．100°5．对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．函数最大值为46．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．以上三种都有可能7．某种手机经过四、五月份连续两次降价，每部手机由3200元降到2500元．设平均每月降价的百分率为x，则根据题意列出的方程是（ ）A．3200（1﹣x）2＝2500B．3200（1+x）2＝2500C．3200（1﹣2x）＝2500D．3200﹣x2＝25008．将线段OB绕点O逆时针旋转60°形成扇形COB，过C作CD⊥OB，垂足为D，⊙E是△COD 的内切圆，OB＝6，则OE的长为（ ）A．3B．3﹣3C．3+3D．9．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2019，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）A．B．﹣C．2019D．﹣201910．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0；当3＜x＜4时，y＜0．则a 与c满足的关系式是（ ）A．c＝﹣15a B．c＝﹣8a C．c＝﹣3a D．c＝a二．填空题（共6小题）11．一元二次方程（x﹣1）2＝2的根是 ．12．y＝﹣2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 ．13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为 ．14．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝2，C、D是圆周上的点，且∠CDB＝30°，则BC的长为 ．15．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m才能停下来．16．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值是 ．三．解答题（共9小题）17．（1）解方程：x2+4x+2＝0．（2）化简：18．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（2，0）在所给平面直角坐标系中解答下列问题：（1）画出△ABC绕着原点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）请直接写出经过A、B、C三点的⊙P的圆心P的坐标 ．19．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．若∠A＝70°，求∠ODE的度数．20．在直角坐标系xOy中，点A（0，2），在x轴上任取一点M（x，0），连接AM，（1）过M点作x轴的垂线l1，在垂线l1上找到点P（x，y）使PA＝PM（尺规作图，并保留作图痕迹）；（2）若多次改变点M的位置得到相应的P点，求P点所形成的曲线L的解析式．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值22．开学初，侨中对面的学习用具商店用240元购进某种学习用具进行销售，由于深受学生喜爱，很快脱销，商店又用500元购进这种学习用具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了1元．（1）商店第一次购进这种学习用具多少套？（2）商店以每套30元的价格销售这种学习用具，每天可卖4套，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商店决定降价促销，市场调查反映：每降价1元，每天可多卖2套，请你帮商店老板计算一下怎样定价这种学习用具能使每天利润达到最大？并求出最大值．23．在正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．（1）如图1，若点P在线段CB的延长线上，过点E作EF⊥BC交BC于点H，交对角线AC 于点F，连接AE①请根据题意补全图形（不需要用尺规作图）；②若∠PAB＝20°，求∠CAE的度数；③求证：EH＝FH（2）若点P在射线BC上，直接写出CE、CP、CD三条线段的数量关系 ．24．如图，Rt△ABC的外接圆交AD于点E，AC＝BC，∠D＝∠ACE．（1）求证：DB与Rt△ABC的外接圆相切；（2）若EB＝2，∠DAB＝30°，求EC的值．25．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．2．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5左平移2个单位再向下平移1个单位后所得到的新函数的顶点坐标是（ ）A．（﹣6，4）B．（2，6）C．（2，4）D．（6，4）【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移，纵坐标减解答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（4，5），∵向左平移2个单位，向下平移1个单位，∴新抛物线的顶点坐标是（2，4）．故选：C．3．关于一元二次方程x2﹣2x+4＝0根的情况描述正确的是（ ）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定【分析】把a＝1，b＝﹣2，c＝4代入判别式△＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：x2﹣2x+4＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×4＝4＞0，故方程有两个不相等的实数根．故选：C．4．△ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数（ ）A．60°B．40°C．80°D．100°【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠BDE＝120°，然后根据三角形外角性质求∠AED的度数．【解答】解：∵∠C+∠BDE＝180°，∴∠BDE＝180°﹣60°＝120°，∵∠BDE＝∠A+∠AED，∴∠AED＝120°﹣40°＝80°．故选：C．5．对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（ ）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．函数最大值为4【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，函数有最小值为2，无最大值，∴C选项正确；故选：C．6．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（ ）A．相交B．相切C．相离D．以上三种都有可能【分析】如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．求出CH的值即可判断．【解答】解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．∵S平行四边形ABCD＝BC•CH，∴CH＝＝2，∵2＜5，∴直线AD与⊙C相交，故选：A．7．某种手机经过四、五月份连续两次降价，每部手机由3200元降到2500元．设平均每月降价的百分率为x，则根据题意列出的方程是（ ）A．3200（1﹣x）2＝2500B．3200（1+x）2＝2500C．3200（1﹣2x）＝2500D．3200﹣x2＝2500【分析】本题可根据：原售价×（1﹣降低率）2＝降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．【解答】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1﹣x）2＝2500，故选：A．8．将线段OB绕点O逆时针旋转60°形成扇形COB，过C作CD⊥OB，垂足为D，⊙E是△COD 的内切圆，OB＝6，则OE的长为（ ）A．3B．3﹣3C．3+3D．【分析】解直角三角形得到OD＝OC＝3，CD＝＝＝3，根据三角形内切圆的性质得到∠EFO＝90°，∠EOF＝30°，EF＝＝，于是得到结论．【解答】解：∵CD⊥OB，∴∠CDO＝90°，∵∠BOC＝60°，OC＝OB＝6，∴OD＝OC＝3，∴CD＝＝＝3，∵⊙E是△COD的内切圆，点F是切点，∴∠EFO＝90°，∠EOF＝30°，EF＝＝＝，∴OE＝2EF＝3﹣3，故选：B．9．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝2019，则关于y的一元二次方程cy2+by+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）A．B．﹣C．2019D．﹣2019【分析】利用一元二次方程根的定义得到20192a+2019b+c＝0，两边除以20192得到c+b+a＝0，从而可判断为方程cy2+by+a＝0（ac≠0）一根．【解答】解：把x＝2019代入方程ax2+bx+c＝0得20192a+2019b+c＝0，所以c+b+a＝0，所以为方程cy2+by+a＝0（ac≠0）一根．故选：A．10．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0；当3＜x＜4时，y＜0．则a 与c满足的关系式是（ ）A．c＝﹣15a B．c＝﹣8a C．c＝﹣3a D．c＝a【分析】把x＝﹣3和x＝﹣2代入y＝ax2﹣2ax+c，由y＜0都成立，列不等式组求的a 与c的关系；把x＝3和x＝4代入y＝ax2﹣2ax+c，由y＞0都成立，列不等式组求的a 与c的关系即可解答．【解答】解：∵当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0∴，解得：c≥﹣8a；∵当3＜x＜4时，y＜0，∴，解得：c≤﹣8a；∴c＝﹣8a，故选：B．二．填空题（共6小题）11．一元二次方程（x﹣1）2＝2的根是 x＝1± ．【分析】先求得x﹣1的解，进而求得x的解．【解答】解：x﹣1＝±，x＝1±．12．y＝﹣2x2﹣bx+3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 ﹣4 ．【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b的值．【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣bx+3，对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，解得b＝﹣4．故答案为﹣4．13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，若点D落在线段BC的延长线上，则∠B大小为 35° ．【分析】由旋转可知，AB＝AD且∠BAD＝110°，则有三角形内角和可以计算出∠B．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝110°，由三角形内角和可得＝＝35°．故答案为：35°．14．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝2，C、D是圆周上的点，且∠CDB＝30°，则BC的长为 1 ．【分析】根据直角三角形30度角的性质即可解决问题．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠CDB＝30°，∴BC＝AB＝1，故答案为1．15．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 20 m才能停下来．【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．【解答】解：依题意：该函数关系式化简为S＝﹣5（t﹣2）2+20，当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．故惯性汽车要滑行20米．16．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值是 3﹣3 ．【分析】先证明∠APB＝90°，则可判断点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点O，连接OC交⊙O于P′，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PC的值最小，然后求出CP ′即可．【解答】解：∵∠PBA+∠PBC＝90而∠PAB＝∠PBC，∴∠PBA+∠PAB＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点O，连接OC交⊙O于P′，如图，∵AB＝6，BC＝3，∴OP′＝3，OC＝＝3，∴CP′＝3﹣3，∴线段CP长的最小值是3﹣3．故答案为三．解答题（共9小题）17．（1）解方程：x2+4x+2＝0．（2）化简：【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）∵x2+4x＝﹣2，∴x2+4x+4＝﹣2+4，即（x+2）2＝2，则x+2＝±，∴x＝﹣2±；（2）原式＝•＝•＝﹣（x+3）＝﹣x﹣3．18．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，A（2，0）在所给平面直角坐标系中解答下列问题：（1）画出△ABC绕着原点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）请直接写出经过A、B、C三点的⊙P的圆心P的坐标 （，） ．【分析】（1）分别作出三个顶点绕着原点逆时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）先利用勾股定理逆定理证明三角形ABC是直角三角形，据此知经过A、B、C三点的⊙P的圆心P即为AC的中点，从而得出答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知A1（0，2）、B1（﹣1，3）、C1（﹣3，1）；（2）∵AB2＝12+12＝2，BC2＝22+22＝8，AC2＝12+32＝10，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，则经过A、B、C三点的⊙P的圆心P即为AC的中点，∵A（2，0）、C（1，3），∴P（，），故答案为：（，）．