北京市海淀区人大附中2022年九年级数学第一学期期末调研试题含解析
2024北京海淀初三(上)期末数学(含答案)
2024北京海淀初三（上）期末数 学注意事项：1．本试卷共7页，共两部分，28道题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线2(1)2y x =−−+的顶点坐标是（ ） A. ()1,2B.1,2 C. 1,2D. ()1,2−−3. 若关于x 的一元二次方程220x x m +−=有一个根为1，则m 的值为（ ） A. 3B. 0C. 2−D. 3−4. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++如图所示，则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况为（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有实数根D. 没有实数根5. 如图，在O 中，AB 为直径，C ，D 为圆上的点，若51CDB ∠=︒，则CBA ∠的大小为（ ）A. 51︒B. 49︒C. 40︒D. 39︒6. 如图，O 的半径为2，将O 的内接正六边形ABCDEF 绕点O 顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A 经过的路径长为（ ）A. 2B.3π C.23π D. 4π7. 林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：A. 若移植10棵幼树，成活数将为8棵B. 若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C. 移植的幼树越多，成活率越高D. 随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.9008. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30︒，120︒或150︒；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为________． 10. 如图，由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB 和EF 剪开后重组可得到矩形ABCD ，那么②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）．11. 若关于x 的一元二次方程216ax =有整数根，则整数a 的值可以是________（写出一个即可）． 12. 已知y 是x 的二次函数，表中列出了部分y 与x 的对应值：（填“最小值”或“最大值”）．13. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为10cm ，开口AB 宽为12cm ，这个水容器所能装水的最大深度是________cm ．14. 如图，PA ，PB 是O 的两条切线，切点分别为A ，B ，60P ∠=︒．若O 的半径为3，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）．15. 如图，将面积为25的正方形ABCD 的边AD 的长度增加a ，变为面积为22的矩形AEGF ．若正方形ABCD 和矩形AEGF 的周长相等，则a 的值是________．16. 小云将9张点数分别为19的扑克牌以某种分配方式全部放入A ，B 两个不透明的袋子中（每个袋子至少放一张扑克牌），从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k 这一事件的概率记为k P ．（1）若将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，则8P =________； （2）对于所有可能的分配方式以及所有的k ，k P 的最大值是________．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：21x x +=．18. 已知22310a a −+=，求代数式()2(3)3a a a −++的值．19. 如图，在ABC 中，45B ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，使点B '在BC 的延长线上．求证：BB C B ''⊥'．20. 已知关于x 的方程2220x mx m n −+−=有两个不相等的实数根． （1）求n 的取值范围；（2）若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求m 的值． 21. 如图，P 是O 外一点，PA 与O 相切，切点为A ．画出O 的另一条切线PB ，切点为B ．小云的画法是：①连接PO ，过点A 画出PO 的垂线交O 于点B ；②画出直线PB ． 直线PB 即为所求．（1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接OA ，OB ． OA OB =，AB PO ⊥，PO ∴垂直平分AB ，OAB OBA ∠=∠．PA ∴= ．PAB ∠∴= ．PAO PBO ∴∠=∠．PA 是O 的切线，A 为切点，OA AP ∴⊥．90PAO ∠∴=． 90PBO ∠∴=．OB PB ∴⊥于点B ．OB 是O 的半径，PB ∴是O 的切线（ ）（填推理的依据）．22. 不透明袋子中装有1个红球，1个绿球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别． （1）从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为________；（2）从袋子中随机摸出一个球后，不放回，再从剩余的球中随机摸出一个．请利用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率．23. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点()0,2A ，()3,1B −． （1）求该抛物线的表达式；（2）过点()0,t 与y 轴垂直的直线l 与抛物线交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，其中12x x <，与直线AB 交于点()33,N x y ．若132x x x <<，直接写出t 的取值范围．24. 如图，在边长为4cm 的正方形ABCD 各边上取点E ，F ，G ，H （可与A ，B ，C ，D 重合），使得四边形EFGH 为正方形．设AE 为cm x ，正方形EFGH 的面积为2cm y ．（1）y 关于x 的函数表达式是________，自变量x 的取值范围是________； （2）在下面的平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中函数的图象； （3）当x =________cm 时，正方形EFGH 面积有最小值________2cm ．25. 如图，AB 为半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上，直线CM 与半圆O 相切于点C ，CM AD ∥．（1）若MCD ∠α=，求COA ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）过点O 作OE CD ⊥交CM 于点E ，交CD 于点F ，若CD AB ∥，6AB =，求CE 的长． 26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,A m −，点()3,B n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++> 上．设抛物线的对称轴为直线x t =． （1）当2t =时，①直接写出b 与a 满足的等量关系； ②比较m ，n 的大小，并说明理由；（2）已知点()0,C x p 在该抛物线上，若对于x <<034，都有m p n >>，求t 的取值范围． 27. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，连接DE ，EDC B ∠=∠．（1）求证：ED EC =；（2）连接BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，求BAC ∠的大小．28. 在平面直角坐标系xOy 中，将中心为T 的正方形记作正方形T ，对于正方形T 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若正方形T 的边上存在点Q ，使得直线OP 与以TQ 为半径的T 相切于点P ，则称点P 为正方形T 的“伴随切点”．（1）如图、正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C −．①在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P −中，正方形T 的“伴随切点”是 ； ②若直线y x b =+上存在正方形T 的“伴随切点”，求b 的取值范围；（2）已知点(),1T t t +，正方形T 的边长为2．若存在正方形T 的两个“伴随切点”M ，N ，使得OMN 为等边三角形，直接写出t 的取值范围．参考答案第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】A【分析】本题考查中心对称图形的识别，掌握把图形绕某点旋转180°后能和自身重合的图形是中心对称图形是解题的关键．【详解】A.是中心对称图形，符合题意； B.不是中心对称图形，不符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选A ． 2. 【答案】A【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵抛物线2(1)2y x =−−+，∴抛物线2(1)2y x =−−+的顶点坐标是：()1,2， 故选A.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考查重点，应熟练掌握. 3. 【答案】A【分析】把1x =代入220x x m +−=，转化为m 的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把1x =代入220x x m +−=， 得210m +−=， 解得3m =， 故选A ． 4. 【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于x 的方程20ax bx c ++=的根即抛物线2y ax bx c =++与x 的交点的横坐标，根据函数图象即可求解．【详解】解：依题意，2y ax bx c =++与x 无交点，即关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况为没有实数根， 故选：D ． 5. 【答案】D【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是90︒得出90ACB ∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在O 中，AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∵51CDB CAB ∠=∠=︒， ∴9039CBA CAB ∠=︒−∠=︒， 故选D ． 6. 【答案】C【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵O 的内接正六边形ABCDEF 绕点O 顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为60︒，∴点A 经过的路径长为60221803ππ⨯=， 故选C ． 7. 【答案】D【分析】题考查了利用频率估计概率，概率的意义．