数学分析 第一型曲面积分

δσ ≈ det[(Jψ) Jψ] δuδv .
曲面的面积
一般地, 如果 I ⊂ R2 为矩形, 则 σ(ϕ(I)) = det[MT M]σ(I). 我们再看一般的 C1 参数曲面 ψ : D → R3, 设 (u0, v0) ∈ D, 在 (u0, v0) 附近有一 微元 δP = [u0, u0 + δu] × [v0, v0 + δv ], 其面积为 σ(δP) = δuδv . 我们研究 ψ(δP) 的面积 δσ. 考虑 ψ 在 (u0, v0) 处的线性化 dψ, 则 δσ ≈ σ(dψ(δP)), 利用之前的讨论可得
σ = ψu × ψv du dv =
EG − F 2 du dv ,
(2)
D
D
其中
E = ψu · ψu = xu2 + yu2 + zu2, G = ψv · ψv = xv2 + yv2 + zv2, F = ψu · ψv = xuxv + yuyv + zuzv .
面积公式
特别地, 当曲面由函数 f (x, y ) ((x, y ) ∈ D) 的图像给出时, ψx = (1, 0, fx ), ψy = (0, 1, fy ), 因此
曲面的面积
我们在前面先后讨论了平面图形的面积, 空间曲线的长度. 问题: 如何定义空间曲面的面积? 这是一个远比曲线长度的定义要困难的问题. 曲线的长度可以用折线长度去逼 近, 但一般来说曲面的面积不能用多面体表面的面积去逼近. 我们先来讨论一个最简单的情形. 设 v1, v2 是 R3 中线性无关的向量, 它们张成 的平行四边形记为 P(v1, v2) = {x1v1 + x2v2 | 0 ≤ x1, x2 ≤ 1}. P(v1, v2) 的面积记为 σ(v1, v2). 设 v1, v2 的夹角为 θ, 则 σ(v1, v2) = v1 v2 sin θ.
2π
dθ
0
0
149 = π.
30
曲面的面积
一般地, 如果 I ⊂ R2 为矩形, 则 σ(ϕ(I)) = det[MT M]σ(I). 我们再看一般的 C1 参数曲面 ψ : D → R3, 设 (u0, v0) ∈ D, 在 (u0, v0) 附近有一 微元 δP = [u0, u0 + δu] × [v0, v0 + δv ], 其面积为 σ(δP) = δuδv . 我们研究 ψ(δP) 的面积 δσ. 考虑 ψ 在 (u0, v0) 处的线性化 dψ, 则 δσ ≈ σ(dψ(δP)), 利用之前的讨论可得
曲面的面积
我们在前面先后讨论了平面图形的面积, 空间曲线的长度. 问题: 如何定义空间曲面的面积? 这是一个远比曲线长度的定义要困难的问题. 曲线的长度可以用折线长度去逼 近, 但一般来说曲面的面积不能用多面体表面的面积去逼近.
曲面的面积
我们在前面先后讨论了平面图形的面积, 空间曲线的长度. 问题: 如何定义空间曲面的面积? 这是一个远比曲线长度的定义要困难的问题. 曲线的长度可以用折线长度去逼 近, 但一般来说曲面的面积不能用多面体表面的面积去逼近. 我们先来讨论一个最简单的情形. 设 v1, v2 是 R3 中线性无关的向量, 它们张成 的平行四边形记为 P(v1, v2) = {x1v1 + x2v2 | 0 ≤ x1, x2 ≤ 1}.
EG − F 2 = (1 + fx2)(1 + fy2) − (fx fy )2 = 1 + fx2 + fy2.
面积公式
特别地, 当曲面由函数 f (x, y ) ((x, y ) ∈ D) 的图像给出时, ψx = (1, 0, fx ), ψy = (0, 1, fy ), 因此
EG − F 2 = (1 + fx2)(1 + fy2) − (fx fy )2 = 1 + fx2 + fy2.
ϕ : R2 → R3, ϕ(x1, x2) = x1v1 + x2v2. ϕ 在标准基下矩阵表示记为 M, 它的两列由 v1, v2 构成, 于是 MT M = vi · vj 2×2, 即
σ(v1, v2) = det[M M].
曲面的面积
一般地, 如果 I ⊂ R2 为矩形, 则 σ(ϕ(I)) = det[MT M]σ(I).
σ(ψ(D)) = dσ =
det[(Jψ) Jψ].
(1)
D
D
面积公式
(面积公式)
设 ψ : D → R3 为非退化的 C1 映射, D 为 R2 中可求面积的集合, 则 ψ(D) 的面积定 义为二重积分
σ(ψ(D)) = dσ =
det[(Jψ) Jψ].