19．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．若∠A＝70°，求∠ODE的度数．【分析】连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠BDC＝90°，再利用互余计算出∠ACD＝20°，接着利用圆周角定理得到∠DOE＝2∠DCE＝40°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ODE的度数．【解答】解：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，∴∠DOE＝2∠DCE＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED＝（180°﹣40°）＝70°．20．在直角坐标系xOy中，点A（0，2），在x轴上任取一点M（x，0），连接AM，（1）过M点作x轴的垂线l1，在垂线l1上找到点P（x，y）使PA＝PM（尺规作图，并保留作图痕迹）；（2）若多次改变点M的位置得到相应的P点，求P点所形成的曲线L的解析式．【分析】（1）作MN⊥x轴，作相对AM的垂直平分线交MN于点P，连接PA，点P即为所求．（2）利用两点间距离公式即可解决问题．【解答】解：（1）如图，点P即可所求．（2）设P（x，y），∵PA＝PM，A（0，2），M（x，0），∴PA2＝PM2，∴x2+（y﹣2）2＝y2，整理得：y＝x2+1，∴P点所形成的曲线L的解析式y＝x2+1．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣1＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值【分析】（1）求出△＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m﹣1）＝2（m﹣1）2+2，据此即可作出判断；（2）将x＝1代入方程求出m的值，再代入计算可得答案．【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2+m﹣1）＝4m2﹣2m2﹣4m+4＝2m2﹣4m+4＝2（m2﹣2m）+4＝2（m﹣1）2+2＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1﹣2m+m2+m﹣1＝0，整理，得：m2﹣m＝0，解得m＝0或m＝2，当m＝0时，2（m﹣1）2﹣3＝﹣1；当m＝2时，2（m﹣1）2﹣3＝﹣1；综上，2（m﹣1）2﹣3的值为﹣1．22．开学初，侨中对面的学习用具商店用240元购进某种学习用具进行销售，由于深受学生喜爱，很快脱销，商店又用500元购进这种学习用具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每套进价比第一次多了1元．（1）商店第一次购进这种学习用具多少套？（2）商店以每套30元的价格销售这种学习用具，每天可卖4套，当第二次购进的玩具售出时，出现了滞销，商店决定降价促销，市场调查反映：每降价1元，每天可多卖2套，请你帮商店老板计算一下怎样定价这种学习用具能使每天利润达到最大？并求出最大值．【分析】（1）根据题意列分式方程即可解决问题；（2）根据销售利润＝单件利润×销售量列出二次函数即可求解．【解答】解：（1）设商店第一次购进这种学习用具x套，根据题意，得＝﹣1解得x＝10．经检验x＝10是原方程的根．答：商店第一次购进这种学习用具10套．（2）由（1）可知：第二次购进20套，每套进价为25元，20﹣20×＝6．设降价y元，则定价（30﹣y）元时，每天利润为w元，根据题意，得w＝（30﹣25﹣y）（6+2y）＝﹣2y2+4y+30＝﹣2（y﹣1）2+32当y＝1，即30﹣y＝29时，w有最大值，最大值为32，答：定价为29元时，每天的利润最大，最大值为32元．23．在正方形ABCD中，点P是直线BC上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．（1）如图1，若点P在线段CB的延长线上，过点E作EF⊥BC交BC于点H，交对角线AC 于点F，连接AE①请根据题意补全图形（不需要用尺规作图）；②若∠PAB＝20°，求∠CAE的度数；③求证：EH＝FH（2）若点P在射线BC上，直接写出CE、CP、CD三条线段的数量关系 CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP） ．【分析】（1）①据题意补全图形即可；②由正方形和旋转的性质证出∠PAE＝∠BAC，即可得出答案；③证明△APB≌△PEH即可；（2）①当点P在线段BC上时，在BA上截取BM＝BP．则△PBM是等腰直角三角形，证明△PCE≌△AMP（SAS），得出CE＝PM，即可得出结论；②当点P在线段BC的延长线上时，在BA上截取BM＝BP．则△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．证明△PCE≌△AMP（SAS），得出CE＝PM，即可得出结论．【解答】（1）①解：补全图形如图1所示：②解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴∠PAE＝45°＝∠BAC，∴∠CAE＝∠PAB＝20°；③证明：如图2所示：∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∵EF⊥BC于H，∴∠PHE＝90°＝∠ABP，∴∠EPH+∠E＝90°，∴∠1＝∠E，即∠APB＝∠E，在△APB和△PEH中，，∴△APB≌△PEH（AAS），∴PB＝EH，AB＝PH，∴BC＝PH，∴PB＝CH，∴CH＝EH，∵∠ACB＝∠BCD＝45°，∴CH＝FH，∴EH＝FH．（2）解：分两种情况：①当点P在线段BC上时：CE＝（CD﹣CP），理由如下：在BA上截取BM＝BP，连接PM．则△PBM是等腰直角三角形，∴PM＝PB，∠BMP＝∠BPM＝45°，∵AB＝BC，∴AM＝PC，由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，∴∠APM+∠CPE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，又∵∠MAP+∠APM＝∠BMP＝45°，∴∠MAP＝∠CPE，在△PCE和△AMP中，，∴△PCE≌△AMP（SAS），∴CE＝PM，∵CD﹣PC＝BC﹣PC＝BP，∴CE＝PM＝BP＝（CD﹣CP）；②当点P在线段BC的延长线上时，CE＝（CD+CP），理由如下：在BA上截取BM＝BP，连接PM，如图4所示：则△PBM是等腰直角三角形，PM＝BP．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠DAM＝∠BAD＝90°，AD∥BC，∴AM＝PC，∠DAP＝∠APB，由旋转的性质得：PE＝PA，∠APE＝90°，∴∠PAM＝∠EPC，在△PCE和△AMP中，，∴△PCE≌△AMP（SAS），∴CE＝PM，∵CD+CP＝BC+CP＝BP，∴CE＝PM＝BP＝（CD+CP）；故答案为：CE＝（CD﹣CP）或CE＝（CD+CP）．24．如图，Rt△ABC的外接圆交AD于点E，AC＝BC，∠D＝∠ACE．（1）求证：DB与Rt△ABC的外接圆相切；（2）若EB＝2，∠DAB＝30°，求EC的值．【分析】（1）证得∠ABE＝∠D，可得∠ABE+∠DBE＝90°，则DB与Rt△ABC的外接圆相切；（2）过点A作AF⊥CE于点F，求出AE的长，求出AF的长，得∠FAC＝30°，求出CF 的长，则CE的长可求出．【解答】（1）证明：∵△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∴AB为圆的直径，∴∠AEB＝∠BED＝90°，∴∠D+∠DBE＝90°，∵∠D＝∠ACE，∠ACE＝∠ABE，∴∠ABE＝∠D，∴∠ABE+∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∴DB与Rt△ABC的外接圆相切；（2）解：过点A作AF⊥CE于点F，∵BE＝2，∠DAB＝30°，∠AEB＝90°，∴，∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠AEC＝∠ABC＝45°，∴＝，∵∠ABE＝∠ACE＝60°，∴∠FAC＝30°，∴＝，∴+．25．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【分析】（1）过点B作BH⊥x轴于点H，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，则∠BOH＝60°，则BH＝，OH＝1，故点B（1，），即可求解；（2）四边形AOBO′为菱形，四边形AOBO′的面积＝AO×BH＝2×＝2；（3）△ANB的面积S＝×MN×（x B﹣x A）＝|n2+n﹣（n+2）|，即可求解．【解答】解：（1）过点B作BH⊥x轴于点H，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，则∠BOH＝60°，则BH＝，OH＝1，故点B（1，）；抛物线过原点，则c＝0，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝，故抛物线的表达式为：y＝x2+x；当x＝1时，y＝，故点B在抛物线上；（2）如图1，作点O关于AB的对称点O′，则四边形AOBO′为菱形，四边形AOBO′的面积＝AO×BH＝2×＝2；（3）由点A、B的坐标得直线AB的表达式为：y＝（x+2），点P（n，0），则点N（n，n2+n）、点M（n，n+），△ANB的面积S＝×MN×（x B﹣x A）＝|n2+n﹣（n+2）|，≤S≤，则≤|n2+n﹣2|≤，解得：≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．。
【5套打包】厦门市初三九年级数学上期中考试测试卷(含答案)
新九年级（上）期中考试数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3 3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．54．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣27．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求的值．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．六、（本题满分12分）21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？七、（本题满分12分）22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．八、（本题满分14分）23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．5【分析】根据比例线段计算即可．【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故选：D．4．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．故选：D．5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，故选：D．7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正确；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正确；同理，故C错误；故选：C．8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，∴AC⊥EF，AO＝CO，在矩形ABCD，∠D＝90°，∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，∴CO＝，∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，∴△DAC∽△OFC，∴，∴，∴EO＝，∴EF＝2×＝．故选：B．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．【解答】解：点M从点A到点D的过程中，y＝＝x，（x≤3），故选项A、B、C错误，当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），点M到C的过程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故选项D正确，故选：D．二．填空题（共4小题）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：∠AED＝∠B（答案不唯一），使△ABC∽△AED．【分析】根据∠AED＝∠B和∠A＝∠A可以求证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B 即可以求证△AED∽△ABC．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为 4 ．【分析】先求出二次函数与x轴的2个交点坐标，然后再求出2点之间的距离．【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x ﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，则AB＝|x2﹣x1|＝4．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是（2，）．【分析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得点F的坐标，本题得以解决．【解答】解：设点P的坐标为（a，），∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），∴点P的坐标为（1，1），∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，∴AE＝DF，AE＝，∴DF＝，当y＝时，，得x＝2，∴点F的坐标为（2，）．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝1或．