河北省唐山市2015届高三第三次模拟考试数学(理)试题(扫描版)

唐山市2014—2015学年度高三年级第三次模拟考试
理科数学参考答案

一、选择题：
A卷：BCCAB DCBBA DC
B卷：ACDAB CDABB DC
二、填空题：
（13）6； （14）3； （15）5； （16）4．
三、解答题：
（17）（Ⅰ）证明：因为2c2－2a2＝b2，

所以2ccosA－2acosC＝2c·b2＋c2－a22bc－2a·a2＋b2－c22ab

＝b2＋c2－a2b－a2＋b2－c2b＝2c2－2a2b＝b． …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB＝sin(A＋C)得
2sinCcosA－2sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC，
即sinCcosA＝3sinAcosC，
又cosAcosC≠0，所以tanC＝3tanA＝1，故C＝45°． …8分

再由正弦定理及sinA＝1010得c＝asinCsinA＝5，
于是b2＝2(c2－a2)＝8，b＝22，
从而S＝ 1 2absinC＝1． …12分

（18）解：
（Ⅰ）由题中数据可知，

－x甲＝85＋83＋86＋96＋905＝88，－
x乙＝88＋84＋83＋92＋935＝88；

S2甲＝ 1 5[(85－88)2＋(83－88)2＋(86－88)2＋(96－88)2＋(90－88)2]＝21.2，
S2乙＝ 1 5[(88－88)2＋(84－88)2＋(83－88)2＋(92－88)2＋(93－88)2]＝16.4．
…6分
（Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A、B、C，

由题意可知P(A)＝ 2 3，P(B)＝P(C)＝ 1 3，且A、B、C相互独立，

设甲队至少2名队员获胜的事件为E，则E＝(ABC)∪(AB－C)∪(A－BC)∪(－ABC)． …9分
P(E)＝ 2 3× 1 3× 1 3＋ 2 3× 1 3×(1－ 1 3)＋ 2 3×(1－ 1 3)× 1 3＋(1－ 2 3)× 1 3× 1 3＝ 11 27．
…12分

（19）（Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA1．
因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，BC⊥AA1，
因为截面A1BC是等边三角形，所以BC⊥OA1，
于是BC⊥平面A1OA，BC⊥OA，因此：AB＝AC．
…4分

z
y
x
C
1

B
1

A
1

O
B

A
C
（Ⅱ）解：设BC＝2，则OA1＝3，由AB⊥AC， AB＝AC得OA＝1．
因为平面A1BC⊥底面ABC，OA1⊥BC，所以OA1⊥底面ABC．
如图，分别以OA，OB，OA1为正方向建立空间直角坐标系O-xyz． …6分
A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1 (0，0，3)，C(0，－1，0)，

CB→＝(0，2，0)，BB1→＝AA1→＝(－1，0，3)，
CA1→＝(0，1，3)，A1B1→＝AB→＝(－1，1，0)．
设平面BB1C的法向量m＝(x1，y1，z1)，
则0×x1＋2×y1＋0×z1＝0，－1×x1＋0×y1＋3×z1＝0，取m＝(3，0，1)．
设平面A1B1C的法向量n＝(x2，y2，z2)，
则0×x2＋1×y2＋3×z2＝0，－1×x2＋1×y2＋0×z2＝0，取n＝(－3，－3，1)．

cosm，n＝m·n|m||n|＝－77，则二面角B－B1C－A1的余弦值为－77． …12分
（20）解：
（Ⅰ）由题意可得：3a2＋14b2＝1， …1分
将3x＋2y－4＝0代入椭圆C： (3a2＋4b2)x2－83a2x＋16a2－4a2b2＝0
由Δ＝0得3a2＋4b2＝16， …3分
联立解得：a2＝4，b2＝1．

于是椭圆C的方程为：x24＋y2＝1． …5分
（II）设直线l：y＝kx＋m，M(x0，y0)．
将直线l的方程代入椭圆C得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

