北大高等代数
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数北大第三版
即 rs Z . f ( x) rsg1( x) h1( x). 得证．
推论 设 f ( x), g( x) 是整系数多项式，且 g( x)是本原
旳，若 f ( x) g( x)h( x), h( x) Q[ x], 则 h( x) 必为整系数多项式．
f ( x) (bl xl bl1 xl1 b0 )(cm xm cm1 xm1 c0 ) bi ,c j Z , l, m n, l m n
an blcm , a0 b0c0 . p | a0 , p | b0 或 p | c0 ,
又 p2 | a0 , p 不能同步整除 b0 , c0 . 不妨设 p | b0 但 p | c0 .
对a,b Q ( a 0), 多项式 g( x) f (ax b) 在有理数域上不可约．
例5 证明：f ( x) x2 1 在 Q上不可约． 证： 作变换 x y 1, 则
f ( x) y2 2 y 2, 取 p 2, 由Eisenstein鉴别法知， y2 2 y 2 在Ｑ上不可约， 所以 f ( x) 在Ｑ上不可约．
bi Z , i 0,1, 2, , n. 若 bn ,bn1, ,b1,b0 没有 异于 1 旳公因子，即 bn ,bn1, ,b1,b0 是互素旳， 则称 g( x)为本原多项式．
有关性质
1．f ( x) Q[ x], r Q, 使 f ( x) rg( x), 其中 g( x)为本原多项式． （除了相差一种正负号外，这种表达法是唯一旳）．
在 R 上，不可约多项式只有一次多项式与某些 二次多项式；
但在 Q上有任意次数旳不可约多项式．如
xn 2, n Z . 怎样判断 Q上多项式旳不可约性呢?
高等代数【北大版】9
| 1 | 2,
|
3
|
3
4 10
,
| 2 |
2, 6
|
4
|
5
4 14
.
§9.2 标准正交基
于是得 R[ x]4的标准正交基
1
|
1
1
| 1
2 ,
2
2
|
1
2
|
2
6 x
2
3
|
1
3
| 3
10 4
14 (5x3 3x) 4
§9.2 标准正交基
4.标准正交基间的基变换
设 1, 2 , , n与 1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V中的
1. 定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 则称A为正交矩阵.
AA E
2. 简单性质
1）A为正交矩阵 A 1. 2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交
矩阵.
§9.2 标准正交基
3）设 1, 2 , , n 是标准正交基，A为正交矩阵，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
（6）
§9.2 标准正交基
由公式（3）, 有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
， （7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA
A2
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
§9.2 标准正交基
三、正交矩阵
注:
① 由正交基的每个向量单位化, 可得到一组标准 正交基.
高等代数【北大版】2
2.三级行列式
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
§2.3 n阶行列式
a11 a12 a13 a11 a12
D a21 a22 a23 a21 a22
2 (3)
(1) 4 2
123 2 1 3 1 18 12 9 4 6 12 321
§2.3 n阶行列式
例2.
1000 0200 0030 0004
(1) (1234) a11a22a33a44
24
1
2
3 4
(1) (654321) a16a25a34a43a52a61
5
6! 720
a31 a32 a33 a31 a32
沙路法
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
对角线法
§2.3 n阶行列式
3.n 级行列式
n 级行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
a a a 1 j1 2 j2
njn
(1)
的代数和，这里 j1 j2 jn 为 1,2, ,n 的排列.
每一项（1）都按下列规则带有符号:
当 j1 j2 jn 为奇排列时（1）带负号；
当 j1 j2 jn 为偶排列时（1）带正号；
§2.3 n阶行列式
高等代数【北大版】9.1
证：若 (i , j ) 0, i j
m
m
则 1 2 m 2 ( i , j )
i 1
j1
m
m
(i ,i ) (i , j )
i 1
i j
m
(i ,i ) 1 2 2 2 m 2
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
§9.1 定义与基本性质
2）定义
( , ) a1b1 2a2b2 kakbk nanbn 易证( , )满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以 ( , ) 也为内积. 从而Rn 对于内积 ( , )也构成一个欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
问题的引入：
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来：
长度：
夹角 , ： cos ,
两边开方，即得（7）成立.
§9.1 定义与基本性质
4. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义1：设V为欧氏空间，、 为V中任意两非零
向量，、 的夹角定义为 , arccos ( , )
0 ,
§9.1 定义与基本性质
定义2：设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积
, 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
k( f , g)
§9.1 定义与基本性质
3
.