【分析】分两种情况，根据相似三角形的判定和性质以及翻折的性质解答即可．【解答】解：①如图1所示，∠GA'C＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，∵∠AA'G＝90°，∴点A、A'、C在同一直线上，∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，∴△ABE∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝1；②如图2所示，∠A'GC＝90°，∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，∴△ABE∽△DGC，∴＝，设AE＝EA'＝EG＝x，∴＝，解得：x＝，或x＝3（舍去），∴AE＝；综上所述，x＝1或；故答案为：1或．三．解答题（共2小题）15．已知，求的值．【分析】设＝k，得到a＝3k．b＝4k，c＝6k，代入即可得到结论．【解答】解：设＝k，则a＝3k．b＝4k，c＝6k，∴＝＝．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．【分析】（1）根据配方法的要求把一般式转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标；（2）当a＞0时，抛物线开口向上，根据二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点坐标（﹣1，﹣4）；（2）∵函数图象开口向上，其对称轴是直线x＝﹣1，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．四．解答题（共7小题）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．【分析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），∴BC＝2，∵点D为BC的中点，∴CD＝1，∴点D的坐标为（1，3），代入双曲线y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；∵BA∥y轴，∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，∵点E在双曲线上，∴y＝∴点E的坐标为（2，）；（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2∵△FBC∽△DEB，∴即：∴FC＝∴点F的坐标为（0，）设直线FB的解析式y＝kx+b（k≠0）则解得：k＝，b＝∴直线FB的解析式y＝18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【分析】依据格点△ABC的三边长分别为，2、，将该三角形的各边扩大一定倍数，即可画出与△ABC相似但不全等的格点三角形，进而得出与△ABC相似的格点三角形的最大面积．【解答】解：如图所示：如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.519．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，然后解关于k的方程即可．【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）解：①∵x＝﹣＝，∴m＝2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，∴△＝52﹣4（6+k）＝0，∴k＝，即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．【分析】（1）证明△ACB∽△ADC，根据相似三角形的性质证明结论；（2）证明△ACB∽△CDB，得到BC2＝BD•AB，与（1）中两式相加，得到答案．【解答】证明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△ADC，∴＝，∴AC2＝AD•AB；（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴＝，∴BC2＝BD•AB，∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）销售利润之和W＝甲种水果的利润+乙种水果的利润，利用配方法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），∴，解得，∴y2＝﹣x2+x．（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3 ；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．【分析】（1）根据“反簇二次函数”定义写出所求即可；（2）把A坐标代入y1，求出m的值，进而表示出y1+y2，根据y1+y2与y1互为“反簇二次函数”，求出a，b，c的值，确定出y2，写出满足题意的范围即可．【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；故答案为：y＝（x﹣2）2+3；（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2﹣2m+m+2＝2，解得：m＝2，∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，∴，解得：，∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+8x﹣4，当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．【分析】方法一：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC＝MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．方法二：（1）略．（2）求出点M，N的参数坐标，并得到MN的长度表达式，从而求出MN的最大值．（3）因为BM与NC相互垂直平分，所以四边形BCMN为菱形，因为MN∥BC，所以只需MN ＝BC可得出四边形BCMN为平行四边形，再利用NC⊥BM进行求解．【解答】方法一：解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y＝﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN＝PN﹣PM＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，则当x＝﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN＝BC，且BC＝MC，即﹣x2﹣x＝，且（﹣x+1）2+（x+3）2＝，解x2+3x+2＝0，得：x＝﹣1或x＝﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．方法二：（1）略．（2）设N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），∴MN＝NY﹣MY＝﹣+t﹣1，∴MN＝﹣，当t＝﹣时，MN有最大值，MN＝．（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN＝BC＝，即﹣＝，∴t1＝﹣1，t2＝﹣2，①t1＝﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴K NC＝＝2，∵K AB＝﹣，∴K NC×K AB＝﹣1，∴NC⊥BM．②t2＝﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），∴K NC＝＝，K AB＝﹣，∴K NC×K AB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．新九年级（上）期中考试数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2 2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3 3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．54．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣27．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．10．如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）11．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC∽△AED．12．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．13．如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知，求的值．16．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）指出y随x的变化情况．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y ＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．18．如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．六、（本题满分12分）21．根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x （吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．（1）求出y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？七、（本题满分12分）22．定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．八、（本题满分14分）23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），∴对称轴是直线x＝0（y轴），故选：C．2．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【分析】按照“左加右减”的规律即可求得．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．故选：A．3．若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）A．B．C．2 D．5【分析】根据比例线段计算即可．【解答】解：因为a＝5cm，b＝10mm，所以的值＝，故选：D．4．函数y＝﹣的图象位于（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限【分析】根据反比例函数的图象和性质，k＝﹣2＜0，函数位于二、四象限．【解答】解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．故选：D．5．手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【解答】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．6．下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，当x＞1时，y随x的增大而增大，故选：D．7．如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的判定和性质，以及平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵PF∥CD，PE∥BC，∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，∴＝，＝，∴；＝，故A、D正确；∵PE∥BC，PF∥CD，∴四边形AEPF是平行四边形，∴PF＝AE，∵＝，∴；故B正确；同理，故C错误；故选：C．8．反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】首先根据反比例函数所在象限确定k的符号，再根据k的符号确定抛物线的开口方向和对称轴，即可选出答案．【解答】解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；故选：B．9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）A．2B．C．D．【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，。
福建厦门华侨中学~学年度第一学期期中考试九年级数学模拟试题(图片版,)
要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
福建省厦门市2021-2022学年九年级上学期期中数学试题(word版,含答案解析)