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴所以这种幼树移植成活率的概率约为0.900， 故选D ． 8. 【答案】C【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH ，根据勾股定理求出OH ，求出ABC 的最大面积，判断④． 【详解】如图，AB OA =，即AB 的长度等于半径，AB OA =，即AB 的长度等于半径，∴以AB 为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确；OA OB AB ==∴AOB 为等边三角形， ∴60AOB ∠=︒，当点C 在优弧AB 上时，30C ∠=︒，当点C 在劣弧AB 上时，150C ∠=︒， 当点C 在圆上移动时，CAB ∠可能是90︒，∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；由以上可知，C ∠可以是30︒或150︒， 当AC AB =，30C ∠=︒时，1803030120CAB ∠=︒−︒−︒=︒，∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30︒，120︒或150︒，故③正确；过O 作OH AB ⊥于H ，2OA =，∴112AH HB AB ===∴OH ==，当点C 为优弧AB 的中点时，ABC 的面积最大，(12222ABCS=⨯⨯+=， 故④错误； 故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键．第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】231y x =−【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减． 【详解】解：抛物线23y x =向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为231y x =−， 故答案为：231y x =−． 10. 【答案】旋转【分析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图形可知，②可看作①绕着点A 顺时针旋转90︒得到， 故答案为：旋转．11. 【答案】1a =（答案不唯一）【分析】本题考查了直接开平方法解方程，答案不唯一，1a = 【详解】一元二次方程216ax =有整数根， 则整数1a =，故答案为：1（答案不唯一）．12. 【答案】最大值【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的最值判断，设抛物线解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得10421a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=−⎩，解得32052a c b ⎧=−⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，根据解析式判断即可．【详解】，设抛物线解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得10421a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=−⎩， 解得32052a c b ⎧=−⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩， 故解析式为23522y x x =−+， ∵302a =−＜，∴抛物线有最大值，故答案为：最大值．13. 【答案】18【分析】连接OA AB ，，过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点C ，先由垂径定理求出AD 的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD 的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【详解】解：连接OA AB ，，过点O 作OD AB ⊥于点D ，交O 于点C ，如图所示：∵12cm AB =， ∴16cm 2AD AB ==，由题意得：10cm OA OC ==，在Rt OAD △中，()8cm OD ==，∴()10818cm CD OC OD =+=+=，即水的最大深度为18cm ，故答案为：18．14. 【答案】3π【分析】题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到90PAO PBO ∠=∠=︒，然后根据四边形的内角和得到120AOB ∠=︒，再根据扇形面积公式计算是解题的关键．【详解】解：∵PA ，PB 是O 的两条切线， ∴OA AP ⊥，OB PB ⊥，∴90PAO PBO ∠=∠=︒，∴360360909060120AOB PAO PBO APB ∠=︒−∠−∠−∠=︒−︒−︒−︒=︒， ∴212033360S ππ⨯==阴影， 故答案为：3π．15.ABCD 的边长为5，再根据正方形ABCD 和矩形AEGF 的周长相等，可得5AE a =−，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案．【详解】∵正方形ABCD 的面积为25，∴正方形ABCD 的边长为5，由题意得：,5DF a AF a ==+，∵正方形ABCD 和矩形AEGF 的周长相等，()254AE AF ∴+=⨯，5AE a ∴=−，∵矩形AEGF 的面积为22，22AE AF ∴⋅=，即()()5522a a −+=，解得：12a a ==0a >，a ∴=16. 【答案】 ①. 17 ②. 15【分析】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键.（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k 的所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （2）列举出所有可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可.【详解】（1）用列表法表示将点数为1和2的扑克牌放入A 袋，其余扑克牌放入B 袋，从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌，将两张扑克牌的点数之和为k 的所有等可能出现的结果如下：8的有2种，所以两张扑克牌的点数之和为8的概率，即821147P ==， 故答案为： 17； （2）当k P 的值最大时，A 袋中、B 袋中各含有4个数、5个数，此时共有20种等可能出现的结果,两张扑克牌的点数之和为k 出现的次数最多为4次,因此k P 的最大值为41205=， 故答案为：15． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，20题6分，第21-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 【答案】121122x x −−== 【分析】利用公式法求解即可．本题考查了解方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．【详解】∵21x x +=，∴210x x +−=，()221,1,1,414115a b c b ac ===−−=−⨯⨯−=∴12x −=，解得121122x x −−−==． 18. 【答案】8【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值及完全平方公式，正确变形，整体代入计算即可．【详解】∵22310a a −+=，∴2231a a −=−，∴()222(3)3693a a a a a a a −++=−+++ 2239198a a =−+=−+=．19. 【答案】见解析【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角，根据旋转得到AB C ABC ''≌，即可得到AB AB '=，45AB C ABC ∠=∠=''，根据等边对等角得到45AB B B ∠=∠='是解题的关键．【详解】证明：∵ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，∴AB C ABC ''≌，∴AB AB '=，45AB C ABC ∠=∠=''，∴45AB B B ∠=∠='，∴454590BB C AB C AB B ''''∠=∠+∠=+'=，∴BB C B ''⊥'．20. 【答案】（1）0n ＞（2）3m =【分析】（1）根据方程的根的判别式()()22242410b ac m m n ∆=−=−−⨯⨯−＞即可． （2）根据根的判别式，结合根的整数性质，根与系数关系定理，解答即可，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键．【小问1详解】∵方程2220x mx m n −+−=，21,2,a b m c m n ==−=−，∴()()22242410b ac m m n ∆=−=−−⨯⨯−＞， ∴224440m m n −+＞，解得0n ＞．【小问2详解】∵2220x mx m n −+−=的两个实数根分别是1x ，2x ，且2121,2x x x x =＞，∴122122,x n x m x x m =+=−，∵212x x =，∴211232,2m n x m x ==−，∵n 为符合条件的最小整数，∴1n =， ∴221429m m =⨯−， ∴2191m =， 解得123,3==−m m ，∴12x =或12x =−，∴2124x x ==或2124x x ==−（舍去），故3m =．21. 【答案】(1) 见解析(2)PB ，PBA ∠，过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线【分析】本题考查了切线的基本作图，切线的证明．(1)根据垂线的基本作图，作图即可．(2)根据切线的判定证明即可．【详解】(1)根据垂线的基本作图，作图如下：直线PB 即为所求．(2)证明：连接OA ，OB ．OA OB =，AB PO ⊥，PO ∴垂直平分AB ，OAB OBA ∠=∠．PA PB ∴=．PAB PBA ∴∠=∠．PAO PBO ∴∠=∠． PA 是O 的切线，A 为切点，OA AP ∴⊥．90PAO ∠∴=．90PBO ∠∴=．OB PB ∴⊥于点B ． OB 是O 的半径，PB ∴是O 的切线（过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线）．故答案为：PB ，PBA ∠，过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线．22. 【答案】（1）12（2）13【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键．(1)利用公式计算即可．(2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可．【小问1详解】一共有4种等可能性，摸出的球是黄球有2种等可能性， 故摸出的球是黄球的概率为2142=， 故答案为：12．【小问2详解】根据题意，画树状图如下：一共有12种等可能性，其中，摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的等可能性有4种． 故摸出的两个球恰好是一个红球和一个黄球的概率是41123=． 23. 【答案】（1）242y x x =−+（2）12t −<<【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质求字母的范围．（1）把点()0,2A ，()3,1B −分别代入解析式，联立构成方程组，解答即可．（2）利用数形结合思想，解答即可．