令Δ＝0，得m2＝4k2＋1，且x20＝4m2－4 1＋4k2，所以|OM|2＝1＋16k2 1＋4k2． …7分

又|OH|2＝m2 1＋k2＝1＋4k2 1＋k2，所以(cos∠HOM)2＝(1＋4k2)2 (1＋16k2) (1＋k2)． …9分
因为(1＋16k2)(4＋4k2)≤(5＋20k2)2 4＝25(1＋4k2)2 4，
所以(1＋4k2)2 (1＋16k2) (1＋k2)≥ 16 25，等号当且仅当k2＝ 1 4时成立． 故k＝± 1 2．…12分
（21）解：（Ⅰ）f(x)＝ex－2x． 由题设得a＝f(1)＝e－2，a＋1＝f(1)＝e－1＋b．
故a＝e－2，b＝0． …4分
（II）由（Ⅰ）得，f(x)＝ex－x2，下面证明：当x＞0时，f(x)≥(e－2)x＋1．
设g(x)＝f(x)－(e－2)x－1，x＞0．
则g(x)＝ex－2x－(e－2)，
设h(x)＝g(x)，则h(x)＝ex－2，
当x∈(0，ln2)时，h(x)＜0，h(x)单调递减，
当x∈(ln2，＋∞)时，h(x)＞0，h(x)单调递增．
又h(0)＝3－e＞0，h(1)＝0，0＜ln2＜1，h(ln2)＜0，所以x0∈(0，1)，h(x0)＝0，
所以当x∈(0，x0)或x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0；当x∈(x0，1)时，g(x)＜0，
故g(x)在(0，x0)和(1，＋∞)单调递增，在(x0，1)单调递减，
又g(0)＝g(1)＝0，所以g(x)＝ex－x2－(e－2)x－1≥0．
因x＞0，则ex＋(2－e)x－1 x≥x（当且仅当x＝1时等号成立）． ① …8分
以下证明：当x＞0时，x＞4sinx 3＋cosx．
令p(x)＝x－4sinx 3＋cosx，则p(x)＝1－4(3cosx＋1) (3＋cosx)2＝(cosx－1)(cosx－5)(3＋cosx)2≥0，
（当且仅当x＝2k，k∈Z时等号成立）．
所以p(x)在(0，＋∞)单调递增，当x＞0时，p(x)＝x－4sinx 3＋cosx＞p(0)＝0，

即x＞4sinx 3＋cosx． ②
由①②得当x＞0时，ex＋(2－e)x－1 x＞4sinx 3＋cosx，
又x(3＋cosx)＞0，故[ex＋(2－e)x－1](3＋cosx)－4xsinx＞0． …12分
（22）解：
（Ⅰ）证明：
延长DC与圆O交于点M，因为CD⊥AB，
所以CD2＝CD·CM＝AC·BC，

因为Rt△ACE∽Rt△GBC，所以ACCE ＝CGBC，
即AC·BC＝CE·CG，故CD2＝CE·CG．…5分
（Ⅱ）
因为AC＝CO＝1，所以CD2＝AC·BC＝3，
又CD＝3CE，由（Ⅰ）得CG＝3CD，
GT2＝GM·GD＝(CG＋CM)·(CG－CD)＝(CG＋CD)·(CG－CD)
＝CG2－CD2＝8CD2＝24，故GT＝26． …10分

（23）解：（Ⅰ）将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入已知，分别得C和l的极坐标方程为
C：ρ＝4cosθ（0≤θ≤  2)，l：ρcosθ－2ρsinθ－2＝0． …4分
（Ⅱ）依题意，l经过半圆C的圆心C(2，0)．
设点B的极角为α，则tanα＝ 1 2，进而求得cosα＝255 …6分

由C的极坐标方程得|OB|＝4cosα＝855 ． …10分
（24）解：

（Ⅰ）若a＝1，f(x)＝－2x－1，x＜－2，3，－2≤x≤1，2x＋1，x＞1．
由f(x)的单调性及f(－3)＝f(2)＝5，得f(x)≤5的解集为{x|－3≤x≤2}．…5分

（Ⅱ）f(x)＝－(a＋1)x－1，x≤－2，(1－a)x＋3，－2＜x＜ 1 a，(a＋1)x＋1，x≥ 1 a．
当x∈(－∞，－2]时，f(x)单调递减；当x∈[ 1 a，＋∞)时，f(x)单调递增，
又f(x)的图象连续不断，所以f(x)≥2当且仅当f(－1)＝2a＋1≥2，且f( 1 a)＝ 1 a＋2≥2，
得a≥ 1 2，故a的最小值为 1 2． …10分

O
C A B F E G
D
T
M