福建省厦门市2022-2022学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．矩形2．用求根公式计算方程x 2－5x ＋3＝0的根时，公式中b 的值为（ ） A ．5B ．－5C ．3D ．53-3．方程 (x －1) 2＝0的根是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝1，x 2＝0 C ．x 1＝－1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝－14．下列说法不正确的是（ ）A ．选举中，人们通常最关心的数据是众数B ．从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性比较大C ．必然事件发生的概率为1D ．某游艺活动的中奖率是60%，说明参加该活动10次就有一定6次会获奖 5．关于二次函数()=+-2y x 12的图象，下列说法正确的是（ ） A ．对称轴是1x = B ．开口向下 C ．顶点坐标是（1，-2）D ．与x 轴有两个交点6．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ）A ．∠ADCB ．∠ABDC ．∠BACD ．∠BAD7．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知…求证…”的形式，下列正确的是（ ）A．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BCB．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CDC．已知：在⊙O中，弧AD＝弧BC，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BCD．已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD8．如图所示，在一幅矩形风景画的四周镶一条相同宽度的边框，制成一幅长为80cm，宽为50cm的挂图，设边框的宽为xcm，如果风景画的面积是2800cm2，下列方程符合题意的是（）A．（50+x）（80+x）＝2800 B．（50+2x）（80+2 x）＝2800C．（50﹣x）（80﹣x）＝2800 D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝28009．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（）A．AB＝4B．∠ABC＝45°C．当x＞0时，y＜﹣3D．当x＞1时，y随x的增大而增大10．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，若m，n是关于x的方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q＜n二、填空题11．将抛物线y=x 2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为______． 12．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有___个．13．已知点(),2A a 与点()1,B b -关于原点O 对称，则点(),C a b 在第______象限． 14．如图，⊙O 中，∠ACB = 110º，则∠AOB=______．15．如图，已知Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，斜边OB ＝4，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°到Rt △ODC ，连接BC ，AC ．作OP ⊥AC ，垂足为P ，则OP 的长度为_______．16．已知点P （m ，n ）在抛物线2y ax x a =--上，当1m 时，总有1n ≥-成立，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题17．解方程222x x +=．18．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝7，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，求CD 的长．19．已知二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （0，3），B （-1,0）. （1）求该二次函数的解析式 （2）在图中画出该函数的图象20．有3张形状材质相同的不透明卡片，正面分别写有4、3、－5，三个数字．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字作为一次函数y kx b =+中k 的值；第二次从余下．．的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字作为b 的值．用画树状图或列表法求所得到的一次函数y kx b =+的图像经过第一、二、三象限的概率．21．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()10,0，点B 的坐标是()8,0，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．（1）求CD 的长； （2）求直线BC 的解析式．22．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=． （1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．23．已知四边形ABCD 内接于⊙O ．（1）如图1，若AB=3，BC=4，AC=5，求⊙O 的半径的长；（2）如图2，若AC ⊥BD ，且AD=8，BC=6．求⊙O 的半径的长以及AB 与CD 满足的数量关系．24．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2y ax bx c =+-的对称轴；（2）若抛物线2y ax bx c =+-的对称轴为直线34x =-，抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积．25．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，4y x =-+．问题与探究：如图1，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A 、C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线()218y x m n =-+经过B 、C 两点，顶点D 在正方形内部．（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线（用含m、n的式子表示）；（2）若点D有一条特征线是y=x+2，求此抛物线的解析式；（3）对于满足（2）中条件的抛物线，点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？参考答案1．D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．B【分析】对照一元二次方程的一般式a x2＋b x＋c＝0，即可确定公式法中的b．【详解】解：用求根公式计算方程x2－5x＋3＝0的根时，公式中b的值为−5，故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键．3．A【分析】根据直接开平方法可得x－1＝0，解此一元一次方程即可求得．【详解】解：∵(x－1) 2＝0，∴x－1＝0 ．∴x1＝x2＝1．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解此题的关键． 4．D 【分析】由众数的定义、概率的知识，可得A 、B 、C 正确，并判断出 D 错误． 【详解】解：A 、选举中，人们通常最关心的数据是众数，故本选项正确； B 、从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的概率为35，取得偶数的概率为25，故本选项正确；C 、必然事件发生的概率为1，故本选项正确；D 、某游艺活动的中奖率是60%，不能说明参加该活动10次就有6次会获奖，故本选项错误． 故选：D ． 【点睛】此题考查了众数、概率问题，解题的关键是正确理解题意并掌握概率的计算方法，还应注意排除法在解选择题中的应用． 5．D 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标，然后对各选项进行判断即可． 【详解】∵()212y x =+- ∵a=1>0∴抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2），对称轴为x=-1， ∴A 、B 、C 不正确，∵抛物线开口向上，顶点坐标为（-1，-2）， ∴抛物线与x 轴有两个交点， ∴D 正确， 故选D ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h6．D【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝90°，即可得出答案.【详解】解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠ACD+∠BAD＝90°，故选：D.【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确掌握圆周角定理是解题的关键.7．B【分析】根据命题的定义、结合图形解答．【详解】解：命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，已知：在⊙O中，弧AB＝弧CD，求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD，故选：B．【点睛】本题考查的是命题与定理，命题写成“已知…，求证…”的形式，这时，“已知”后面接的部分是题设，“求证”后面解的部分是结论． 8．D 【分析】根据图求出风景画的长、宽，再利用矩形的面积公式即可得出答案. 【详解】由题意得：风景画的长为：(802)x cm -，宽为：(502)x cm - 利用矩形的面积公式得：(802)(502)2800x x --= 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意求出风景画的长、宽是解题关键. 9．C 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】∵二次函数y =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴当y =0时，x 1=﹣1，x 2=3，∴点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），∴AB =4，故选项A 正确． ∵当x =0时，y =﹣3，∴OC =3．∵点B （3，0），∠COB =90°，∴OB =3，∴OB =OC ，∴∠OBC =45°，即∠ABC =45°，故选项B 正确．当0＜x ＜1时，﹣4＜y ＜﹣3，当x ≥1时，y ≥﹣4，故选项C 错误． 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故选项D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等难度题型． 10．A 【分析】利用二次函数的性质和方程的知识，可以得到m ，n ，p ，q 的大小关系． 【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝﹣2，∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）﹣2＝0的两个根，∴y＝（x﹣p）（x﹣q）﹣2，当x＝m或x＝n时，y＝0，∴p，q一定处在m，n中间故选：A．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与一元二次方程解的意义是解题关键．11．y=x2-2【分析】根据“上加下减”可得答案．【详解】将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为y=x2-2.故答案为y=x2-2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移.抛物线平移变换的规律：左加右减（在括号内），上加下减（在末梢）.12．6【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：设袋中黄色球可能有x个．根据题意，任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：15%=x40，解得：x=6．∴袋中黄色球可能有6个．故答案为：613．四【分析】根据关于原点对称的点的关系特点，可得a 、b 的值，进而可求得答案．【详解】解：∵点(),2A a 与点()1,B b -关于原点O 对称∴()11a =--=，2b =-∴点C 的坐标为()1,2-∴点()1,2C -在第四象限．故答案是：四【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点、注意与关于x 、y 轴对称的点的坐标特点的区分记忆，同时还考查了平面直角坐标系中坐标位置的关系．14．140︒【分析】在优弧AB 上任取一点D ，连接AD 、BD ，先由圆内接四边形的性质求出ADB ∠的度数，再由圆周角定理求出AOB ∠的度数即可．【详解】解：在优弧AB 上任取一点D ，连接AD 、BD ，如图：∵四边形ACBD 内接于O ，110ACB ∠=︒∴18070ADB ACB ∠=︒-∠=︒∴2140AOB ADB ∠=∠=︒．故答案是：140︒【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质等，添加适当的辅助线并应用圆周角定理是解题的关键．15． 【分析】在RtΔOAB 中，利用30º角求AO ，利用勾股定理求BA ，Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°到Rt △ODC ，得ΔBOC 为等边三角形进而∠COB+∠ABO=90º，∠OAB ＝90°，可得BC ∥AO ，可证ΔCBA ∽ΔAPO ，由相似三角形的性质AC AB AO OP =求出OP 即可． 【详解】∵Rt △OAB ，∠OAB ＝90°，∠ABO ＝30°，∴∠BOA=90º-∠ABO=90º-30º=60º，∴AO=12OB=2，= ∵Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转60°到Rt △ODC ，∴BO=CO ，∠DOC=60º，∴ΔBOC 为等边三角形，∴BC=OB=4，∴∠COB+∠ABO=30º+60º=90º，∠OAB ＝90°，∴BC ∥AO ，∴∠BCA=∠PAO ，∴OP ⊥AC ，∴∠APO=90º，∴∠CBA=∠APO ，∴ΔCBA ∽ΔAPO ， ∴AC AB AO OP=，在RtΔABC 中，=∴2272AO AB OP AC ⨯===．．【点睛】本题考查三角形旋转，直角三角形，等边三角形，相似三角形等问题，掌握三角形旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质是解题关键．