【小问1详解】把点()0,2A ，()3,1B −分别代入2y x bx c =++，得 9312b c c ++=−⎧⎨=⎩，解得42b c =−⎧⎨=⎩， 故抛物线的解析式为242y x x =−+．【小问2详解】根据题意，得点N 在A ，B 之间运动时，满足了132x x x <<，此时函数值12C y −<<，故12t −<<．24. 【答案】（1）22816y x x =−+，04x ≤≤（2）见解析 （3）2；8【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定：（1）由正方形的性质得到90EF HE A D FEH ====︒，∠∠∠，证明()AAS AEF DHE ≌，得到DE AF =，则()4cm AF DE x ==−，利用勾股定理得到222816EF x x =−+，则(2228160y EF x x x ==−+≤≤；（2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可；（3）根据二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：∵四边形EFGH 为正方形，四边形ABCD 为正方形，∴90EF HE A D FEH ====︒，∠∠∠，∴90AEF AFE DEH AEF +=+=︒∠∠∠∠，∴AFE DEH =∠∠，∴()AAS AEF DHE ≌，∴DE AF =，∵cm 4cm AE x AD ==，，∴()4cm AF DE x ==−，∴()22222242816EF AE AF x x x x =+=+−=−+， ∴()22281604y EF x x x ==−+≤≤；故答案为：22816y x x =−+，04x ≤≤；【小问2详解】解；如图所示函数图象即为所求；【小问3详解】解：()222816228y x x x =−+=−+，∴当2x =时，y 最小，最小值为8，∴当2cm x =时，正方形EFGH 面积有最小值28cm ，故答案为：2；8．25. 【答案】（1）2COA α∠=（2【分析】(1) 根据CM AD ∥得CDA ∠α=∠=，结合圆周角定理，得到22COA CDA α∠=∠=，求解即可．(2) 根据CD AB ∥得OE AB ⊥，结合圆周角定理，得到30α=︒，根据特殊角的三角函数求解即可．【小问1详解】∵CM AD ∥，∴MCD CDA ∠α=∠=，∴22COA CDA α∠=∠=．【小问2详解】根据(1)的证明，得222COA CDA MCD α∠=∠=∠=，∵CD AB ∥，OE CD ⊥，∴OE AB ⊥，∵直线CM 与半圆O 相切于点C ，∴OC CE ⊥，∴90MCD CEO COE α∠=︒−∠=∠=，∴390α=︒，解得30α=︒，∵6AB =，∴3OC =，∵tan 3033CE CE OC ︒===，解得CE =【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，特殊角的正切值，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，垂径定理，特殊角的函数值是解题的关键．26. 【答案】（1）①4b a =− ②m n > （2）332t ≤≤ 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．（1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；（2）由题意可知点()1,A m −在对称轴的左侧，点()()03,,,B n C x p 在对称轴的右侧，点A 到对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离，据此即可得到 3142t t ≤⎧⎪⎨−+>⎪⎩，解得332t <≤． 【小问1详解】 ①22b t a=−=， ∴4b a =−；②∵抛物线²y ax bx c =++中， 0a >， ∴抛物线开口向上，∵点()1,,A m −点()3,B n 在抛物线²(0)y ax bx c a =++>上，对称轴为直线2x =， ∴点()1A m −，到对称轴的距离大于点()3,B n 到对称轴的距离，∴m n >；【小问2详解】由题意可知，点()1,A m −)在对称轴的左侧, 点()()03,,,B n C x p 在对称轴的右侧，034x <<，都有m p n >>，∴点A 到对称轴的距离大于点C 到对称轴的距离， 3142t t ≤⎧⎪∴⎨−+≥⎪⎩，解得 332t ≤≤， ∴t 的取值范围是 332t ≤≤． 27. 【答案】（1）见解析 （2）①见解析 ②90BAC ∠=︒【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据等边对等角得到B C ∠=∠，进而得到EDC C ∠=∠，再根据等校对等边即可得到结论； （2）①根据题意补图即可；②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，则四边形BEDG 是平行四边形，然后推导ABG ACE≌，得到ABG ACE ∠=∠，然后得到BAC BED CED ∠=∠=∠，180BED CED ∠+∠=︒即可得到结论．【小问1详解】 证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，又∵EDC B ∠=∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =；【小问2详解】①如图所示,②延长EF 至点G ，使GF EF =，连接,,,AG BG DG AE ，∵点F 为BD 的中点，∴四边形BEDG 是平行四边形，∴BG DE =，BG DE ，∵,GF EF AF EF =⊥，∴AF 垂直平分EG ，∴AG AE =，由（1）得:DE CE =，又∵BG DE =，∴BG CE =，∴ABG ACE ≌，∴ABG ACE ∠=∠，又∵180ACE ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180ABG ABE BAC ∠+∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∴180EBG BAC ∠+∠=︒，∵BG DE ，∴180EBG BED ∠+∠=︒，又∵180EBG BAC ∠+∠=︒，∴BAC BED ∠=∠，∵180BAC ABC C ∠+∠+∠=︒，180CED EDC C ∠+∠+∠=︒，EDC ABC ∠=∠，∴BAC CED ∠=∠，又∵BAC BED ∠=∠，∴BAC BED CED ∠=∠=∠，∵180BED CED ∠+∠=︒，∴2180BAC ∠=︒，∴90BAC ∠=︒．28. 【答案】（1）①23,P P ；②21−≤≤（2）1122t −−≤≤或1122t −−≤≤ 【分析】（1）①根据新定义，即可求解；②分0b ≥，0b ≤时，分别讨论，设直线y x b =+与坐标轴分别交于点,D E ，作EF DE ⊥交x 轴于点F ，过点T 作TQ DE ⊥于点Q ，则DEF DQT ∽2TQ ≤≤，即可得出b 的范围；（2）依题意，1TQ ≤≤，进而得出OT ≤≤，即()2221OT t t =++，解一元二次方程，结合图形，即可求解．【小问1详解】解：①正方形T 的顶点分别为点O ，()2,2A ，()4,0B ，()2,2C −∴()2,0T ，则正方形T 的边长为42⨯=42TQ ≤≤，∵23TP TP ===T 到23,OP OP，而T 到1OP∴在点()12,1P ，()21,1P ，()31,1P −中，正方形T 的“伴随切点”是()21,1P ，()31,1P − 故答案为：23,P P ．。
北京市海淀区名校2022-2023学年数学九年级第一学期期末统考试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣4＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根2．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =4：5，下列结论中正确的是A ．45DEBC = B ．94BCDE = C ．45AE AC = D ．54EC AC =3．反比例函数6y x =图象上的两点为()11,x y ，()22,x y 且12x x <，则下列表达式成立的是（ ）A ．1y y <B ．1y y =C ．1y y >D ．不能确定4．下列四个数中是负数的是（ ）A ．1B ．﹣（﹣1）C ．﹣1D ．|﹣1|5．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ）A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位6．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是AC 上的点，若∠D ＝110°，则∠AOC 的度数为（）A ．130°B ．135°C ．140°D ．145° 7．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k的值（ ）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．2 8．在同一坐标系中，二次函数2y ax b =+的图象与一次函数y bx a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如果2是方程x 2-3x +k =0的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-2二、填空题(每小题3分,共24分)11．将一元二次方程 2210x x --= 用配方法化成的 ()2x a b += 形式为________________．12．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AE AC，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．13．如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足 条件时，四边形EFGH 是矩形．14．小燕抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为_________．15．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．16．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，则下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2+bx +c ＝0的两根是x 1＝﹣1，x 2＝3；③2a +b ＝0；④4a 2+2b +c ＜0，其中正确结论的序号为_____．17．化简：()122a b a b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______． 18．某架飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2，这架飞机着陆后滑行最后150m 所用的时间是_______s ．三、解答题(共66分)19．（10分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x（元/千克）…50 60 70 80 …销售量y（千克）…100 90 80 70 …（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？20．（6分）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM 经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．21．（6分）我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式,如113=3+23.