数学分析第十三章二重积分的计算练习题解答
二重积分习题
a:=0..1;
b:=x-1..-x+1;
f:二exp(x+y);
int(f,y=b);
in t(i nt(f,y二b),x二a);
simpliW)；
3、如果二重积分f (x,y)d的被积函数f (x, v)是两个函数f'x)及f2(v)的乘积，即
D
f (x, V) f1(x)f2(v),积分区域D {( x, v) |a x b,c y d},证明这个二重积分等于两个单 积分的乘积，即
bd
f (x, v)df1(x)dxf2(v)dv.
ac
D
精心整理
bdb
f)(x)f2(y)dy dxf1(x)dx
ln2 2
0dyeyf (x,y)dx.
所围成的闭区域
2 2
ay
0f(x, y)dx.
y 3
图形
于是
D
(II)由于D {( x, y) | x2
y.R
D
2x2
y2d
2
y
0
R2}关于x轴对称，且f(x,y) y_R2x2y2为y的奇函数，于是
(III)
{(x,y)|x2y2
R2}关于x轴对称,且f(x,y)
3
y
1x y
3
y cosx
d1 x2y2
3
,
精心整理
(1)Il(x y)2d与I2(X y)3d，其中D是由x轴、y轴与直线x y 1所围成；
2
I1ln(x y)d [lnΒιβλιοθήκη x y)] d I2.DD
4
(1)I xy(x y 1)d,
D
其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 2}；
二重积分习题及答案
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
2 2 ( x y ) dxdy , D : x y 1 D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数，利用对称性
去掉绝对值符号. 解 采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
D
1
1 x 2 0
0
( x y )dy 8 3
【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域 关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇
解
x r cos 在极坐标系下 y r sin 所以圆方程为 r 1, 1 直线方程为 r , sin cos
x2 y2 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
8
计算 ( x y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
x 2 y 2 2 y ， x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 ， y 3 x 0 所围成的平面闭区域. 解 y 3x 0 2
3
x y 4 y r 4 sin
2 1
4. 计算二重积分
数学分析二重积分的计算练习题解答
2009大专A 班数学分析第13章二重积分的计算练习题解答一、求下列二重积分： 1.22()d d Rx y x y +⎰⎰, 其中R ：11x -≤≤，11y -≤≤. 解：13111222221111()d d d ()d d 3Ry x y x y x x y y x y x ----⎡⎤+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 13121028(2)d 4()3333x x x x -=+=+=⎰.2.(32)d d Rx y x y +⎰⎰，其中R 是由坐标轴与2x y +=所围成的闭区域.解: 如图，积分区域可以表示为x 型区域: 02y x ≤≤-,02x ≤≤.于是有(32)d d Rx y x y +⎰⎰22222000d (32)d 3d xxx x y y xy y x --⎡⎤=+=+⎣⎦⎰⎰⎰ 220(422)d x x x =+-⎰2320220(4)33x x x =+-=. 3.cos()d d Rx x y x y +⎰⎰,其中R 是以(0,0)(π,0)(π,π)为顶点的三角形区域.解: 如图，积分区域可以表示为x 型区域: 0y x ≤≤,0x π≤≤.于是有cos()d d Rx x y x y +⎰⎰[]00d cos()d sin()d x xx x x y y x x y x ππ=+=+⎰⎰⎰001(sin 2sin )d d(cos cos 2)2x x x x x x x ππ=-=-⎰⎰ 001113(cos cos 2)(cos cos 2)d (102222x x x x x x ππππ⎡⎤=---=---=-⎢⎥⎣⎦⎰.4.d Rx y ⎰⎰，其中R 是由2y x =与y =所围成的闭区域. 解: 如图.积分区域可以表示为x型区域: 2x y ≤≤,01x ≤≤.于是有d Rx y⎰⎰311202d [3x x x y x y x ==⎰⎰714402()d 3x x x =-⎰111542416()311555x x =-=. xyπxy225.(+)d d Rx y x y ⎰⎰, 其中R ：1x y +≤.解：如图，积分区域为两个x 型区域1R 与2R 之并，其中1R ：11x y x --≤≤+, 10x -≤≤， 1R 2R2R ：11x y x -≤≤-, 01x ≤≤．