16．0＜a≤1 2【分析】依照题意画出图形，分0＜12a＜1及12a≥1两种情况考虑，结合函数图形以及已知条件可得出关于a的一元一次不等式组（或一元一次不等式），解之即可得出a的取值范围，综上即可得出结论．【详解】当12a≥1时，有11aa a⎧⎨--≥-⎩＞，解得：a＞0，∴0＜a≤12；当0＜12a＜1时，有()224114aa--≥--，解得：a=1 2∴0＜a≤12．综上所述：0＜a≤12．故答案为：0＜a≤12．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，分0＜12a ＜1及12a ≥1两种情况找出关于a 的一元一次不等式（一元一次不等式组）是解题的关键．17．11=-x 21=-x【分析】利用求根公式法或配方法解一元二次方程即可得解．【详解】解：①222x x +=2220x x +-=∵1a =，2b =，2c =-∴()2242412120b ac ∆=-=-⨯⨯-=>∴21221b x a -±-===-±⨯∴11=-x ，21=-x ．②222x x +=22221121x x +⋅⋅+=+()213x +=1x +=1x =-±∴11=-x ，21=-x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据题目特点选择合适的解法是解题的关键．18．CD ＝3【分析】由旋转的性质可得AB ＝AD ＝4，可证△ABD 为等边三角形，可得BD ＝AD ＝4，即可求解．【详解】解：∵将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，∴AB ＝AD ＝4，∵∠B ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝AD ＝4，∴CD ＝BC ﹣BD ＝7﹣4＝3．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．19．（1）243y x x =++；（2）详见解析.【分析】(1)根据二次函数2y x bx c =++的图象经过点A （0，3），B （-1，0）可以求得该函数的解析式;(2) 根据(1) 中求得的函数解析式可以得到该函数经过的几个点，从而可以画出该函数的图象;【详解】解:(1) 把A （0，3），B （-1，0）分别代入2y x bx c =++ ，得0+0+c=31-b+c=0⎧⎨⎩ 解得c 34b =⎧⎨=⎩ 所以二次函数的解析式为：243y x x =++(2)由（1）得()221y x =+-列表得：如图即为该函数图像：【点睛】本题考查求抛物线的解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想.20．1 3【分析】先根据题意列出树状图，再找出所有情况，看k＞0，b＞0的情况占总情况的多少即可求出答案．【详解】画树状图共有6种情况，因为一次函数y＝kx＋b经过第一、二、三象限，则k＞0，b＞0，又因为k＞0，b＞0的情况有k＝4，b＝3或k＝3，b＝4两种情况，所以一次函数y＝kx＋b经过第一、二、三象限的概率为21 63 ．【点睛】此题考查了列表法与树状图，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ，注意本题是放回实验；经过二三四象限的一次函数的k ＞0，b ＞0．21．（1）8CD =；（2）32477y x =-+ 【分析】（1）根据平行四边形的性质即可求得答案；（2）添加辅助线构造直角三角形，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的和差即可求得()1,3C，再根据待定系数法即可求得直线解析式．【详解】解：（1）∵点B 的坐标是()8,0∴8OB =∵四边形OCDB 是平行四边形∴8CD OB ==．（2）过点M 作MN CD ⊥，连接MC ，过点C 作CH OA ⊥，如图：∵MN CD ⊥，8CD = ∴142CN CD == ∵()10,0A∴10OA = ∴152OM OA ==∴在Rt CMN 中，3MN ==∵四边形OCDB 是平行四边形∴//CD OB∵CH OA ⊥∴四边形CHMN 是平行四边形∴3CH MN ==，4HM CN ==∴1OH OM HM =-=∴()1,3C∴设直线BC 的解析式为：y kx b =+∴083k b k b =+⎧⎨=+⎩∴37247k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线BC 的解析式为：32477y x =-+． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、垂径定理、勾股定理、线段的和差、待定系数法等，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．22．（1）12；（2）27y -≤< 【分析】（1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++=∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12． （2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．23．（1） 2.5r = （2）=5r 22100AB CD +=【分析】（1）根据勾股定理判断直角三角形，从而判断AC 为直径，即可求解；（2）连接AO 并延长交O 于点G ，交DC 于点P,连接DG ，AC ⊥BD 垂足为点H ，可判断ABH AGD ， 从而得到AD AH DG HB =，判断AHD BHC ，得到43AD AH BC BH ==，求出6DG =，可求得半径；连接BG,GC,BP ，判断DGP BCP ≅，在直角三角形ABG 中根据勾股定理求解.【详解】(1)如图在ABC 中，2239AB ==， 22525AC ==，22416BC ==∵222AC AB BC =+，ABC 为直角三角形，90ABC ∠=∴AC 为O 的直径 ∴1 2.52r AC == （2）连接AO 并延长交O 于点G ，交DC 于点P,连接DG ，AC ⊥BD 垂足为点H.∵AC ⊥BD 90AHB ∠=∵AG 为圆的直径，90ADG =∠∵AD 对应的角有ABD AGD ∠、∠在ABH 和AGD △中90ABD AGD ADG AHB ∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩∴ABH AGD ∴AD AH DG HB= ∵CD 对应的角有DAH HBC ∠、∠在ADH 和BCH 中90DAH HBC AHD BHC ∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩ ∴AHD BHC ∴43AD AH BC BH == ∴43AD AH DG HB == ∴6DG =∴10AG = ∴152r AG == 连接BG,GC,BPCG 对应的角有GDC GBC =∠∠BD 对应的角有DGB BCD =∠∠在DGP 和BCP 中6GDC GBC BPC DPG DG BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴DGP BCP ≅（AAS ）∴DG=BC DC=BG在ABG 中，90ABG ∠=∴222100AB BG AG +==22100AB CD +=【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用等相关知识；正确作出辅助线是解题的关键.24．(1)x=-；（2）ABCD S =四边形 【分析】（1）由正方形推出a ，利用对称轴公式求对称轴（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1bc =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，，a2y ax bx c =+-=a (x 2x-1)对称轴为x=222b a a -==- (2) 对称轴为直线34x =-， ∴利用对称轴公式得b=32a 抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --= 由c>0、b>0、a>0，10ac b --= ∴10132ac b b c b a ⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值已舍去）， ∵ABCD ，=2a c =∴四边形ABCD 为菱形连BD 交AC 于O ，BO ⊥AO ，AO=OC=1.5在RtΔABO 中，由勾股定理2OB ==，∴ABCD 1322S ==四边形【点睛】本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c 、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b 、关系，利用点C 在抛物线上，确定a b c 、、之间关系会解方程组解决问题25．（1）,,,x m y n y x n m y x m n ===+-=-++；（2）()21468y x =-+；（3）183-或23+ 【分析】（1）根据特征线的定义以及性质直接求出点D 的特征线；（2）由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式； （3）分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可．【详解】（1）∵点D (),m n∴D (),m n 的特征线是,,,x m y n y x n m y x m n ===+-=-++（2）∵点D 有一条特征线是2y x =+∴2n m =+∵抛物线的解析式为()218y x m n =-+ ∴()2128y x m m =-++ ∵四边形OABC 是正方形，且D 点为正方形的对称轴，(),D m n∴()2,2B m m ∴212(2)8m m m n =-+ ∴21028m n m =+- 将2n m =+代入21028m n m =+-中 21028m m =-+ 解得4,6m n ==∴抛物线的解析式为()21468y x =-+ （3）①如图，当点A '在平行于y 轴的D 点的特征线时根据题意可得()4,6D∴8,4OA OA OM '===∴60A OM '=︒∠∴30A OP AOP '==︒∠∠∴3MN ==∴抛物线需要向下平移的距离6==②如图，当点A '在平行于x 轴的D 点的特征线时，设(),3A p '则8,6,OA OA OE EA ''=====∴8A F '=-设()()8,0P c c >在Rt A FP '△中，222(8(6)c c -+-=解得c =∴32(8,3p -∴直线OP 解析式为43y x -=∴16(4,3N -∴抛物线需要向下平移的距离6=-=距离，其顶点落在OP 上． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，掌握特征线的性质、正方形的性质、抛物线的性质、折叠的性质、平移的性质是解题的关键．。
福建省漳州市华侨中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题
福建省漳州市华侨中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A ．25x y +=-B ．225x =C ．2150x -=D ．32321x x -=2．二次函数2237y x x =-+-的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A ．2-，3，7-B ．2-，3-，7-C ．2，3-，7-D ．2-，3-，73．下列条件中，能判断四边形是菱形的是（）A ．对角线相等的平行四边形B ．对角线互相垂直且相等的四边形C ．对角线互相平分且垂直的四边形D ．对角线互相垂直的矩形4．抛物线23(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A ．()12，B ．()12-，C ．()12--，D ．()12-，5．已知四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A ．90D Ð=°B ．AB CD=C ．AC BD=D ．BC CD=6．用配方法解一元二次方程2630x x --=，配方正确的是（）A ．()236x -=B ．()2312x -=C ．()269x -=D ．()2612x -=7．二次函数22y x x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．点11(1,)P y ，22(3,)P y ，33(5,)P y 均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则123、、y y y 的大小关系是()A ．321y y y ＞＞B ．312y y y =＞C ．123y y y ＞＞D ．123y y y =＞9．定义运算：x ※y =（x -y ）（x -y +1）+1，如3※2=（3-2）×（3-2+1）+1=3，则方程x ※2=0根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根10．如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，该函数图象的对称轴是直线1x =，图象与y 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①20a b +=；②方程20ax bx c ++=一定有一个根在2-和1-之间；③方程2302ax bx c ++-=定有两个不相等的实数根；④2b a -<；⑤对于任意实数m ，都有()m am b a b +≤+．其中，正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．方程25x x =的解是．12．一个菱形的两条对角线的长分别为3和6，这个菱形的面积是．13．已知()1123m y m xx +=++-是二次函数，则m 的值为．14．将抛物线23y x =向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式是．15．如图，在ABC V 中，90,C D ∠=︒为AB 的中点，6AB =，则CD 的长是．16．