同样的,我们也可以把某些分式写成类似的形式,如33-333(1)3-1-1-1+-+==x x xx x x=3+3-1x.这种方法我们称为“分离常数法”.(1)如果-31xx+=1+1ax+,求常数a的值;(2)利用分离常数法,解决下面的问题:当m取哪些整数时,分式-3-1mm的值是整数?(3)我们知道一次函数y=x-1的图象可以看成是由正比例函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到,函数y=21x+的图象可以看成是由反比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到.那么请你分析说明函数y=3-2-2xx的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到22．（8分）计算：（111 12(21)2-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）332392y y x yx x⎛⎫÷⋅- ⎪⎝⎭23．（8分）孝感商场计划在春节前50天里销售某品牌麻糖，其进价为18元/盒.设第x 天的销售价格为y （元/盒），销售量为m （盒）.该商场根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x ≤≤时，38y =；当3150x ≤≤时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；40x =时，35y =.②m 与x 的关系为330m x =+．（1）当3150x ≤≤时，y 与x 的关系式为 ；（2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？24．（8分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），tan ∠BAC ＝34． （1）写出点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点D ，连接BD ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点P 从点A 出发，以2cm /秒的速度沿AB 向点B 运动，同时点Q 从点D 出发，以1cm /秒的速度沿DA 向点A 运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t ．问是否存在这样的t 使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出t 的值；如不存在，请说明理由．25．（10分）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 在BC 上，BD =2CD ，点F 是射线AC 上的动点，点M 是射线AD 上的动点，∠AFM =∠DAB ，FM 的延长线与射线AB 交于点E ，设AM =x ，△AME 与△ABD 重叠部分的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示（其中0<x ≤m ，m <x <n ，x ≥n 时，函数的解析式不同）．（1）填空：AB =_______；（2）求出y 与x 的函数关系式，并求出x 的取值范围．26．（10分）如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且AC =26CD ＝4，BD ＝2，求证：△ACD ∽△BCA ．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况即是判断函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝4交点的情况．【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，∴直线y＝4与抛物线只有一个交点，∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键.2、B【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则∴△ADE∽△ABC，∴49DE AD ADBC AB AD DB===+，故A错误；则94BC DE =，故B 正确； 则49AE AD AC AB ==，故C 错误； 则59EC DB AC AB ==，故D 错误. 故选择：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质. 3、D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到116=x y ，226=y x ，然后分类讨论：0＜1x ＜2x 得到12y y >；当1x ＜0＜2x 得到1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0得到12y y >． 【详解】∵反比例函数6y x=图象上的两点为()11,x y ，()22,x y ， ∴1122==6x y x y ， ∴116=x y ，226=y x ， 当0＜1x ＜2x ，12y y >；当1x ＜0＜2x ，1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0，12y y >；故选D.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.4、C【解析】大于0的是正数，小于0的是负数，据此进行求解即可．【详解】∵1>0，﹣（﹣1）=1>0，|﹣1|=1>0，∴A ，B ，D 都是正数，∵﹣1＜0，∴﹣1是负数．故选：C ．【点睛】本题主要考查正数的概念，掌握正数大于0，是解题的关键.5、C【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 6、C【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，由∠D 可以求得∠B ，再由圆周角定理可以求得∠AOC 的度数．【详解】解：∵∠D ＝110°，∴∠B ＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC ＝2∠B ＝140°，故选C ．【点睛】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握有关定理和性质的应用是解题关键．7、D【分析】将()1212122(2)2=3x x x x x x -+--+-化简可得，()21212124423x x x x x x +-+=-－， 利用韦达定理，()2142(2)3k k ----+=-，解得，k ＝±2，由题意可知△＞0，可得k ＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得： 12x x +＝k －1，122x x k +＝－,由()1212122(2)23x x x x x x -+--+=-，得：()21212423x x x x --+=-，即()21212124423x x x x x x +-+=-－，所以，()2142(2)3k k ----+=-,化简，得：24k =，解得：k ＝±2，因为关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根，所以，△＝()214(2)k k ---+＝227k k +-〉0，k ＝－2不符合，所以，k ＝2故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.8、C【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．【详解】A ．由一次函数图像可得：a >0，b >0；由二次函数图像可得：a >0，b <0，故A 选项不可能．B ．由一次函数图像可得：a >0，b <0；由二次函数图像可得：a >0，b >0，故B 选项不可能．C ．由一次函数图像可得：a <0，b >0；由二次函数图像可得：a <0，b >0，故C 选项可能．D ．由一次函数图像可得：a >0，b >0；由二次函数图像可得：a <0，b <0，故D 选项不可能．故选：C ．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键． 9、B【解析】简单几何体的三视图．【分析】左视图是从左边看到的图形，因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个．故选B ．10、A【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程，通过解方程来求k 的值．【详解】解：∵1是一元二次方程x 1-3x+k=0的一个根，∴11-3×1+k=0，解得，k=1．故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．二、填空题(每小题3分,共24分)11、()212x -=【分析】把方程常数项移到右边，两边加上1，变形得到结果，即可得到答案.【详解】解：由方程 2210x x --=，变形得：221x x -=，配方得：2212x x -+=，即 ()212x -=；故答案为()212x -=.【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12、1【分析】把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案． 【详解】解：∵AD AB ＝AE AC ，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226+， 解得：AD ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键. 13、AB ⊥CD【解析】解：需添加条件AB ⊥DC ，∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 中点， ∴1//,2EF AB EF AB =，1//,2GH AB GH AB = ∴EF HG ∥，EF HG =．∴四边形EFGH 为平行四边形．∵E 、H 是AD 、AC 中点，∴EH ∥CD ，∵AB ⊥DC ，EF ∥HG∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形．故答案为：AB ⊥DC ．14、12【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．【详解】解：∵抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的， ∴正面向上的概率为12． 故答案为12. 【点睛】本题考查的是概率的公式，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．15、23【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°， 所以指针落在红色区域内的概率是360120360=23， 故答案为23. 【点睛】 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．16、②③．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】由图象可知，抛物线开口向下，a ＜0，对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，b ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，所以abc ＜0，因此①是错误的；当y ＝0时，抛物线与x 轴交点的横坐标就是ax 2+bx+c ＝0的两根，由图象可得x 1＝﹣1，x 2＝3；因此②正确； 对称轴为x ＝1，即﹣2b a＝1，也就是2a+b ＝0；因此③正确， ∵a ＜0，a 2＞0，b ＞0，c ＞0，∴4a 2+2b+c ＞0，因此④是错误的，故答案为：②③．