于是有12(+)d d (+)d d (+)d d RR R x y x y x y x y x y x y =-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰01111101d ()d d ()d xxxx x y x y x x y y +-----=-++⎰⎰⎰⎰011122111011()d ()d 22x xx x y x x y x x +----+-=-++⎰⎰ 012210112[1(21)]d [1(21)]d 223x x x x -=-++--=⎰⎰． 6.22()d d Rxy x x y +-⎰⎰，其中R 是由直线2y =,y x =及2y x =所围成的闭区域.解: 如图，积分区域可以表示为y 型区域:2yx y ≤≤,02y ≤≤. 于是有22()d d Rx y x x y +-⎰⎰ 322222222d ()d d 32yy y y x x y x y x x y x y ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰232019313()d 2486y y y =-=⎰． 7.d d 1Rxx y y +⎰⎰，其中R 是由21y x =+,2y x =及0x =所围成的闭区域. 解：如图，积分区域可以表示为x 型区域: 221x y x ≤≤+,01x ≤≤.于是有d d 1Rxx y y +⎰⎰22111120201d d [ln(1)]d 1x x x xx x y x y x y ++==++⎰⎰⎰ 1120ln(2)d ln(21)d x x x x x x =+-+⎰⎰91ln 3ln 282=--．xy1y 18.sin d d Rx x y x ⎰⎰，其中R 是由直线y x =,2xy =及2x =所围成的闭区域. 解：将二重积分化为先y 后x 的累次积分．积分区域可表示为x 型区域: 2xy x ≤≤,02x ≤≤（如图）．故sin d d Rxx y x ⎰⎰22002sin 11d d sin d (1cos 2)22x x x x y x x x ===-⎰⎰⎰． 9.2sin d d Ry x y ⎰⎰，其中R 是由直线y x =,1y =及0x =所围成的闭区域.解：将二重积分化为先x 后y 的累次积分．积分区域可表示为y 型区域: 0x y ≤≤,01y ≤≤（如图）．故2sin d d Ry x y ⎰⎰11220001sin d d sin d (1cos1)2y y y x y y y ===-⎰⎰⎰． 10.2d d yRe x y -⎰⎰，其中R 是由直线1y x =-,2y =及1x =所围成的闭区域. 解：将二重积分化为先x 后y 的累次积分．积分区域可表示为y 型区域: 11x y ≤≤+,02y ≤≤（如图）．故2d d y Rex y -⎰⎰222124011d d d (1)2yy y ey x yey e +---===-⎰⎰⎰．二、将二重积分(,)d d Rf x y x y ⎰⎰化为不同次序的累次积分，其中区域R 分别是：1.由直线y x =及抛物线24y x =所围成. 解：积分区域如图．(1) 将二重积分化为先x 后y 的累次积分积分区域为y 型区域: 24y x y ≤≤,04y ≤≤,于是有(,)d d Rf x y x y ⎰⎰2404d (,)d yy y f x y x =⎰⎰．(2) 将二重积分化为先y 后x 的累次积分积分区域为x型区域: x y ≤≤,04x ≤≤,于是有(,)d d Rf x y x y⎰⎰4d (,)d xx f x y y =⎰⎰．y22xy11yy2312.由x 轴及半圆周222x y r +=(0)y ≥所围成. 解：积分区域如图，有(,)d d Rf x y x y⎰⎰0d (,)d rrx f x y y -=⎰d (,)d ry f x y x =⎰．3.环形闭区域:2214x y ≤+≤.解：积分区域如图．可分成4个小的x 型区域(或y 型区域),于是有(,)d d Rf x y x y⎰⎰1111d (,)d d (,)d x f x y y x f x y y --=+⎰⎰⎰1221d (,)d d (,)d x f x y y x f x y y --++⎰⎰.或(,)d d Rf x y x y⎰⎰1111d (,)d d (,)d y f x y x y f x y x --=+⎰⎰⎰1221d (,)d d (,)d y f x y x y f x y x --++⎰⎰．4.由双曲线2xy =,抛物线21y x =+及直线2x =所围成. 解：积分区域如图．表示为x 型区域:221y x x≤≤+,12x ≤≤, 有(,)d d Rf x y x y ⎰⎰22121d (,)d x xx f x y y +=⎰⎰．表示为两个y 型区域: 1R ：22x y≤≤,12y ≤≤； 2R2x ≤≤,25y ≤≤,有(,)d d Rf x y x y⎰⎰2252212d (,)d d (,)d yy f x y x y f x y x =+⎰⎰⎰．5.由圆222x y x +=,224x y x +=及直线y x =,0y =所围成. 解：积分区域如图．