基本不等式待定系数法
《待定系数法》课件
化学中的反应速率方程
总结词
研究化学反应过程
详细描述
在化学领域，待定系数法常用于构建反应速率方程，以描述化学反应的动力学过程。通 过设定待定系数，可以量化反应速率常数、反应级数等关键参数，从而深入了解化学反
应的机理和特性。
06
总结与展望
待定系数法的优缺点 优点 01
通过待定系数法，可以将复杂问题分解为 多个简单问题，简化计算过程。
二次函数析二次函数的开口方向、顶点坐标和对 称轴。
详细描述
首先将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为顶点式 $f(x) = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是二次函数的顶点坐标。 然后通过待定系数法，令 $f(x) = a(x - h)^2 + k$，从而得 到 $a$、$h$ 和 $k$ 的值，进而分析二次函数的开口方向、 顶点坐标和对称轴。
在工程问题中，待定系数法可以用于求解 物理、化学、生物等领域的复杂问题，如 振动分析、电路分析、流体动力学等。
02
待定系数法的基本原理
线性方程组与多项式
线性方程组
由一组线性方程组成，描述了变 量之间的线性关系。
多项式
数学中一个非常基础的概念，表 示一串数字、字母通过有限次乘 法和加法得到的表达式。
《待定系数法》ppt课件
• 引言 • 待定系数法的基本原理 • 待定系数法的应用实例 • 待定系数法的扩展与深化 • 待定系数法的实际应用 • 总结与展望
01
引言
什么是待定系数法
待定系数法是一种数学方法，通过引入待定的系数来简化复杂数学表达式的求解过 程。
它通过将未知数与已知数进行组合，形成具有特定形式的表达式，从而方便求解未 知数的值。
2.待定系数法
2.待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题)【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵ L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即 mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵ t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为 y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵ m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6 求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
待定系数法积分不等式
待定系数法积分不等式
待定系数法是一种常见的数学方法，用于求解积分不等式。
它的基本思想是通过引入待定系数，将所求的积分不等式转化为一个函数，使得该函数的绝对值小于等于某个常数。
然后，利用已知的不等式或其他方法来确定待定系数的值，从而得到原积分不等式的证明。
例如，设$f(x)$在$(0,1)$上有一阶连续导数，且$f(0)=f(1)=0$，要证明$∫_{0}^{1}f(x)dx\leq\frac{1}{2}$。
证明：因为$∫_{0}^{1}f(x)dx$的值是一个常数，不妨设$∫_{0}^{1}f(x)dx=A$。
要证明$A\leq\frac{1}{2}$，只需证明$2A\leq1$。
令$F(x)=2f(x)$，则$F(x)$在$(0,1)$上有一阶连续导数，且$F(0)=F(1)=0$。
根据待定系数法，设$F(x)=x+B$，其中$B$为待定系数。
因为$F(0)=0$，所以$B=0$，即$F(x)=x$。
因为$∫_{0}^{1}f(x)dx=A$，所以$∫_{0}^{1}F(x)dx=∫_{0}^{1}x dx=A=∫_{0}^{1}f(x)dx$。
又因为$2A=∫_{0}^{1}2f(x)dx=∫_{0}^{1}F(x)dx=1$，所以$2A\leq1$，即$A\leq\frac{1}{2}$。
综上，原不等式成立。
待定系数法在积分不等式的证明中有着广泛的应用，它的关键在于合理地引入待定系数，将复杂的不等式转化为简单的函数不等式，然后利用已知的不等式或其他方法来确定待定。
均值不等式的待定系数法.doc
不等式讲座系列之 均值不等式的待定系数篇在处理一些不等式问题的时候，往往难以直接使用均值不等式，这就需要我们 根据题目自身的结构特点来进行适当的配凑，一种被称之为待定系数法均值的方法 就这样产生了。
在配的时候要牢牢把握住“正，定，等”。
这个纯属个人一些观 点，高手直接 pass 掉。
我的用意是在普及的基础上能帮助一些朋友有所提高，不 至于有那么多，啊！啊！啊！引子 : 已知 x, y, z R ，求函数 uxy yz的最大值。
x 2y 22z解析：取待定正数 ， ，有基本不等式得：xy yzyx y 1 [ 2 x 2y 22y 2z 2]12 x 212) y 22x 2y 2x2( )( ) [( 22]2令2121，解得：4 2 ，1 ，于是224 222 ( x 2xy yz2 ( x 2 y 2 z 2 )y 2 z 2 )2xy yz 2 (x 2 y 2 z 2 ) 2所以 u2 ，当且仅当 2x y 2z 时，等号成x2y2z2x 2 y 2 z 2 2立。
推广：设 a, b 为给定实数， x, y, z 为任意不全为 0 的实数，则axy byz 的最大值x 2y 22z为 a 2 b 2 ，最小值为a 2b 2 。
2 2简析：即证 2 xay2 zby b 2 x 2a 2 y 2z 2b 2 y 2 x 2 y 2 z 2 。
a 2b 2a 2a 2b 2a 2b 21. 设是不全为零的实数，求 的最大值分析：显然只需考虑 的情形直接均值显然不行，我们是不是可以这么考虑，引入待定的正参数满足故依据取等条件显然参数就是我们要求的最大值。
消去我们得到一个方程此方程的最大根为我们所求的最大值解之得我们再来看一个类似的，相信你已经找到了怎么处理这个问题了2.设是不全为零的正实数，求的最大值是的同我们依然可以引进参数使其满足依据取等条件我们有消去参数我们得到一个方程这个方程的最大根为我们所求的目标。
待定系数法在解题中的灵活运用
待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。
下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。
这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。
但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。
这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。
我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。
高中数学解题基本方法——待定系数法
三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
基本不等式