【点睛】此题考查二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．17、2a b +【分析】根据向量的加减法法则计算即可. 【详解】解：()1222a b a b a b ⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭-a b +=2a b +. 【点睛】本题考查了向量的加减法，掌握运算法则是关键.18、1【解析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y 取得最大值时，t 也取得最大值，求得t 的取值范围，然后解方程即可得到结论．【详解】当y 取得最大值时，飞机停下来，则y=60t-32t 2=-32（t-20）2+600， 此时t=20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t 的取值范围是0≤t≤20；即当y=600-150=450时，即60t-32t 2=450， 解得：t=1，t=30（不合题意舍去），∴滑行最后的150m 所用的时间是20-1=1，故答案是：1．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．三、解答题(共66分)19、（1）y 与x 的函数关系式为y=-x+150；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w （元）最大，此时的最大利润为1元．【分析】（1）根据图表中的各数可得出y 与x 成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y 与x 的关系式;（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；（3）根据批发商获得的总利润w （元）=售量×每件利润可表示出w 与x 之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b （k≠0），根据题意得501006090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1150k b =-⎧⎨=⎩， 故y 与x 的函数关系式为y=-x+150；（2）根据题意得（-x+150）（x-20）=4000，解得x 1=70，x 2=100＞90（不合题意，舍去）．故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；（3）w 与x 的函数关系式为：w=（-x+150）（x-20）=-x2+170x-3000=-（x-85）2+1，∵-1＜0，∴当x=85时，w 值最大，w 最大值是1．∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w （元）最大，此时的最大利润为1元．20、103【解析】连接OC,由垂径定理可得: EM ⊥CD ,即可求得的半径.【详解】解：连接OC ，∵M 是⊙O 弦CD 的中点，根据垂径定理：EM ⊥CD ，又CD ＝4则有：CM ＝12CD ＝2， 设圆的半径是x 米，在Rt △COM 中，有OC 2＝CM 2+OM 2， 即：x 2＝22+（6﹣x ）2，解得：x ＝103， 所以圆的半径长是103． 【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握垂径定理是解题的关键.21、（1）a=-4；（2）m=4或m=-2或m=2或m=0；（3）y=3-2-2x x .【解析】（1）依据定义进行判断即可；（2）首先将原式变形为-3-3m-3，然后依据m-1能够被3整数列方程求解即可；（3）先将函数y=322x x -- 化为y=42x -+3，再结合平移的性质即可得出结论． 【详解】(1)∵-31-411x x x x +=++=1+-41x +,∴a=-4. (2)-3-33-3-3(-1)-3-1-1-1m m m m m m +===-3-3-1m , ∴当m-1=3或-3或1或-1时,分式的值为整数,解得m=4或m=-2或m=2或m=0.(3)y=3-23-643(-2)4-2-2-2x x x x x x ++===3+4-2x , ∴将y=4x 的图象向右移动2个单位长度得到y=4-2x 的图象,再向上移动3个单位长度得到y-3=4-2x ,即y=3-2-2x x . 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质和找出图象平移的性质是解题的关键．22、（1）1；（2）6y -【分析】（1）分别根据二次根式的性质、0指数幂的意义和负整数指数幂的运算法则计算各项，再合并即可； （2）根据分式的乘方和分式的乘除混合运算法则解答即可．【详解】解：（1）原式=12+=1；（2）原式3233293x y x y y x ⎛⎫=⨯⋅- ⎪⎝⎭6y =-． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、0指数幂、负整数指数幂以及分式的乘方和分式的乘除混合运算等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．23、（1）1552y x =-+;（2）32， 2646元. 【分析】（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，将“当36x =时，37y =；40x =时，35y =”代入计算即可；（2）根据利润等于单件利润乘以销售量分段列出函数关系式，再根据一次函数及二次函数的性质得出最大利润即可.【详解】解：（1）设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠∵当36x =时，37y =；40x =时，35y =，即37363540k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：1255k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴1552y x =-+ （2）(18)W y m =-∴当130x ≤≤时，(3818)(330)60600W x x =-+=+ ∵60＞0∴当x=30时，W 最大=2400（元）当3150x ≤≤时1(5518)(330)2W x x =-+-+ 239611102x x =-++ 23(32)26462x =--+ ∴当x=32时，当天的销售利润W 最大，为2646元.2646＞2400∴故当x=32时，当天的销售利润W 最大，为2646元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键.24、（1）点B 的坐标为（1，3）；（2）点D 的坐标为（134，0）；（3）存在，当t ＝2514s 或12552s 时，△APQ 与△ADB 相似．【分析】（1）根据正切的定义求出BC ，得到点B 的坐标；（2）根据△ABC ∽△ADB ，得到AC AB =AB AD，代入计算求出AD ，得到点D 的坐标； （3）分△APQ ∽△ABD 、△AQP ∽△ABD 两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：（1）∵A （﹣3，0），C （1，0），∴AC ＝4，∵∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝34， ∴BC AC ＝34，即4BC ＝34， 解得，BC ＝3，∴点B的坐标为（1，3）；（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴ACAB＝ABAD，在Rt△ABC中，AB＝22AC BC+＝2243+＝5，∴45＝5AD，解得，AD＝254，则OD＝AD﹣AO＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）存在，由题意得，AP＝2t，AQ＝254﹣t，当PQ⊥AB时，PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴APAB＝AQAD，即25t＝254254t-，解得，t＝25 14，当PQ ⊥AD 时，∠AQP ＝∠ABD ，∠A ＝∠A ，∴△AQP ∽△ABD ， ∴AP AD ＝AQ AB ，即2254t ＝2545t -， 解得，t ＝12552， 综上所述，当t ＝2514s 或12552s 时，△APQ 与△ADB 相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25、（1）6；（2）223(027)67318732121327127187637x x y x x x x ⎧⎪<≤⎪⎪⎛⎫⎪=-+-<< ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）作高AH ，由图象得出△ABD 的面积，再由BD=2CD,得出△ABC 的面积，利用三角形的面积公式求解即可;（2）先求出33AH =，3CH =，2CD =，1DH =的值，再利用勾股定理可得AD 的值，再利用三角形相似，分类讨论，求解即可.【详解】（1）解：如图1，过点A 作AH ⊥BC,垂足为H ，则90AHC ∠=︒，12CH BC =，由图象可知63ABD S =．由2BD CD =，可知33ACD S =△93ABC S =ABC 是等边三角形，可知60ABC ∠=︒，sin AH ABC AB∠=，3sin 2AH AB ABC AB =⋅∠=，11393222BC AH AB AB ⋅=⋅=， 得6AB =． （2）解：如图2，作高AH ，则90AHC ∠=︒，12CH BC =，由图象可知63ABD S =．由2BD CD =，可知33ACD S =△93ABC S =ABC 是等边三角形，可知60ABC ∠=︒，sin AH ABC AB∠=， 3sin AH AB ABC AB =⋅∠=，1139322BC AH AB AB ⋅==， 得6AB =． 33AH =3CH =，2CD =，1DH =． 由勾股定理可得，222222(33)127AD AH DH AH DH =+=+=+=．由AFM DAC ∠=∠，可得AME AFM CAD DAC CAD BAC ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠=∠，EAM DAB ∠=∠，EAM DAB △∽△，AM AE AB AD=． 当点E 与点B 重合时，627AM =，187AM =． 当027x <≤1，2EAM DAB S AM S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△2663x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23y x =．当187277x <<时，如图4，AME ACB ∠=∠，ADC NDM ∠=∠，MDN CAD △∽△．2MDN CDA S DM S CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，227233MDN S x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，2333212134MDN S x x =-+△． 2233332121364EAM MDN y S S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭△△27332121312x x =-+-． 当1877x ≥时，如图5，63y =．综上，22(0x xy x xx<≤⎪⎛⎪=+-<<⎨⎝⎭⎪⎪⎛⎪≥⎪⎝⎭⎩．【点睛】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握这些性质，并注意分类讨论思想的应用.26、证明见解析．【分析】根据AC=CD＝4，BD＝2，可得AC CDBC AC=，根据∠C =∠C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=CD＝4，BD＝2∴ACBC==3CDAC==∴AC CDBC AC=∵∠C =∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．。
