7实系数方程T

教学内容【知识结构】一、复数的平方根与立方根1. 平方根如果复数i a b +和i(,,,)R c d a b c d +∈满足2(i)i a b c d +=+，则称i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根．2. 立方根如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根：21,,ωω: 13i 22ω=-+，213i 22ωω==--，31ω=．210ωω++=． （2） 1-的立方根：13131,i,i 2222z z -=+=- 二、复数方程1. 常见图形的复数方程 （1） 圆：0z z r -=（其中0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆：122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线：122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根求根公式：0≥∆ 一对实根aac b b x 2422,1-±-= 0<∆ 一对共轭虚根ab ac i b x 2422,1-±-= 注：韦达定理仍适用【例题精讲】例1、求i 247+的平方根。

解：设i 247+的平方根为bi a +（a 、R b ∈）∴ i abi b a bi a 2472)(222+=+-=+ ∴ ⎩⎨⎧==-242722ab b a ∴⎩⎨⎧==34b a 或⎩⎨⎧-=-=34b a∴ 平方根为)34(i +±拓展：1）求1的立方虚根。

解：13=x ，013=-x0)1)(1(2=++-x x x 2312||1i i x ±-=∆±-=2）1,13=≠ωω，求302302ωωω+++ 的值。

解：原式ω)28252219161310741(+++++++++=2)29262320171411852(ω++++++++++323165155145)30963(ωωωω++=++++ （1）i 2321+-=ω时 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145-=+--++-=（2）i 2321--=ω 原式i i i 3515165)2321(155)2321(145+=++-+--=3）,0,0,22=++≠y xy x y x ，求20052005)()(yx y y x x +++的值。

解：022=++y xy x 01)(2=++y x y x ω=±-=i y x 2321 原式20052005)()(y x y y x x +++=20052005])1([])1([y y y y ωωω+++=20052005)11()1(ωωω+++=注：1)1(3-=+ω （1）i 2321+-=ω 原式1)1()1(1)1()1()11()1(66866820052005=+-++-=+++=ωωωωωω（2）i 2321+-=ω 原式1)1()1(1)1()1(668668=+-++-=ωωω∴ 1)()(20052005=+++y x y y x x例2、已知：1+i 是方程 32271060x x x -+-=的一个根，求：其余的根解：i -1也为其根 0))(22(2=++-b ax x x3,2-==b a23=x拓展：1）设 1x ,2x 是实系数一元二次方程 20x x m ++=的两个虚根，且 123x x -=，求：m 的值。

解：设bi a x ±= 3=+-+bi a bi a23=b 21-=a 25=m2）设关于x 的方程 2236(1)10x k x k --++=的两根的模的和为2，求：实数k 的值。

解：若两根为实根0>∆2)1(2±=-k2=k （舍） 0=k若两根为实根0<∆设bi a x ±=⎪⎩⎪⎨⎧+=-=311)1(222k k a 2=k 2-=k （舍）3）已知复数ω满足i )23(4ωω-=- （i 为虚数单位），25-+=ωωz ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程。

解：i i 34)21(+=+ω i i i -=++=22134ω i i iz +=-+-=325 若实系数一元二次方程有虚根i z +=3，则必有共轭虚根i z -=36=+z z ，10=⋅z z 01062=+-x x例3、βα,为方程0)34()2(2=++--i x i x 的根，求（1）22βα+（2）33βα+（3）βα11+。

解：（1）i i i 105)34(2)2(2)(2222--=+--=-+=+αββαβα（2）]3))[((233αββαβαβα-++=+i i i i 1731)]34(3)2)[(2(2--=+---=（3）i 525111-=+=+αββαβα拓展：1）实数a 为何值时方程0)()1()1(222=+++++i a x i a x i a 有实根。

解：设实根为0x ∴ 0)1()(02202020=+++++i x a ax a x ax⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010********x a ax a x ax 相减)1()1(202-=-a x a0)1)(1(02=--x a （1）1=a 原式012=++x x 无实根（2）1-=a 原式012=--x x 有实根（3）10=x 原式012=++a a a 无实根∴ 1-=a 方程有实根2）已知关于x 的方程x 2-（6+i ）x+9+ai=0 （a ∈R ）有实数根b.（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足|-z -a-bi|-2|z|=0，求z 为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解（1）∵b 是方程x 2-（6+i ）x+9+ai=0 （a ∈R ）的实根，∴（b 2-6b+9）+（a-b ）i=0，故⎩⎨⎧==+-b a b b 0962解得a=b=3. （2）设z=x+yi （x ，y ∈R ），由|-z -3-3i|=2|z|， 得（x-3）2+(y+3)2=4（x 2+y 2），即（x+1）2+（y-1）2=8.∴Z 点的轨迹是以O 1（-1，1）为圆心，22为半径的圆.如图，当Z 点在OO 1的连线上时，|z|有最大值或最小值.∵|OO 1|=2，半径r=22， ∴当z=1-i 时，|z|有最小值且|z|min =2.例4、已知复数z 对应的点与原点组成直线的倾斜角是60°，且| z －1|是| z |和| z －2|的等比中项. 求| z |。

解：设(cos60sin60)z r i =+ ，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即例5、设非零复数21z z 、满足212221100z kz z z =+ R k ∈ ，并且12z z 是虚数。

(1)求证：1210z z =(2)若*N k ∈，当k 在其允许范围内变化时，求所有满足条件的虚数12z z 的和 解：令x z z =12，则原方程可化为01002=+-kx x ， 04002<-=∆k ，24002i k k x -±= (1) 10)400(2122=-+=k k x ，即1012=z z ， 1210z z =(2) *N k ∈，19,,3,2,1 =k因每个方程的两根之和均为k ，故所求的和为19019321=++++例6、已知：复数z 1=m +ni ，z 2=2－2i 和z =x +yi ，若z =1z i －z 2⑴若复数z 1所对应点M(m ，n )在曲线y =21(x +3)2+1上运动，求复数z 所对应点P(x ，y )的轨迹方程； ⑵将⑴中P 的轨迹上每一点沿着向量a ={23，1}方向平移213个单位，得新的轨迹C ，求C 的方程； ⑶过轨迹C 上任意一点A （异于顶点）作其切线l ，l 交y 轴于点B ，问：以AB 为直径的圆是否恒过x 轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由；解：⑴(y +1)2=2(x +1)⑵向右平移23，向上平移1，得y 2=2(x －21) ⑶设A(x 0，y 0)，斜率为k ，切线y －y 0=k(x －x 0) (k≠0)，代入整理得k y 2－2y +(2y 0－2k x 0+k)=0，△=0得(2x 0－1)k 2－2y 0k+1=0y 20=2x 0－1，代入y 20k 2－2y 0k+1=0，得k=01y . 令x =0，B(0，y 0－00y x )，以AB 为直径的圆(y －y 0)[y －( y 0－00y x )]+x (x －x 0)=0 令y =0，x =1 即恒过(1，0)。