基本不等式在实际问题中的应用（8） 考点三 基本不等式在实际问题中的应用1、(必修10025P A 改编)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大解：设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号2、要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元B.120元C.160元D.240元解：设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4(m 2).容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b 时等号成立).故选C.3、某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)，平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76 000vv 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤7 60002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝121v ，即v ＝11时取“＝”.∴最大车流量F 为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋20×5＝76 000v ＋100v ＋18，∴F ≤76 0002v ·100v ＋18＝2 000，当且仅当v ＝100v ，即v ＝10时取“＝”.∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时.规律方法： 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确. 答案 C2.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.5解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 答案 C3.(2016·南昌一模)若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≤18解析 ∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，∴4＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤2，即ab ≤4.A 项，∵ab ≤4，∴1ab ≥14，故A 不恒成立；B 项，∵ab ≤4＝a ＋b ，∴1a ＋1b ≥1，故B 不恒成立；C 项，∵ab ≤2，∴C 不恒成立；D 项，因为2＝a ＋b 2≤a 2＋b 22，所以a 2＋b 2≥8，所以1a 2＋b 2≤18.∴D 恒成立. 答案 D4.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( )A.43B.53C.2D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2. 答案 C5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A.a <v <ab B.v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2D.v ＝a ＋b 2解析 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab . 又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .答案 A 二、填空题6.设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________. 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋ 21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立.答案 97.(2015·东北师大附中三模)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是________.解析 由已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2， ∴2＝2x ·23y ＝2x＋3y，∴x ＋3y ＝1，故1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时等号成立. 答案 48.若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.解析x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，因为x ＞0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 三、解答题9.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值.解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎛⎭⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时等号成立.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.答案 B12.(2015·江西五校联考)已知x ＞0，y ＞0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22B.2 2C. 2D.2解析 ∵x ＞0，y ＞0，x ＋2y ≥22xy ， ∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ，即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0， ∴2xy ≥2，∴xy ≥2. 答案 D13.(2015·重庆卷)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________. 解析 (a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2×（a ＋1）2＋（b ＋3）22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32， 当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.答案 3 214.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x 米.总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×162x ＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296⎝⎛⎭⎫x ＋100x ＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38880(元)，当且仅当x ＝100x(x ＞0)，即x ＝10时取等号.∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元. (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤16，0＜162x ≤16，∴818≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x ⎝⎛⎭⎫818≤x ≤16，g (x )在⎣⎡⎦⎤818，16上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x ＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×⎝⎛⎭⎫818＋80081＋12 960＝38 882(元).∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元.复习导读 高考中，不等式的性质可单独命题，也可与常用逻辑用语相结合命题，一般为选择题或填空题，难度不会太大；解不等式多与集合的运算相结合，考查一元二次不等式和指数不等式的求解，多为选择题，难度中等偏下；利用基本不等式求最值问题常常隐含在其他试题中进行考查.特别地，基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能.考点一 求代数式的取值范围应用不等式的性质求含有多个变量的代数式的取值范围时，由于变量间的相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，则应建立待求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性质求待求整体的取值范围，解此类题目时要特别小心，必须依据不等式的性质进行求解，做到步步有据.【例1】 已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4， 求f (－2)的取值范围.