北京市海淀区清华大附中2024届九年级数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析
北京市海淀区清华大附中2024届九年级数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0 B．（x﹣5）（x+2）＝0C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝12．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（）A．m=5 B．m=45C．m=35D．m=103．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝25，则⊙O的半径为（）A．1 B．2 C．3 D．94．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、2、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是( )A．14B．12C．56D．585．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交与点O．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有（）A ．2条B ．4条C ．5条D ．6条 6．在平面直角坐标系内，将抛物线221y x =-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．()2,4-B ．()2,4-C ．()2,3-D ．()2,3-7．如图，平行于x 轴的直线与函数y ＝1k x （k 1＞0，x ＞0），y ＝2k x （k 2＞0，x ＞0）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．12B ．﹣12C ．6D ．﹣68．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（ ）A ．13B ．25C ．12D ．359．定义A*B ，B*C ，C*D ，D*B 分别对应图形①、②、③、④：那么下列图形中，可以表示A*D ，A*C 的分别是（）A ．（1），（2）B ．（2），（4）C ．（2），（3）D ．（1），（4） 10．函数()221y x ++＝-的顶点坐标是（ ）A ．()21，﹣B ．()21-，C ．()2-，-1D ．()21，二、填空题(每小题3分,共24分)11．m 、n 分别为的一元二次方程2410x x --=的两个不同实数根，则代数式24m m mn -+的值为________12．一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是_____．13．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝120°，AB ＝2，将图中的菱形ABCD 绕点A 沿逆时针方向旋转，得菱形AB′C′D′1，若∠BAD′＝110°，在旋转的过程中，点C 经过的路线长为____．14．如图，在△ABC 中DE ∥BC ，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且AD ：DB ＝2：3，四边形DBCE 的面积是10.5，则△ADE 的面积是____．15．如图，等腰直角CEF ∆的顶点E 在正方形ABCD 的对角线BD 上，EF 所在的直线交CD 于点M ，交AB 于点N ，连接DF ，tan 2EFD ∠=. 下列结论中，正确的有_________ （填序号）.①BE DF =；②E 是BD 的一个三等分点；③2BE BN BC =⋅；④2DM BN =；⑤1sin 2BCE ∠=.16．如图，点B 是反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴并交反比例函数y ＝﹣3x （x ＜0）的图象于点A ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为_____．17．如图，在△ABC 中，∠BAC=75°，以点A 为旋转中心，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′ 的度数是______________.18．用一个圆心角90°，半径为8㎝的扇形纸围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为 ．三、解答题(共66分)19．（10分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车.已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆.（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为___________万元；（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．20．（6分）如图，顶点为M 的抛物线y=a(x+1)2-4分别与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 的)右侧)，与y 轴相交于点C(0，﹣3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)判断△BCM 是否为直角三角形，并说明理由．(3)抛物线上是否存在点N(不与点C 重合)，使得以点A ，B ，N 为顶点的三角形的面积与S △ABC 的面积相等？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠. （1）求证：ABF EAD .（2）若4AB =，3BE =，72AD =，求BF 的长.22．（8分）某商品的进价为每件10元，现在的售价为每件15元，每周可卖出100件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于20元），那么每周少卖10件.设每件涨价x 元（x 为非负整数），每周的销量为y 件. （1）求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是多少元？23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数12y x =的图象与反比例函数k y x=的图象交于(,2)A a -，B 两点．（1）反比例函数的解析式为____________，点B 的坐标为___________；（2）观察图像，直接写出102k x x-<的解集； （3）P 是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点C ，连接PO ，若POC △的面积为3，求点P 的坐标．24．（8分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB 的高度，使用长为2m 的竹竿CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O 处重合，测得OD=3m ，BD=9m ，求旗杆AB 的高．25．（10分）已知木棒AB 垂直投射于投影面a 上的投影为11A B ，且木棒AB 的长为8cm .（1）如图（1），若AB 平行于投影面a ，求11A B 长；（2）如图（2），若木棒AB 与投影面a 的倾斜角为30，求这时11A B 长.26．（10分）正比例函数y ＝2x 与反比例函数y ＝m x 的图象有一个交点的纵坐标为1． （1）求m 的值；（2）请结合图象求关于x 的不等式2x≤m x的解集．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】分别计算出各选项中方程的判别式或方程的根，从而做出判断．【题目详解】解：A ．方程x 2﹣2x ﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B ．方程（x ﹣5）（x +2）＝0的两根分别为x 1＝5，x 2＝﹣2，不符合题意；C ．方程x 2﹣x +1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；D ．方程x 2＝1的两根分别为x 1＝1，x 2＝﹣1，不符合题意；故选：C ．【题目点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．2、B【解题分析】试题分析：∵AB ∥CD ，∴△OCD ∽△OEB ，又∵E 是AB 的中点，∴2EB=AB=CD ，∴2ΔOEB ΔOCD ()S BE S CD，即251()2m =，解得m=45．故选B ． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．3、C【分析】根据垂径定理可得AD=12AB ，由OD ＝2DC 可得OD=23OC=23OA ，利用勾股定理列方程求出OA 的长即可得答案.【题目详解】∵⊙O 的弦AB ⊥OC ，AB=25，∴AD=12AB=5， ∵OD ＝2DC ，OA=OC ，OC=OD+DC ，∴OD=23OC=23OA ， ∴OA 2=(23OA)2+(5)2， 解得：OA=3，（负值舍去），故选：C.【题目点拨】本题主要考查垂径定理及勾股定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握垂径定理是解题关键.4、D【解题分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为10，所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率105168==． 故选D ．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．5、D【题目详解】解：∵在矩形ABCD 中，AC=16，∴AO=BO=CO=DO=12×16=1． ∵AO=BO ，∠AOB=60°，∴AB=AO=1，∴CD=AB=1，∴共有6条线段为1．故选D ．6、B【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【题目详解】抛物线221y x =-的顶点坐标为（0，−1），∵向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）．故选B ．【题目点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 7、A【分析】△ABC 的面积＝12•AB•y A ，先设A 、B 两点坐标（其y 坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．【题目详解】解：设：A 、B 点的坐标分别是A （1k m ，m ）、B （2k m ，m ）， 则：△ABC 的面积＝12•AB•y A ＝12•（1k m ﹣2k m）•m ＝6， 则k 1﹣k 2＝1．故选：A ．【题目点拨】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A 、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题．8、B【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【题目详解】解：∵袋子中球的总数为：2+3=5，有2个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为：25． 故选B ．