如图（1），正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 为OC 的中点，点M 为边BC 上的一个动点，连接OM ，过点O 作OM 的垂线交CD 于点N ，点M 从点B 出发匀速运动到点C ，设BM x =，PN y =，y 随x 变化的图象如图（2）所示，图中m 的值为．三、解答题17．解方程．(1)22410x x --=；(2)()2224x x +=+．18．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过A 作AE BD ，过D 作∥DE AC ，AE 与DE 相交于点E ．求证：四边形AODE 为矩形．19．已知二次函数()212y x =--．(1)下表中m 值为_____．x…1-0123…()212y x =--…2m2-1-2…(2)根据上表，画出这个二次函数的图象．(3)根据表格、图象，当52x -≤≤时，可得函数y 的取值范围是_____．20．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒(1)作以AB 为对角线的菱形ADBE ，且点D 在BC 上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作的图中，若3,5AC BC ==，求菱形ADBE 的边长．21．某校准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，且墙长为12m ，另外三边用长为30m 的篱笆围成．设苗圃园垂直于墙的一边长为m x ，苗圃园的面积为2m y ．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求y 的最大值．22．关于x 的方程()24330x m x m -+++=．(1)求证：不论m 取何值，方程总有两个实数根；(2)若该方程有两个实数根12,x x ，且()()12113++=x x ，求m 的值．23．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率．(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？24．如图，在ABC V 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一个动点，（点D 不要B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）观察猜想：如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为_____；②AC CD CF 、、之间的数量关系为_____．（2）如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，以上①、②关系是否成立？若成立去，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．（3）如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GD ，若AB =，14CD BC =，求出DG 的长．25．已知，抛物线2y x bx c =-++经过点()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；(3)设点M 在抛物线的对称轴上，当MAC △是直角三角形时，求点M 的坐标．。
2019～2020年(上)厦门市华侨中学人教版初三年段期中考试卷数学试题 无答案
2019～2020年（上）厦门市华侨中学人教版初三年段期中考试卷数学试题 无答案班级 姓名 座号PABCC ．3200（1﹣2x ）＝2500D ．3200﹣x 2＝25008. 将线段OB 绕点O 逆时针旋转600形成扇形COB ，过C 作CD ⊥OB ，垂足为D ，⊙E 是∆COD 的内切圆， OB ＝6，则OE 的长为（ ） A .33 B . 33－3 C . 33＋3 D .3)33(2+ 9.关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(ac ≠0)有一个根为x ＝2019，则关于y的一元二次方程cy 2＋by ＋a ＝0(ac ≠0)必有一个根为（ ） A .20191 B . －20191C .2019D .－2019 10. 已知二次函数22y ax ax c =-+，当3-＜x ＜2-时，y ＞0；当3＜x ＜4时，y ＜0． 则a 与c 满足的关系式是 A ．15c a =- B ．8c a =- C ．3c a =- D ．c a = 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.一元二次方程2(1)2x -=的解是 ．12. y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________ 13. 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转110°，得到△ADE ， 若点D 落在线段BC 的延长线上，则∠B 大小为14. 已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，C ，D 是圆周上的点，且∠CDB ＝30°，则BC 的长为 .15. 公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s (m )与时间t (s )的函数关系式为s ＝20t －5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性的作用，汽车要滑行__ __米才能停下来．16. 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝32，P 是∆ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________． 三、解答题（本题共9小题，共86分）17. （本小题满分10分）（1）解方程：2420x x ++=． （2）化简：)9(1)3231(2--÷--+-x x x x x第8题图第13题图第14题图第16题图18. （本小题满分7分）如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，A （2，0）在所给平面直角坐标系中解答下列问题：（1）画出△ABC 绕着原点逆时针旋转900得到△A 1B 1C 1,并写出A 1、B 1、C 1的坐标；（2）请直接写出经过A 、B 、C 三点的⊙P 的圆心P 的坐标 ．19. （本小题满分6分）如图， BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC ︵上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ．若∠A ＝70°，求∠ODE 的度数。
福建省厦门市2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷(无答案)
2024-2025学年第一学期九年级数学学科期中知识检索（满分：150分：考试时间：120分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．方程的根是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（）A．B．C．D．3．抛物线与相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴关于x的一元二次方程根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定5．二次函数的图象上有两点和，则此抛物线的对称轴是直线（）A．B．C．D．6．某交易活动中，每两人都交换一次名片，共交换了110张名片，若有x人参加活动，可列方程为（）A．B．C．D．7．在同一平而直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图．在一块长为，究为的矩形绿化带的四周扩建一条宽度相等的小路（图中阴影部分），建成后绿化带与小路的总面积为，如果设小路的宽度为，那么下列方程正确的是（）A．B．24x=2x=2x=-4,4x x==-2,2x x==-2280x x--=2(1)9x+=2(1)7x+=2(1)9x-=2(1)7x-=2y x=2y x=-2320x x+-=2y ax bx c=++(3,4)(5,4)-1x=-1x=2x=3x=1(1)1102x x-=(1)110x x-=211102x=2110x=2y ax bx=+y bx a=+20m15m2546m m x(20)(15)546x x--=(20)(15)546x x++=C ．D ．9．关于x 的方程的两个根互为相反数，则m 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（）A ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）11．若关于x 的一元二次方程的一个根为2，则m 的值为_________。
2018-2019学年福建省厦门九中九年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年福建省厦门九中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．（4分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．矩形B．直角三角形C．等边三角形D．正五边形2．（4分）已知点（1，﹣2）与点M（m．n）关于原点对称，则（）A．m＝1，n＝2B．m＝﹣1，n＝﹣2C．m＝﹣1，n＝2D．m＝1，n＝﹣2 3．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的最大值是（）A．2B．﹣1C．1D．44．（4分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块5．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．80°D．100°6．（4分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6 7．（4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°．∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°8．（4分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A．500（1+2x）＝720B．500（1+x）2＝720C．500（1+x2）＝720D．720（1+x）2＝5009．（4分）已知P（m﹣1，m2﹣2m﹣1）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（）A．y＝x﹣1B．y＝x2﹣2x﹣1C．y＝x2﹣2D．无法确定10．（4分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A 点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）一元二次方程x2＝x的解为．12．（4分）已知△ABC的三边长分别是3，4，5，则△ABC外接圆的直径是．13．（4分）将y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的函数关系式是．14．（4分）如图，∠AOB＝30°，OM＝6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是．15．（4分）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，2）顺时针旋转得到点B，则点B的坐标是．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过以下三个点：（m，n），（m+2，2n），和（m+6，n），当抛物线上另有点的横坐标为m+4时，它的纵坐标为；当横坐标为m﹣2时，它的纵坐标为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．（8分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，求该抛物线的解析式，并判断开口方向，求对称轴与顶点坐标．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，m），B（3，n），C（4，t）且点B是该二次函数图象的顶点．请在图中描出该二次函数图象上另外的两个点，并画出图象．20．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的长方形场地？21．（8分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，4）．（1）将△ABC向右平移4个单位与△A1B1C1重合，请在图中作出△A1B1C1；（2）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标：．22．（10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，若∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求证：△ABD是等腰直角三角形．23．（10分）阅读下表：解答下列问题：线段AB 上的点数n（包括A 、B 两点）图例线段总条数N33＝2+146＝3+2+1510＝4+3+2+1615＝5+4+3+2+1（1）根据表中规律猜测线段总条数N 与线段上点数n （包括线段的两个端点）的关系，用含n 的代数式表示N ，则N ＝．（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几只球队参加比赛？24．（13分）如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA ＝∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E（1）判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；（2）如果∠BED ＝60°，PD ＝3，求PA 的长．