解 因为二次函数y ＝f (x )的图象过原点，所以设y ＝f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）＝a －b ≤2，3≤f （1）＝a ＋b ≤4.法一 (待定系数法)由题意知f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b ).所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1).又⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4，所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即f (－2)的取值范围是[6，10].探究提高 同向不等式只能相加，不能相减.即可以利用1≤f (－1)＝a －b ≤2和3≤f (1)＝a ＋b ≤4相加得2≤a ≤3，但不能利用3≤f (1)＝a ＋b ≤4和1≤f (－1)＝a －b ≤2相减得1≤b ≤1. 【训练1】 已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎨⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8). 法二作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，8)考点二 含参不等式恒成立问题的求解含参不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以各种形式出现在高中数学的各部分内容中，扮演着重要的角色.解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用. [考查角度一] 变化主元，转化为一次函数问题【例2－1】 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围. 解 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去.(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x＞4.探究提高 在含参不等式恒成立的问题中，参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系.本题已知参数a 的取值范围，求x 的取值范围，若能转换两者在问题中的地位，则关于x 的不等式就立即转化为关于a 的不等式，问题便迎刃而解了.[考查角度二] 联立不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题【例2－2】 (1)若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(－2，2]B.(－2，2)C.(－∞，－2)∪[2，＋∞)D.(－∞，2](2)已知x ∈(0，＋∞)时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(2－22，2＋22) B .(－∞，2) C.(－∞，2＋22)D.[2＋22，＋∞)解析 (1)原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0， ①当m ＝2时，对任意x 不等式都成立； ②当m －2＜0时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)＜0. 解得－2＜m ＜2，综合①②，得m ∈(－2，2].(2)令t ＝3x (t ＞1)，则由已知得函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1的图象在t ∈(1，＋∞)上恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，f （1）＝1－m ＋m ＋1≥0，解得m ＜2＋2 2. 答案 (1)A (2)C探究提高 本题第(2)问利用换元法转化为二次函数问题，但要注意换元后自变量的取值范围.[考查角度三] 分离变量，构造函数求最值【例2－3】 (1)(2016·郑州调研)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)法一 由于x ＞0，则由已知可得a ≥－x －1x在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，⎝⎛⎭⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1.②若－a2＜0，即a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增， 此时应有f (0)＝1＞0恒成立，故a ＞0. ③若0≤－a 2＜12，即－1＜a ≤0时，则应有f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a24≥0恒成立， 故－1＜a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.(2)∵x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax ＞0恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0恒成立.即当x ≥1时，a ＞－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立.而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，故a ＞－3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞－3}. 答案 (1)－52(2){a |a ＞－3}探究提高 这类问题经常用到下面的结论：若函数f (x )存在最小值，则a ≤(＜)f (x )恒成立⇔a ≤(＜)f (x )min ；若函数f (x )存在最大值，则a ≥(＞)f (x )恒成立⇔a ≥(＞)f (x )max .【训练2】 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＞0恒成立，则实数m 的取值范围为________. 解析 (1)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. (2)设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4＞0恒成立，等价于在区间(1，2)上函数f (x )的图象位于x 轴上方.函数f (x )的图象的对称轴方程是x ＝－m 2.①当－m2≤1，即m ≥－2时，f (x )在区间(1，2)上单调递增，只要f (1)＝m ＋5≥0即可，解得m ≥－5，所以m ≥－2；②当1＜－m2＜2，即－4＜m ＜－2时，只要f (x )min ＞0即可，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－m 2＝－m24＋4， 由－m 24＋4＞0，解得－4＜m ＜4，所以－4＜m ＜－2；③当－m2≥2，即m ≤－4时，f (x )在区间(1，2)上单调递减，只要f (2)＝2m ＋8≥0即可，解得m ≥－4，所以，得m ＝－4. 综合①②③，得m 的取值范围是[－4，＋∞). 答案 (1)⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ (2)[－4，＋∞) 考点三 线性规划问题(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是已知目标函数的最值求参数的值或取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数.【例3】 (1)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A.[－1，0]B.[0，1]C.[0，2]D.[－1，2](2)设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则实(建议用时：60分钟)一、选择题1.