可以表示为两个x 型区域: 1Ry x ≤≤,12x ≤≤；2R：0y ≤≤24x ≤≤,xyxy15221x有(,)d d Rf x y x y⎰⎰2412d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y =+⎰⎰．可以表示为两个y 型区域:1R：12x +≤≤,01y ≤≤； 2R：2y x ≤≤, 12y ≤≤,有(,)d d R f x y x y ⎰⎰1222011d (,)d d (,)d yy f x y x y f x y x =+⎰⎰⎰⎰．三、改变下列累次积分的积分次序： 1.1d (,)d yy f x y x ⎰⎰.解: 所给累次积分为先x 后y 的积分,积分区域为:0x y ≤≤,01y ≤≤,(如图).改变积分次序,积分区域可以表示为: 1x y ≤≤,01x ≤≤,于是有10d (,)d yy f x y x ⎰⎰(,)d d Df x y x y =⎰⎰11d (,)d xx f x y y =⎰⎰.2.2220d (,)d yyy f x y x ⎰⎰.解: 所给累次积分为先x 后y 的积分,积分区域为:22y x y ≤≤,02y ≤≤,(如图).改变积分次序,积分区域可以表示为:2xy ≤≤,04x ≤≤,于是有 2220d (,)d y yy f x y x ⎰⎰402d (,)d x x f x y y =⎰⎰.3.ln 1d (,)d exx f x y y ⎰⎰.解: 所给累次积分为先y 后x 的积分,积分区域为:0ln y x ≤≤,1x e ≤≤,(如图).x改变积分次序,积分区域可以表示为:ye x e ≤≤,01y ≤≤,于是有ln 1d (,)de xx f x y y ⎰⎰10d (,)d y eey f x y x =⎰⎰.4.πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰.解: 所给累次积分为先y 后x 的积分,积分区域为:sinsin 2xy x -≤≤,0x π≤≤,(如图). 改变积分次序, 积分区域为两个y 型区域1D 与2D 之并，其中1D ：arcsin arcsin y x y π≤≤-, 01y ≤≤，2D ：2arcsin y x π-≤≤, 10y -≤≤，于是有 πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰1arcsin 00arcsin 12arcsin d (,)d d (,)d yyyy f x y x y f x y x ππ---=+⎰⎰⎰⎰.5.12201d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰.解: 所给累次积分为两个先y 后x 的积分之和,故积分区域为两个x 型区域1D 与2D 之并，其中1D ：0y x ≤≤, 01x ≤≤；2D ：02y x ≤≤-, 12x ≤≤．改变积分次序,积分区域可以表示为:2y x y ≤≤-,01y ≤≤,于是有12201d (,)d d (,)d xxx f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰120d (,)d y yy f x y x -=⎰⎰.6.11d (,)d x f x y y ⎰.解: 积分区域如图,有原式2121d (,)d d (,)d y y f x y x y f x y x =+⎰⎰⎰.7.12330010d(,)d d(,)dy yy f x y x y f x y x-+⎰⎰⎰⎰.解: 积分区域如图.原式232d(,)dxxx f x y y-=⎰⎰.8.14(4)d(,)dyy f x y x-⎰⎰.解: 积分区域如图.原式204224d(,)dxxx f x y y--+=⎰⎰．9.02222022d(,)d d(,)dx xx f x y y x f x y y +--+⎰⎰⎰⎰.解: 积分区域如图.原式1221200221d(,)d d(,)d d(,)dyyy f x y x y f x y x y f x y x--=++⎰⎰⎰⎰．10.21101d(,)dyyy f x y x+-⎰⎰.解: 积分区域如图.化为先y后x的累次积分,积分区域为两个x型区域1D与2D之并，其中1D：11x y-≤≤, 01x≤≤；2D1y≤≤, 12x≤≤．故原式1121011d(,)d d(,)dxx f x y y x f x y y-=+⎰⎰⎰．xy32y1xyyy=1y x=-。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--13章
F (x, y) = f (x) ， (x, y) ∈ D 。
证明 F (x, y) 在 D 上可积。
证 将[a,b] 、[c, d ] 分别作划分：
a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b
和
m c = y0 < y1 < y2 < < ym−1 < ym = d ， o 则 D 分成了 nm 个小矩形 ∆Dij (i = 1,2, , n, j = 1,2, , m) 。
2π 3
≤
∫∫∫
Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 +
z
2
≤
4π 3
。
m 4．计算下列重积分：
co (1) ∫∫(x3 + 3x2 y + y3 )dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