(f
g
,
h)
高等代数北京大学第三版
高等代数北京大学第三版简介高等代数是数学中的一门重要课程，是数学的基础和核心课程之一。
北京大学的高等代数课程被广泛认为是高等代数学习中的经典教材之一。
本文将介绍北京大学第三版《高等代数》教材的主要内容和特点。
内容概述《高等代数北京大学第三版》是一本教材，由北京大学吴传荣、李建平合著。
全书共分为十五章，每章围绕一个主题展开讲解。
主要内容包括线性方程和矩阵、行列式、矩阵的相抵标准形及其应用、线性空间与线性变换、特征值与特征向量、正交线性变换与二次型、群、环和域等。
特点1. 详细而全面的内容本教材详细介绍了高等代数的各个重要概念和定理，并给出了充分的例题和习题来帮助学生掌握和巩固所学的知识。
每章的开头都给出了该章的学习目标，使学生能够清晰地了解该章的所学内容，并有针对性地学习。
2. 理论与实践相结合教材既注重理论的讲解，又注重实践的应用。
通过大量的实例和应用，教材将抽象的数学概念与实际问题相结合。
这有助于学生更好地理解数学原理，并在实践中灵活运用。
3. 重点突出，条理清晰教材对于重要的概念和定理都做了重点强调，并给出了详细的证明过程和推导。
条理清晰的内容安排使学生能够逐步建立起完整的知识体系。
4. 多样化的习题除了充分的例题之外，本书还提供了丰富的习题，涵盖了各个难度级别。
习题中融入了不同类型的问题，既能巩固基础知识，又能培养学生的综合运用能力。
习题的解答也提供了详细的步骤和解析，方便学生检查自己的答案和思考方式。
5. 适用范围广泛这本教材不仅适合北京大学的高等代数课程，也适合其他高校的相应课程。
无论是学生还是教师，都能从本书中获得很多学习和教学的帮助。
总结《高等代数北京大学第三版》是一本经典的高等代数教材，内容详细而全面，既注重理论讲解，又注重实际应用。
教材的特点包括多样化的习题和解答、重点突出、条理清晰以及适用范围广泛。
这本教材不仅帮助学生掌握高等代数的基本概念和定理，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力。
高等代数课件(北大版)第二章-行列式§2
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
二、矩阵的初等行变换
定义 数域P上的矩阵的初等行变换是指:
1) 以P中一个非零数k乘矩阵的一行；
kri
2) 把矩阵的某一行的k倍加到另一行，k P ； ri krj
3) 互换矩阵中两行的位置.
ri rj
注意: 矩阵A经初等行变换变成矩阵B，一般地A≠B.
数学与计算科学学院
三、行列式的计算
原理: 任一方阵 A 可经过一系列的初等变换化成
阶梯阵 J ，且 A k J , k 0.
方法: 对行列式 A 中的A作初等行变换，把它化为
阶梯阵，从而算得行列式的值.
例1 计算行列式
2 5 1 3 1 9 13 7 3 1 5 5 2 8 7 10
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
一、矩阵
定义 由sn个数排成 s 行 n 列的表
a11 a12
A
a21
a22
as1 as2
a1n a2n
asn
称为一个 s×n 矩阵, 简记为 A (aij )sn . 数 aij 称为矩阵A的 i 行 j 列的元素，其中i为行指标， j为列指标.
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
3 2 7 1
2 4 3 5
2)
3 1 4 2 7253
4 3 2 6
答案: 1）－726
2）－22
Байду номын сангаас
§2.5 2024/7/9 行列式的计算
数学与计算科学学院
数学与计算科学学院
注意: 计算行列式 A 时，也可对A作初等列变换，
把它化成列阶梯阵，从而算得行列式的值. 也可同时作初等行变换和列变换, 有时候这样
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
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北大高等代数
北大高等代数是一门重要的数学课程，它是数学中的一支重要分支，是数学中的基础课程之一。
高等代数是一门研究代数结构的学科，它主要研究代数系统的性质和结构，包括群、环、域等代数结构的性质和结构。
北大高等代数课程的教学内容主要包括群论、环论、域论等内容。
群论是高等代数中的重要分支，它主要研究群的性质和结构，包括群的定义、子群、同态、正规子群、群的分类等内容。
环论是高等代数中的另一重要分支，它主要研究环的性质和结构，包括环的定义、子环、同态、理想、商环等内容。
域论是高等代数中的另一重要分支，它主要研究域的性质和结构，包括域的定义、子域、同态、理想、商域等内容。
北大高等代数课程的教学目标主要是培养学生的抽象思维能力和数学分析能力，使学生能够熟练掌握代数结构的基本概念和基本理论，能够运用代数结构的基本方法和技巧解决实际问题。
同时，北大高等代数课程还注重培养学生的创新能力和团队合作精神，使学生能够在团队中发挥自己的优势，共同完成学术研究和创新项目。
在北大高等代数课程的学习过程中，学生需要掌握一定的数学基础知识，包括微积分、线性代数、数学分析等内容。
同时，学生还需要具备一定的数学思维能力和数学分析能力，能够理解和运用代数结构的基本概念和基本理论，能够独立思考和解决实际问题。
北大高等代数是一门重要的数学课程，它是数学中的一支重要分支，是数学中的基础课程之一。
通过学习北大高等代数课程，学生可以掌握代数结构的基本概念和基本理论，培养抽象思维能力和数学分析能力，提高创新能力和团队合作精神，为未来的学术研究和创新项目打下坚实的基础。