若a ，b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.a 2＞b 2 B.b a＜1 C.lg(a －b )＞0D.⎝⎛⎭⎫13a＜⎝⎛⎭⎫13b解析 ∵0＜13＜1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是减函数，又a ＞b ，∴⎝⎛⎭⎫13a ＜⎝⎛⎭⎫13b .答案 D2.已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12， 则f (10x )＞0的解集为( ) A.{x |x ＜－1或x ＞－lg 2} B.{x |－1＜x ＜－lg 2} C.{x |x ＞－lg 2} D.{x |x ＜－lg 2}解析 因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为{x |x ＜－1或⎭⎬⎫x ＞12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)， 由f (10x )＞0，可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0， 即10x ＜12，解得x ＜－lg 2，故选D.答案 D3.设函数f (x )＝x －1x 对任意x ∈[1，＋∞)，f (2mx )＋2mf (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 B.⎝⎛⎭⎫－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，12D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f (2mx )＋2mf (x )＝4mx －1＋4m 22mx，当m ＞0时，h (x )＝4mx －1＋4m 22mx 在[1，＋∞)上单调递增，h (x )不可能恒小于0，故m ＞0不符合题意；当m ＜0时，h (x )＝4mx －1＋4m 22mx(x ∈[1，＋∞))单调递减，h (x )在x ＝1处取得最大值，[h (x )]max＝h (1)＝4m －1＋4m 22m ＜0，解得m ＜－12，故选A.答案 A4.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( ) A.1B.13C.14D.18解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值3；当平移到经过该平面区域内的点(a ，a )时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值3a ，于是有8×3a ＝3，a ＝18，故选D.答案 D5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B.(0，1]C.⎣⎡⎦⎤1，43D.(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图(阴影部分)，求A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 的a 的取值范围是(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 答案 D6.(2014·福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( ) A.5B.29C.37D.49解析 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C. 答案 C 二、填空题7.若不等式m ＋－x 2－2x ≤x ＋1对x ∈[－2，0]恒成立，则实数m 的取值范围是________. 解析 原不等式即为－x 2－2x ≤x ＋1－m .令f (x )＝－x 2－2x ＝－（x ＋1）2＋1，g (x )＝x ＋1－m . 则在同一坐标系内f (x )图象在g (x )图象下方.如图所示，f (x )图象是以(－1，0)为圆心，以1为半径的半圆(x 轴上方部分)，g (x )图象是一组随m 变化的平行直线.当直线和半圆相切时，由d ＝r 得，|－m |2＝1，解得m ＝－2或m ＝2，又由已知得1－m ＞0即m ＜1，故只取m ＝－2，当直线向上平移时，也满足条件，所以实数m 的取值范围是(－∞，－2]. 答案 (－∞，－2]8.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ＋1，x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是113，则实数k 的值是________.解析 可行域如图所示，则目标函数z ＝2x ＋y 在点A 处取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＋y ＋k ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫－k ＋13，1－2k 3，所以－2（k ＋1）3＋1－2k 3＝113，解得k ＝－3. 答案 －3 三、解答题10.已知不等式ax －1x ＋1＞0(a ∈R ).(1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0. ①当a ＝0时，由－(x ＋1)＞0，得x ＜－1； ②当a ＞0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)＞0， 解得x ＜－1或x ＞1a；③当a ＜0时，不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x ＋1)＜0； 若1a ＜－1，即－1＜a ＜0，则1a ＜x ＜－1； 若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a ＞－1，即a ＜－1，则－1＜x ＜1a. 综上所述，a ＜－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1＜x ＜1a ； a ＝－1时，原不等式无解；－1＜a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜－1 ； a ＝0时，解集为{x |x ＜－1}； a ＞0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .(2)∵x ＝－a 时不等式成立，∴－a 2－1－a ＋1＞0，即－a ＋1＜0，∴a ＞1，即a 的取值范围为(1，＋∞). 11.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米.12.已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1，1]，m ＋n ≠0时f （m ）＋f （n ）m ＋n＞0.(1)用定义证明f (x )在[－1，1]上是增函数； (2)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＜f ⎝⎛⎭⎫1x －1； (3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数t 的取值范围. (1)证明 任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则 f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1－x 2·(x 1－x 2).∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1－x 2＜0.又已知f （x 1）＋f （－x 2）x 1－x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在[－1，1]上为增函数.(2)解 ∵f (x )在[－1，1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12＜1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ＜－1. (3)解 由(1)可知f (x )在[－1，1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1，1]，恒有f (x )≤1，∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1，1]，a ∈[－1，1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立， 故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.对a ∈[－1，1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1，1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.。