. D
aw (2) ∫∫ xy ex2+y2 dxdy ，其中 D 为闭矩形[a,b] × [c,d ]；
课 证明
H ( x, y) = max{ f ( x, y), g( x, y)}
和
h( x, y) = min{ f ( x, y), g( x, y)}
也在 D 上可积。
证 首先我们有
H (x, y) = 1 ( f (x, y) + g(x, y) + f (x, y) − g(x, y) )， 2
D
khd (3)
∫∫∫ Ω
dxdydz (x + y + z)3
，其中
Ω
为长方体 [1,2]
×
[1,2]
二重积分习题解答
二重积分习题解答(一) 选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选出正确的选项） 1．12200I dy x y dx =⎰，则交换积分次序后得 C 。
（A）1220I dy x y dy =⎰； （B）12203I x y dy =⎰；（C ）2112203x I dx x y dx -=⎰⎰； （D ）2112203x I dx x y dy +=⎰⎰。
2．设积分域为{(,)|11,11}D x y x y =-≤≤-≤≤，则x yDedxdy +=⎰⎰ D. .(A)2)1(-e , (B)21)(2--e e , (C) 42)1(-e , (D) 21)(--e e ;3. 设积分域D 由直线,2,2y x x y x =+==围成，则(,)D f x y dxdy =⎰⎰ C(A)120(,)xx dx f x y dy -⎰⎰, (B) 21(,)yydyf x y dx -⎰⎰, (C) 212(,)xxdx f x y dy -⎰⎰, (D) 1(,)xdx f x y dy ⎰⎰.;4．22x y DI e dxdy --=⎰⎰，D :221x y +≤,化为极坐标形式是 D 。
（A ）221[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（B ）2124[]r I e dr d πθ-=⎰⎰；（C ）21202[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰；（D ）221[]r I e rdr d πθ-=⎰⎰。
5. 2DI xy d σ=⎰⎰, 其中22:1D x y +≤的第一象限部分,则 C 。
（A）120I dy dy =⎰； （B ）1120I dx xy dy =⎰⎰；（C）12I dx dy =⎰；（D ）1232cos sin I d r dr πθθθ=⎰⎰。
填空题1.交换二次积分次序，1(,)xI f x y dy =⎰＝ 。
故211(,)(,)yxy I dx f x y dy dy f x y dx ==⎰⎰⎰2．设积分域D 由11,22,x y -≤≤-≤≤围成，则3(2)Dx y dxdy +=⎰⎰ 0 3．设积分域为22{(,)|14,}D x y x y y x =≤+≤≥，则积分22()Df xy dxdy +=⎰⎰在极坐标下的二次积分为 。
练习103(二重积分的计算(交换积分次序)) - 答案
所以
2
dx
2xx2
1
1 1 y2
f x, y dy dy
f x, y dx 。
1
2x
0 2 y
3、交换二次积分
e
dx
ln x f x, ydy 的积分次序。
1
0
解：因为二次积分的积分区域 D x, y 1 x e, 0 y ln x，
画出积分区域 D （如右图所示），
所以积分区域 D x, y 0 y 1, ey x e 。
xy 2d 2
xy 2d 2
2 d
2
r
cos
r2
sin 2
rdr
2
2 cos sin2 d
2 r 4dr
0
0
0
0
D
D1
2 32 5
2 0
sin 2
d sin
64 5
sin 3 3
2 0
64 。 15
所以
3
dx
1
2 sin y2dy
x1
2
dy
1 y sin y2dx
01
2 0
y sin
y 2 dy
1 2
cos
y2
2 0
1 cos 4 2
。
5、计算二重积分 x5 sin y3 3 d ，其中 D x, y x 1, y 2。
D
解：画出积分区域 D （如右图所示），考虑到被积函数的奇偶性和积分
所以，
D
xy 2d
2
D1
xy 2d
2
2
dy
0
0
4 y2
xy 2dx
2
2 1 0 2
二重积分总结及习题
Dxy
z z 1 dxdy; x y
2
2
(3) 重心
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点
( x , y ) 处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连
续，平面薄片的重心
i 1
f ( i , i ) i ，
n
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时， 这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y ) 在闭 区域 D 上的二重积分，记为 f ( x , y )d ，即
D n
lim f ( i , i ) i . f ( x , y )d 0
f ( r cos , r sin ) r dr .