（3）将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．25．（13分）已知直线y＝x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y 轴于点E、F，求OE•OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式（﹣，）2018-2019学年福建省厦门九中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．（4分）在下列图形中，属于中心对称图形的是（）A．矩形B．直角三角形C．等边三角形D．正五边形【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确；B、不是中心对称图形，故选项错误；C、不是中心对称图形，故选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（4分）已知点（1，﹣2）与点M（m．n）关于原点对称，则（）A．m＝1，n＝2B．m＝﹣1，n＝﹣2C．m＝﹣1，n＝2D．m＝1，n＝﹣2【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值．【解答】解：∵点（1，﹣2）与点M（m，n）关于原点对称，∴m＝﹣1，n＝2，故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．3．（4分）二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+4的最大值是（）A．2B．﹣1C．1D．4【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（1，4），也就是当x＝1时，函数有最大值4．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+4，∴当x＝1时，函数有最大值4．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．4．（4分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故选：B．【点评】解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．5．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．80°D．100°【分析】根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠C，代入求出即可．【解答】解：∵弧AB所对的圆周角是∠C，所对的圆心角是∠AOB，且∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°，故选：C．【点评】本题考查了对圆周角定理的运用，关键是能根据定理得出∠AOB＝2∠C，题目比较典型，难度不大．6．（4分）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣4x+2＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣2+4，配方得（x﹣2）2＝2．故选：A．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7．（4分）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°．∠B′＝110°，则∠BCA′的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°【分析】首先根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，即可得到∠A′＝40°，再有∠B′＝110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′的度数，进而得到∠ACB 的度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′＝50°，即可得到∠BCA′的度数．【解答】解：根据旋转的性质可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠A′＝40°，∵∠B′＝110°，∴∠A′CB′＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠ACB＝30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′＝50°，∴∠BCA′＝30°+50°＝80°，故选：B．【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是熟练掌握旋转前、后的图形全等，进而可得到一些对应角相等．8．（4分）某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（）A．500（1+2x）＝720B．500（1+x）2＝720C．500（1+x2）＝720D．720（1+x）2＝500【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．【解答】解：设平均每月增率是x，二月份的产量为：500×（1+x）；三月份的产量为：500（1+x）2＝720；故选：B．【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键；本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．9．（4分）已知P（m﹣1，m2﹣2m﹣1）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（）A．y＝x﹣1B．y＝x2﹣2x﹣1C．y＝x2﹣2D．无法确定【分析】将纵坐标整理成含（m﹣1）的式子，进而得出解析式即可．【解答】解：因为m2﹣2m﹣1＝m2﹣2m+1﹣2＝（m﹣1）2﹣2，所以y＝x2﹣2．故选：C．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．10．（4分）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A 点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x ＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），∴对称轴为x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．故选：C．【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）一元二次方程x2＝x的解为x1＝0，x2＝1．【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为0．12．（4分）已知△ABC的三边长分别是3，4，5，则△ABC外接圆的直径是5．【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠C＝90°，即可求出答案．【解答】解：如图，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠C＝90°，∴△ABC的外接圆的直径是5，故答案为：5．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理的逆定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半13．（4分）将y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的函数关系式是y＝（x﹣1）2+3．【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得：y＝（x﹣1）2+3，故答案为y＝（x﹣1）2+3．【点评】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14．（4分）如图，∠AOB＝30°，OM＝6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是相交．【分析】利用直线l和⊙O相切⇔d＝r，进而判断得出即可．【解答】解：过点M作MD⊥AO于点D，∵∠AOB＝30°，OM＝6，∴MD＝3，∴MD＜r∴以点m为圆心，半径为34的圆与OA的位置关系是：相交．故答案为：相交．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时d与r的关系是解题关键．15．（4分）在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A（4，2）顺时针旋转得到点B，则点B的坐标是（2，﹣4）．【分析】根据要求画出图象即可解决问题．【解答】解：如图，观察图形可知B（2，﹣4），故答案为（2，﹣4）．【点评】本题考查旋转变换，解题的关键是学会用图象法解决问题，属于中考常考题型．16．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过以下三个点：（m，n），（m+2，2n），和（m+6，n），当抛物线上另有点的横坐标为m+4时，它的纵坐标为2n；当横坐标为m﹣2时，它的纵坐标为﹣n．【分析】由抛物线的对称性可得出抛物线的对称轴为直线x＝m+3，进而可得出当x＝m+4与x＝m+2时y值相等，此时y＝2n．，将抛物线的解析式改写成顶点式，代入抛物线上两点的坐标找出a与n之间的关系，用a++24a即可得出当x＝m﹣2时，y＝﹣n，此题得解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（m，n）、（m+6，n），∴抛物线的对称轴为直线x＝m+3，∴当x＝m+4与x＝m+2时y值相等，此时y＝2n，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣m﹣3）2+．∵m+2+m+4＝2（m+3），∴当x＝m+4与x＝m+2时y值相等，此时y＝2n．∵抛物线y＝a（x﹣m﹣3）2+过点（m，n）、（m+2，2n），∴，∴8a＝﹣n，∴a++3×8a＝2n﹣3n＝﹣n，∴当x＝m﹣2时，y＝﹣n．故答案为：2n；﹣n．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数图象上点的坐标特征找出a与n之间的关系是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（8分）解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．18．（8分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，求该抛物线的解析式，并判断开口方向，求对称轴与顶点坐标．【分析】抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即可求解．【解答】解：抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，函数的对称轴为：x＝1，顶点坐标为：（1，4）．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知某个二次函数的图象经过点A（1，m），B（3，n），C（4，t）且点B是该二次函数图象的顶点．请在图中描出该二次函数图象上另外的两个点，并画出图象．【分析】根据题目中的点的坐标和二次函数的性质，可以写出点D和点E的坐标，然后画出函数图象即可解答本题．【解答】解：点D的坐标为（2，t），点E的坐标为（5，m），函数图象，如右图所示．【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（8分）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50m2的长方形场地？【分析】设垂直于墙的一边长xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．【解答】解：设垂直于墙的一边长xm，那么另一边长为（20﹣2x）m，由题意得x（20﹣2x）＝50，解得：x1＝x2＝5，（20﹣2×5）＝10（m）．答：长方形场地的长和宽分别为：10m，5m．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形场地的面积是解题关键．21．（8分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，4）．（1）将△ABC向右平移4个单位与△A1B1C1重合，请在图中作出△A1B1C1；（2）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标：（3，﹣1）．【分析】（1）依据平移的性质，将△ABC各顶点向右平移4个单位，连接各顶点即可作出△A1B1C1；（2）依据中心对称的性质，找出点A、B、C关于坐标原点O的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．【点评】本题考查了利用平移变换以及旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝10，BC＝8，AC＝6，若∠ACB的平分线交⊙O 于D，求证：△ABD是等腰直角三角形．【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，由圆周角定理得到AB是⊙O的直径，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，于是得到结论．【解答】证明：∵AB＝10，BC＝8，AC＝6，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．23．（10分）阅读下表：解答下列问题：线段AB 上的点数n（包括A 、B 两点）图例线段总条数N33＝2+146＝3+2+1510＝4+3+2+1615＝5+4+3+2+1（1）根据表中规律猜测线段总条数N 与线段上点数n （包括线段的两个端点）的关系，用含n 的代数式表示N ，则N ＝．