待定系数法(通用)
发展趋势分析
算法优化
随着计算能力的提升，待定系数法在算法优 化方面将有更大的发展空间，以提高求解效 率和精度。
扩展应用领域
随着科学研究的不断深入，待定系数法有望在更多 领域得到应用，例如材料科学、生物医学等。
智能化发展
结合人工智能和机器学习技术，待定系数法 有望实现智能化求解，自动选择最优算法和 参数。
微分方程求解
在求解微分方程时，待定系数法 可以用于确定方程的解的形式， 通过设定待定系数，将微分方程 转化为代数方程组进行求解。
历史与发展
历史
待定系数法起源于18世纪，最初用于多 项式展开和函数展开。随着数学的发展 ，待定系数法逐渐扩展到更广泛的领域 ，如微分方程求解、变分法等。
VS
发展
近年来，随着数学研究的深入和应用领域 的拓展，待定系数法在解决复杂数学问题 方面取得了重要进展。同时，随着计算机 技术的发展，待定系数法的计算效率和精 度也得到了显著提高。
改进与优化建议
加强理论基础
进一步深入研究待定系数法的理论基础，提高方法的 可靠性和稳定性。
提高计算效率
优化算法和计算过程，减少计算时间和成本，提高计 算效率。
加强数据质量控制
严格控制数据来源和质量，确保数据具有较好的代表 性和可靠性，以提高模型拟合效果和准确性。
06 待定系数法的未来发展与 展望
02 待定系数法的基本原理
原理概述
1
待定系数法是一种数学方法，通过引入待定的系 数，将一个复杂的问题分解为若干个简单的问题， 从而思想是将一个多项式表示为另一种 易于处理的形式，以便于求解多项式的根、因式 分解、求导等操作。
3
待定系数法广泛应用于数学、物理、工程等领域， 是解决复杂问题的一种有效手段。
高中数学解题方法系列：待定系数法
高中数学解题方法系列：待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
（≡表示恒等于）待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用．(一)求直线和曲线的方程例1过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程．【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．【解说】(1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．例2如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若系，求曲线C的方程．【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N解之，得p=4，x1=1．故曲线C的方程为y2=8x(1≤x≤4，y＞0)．(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小．【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．从而由待定系数法，得a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．∵L1、L2是两条不重合的直线∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．即mp-nq≠0．从而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2＝0．即为所求的两条角平分线方程．(2)显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°．当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．(三)探讨二次曲线的性质1．证明曲线系过定点例4求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．∵t是任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标．2．求圆系的公切线或公切圆例5求圆系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切线方程．【解】将圆系方程整理为[x-(2m+1)]2＋(y-m)2=m2(m≠0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心(2m＋1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而[(1-2k)m-(k＋b)]2＝m2(1＋k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0．∵m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m 的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．3．化简二元二次方程例6求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．【分析】把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．【解】(略)．例7．已知函数y ＝mx x n x 22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
试论高中数学基本不等式解题技巧
龙源期刊网 试论高中数学基本不等式解题技巧作者：刘金兰来源：《学习与科普》2019年第29期摘要：高中数学有着较强的逻辑性，自身它就是一个相对较难的学科，学生在学习的过程中需要面对各种类型的知识整合，其中不等式的应用相对较难，而且高考中不等式会占据较大的分值，在试题中常常和其他内容结合出新的题型，想要对其进行解析并非一件容易事情。
本文对高中不等式的解题思路与技巧进行分析，并加以案例说明，以供相关人士参考。
关键词：高中数学;基本不等式;解题技巧引言：基本不等式作为高中数学重要的一类不等式来讲，其能够贯穿高中数学众多的知识点，学生合理的掌握解题技巧才能有效提高自身的综合能力。
然而部分学生虽然掌握不等式的特性，但是仍然无法正确地将习题解答，导致這种现象的主要原因就是学生没有完全掌握不等式的本质，同时在日常学习的过程中没有高效的应用不等式，所以无法提高解题的效率。
一、线性规划中的不等式问题在考试题中，基本不等式最多的运用就是线性规划问题，而且这种类型题的出现通常都会与它其他知识混合在一起，这也使得学生们在解题的过程中经常难以下手。
这就说明通常情况下，线性不等式的问题考察的内容相对较多，包括一些特殊数值的计算与方法包括面积运算等，而且通常情况会利用最大值去求最小值，或最小值去求最大值。
还有一些例题会提升一个难度通过图像或函数来建立相应的关系去求相应的数值。
学生需要对相应范围的参数进行计算并获得相应的参数来进行求值。
在解题的过程中学生不仅要明确相关知识，还要懂得其理念和性质，才能将相应的题目进行解析。
例如，已知a>0，且x，y满足x≥2x+y≤4y≥a（x-4），目标函数为z=2x+y的最小值为2，求参数a的取值。
这一题中，解题的主要思路在于坐标中的直线，再加上题目中我们已知条件以轴为中心形成三角形进行计算，但与以往不大相同的是，这道例题在解题的过程中学生需要运用逆向思维来进行推理，根据已给的已知条件进行调整，同时还要注重大于等于号的使用。