2. 改变下列二次积分的积分次序：
(1)
1 dx 1
2
x2
f ( x , y ) dy;
( 2)
0 dy
1
1 y 2 1 y
2
f ( x , y ) dx.
y x2
解 (1) 积分区域为 1 x 2, D: 2 1 y x .
f ( x , y )d
D
1 1 x 2
1 dx 0
f ( x , y ) dy.
3. 计算
D
x 2 d . 其中 D 由 y x , y 1 , x 2 围成． x y2
4. 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
1
y
y 2x x2
在极坐标系中，D 可表示为
, 0 r 2 cos .
二重积分的计算法习题整理及解析 9-2
0
d d
0
2
2
dz
z 1
例11 求 2 a cos 2 b cos ( 0 a b ) 的形心 解 由对称性知 y 0
A (b a )
2 2
y
2 b co s
M
y
D
2 a co s
xdxdy
o x
cos d d
D
2
2
cos d
3 3
2 a cos
2 b cos
d
2
8 3
( b a ) 2 cos d
3 3 4 2
(b a )
x
b ab b
2
2
ba
例12 求由 y ln x , y 0 , x e 所围成的均匀薄片 关于 y 轴的转动惯量。
2
2
2
2
x y z t
解: 在球坐标系下
4
F (0) 0
F (t )
0
t
f (r ) r d r
2
利用洛必达法则与导数定义,得
t 0
lim
t
4
lim
t 0
4 f (t ) t 4 t
3
2
lim
f (t ) f (0) t0
f (0)
t 0
例7. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,
2 2 2
z 2
z 0, z 2
2 x y 1 z
2
2
D(z) : x y 1 z
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y 2 x 2 y , 0 y 2 ,(如图).
改变积分次序,积分区域可以表示为:
x y x , 0 x 4 ,于是有 2
3.
2
0
dy 2 f ( x, y )dx dx x f ( x, y )dy .
y
0 2
2y
4
x
e
1
dx
ln x
0
f ( x, y )dy .
1 2
R2 ： y 1 x 2 , 2 y 5 ,
有
o
x
f ( x, y)dxdy
R
2
1
dy 2 f ( x, y )dx dy
y 2
2
5
2 y 1
f ( x, y )dx ．
y
2
yx
5.由圆 x 2 y 2 2 x , x 2 y 2 4 x 及直线 y x , y 0 所围成. 解：积分区域如图． 可以表示为两个 x 型区域: R1 ： 2 x x 2 y x , 1 x 2 ；
y2 x y , 0 y 4 ,于是有 4
4
f ( x, y)dxdy
R
0
dy y 2 f ( x, y )dx ．
4
y
(2) 将二重积分化为先 y 后 x 的累次积分 积分区域为 x 型区域: x y 2 x , 0 x 4 ,于是有
R
f ( x, y )dxdy dx
0 2
2
0
x3 x2 2 y x 3 y dy 2
2
y
(
0
2
19 3 3 2 13 y y )dy ． 24 8 6
7.
y 1 dxdy ，其中 R 是由 y x
R 及 x 0 所围成的闭区域.
解： 如图， 积分区域可以表示为 x 型区域: 2 x y x 2 1 , 0 x 1 . 于是有
R1
R2
R2 ： x 1 y 1 x ,
于是有
0 x 1．
( x +y)dxdy ( x+y)dxdy ( x +y)dxdy
R R1 R2
dx
1
0
1 x
1 x
( y x )dy dx
0
1
1 x
x 1
( x y )dy
o
x
x
4.
x
R
y dxdy ，其中 R 是由 y x 2 与 y x 所围成的闭区域.
2
解: 如图.积分区域可以表示为 x 型区域: x y 于是有
1 x
x , 0 x 1.
x ydxdy xdx 2
0 x
R
y dy
3 2 1 2 x [ y ]x2x dx 0 3
2009 大专 A 班数学分析第 13 章二重积分的计算练习题解答
一、求下列二重积分： 1.
( x
R
2
y 2 )dxdy , 其中 R ： 1 x 1 ， 1 y 1 .