（2）2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？（3）2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几只球队参加比赛？【分析】（1）线段的总条数N 与线段上的点数n 的关系式N ＝；（2）先将n ＝4代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数8即可；（3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可．【解答】解：（1）由题意，得N ＝．故答案为：；（2）每小组4个队单循环赛一共比赛：＝6（场），共6个组，6×8＝48（场）．答：第一轮共要进行48场比赛；（3）设共有几支球队参加比赛，根据题意得x（x﹣1）＝240，解得x＝16或x＝﹣15（舍去）．答：共有16支球队参加比赛．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数N与线段上的点数n的关系式．24．（13分）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如果∠BED＝60°，PD＝3，求PA的长．（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB＝90°，进而求得∠ADO+∠PDA ＝90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）求出∠P＝30°，解直角三角形求出OD，根据含30°角直角三角形求出即可；（3）根据折叠和已知求出∠P＝∠PBF，根据平行线的判定推出DE∥BF，求出DF⊥AB，BE⊥AB，推出DF∥BE，求出ED＝EB，根据菱形的判定推出即可．【解答】（1）直线PD为⊙O的切线，理由是：如图1，连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠BDO＝90°，又∵DO＝BO，∴∠BDO＝∠PBD∵∠PDA＝∠PBD，∴∠BDO＝∠PDA，∴∠ADO+∠PDA＝90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）解：∵BE为⊙O切线，∴∠PBE＝90°，∵∠BED＝60°，∴∠P＝30°，在Rt△PDO中，∠PDO＝90°，PD＝3，∴OD＝PD×tan30°＝3×＝，∴PO＝2OD＝2，∴PA＝PO﹣OA＝2﹣＝；（3）证明：如图2，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠APD＝∠AFD，∵∠PDA＝∠PBD，∠ADF＝∠ABF，∠PAD＝∠DAF，∴∠ADF＝∠AFD＝∠BPD＝∠ABF，∴AD＝AF，BF∥PD，∴DF⊥PB，∵BE为切线，∴BE⊥PB，∴DF∥BE，∴四边形DFBE为平行四边形，∵PE、BE为切线，∴BE＝DE，∴四边形DFBE为菱形．【点评】本题考查了切线的性质和判定，菱形的判定，平行线的判定，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形的应用，本题是一道综合性的题目，是中档题，难度较大．25．（13分）已知直线y＝x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣2经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y 轴于点E、F，求OE•OF的值．备注：抛物线顶点坐标公式（﹣，）【分析】（1）先求得点A的坐标，然后将点A的坐标代入抛物线的解析式求得m的值即可；（2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，设D（n，n2+n﹣2），H（n，n+2），然后用含n的式子表示DH的长，接下来，利用配方法求得DH的最大值，从而可求得△ABD面积最大值；（3）先求得点C的坐标，然后设直线CQ的解析式为y＝ax﹣a，CP的解析式为y＝bx ﹣b，接下来求得点Q和点P的横坐标，然后设直线PQ的解析式为y＝x+d，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1，将PQ的解析式为与抛物线解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得ab＝﹣，最后，由ab的值可得到OE•OF的值．【解答】解：（1）把y＝0代入y＝x+2得：0＝x+2，解得：x＝﹣4，∴A（﹣4，0）．把点A的坐标代入y＝x2+mx﹣2得：m＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2．（2）过点D作DH∥y轴，交AB于点H，设D（n，n2+n﹣2），H（n，n+2）．∴DH＝（n+2）﹣（n2+n﹣2）＝﹣（n+1）2+．∴当n＝﹣1时，DH最大，最大值为，此时△ABD面积最大，最大值为××4＝9．（3）把y＝0代入y＝x2+x﹣2，得：x2+3x﹣4＝0，解得：x＝1或x＝﹣4，∴C（1，0）．设直线CQ的解析式为y＝ax﹣a，CP的解析式为y＝bx﹣b．∴，解得：x＝1或x＝2a﹣4．∴x Q＝2a﹣4．同理：x P＝2b﹣4．设直线PQ的解析式为y＝kx+b，把M（﹣4，1）代入得：y＝kx+4k+1．∴．∴x2+（3﹣2k）x﹣8k﹣6＝0，∴x Q+x P＝2a﹣4+2b﹣4＝2k﹣3，x Q•x P＝（2a﹣4）（2b﹣4）＝﹣8k﹣6，解得：ab＝﹣．又∵OE＝﹣b，OF＝a，∴OE•OF＝﹣ab＝．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，建立关于a、b的方程组求得ab的值是解题的关键．。
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（满分：150分；考试时间120分钟）
一、选择题（每小题3分，共21分） 1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A ．2 B ．8 C ．
5
1 D ．2
a 2．若二次根式1-x 有意义，则x 的取值范围为（ ）
A ．x ＞1
B ．x ≥1
C ．x ＜1
D ．x ≤1
3．方程0)2(=-x x 的根为（ ）
A ． 0=x
B ．2=x
C ．01=x ，22=x
D ．01=x ，22-=x 4．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．等边三角形
D ．正方形 5. 下列说法正确的是（ ）
A ．“明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间都在降雨
B ．“抛一枚硬币正面朝上的概率为
2
1
”表示每抛2次就有一次正面朝上 C ．“彩票中奖的概率为1％”表示买100张彩票肯定会中奖
D ．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为
61
”表示随着抛掷次数的增加， “抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在61
附近
6．如图，A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上，若AB OC ⊥，
︒=∠70AOC ，则圆周角D ∠的度数等于（ ）
A ． 70°
B ．50°
C ．35°
D ．20°
7．在平面直角坐标系中，将线段OA 绕原点O 逆时针旋转
60， 记点A （2，0）的对应点为A 1，则A 1的坐标为（ ）
A ．（3，1）
B ．（1，3）
C ．(-3，-1)
D ．(-1，-3)
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）．
8．计算：(－3)2
= ，=⨯53 ．
9．关于x 的方程2
20ax x c -+=是一元二次方程，则a 的取值范围是 ， 若a =1，且方程有两个相等的实数根，则c 的值等于 .
10．已知关于x 的方程062=--p x x 的一个根是1，则=p ，另一个根是 . 11．某班有49位学生，其中有23位女生. 在一次活动中，班上每一位学生的名字都各自 写在一张小纸条上，放入一盒中搅匀.如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条， 那么抽到写有女生名字纸条的概率是 .
12．某药品经过两次降价，每瓶零售价由60元降为36元.已知两次降价的百分率均为x 则应列出方程 . （列出方程即可，不要解方程） 13．如图，AB 为⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上．
若∠AOD=30°，则∠A=______ 度，∠BCD =______ 度． 14．正方形的中心角等于 度，若它的半径为2， 则它的边心距等于 ．
15．点A(-2，3)关于原点的对称点的坐标是 ． 16．若12-=
a ，则a a 22-的值是 ．
17．如下图，直线x y 3=，点A 1坐标为(1，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以
原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此做法进行下去， 则 点B 1的坐标为 ；B n 的坐标为 .
三、解答题（本大题共9小题，共89 分．） （n ≥1正整数） 18．（本小题满分18分）
（1
； （2）6
1232-
⨯
（3）解方程：2
250x x +-=； 19．（本小题满分8分）
口袋里装有1个红球和2个白球，这三个球除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从中摸出1个球，然后将取出的球放回袋里搅匀再摸出第2个球． （1）求摸出的两个球都是红球的概率；（2）写出一个概率为9
4
的事件． 20．（本小题满分8分）关于x 的一元二次方程
032=+-m x x
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，选一个喜爱的m 的值，求出方程的解．
（第13题）
21．（本小题满分8分）
△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）画出△ABC 关于原点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1，
并写出点A 1的坐标；
（2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C ， 画出△A 2B 2C ，求在旋转过程中，点A 所经过的路径长．
22．（本小题满分8分） 已知：如图3，AB 是⊙O 的弦，点C 在 ︵
AB 上， （1）若∠OAB ＝35°，求∠AOB 的度数；
（2）过点C 作CD ∥AB ，若CD 是⊙O 的切线， 求证：点C 是 ︵
AB 的中点．
23．（本小题满分8分）若2=+b a ，则称a 与b 是关于1的平衡数. 如：2)4(6=-+，
)31()31(++-=2； 则6与－4，31-与31+都是关于1的平衡数
（1） 3与 是关于1的平衡数，21-与 是关于1的平衡数； （2）若323)3(3-=+m ，判断3+m 与35-是否是关于1的平衡数，
并说明理由.
24．（本小题满分9分）某商店代销一批季节性服装，每套代销成本40元．第一个月每套 销售定价为52元，可售出180套；应市场变化调整第一个月的销售价，预计销售定价 每增加1元，销售量将减少10套．
（1）若设第二个月的销售定价增加x 元，填写下表：
（2）若商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月销售定价每套应为多少元？
25．（本小题满分10分）如图在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA=5， OC=3，
图 3
E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作D
F ⊥AE 于点F ． （1）求证：△OCE ≌△ABE ；
（2）求证：DF 为⊙O ′的切线；
（3）在直线BC 上是否存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，若存在请求
出P 点的坐标，不存在请说明理由．
26．（本小题满分12分）已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连PA 、PB 、PC. （1）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置（如图1）．
①连接PP ′，若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求PC 的长．
②若AB=3，PB=2，求△PAB 旋转到△P ′CB 的过程中边PA 所扫过区域 （图1中阴影部分）的面积；
（2）如图2，若点P 在对角线AC 上，请探究线段PA ，PC ，PB 的关系式，
并写出证明过程．
C
A B C D P
P′图1
A B C D
P
图2
2012-2013学年初三（上）期中数学试卷
一、选择题: (本大题共7小题，每小题 3分，共21分)
二、填空题：（每小题4分,共40分）
8. 、 、9. 、 、10. 、 、 11. 、12. 、13. 、 、 14. 、 、 15. 、16. 、17. 、 ． 三、解答题：（本大题有9小题，共89分）
18．（本小题满分18分）
（1； （2）6
1232-⨯；
（3）解方程：2
250x x +-=．
19．（本小题满分8分）
（1） （2）
20．（本小题满分8分）关于x 的一元二次方程 032=+-m x x ， （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，选一个喜爱的m 的值，求出方程的解．
21．（本小题满分8分） （1） （2）
22．（本小题满分8分） （1） （2）
图 3
23．（本小题满分8分）
1 与是关于1的平衡数；（1） 3与是关于1的平衡数，2
（2）
24．（本小题满分9分）
（1）
（2）
25．（本小题满分10分）
（1）
（2）（3）
26．（本小题满分12分）
（1）①
②
（2）
A
B C
D
P
P′
图1
A
B C
D
P
C。