9、B【分析】先判断出算式中A 、B 、C 、D 表示的图形，然后再求解A*D ，A*C ．【题目详解】∵A*B ，B*C ，C*D ，D*B 分别对应图形①、②、③、④可得出A 对应竖线、B 对应大正方形、C 对应横线，D 对应小正方形∴A*D 为竖线和小正方形组合，即（2）A*C 为竖线和横线的组合，即（4）故选：B【题目点拨】本题考查归纳总结，解题关键是根据已知条件，得出A 、B 、C 、D 分别代表的图形．10、B【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．【题目详解】解：∵函数()221y x ++＝-， ∴该函数的顶点坐标是()21-，，故选：B ．【题目点拨】本题主要考查二次函数的图像，关键是根据二次函数的顶点式直接得到顶点坐标即可．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】由一元二次方程的解的定义可得m 2-4m-1=1，则m 2-4m=1，再由根于系数的关系可得mn=-1,最后整体代入即可解答．【题目详解】解：∵m 、n 分别为的一元二次方程2410x x --=∴m+n=4,mn=-1，m 2-4m-1=1，∴m 2-4m=1∴24m m mn -+＝1-1=1故答案为1．【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键．12、【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【题目详解】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是：． 故答案为．【题目点拨】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13、539π． 【分析】连接AC 、AC′，作BM ⊥AC 于M ，由菱形的性质得出∠BAC=∠D′AC′=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BM=12AB=1，由勾股定理求出AM=3BM=3，得出AC=2AM=23，求出∠CAC′=50°，再由弧长公式即可得出结果．【题目详解】解：连接AC 、AC′，作BM ⊥AC 于M ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∠B=120°，∴∠BAC=∠D′AC′=30°，∴BM=12AB=1， ∴33∴3∵∠BAD′=110°，∴∠CAC′=110°-30°-30°=50°，∴点C 经过的路线长π故答案为：9π 【题目点拨】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、弧长公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理和等腰三角形的性质求出AC 的长是解决问题的关键．14、1【分析】由AD ：DB ＝1：3，可以得到相似比为1：5，所以得到面积比为4：15，设△ADE 的面积为4x ，则△ABC 的面积为15x ，故四边形DBCE 的面积为11x ，根据题意四边形的面积为10.5，可以求出x ，即可求出△ADE 的面积．【题目详解】∵DE ∥BC∴~ADE ABC ，∵AD:DB=1:3∴相似比=1：5∴面积比为4：15设△ADE 的面积为4x ，则△ABC 的面积为15x ，故四边形DBCE 的面积为11x∴11x=10.5，解得x=0.5∴△ADE 的面积为：4×0.5=1 故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查了相似三角形，熟练面积比等于相似比的平方以及准确的列出方程是解决本题的关键．15、①②④【分析】根据△CBE ≌△CDF 即可判断①；由△CBE ≌△CDF 得出∠EBC=∠FDC=45°进而得出△DEF 为直角三角形结合2tan EFD ∠=即可判断②；判断△BEN 是否相似于△BCE 即可判断③；根据△BNE ∽△DME 即可判断④；作EH ⊥BC 于点H 得出△EHC ∽△FDE 结合tan ∠HEC=tan ∠DFE=2，设出线段比即可判断⑤.【题目详解】∵△CEF 为等腰直角三角形∴CE=CF ，∠ECF=90°又ABCD 为正方形∴∠BCD=90°，BC=DC又∠BCD=∠BCE+∠ECD∠ECF=∠ECD+∠DCF∴∠DCF=∠BCE∴△CBE ≌△CDF(SAS)∴BE=DF ，故①正确；∴∠EBC=∠FDC=45°故∠EDF=∠EDC+∠FDC=90°又2ED ED tan EFD DF BE∠=== ∴E 是BD 的一个三等分点，故②正确；∵2BE BN BC =⋅ ∴BE BC BN BE= 即判定△BEN ∽△BCE∵△ECF 为等腰直角三角形，BD 为正方形对角线∴∠CFE=45°=∠EDC ∴∠CFE+∠MCF=∠EDC+∠DEM∴∠MCF=∠DEM然而题目并没有告诉M 是EF 的中点∴∠ECM≠∠MCF∴∠ECM≠∠DEM≠∠BNE∴不能判定△BEN ∽△BCE ∴不能得出BE BC BN BE=进而不能得出2BE BN BC =⋅，故③错误； 由题意可知△BNE ∽△DME又BE=2DE∴BN=2DM ，故④正确；作EH ⊥BC 于点H∵∠MCF=∠DEM又∠HCE=∠DCF∴∠HCE=∠DEM又∠EHC=∠FDE=90°∴△EHC ∽△FDE∴tan∠HEC=tan∠DFE=2 可设EH=x，则CH=2x EC=225EH CH x+=∴sin∠BCE=55EHEC=，故⑤错误；故答案为①②④.【题目点拨】本题考查的是正方形综合，难度系数较大，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质以及方程的思想等，需要熟练掌握相关基础知识.16、1．【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解【题目详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b把y=b代入y＝2x得,b=2x则x=2b,即B的横坐标是2 b同理可得:A的横坐标是：3 -b则AB=2b-（3-b）=5b则S ABCD四边形=5b×b=1.故答案为1【题目点拨】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于设A的纵坐标为b17、105°【分析】根据旋转的性质得AB′=AB ，∠B′AB=∠C′AC ，再根据等腰三角形的性质得∠AB′B=∠ABB′，然后根据平行线的性质得到∠AB′B=∠C ′AB′=75°，于是得到结论．【题目详解】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB′C′，∴AB′=AB ，∠B′AB=∠C′AC ，∠C′AB′=∠CAB=75°，∴△AB′B 是等腰三角形，∴∠AB′B=∠ABB′∵BB'∥AC ，∴∠A B′B=∠C′AB′=75°，∴∠C ′AC=∠B′A B =180°-2×75°=30°，∴∠BAC′=∠C ′AC+∠BA C =30°+75°=105°，故答案为：105°．【题目点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．18、1． 【解题分析】试题分析：扇形的弧长是：9084180ππ⨯=，设底面半径是r ，则24r ππ=，解得2r ．故答案是：1．考点：圆锥的计算．三、解答题(共66分)19、（1）98 （2）20万元【分析】（1）根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算； （2）设每辆汽车降价x 万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x 的值，进而得到每辆汽车的售价．【题目详解】（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是： 25220.5-×1＋8＝14， 则此时，平均每周的销售利润是：（22−15）×14＝98（万元）；（2）设每辆汽车降价x 万元，根据题意得：（25−x−15）（8＋2x ）＝90，解得x 1＝1，x 2＝5，当x ＝1时，销售数量为8＋2×1＝10（辆）；当x ＝5时，销售数量为8＋2×5＝18（辆），为了尽快减少库存，则x ＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20（万元），答：每辆汽车的售价为20万元．【题目点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利×销售的辆数＝90万元是解决问题的关键．20、 (1)223y x x =+-；(2)见解析；(3)存在，1，3)，(1，3)，(2-，3-)【分析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可；(2)由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x 轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；(3)根据题意得出ABC ABN S S =，然后求出3N y =±，再代入2y (x 1)4=+-求解即可．【题目详解】(1)∵抛物线2(1)4y a x =+-与y 轴相交于点C(0，-3)．∴34a -=-，∴1a =，∴抛物线解析式为22(1)423y x x x =+-=+-，(2)△BCM 是直角三角形，理由：由(1)有，抛物线解析式为2y (x 1)4=+-，∴顶点为M 的坐标为(-1，-4)，由(1)抛物线解析式为223y x x =+-，令0y =，2230x x +-=，∴1231x x ，=-=，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-3，0)，∴2223318BC =+=， ()()22210432MC ⎡⎤=--+---=⎣⎦， 2MB =()()22134020⎡⎤---+--=⎣⎦， ∵18220+=，∴222BC MC MB +=，∴△BCM 是直角三角形，(3)设N 点纵坐标为N y ，根据题意得ABC ABN S S =，即1122N AB OC AB y ⋅=⋅， ∴3N y =，当N 点纵坐标为3时，2(1)43x +-=，解得：1211x x ==，，当N 点纵坐标为-3时，2(1)43x +-=-，解得：3420x x =-=，(与点C 重合，舍去)，∴N 点坐标为1，3)，(1，3)，(2-，3-)，【题目点拨】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式，勾股定理的逆定理的应用，图形面积的计算，解本题的关键是利用勾股定理的逆定理判断出△BCM 是直角三角形．21、（1）见解析；（2）145【解题分析】（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE ＝∠C ，根据等角的补角相等可得出∠ADE ＝∠AFB ，根据AB ∥CD 可得出∠BAF ＝∠AED ，这样就构成了两三角形相似的条件．（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系，有了AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，这样就能求出BF 的长了．【题目详解】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，∵∠D ＋∠C ＝180°，AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED ．∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD ．（2）解：∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ．∴∠ABE ＝90°．∴5AE ==．∵△ABF ∽△EAD ，BF AB AD EA∴=， 4752BF ∴=．145BF ∴=． 