1 1 1 1
2 y3 解： ( x y )dxdy dx ( x y )dy x y dx 1 1 1 3 1 R
0
4
2 x
x
f ( x, y )dy ．
3
2.由 x 轴及半圆周 x y r ( y 0) 所围成. 解：积分区域如图，有
2
2
2
y
r r 2 x2
R
f ( x, y )dxdy dx
r
0
r2 y2
f ( x, y )dy
f ( x, y )dx ．
r
x2 y2 r2
y
y 1 x2
5
f ( x, y )dy ．
2 表示为 x 型区域: y 1 x2 ,1 x 2 , x
有
R
f ( x, y )dxdy dx 2
1 x
2
1 x 2
表示为两个 y 型区域: R1 ：
2 x 2 ,1 y 2 ； y
2
1
xy 2
(3x 2 y )dxdy dx
R
0 2 2
2
2 x
0
(3x 2 y )dy 3xy y 2 0 dx 0
2
2
2 x
2
yx 2
2 x3 20 ) . (4 2 x 2 x )dx (4 x x 0 3 0 3
R
2
y 2 x )dxdy ，其中 R 是由直线 y 2 , y x 及 y 2 x 所围成的闭区域.
y x y,0 y 2. 2
解: 如图，积分区域可以表示为 y 型区域: 于是有
( x
R
2
y 2 x )dxdy
y 2 2 2
dy y ( x y x)dx
o
x
1
x
2
8.
R
sin x x dxdy ，其中 R 是由直线 y x , y 及 x 2 所围成的闭区域. 2 x
解：将二重积分化为先 y 后 x 的累次积分． 积分区域可表示为 x 型区域: 故
y yx
2
x y x , 0 x 2 （如图） ． 2
2 sin x x 1 2 1 sin x d x d y sin xdx (1 cos 2) ． d x d y x 0 0 x 2 2 x 2 R
y
o x
2
x 2
x
9.
sin y dxdy ，其中 R 是由直线 y x , y 1及 x 0 所围成的闭区域.
R
2
解：将二重积分化为先 x 后 y 的累次积分． 积分区域可表示为 y 型区域: 0 x y , 0 y 1 （如图） ． 故
1 y 1 1 2 2 sin y d x d y sin y d y d x y sin y 2dy (1 cos1) ． 0 0 0 2 R
解: 所给累次积分为先 y 后 x 的积分,积分区域为:
0 y ln x , 1 x e ,(如图).
5
改变积分次序,积分区域可以表示为: e x e , 0 y 1 ,于是有
1 x 1 x 1 0 1 1 ( y x)2 dx ( y x ) 2 dx 1 x 1 x 2 1 2 0 1 0 1 1 2 [1 (2 x 1) 2 ]dx [1 (2 x 1)2 ]dx ． 2 1 2 0 3
6.
( x
1
2 1 7 2 4 11 1 6 ( x 4 x 4 )dx ( x 4 x 5 ) . 3 0 3 11 5 55 0
1
5.
( x +y)dxdy , 其中 R ： x
R
y 1.
解：如图，积分区域为两个 x 型区域 R1 与 R2 之并， 其中 R1 ： 1 x y 1 x , 1 x 0 ，
dy
0
r
o
r
x
r2 y2
3.环形闭区域: 1 x y 4 . 解：积分区域如图．可分成 4 个小的 x 型区域(或 y 型区域),于是有
2
2
R
f ( x, y )dxdy dx
1
1
4 x 2 1 x 2
f ( x, y )dy dx
1 4 x 2
2
o
x
x
2
3.
x cos( x y )dxdy ,其中 R 是以 (0, 0) (π, 0) (π, π) 为顶点的三角形区域.
R
解: 如图，积分区域可以表示为 x 型区域: 0 y x , 0 x .于是有
y yx
x cos( x y )dxdy
R
2 2 2 2
2 x3 x 8 (2x )dx 4( ) . 1 3 3 3 0 3
1 2
1
2.
(3x 2 y )dxdy ，其中 R 是由坐标轴与 x y 2 所围成的闭区域.
R
y
解: 如图，积分区域可以表示为 x 型区域: 0 y 2 x , 0 x 2 .于是有
2 4 y 2
dy
1 1 y 2
f ( x, y )dx dy
1
2
o
f ( x, y )dx ．
1
2
4
x
三、改变下列累次积分的积分次序： 1.
dy
0
1
y
0
f ( x, y )dx .
解: 所给累次积分为先 x 后 y 的积分,积分区域为:
0 x y , 0 y 1 ,(如图).
y
y 2x
2 y x2 1 1
R
x dxdy y 1
1 x 2 1 1 1 x 2 1 dy x[ln( y 1)]2 x dx 0 y 1
1
xdx
0
1
2x
x ln( x 2 2)dx x ln(2 x 1)dx
0 0
9 1 ln 3 ln 2 ． 8 2
改变积分次序,积分区域可以表示为: x y 1 , 0 x 1 ,于是有