(1)
D
D
记 ψ(u, v ) = (x(u, v ), y (u, v ), z(u, v )) ((u, v ) ∈ D), 则面积公式为
曲面的面积
一般地, 如果 I ⊂ R2 为矩形, 则 σ(ϕ(I)) = det[MT M]σ(I). 我们再看一般的 C1 参数曲面 ψ : D → R3, 设 (u0, v0) ∈ D, 在 (u0, v0) 附近有一 微元 δP = [u0, u0 + δu] × [v0, v0 + δv ], 其面积为 σ(δP) = δuδv . 我们研究 ψ(δP) 的面积 δσ.
利用叉乘上式还可表示为 σ(v1, v2) = v1 × v2 . (为什么?)
曲面的面积
而 v1 · v2 = v1 · v2 · cos θ. 因此 |σ(v1, v2)|2 = v1 2 · v2 2 − (v1 · v2)2 = det vi · vj 2×2.
利用叉乘上式还可表示为 σ(v1, v2) = v1 × v2 . (为什么?) 从变换的观点来看, P(v1, v2) 可以看成 ϕ([0, 1]2), 其中
(第一型曲面积分)
设 ψ : D → R3 为 C1 的参数曲面, f 是定义在此曲面 Σ 上的连续函数, 则 f 在 Σ 上 的曲面积分定义为
f dσ = f det[(Jψ) Jψ分
(第一型曲面积分)
设 ψ : D → R3 为 C1 的参数曲面, f 是定义在此曲面 Σ 上的连续函数, 则 f 在 Σ 上 的曲面积分定义为
图像的面积公式成为
σ=
1 + fx2 + fy2 dx dy .
(3)
D
例1 求球面 x2 + y 2 + z2 = a2 的面积.
例子
解. 球面的参数表示为
x = a sin ϕ cos θ, y = a sin ϕ sin θ, z = a cos ϕ, ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0, 2π].
图像的面积公式成为
σ=
1 + fx2 + fy2 dx dy .
(3)
D
面积公式
特别地, 当曲面由函数 f (x, y ) ((x, y ) ∈ D) 的图像给出时, ψx = (1, 0, fx ), ψy = (0, 1, fy ), 因此
EG − F 2 = (1 + fx2)(1 + fy2) − (fx fy )2 = 1 + fx2 + fy2.
f dσ = f det[(Jψ) Jψ].
Σ
D
第一型曲面积分的物理解释: 分布在曲面上的某种物质, 如果其密度函数为 ρ, 则 ρ 在曲面上的积分就是物质的质量.
例2
设抛物面 z = 2 − (x2 + y 2), z ≥ 0 上分布着密度为 ρ(x, y ) = x2 + y 2 的物质, 求该 物质的质量.
δσ ≈ det[(Jψ) Jψ] δuδv .
记 dσ = det[(Jψ) Jψ] dudv , 称为面积元. 于是, 参数曲面的面积可以合理地 定义为
面积公式
(面积公式)
设 ψ : D → R3 为非退化的 C1 映射, D 为 R2 中可求面积的集合, 则 ψ(D) 的面积定 义为二重积分
f dσ = f det[(Jψ) Jψ].
Σ
D
第一型曲面积分的物理解释: 分布在曲面上的某种物质, 如果其密度函数为 ρ, 则 ρ 在曲面上的积分就是物质的质量.
第一型曲面积分
(第一型曲面积分)
设 ψ : D → R3 为 C1 的参数曲面, f 是定义在此曲面 Σ 上的连续函数, 则 f 在 Σ 上 的曲面积分定义为
ϕ : R2 → R3, ϕ(x1, x2) = x1v1 + x2v2.
曲面的面积
而 v1 · v2 = v1 · v2 · cos θ. 因此 |σ(v1, v2)|2 = v1 2 · v2 2 − (v1 · v2)2 = det vi · vj 2×2.
利用叉乘上式还可表示为 σ(v1, v2) = v1 × v2 . (为什么?) 从变换的观点来看, P(v1, v2) 可以看成 ϕ([0, 1]2), 其中
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
4.3 第一型曲面积分
4.3 第一型曲面积分
内容提要: 曲面的面积;
4.3 第一型曲面积分
内容提要: 曲面的面积; 第一型曲面积分.
曲面的面积
我们在前面先后讨论了平面图形的面积, 空间曲线的长度.
曲面的面积
我们在前面先后讨论了平面图形的面积, 空间曲线的长度. 问题: 如何定义空间曲面的面积?
例子
解. 该物质的质量 m 为 ρ(x, y ) = x2 + y 2 在曲面上的积分, 即
m=
(x 2 + y 2) 1 + zx2 + zy2 dx dy