【题目点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等角的补角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22、（1）10010=-y x ，05x ≤≤；（2）每件的售价是17元或者18元.【分析】（1）根据“每件的售价每涨1元，那么每周少卖10件”，即可求出y 与x 的函数关系式，然后根据x 的实际意义和售价每件不能高于20元即可求出x 的取值范围；（2）根据总利润=单件利润×件数，列方程，并解方程即可．【题目详解】（1）解：y 与x 的函数关系式为10010=-y x∵售价每件不能高于20元∴01520x x ≥⎧⎨+≤⎩∴自变量的取值范围是05x ≤≤；（2）解：设每件涨价x 元（x 为非负整数），则每周的销量为()10010x -件，根据题意列方程()()100101510560-+-=x x ，解得：122,3x x ==，所以，每件的售价是17元或者18元．答：如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是17元或者18元．【题目点拨】此题考查的是一次函数的应用和一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．23、（1）y=8x ；（4，2）；（2）x ＜-4或0＜x ＜4；（3）P （，7）或P （2，4）． 【分析】（1）把A （a ，-2）代入y=12x ，可得A （-4，-2），把A （-4，-2）代入y=k x ，可得反比例函数的表达式为y=8x，再根据点B 与点A 关于原点对称，即可得到B 的坐标； （2）观察函数图象，由交点坐标即可求解；（3）设P（m，8m），则C（m，12m），根据△POC的面积为3，可得方程12m×|12m-8m|=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．【题目详解】（1）把A（a，-2）代入y=1 2 x可得a=-4，∴A（-4，-2），把A（-4，-2）代入y=kx，可得k=8，∴反比例函数的表达式为y=8x，∵点B与点A关于原点对称，∴B（4，2）．故答案为：y=8x；（4，2）；（2）12x-kx＜0的解集是x＜-4或0＜x＜4；（3）设P（m，8m），则C（m，12m），依题意，得12m•|12m-8m|=3，解得或m=2，（负值已舍去）．∴P（）或P（2，4）．【题目点拨】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．24、旗杆AB的高为2m【分析】证明△OAB∽△OCD利用相似三角形对应线段成比例可求解.【题目详解】解：由题意可知：∠B=∠ODC=90°，∠O=∠O．∴△OAB∽△OCD．∴AB OD CD OB．而OB=OD+BD=3+9=1．∴1223AB =． ∴AB=2．∴旗杆AB 的高为2m ．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用已知条件判定三角形相似是解题的关键.25、（1）118A B cm =；（2）1143A B cm=． 【分析】（1）由平行投影性质：平行长不变，可得A 1B 1=AB ；（2）过A 作AH ⊥BB 1，在Rt △ABH 中有AH=ABcos30°，从而可得A 1B 1的长度．【题目详解】解：（1）根据平行投影的性质可得，A 1B 1=AB=8cm ；（2）如图（2），过A 作AH ⊥BB 1，垂足为H ．∵AA 1⊥A 1B 1，BB 1⊥A 1B 1，∴四边形AA 1B 1H 为矩形，∴AH=A 1B 1，在Rt △ABH 中，∵∠BAH=30°，AB=8 cm ，∴()3cos30843cm 2AH AB =︒=⨯=， ∴1143cm A B =．【题目点拨】本题主要考查平行投影的性质，线段的平行投影性质：平行长不变、倾斜长缩短、垂直成一点．26、（1）8；（2）x≤﹣2或0＜x≤2【分析】(1)先利用正比例函数解析式确定一个交点坐标，然后把交点坐标代入y ＝m x中可求出m 的值； (2)利用正比例函数和反比例函数的性质得到正比例函数y ＝2x 与反比例函数y ＝m x的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣1），然后几何图像写出正比例函数图像不在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可．【题目详解】解：(1)当y＝1时，2x＝1，解得x＝2，则正比例函数y＝2x与反比例函数y＝mx的图像的一个交点坐标为（2，1），把(2，1)代入y＝mx得m＝2×1＝8；(2)∵正比例函数y＝2x与反比例函数y＝mx的图像有一个交点坐标为（2，1），∴正比例函数y＝2x与反比例函数y＝mx的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣1），如图，当x≤﹣2或0＜x≤2时，2x≤mx，∴关于x的不等式2x≤mx的解集为x≤﹣2或0＜x≤2．【题目点拨】本题主要考查的是正比例函数与反比例函数的基本性质以及两个函数交点坐标，掌握这几点是解题的关键.。
北京人大附中2021-2022学年第一学期初三数学期末练习试卷(九)
北京人大附中2021-2022学年第一学期初三数学期末练习试卷（九）一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）函数2(1)2y x =+-的最小值是( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）若一个扇形的圆心角为90︒，半径为6，则该扇形的面积为( ) A ．32πB ．3πC ．6πD ．9π4．（3分）点1(1,)A y -，2(1,)B y ，3(2,)C y 是反比例函数2y x=图象上的三个点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是( ) A ．321y y y <<B ．132y y y <<C ．231y y y <<D ．312y y y <<5．（3分）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB 为8分米，则积水的最大深度CD 为( )A ．2分米B ．3分米C ．4分米D ．5分米6．（3分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象是抛物线G ，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x⋯ 5- 4-3- 2- 1-0 ⋯ y⋯4 02-2-4⋯下列说法正确的是( ) A ．抛物线G 的开口向下B ．抛物线G 的对称轴是直线2x =-C ．抛物线G 与y 轴的交点坐标为(0,4)D ．当3x >-时，y 随x 的增大而增大7．（3分）如图，点O 为线段AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC ，BD ．则下面结论不一定成立的是( )A ．90ACB ∠=︒ B ．BDC BAC ∠=∠ C ．AC 平分BAD ∠ D ．180BCD BAD ∠+∠=︒8．（3分）函数2112y x =+的图象如图所示，若点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是( )A ．10x ≠，20x ≠B ．112y >，212y >C ．若12y y =，则12||||x x =D ．若12y y <，则12x x <二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）将抛物线2y x =向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．10．（3分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，AC ，BE 交于点O ，若:1:2AE ED =，则:AOE COB S S ∆∆= ．11．（3分）抛物线24y x bx =++与x 轴有且只有1个公共点，则b = ．12．（3分）如图，O 是ABC ∆的外接圆，D 是AC 的中点，连接AD ，BD ，BD 与AC 交于点E ，请写出图中所有与ADE ∆相似的三角形 ．13．（3分）如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m 的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m 时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m ，则大树的高度是 m ．14．（3分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，OD BC ⊥于点D ． 下面是借助直尺，画出ABC ∆中BAC ∠的平分线的步骤： ①延长OD 交BC 于点M ； ②连接AM 交BC 于点N ． 所以BAN CAN ∠=∠．即线段AN 为所求ABC ∆中BAC ∠的平分线． 请回答，得到BAN CAN ∠=∠的依据是 ．15．（3分）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日()Day π．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔⋅卡西的计算方法是：当正整数n 充分大时，计算某个圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，再将它们的平均数作为2r π的近似值．当1n =时，如图是O 及它的内接正六边形和外切正六边形． （1）若O 的半径为1，则O 的内接正六边形的边长是 ；（2）按照阿尔⋅卡西的方法，计算1n =时π的近似值是 ．（结果保留两位小数）（参考数据：3 1.732)≈16．（3分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过(2,0)A ，(4,0)B 两点．若1(5,)P y ，2(,)Q m y 是抛物线上的两点，且12y y >，则m 的取值范围是 ． 三、解答题17．计算：02sin 4521|tan 60(2)π︒+-︒+-． 18．已知二次函数243y x x =-+．（1）求二次函数243y x x =-+图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数243y x x =-+的图象； （3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．19．如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，连接DE ，且AD AB AE AC ⋅=⋅． （1）求证：ADE ACB ∆∆∽；（2）若55B ∠=︒，75ADE ∠=︒，求A ∠的度数．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆的顶点坐标分别是(1,0)A ，(0,0)O ，(2,2)B ． （1）画出△11A OB ，使△11A OB 与AOB ∆关于点O 中心对称；（2）以点O 为位似中心，将AOB ∆放大为原来的2倍，得到△22A OB ，画出一个满足条件的△22A OB ．21．在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C ，测得树的顶端A 的仰角为30︒，在C ，B 间选择一点(D C ，D ，B 三点在同一直线上），测得树的顶端A 的仰角为75︒，CD 间距离为20m ，求这棵树AB 的高度．（结果保留根号）．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线:1(0)l y kx k =+≠与函数(0)my x x=>的图象G 交于点(1,2)A ，与x 轴交于点B ． （1）求k ，m 的值；（2）点P 为图象G 上一点，过点P 作x 轴的平行线PQ 交直线l 于点Q ，作直线PA 交x 轴于点C ，若:1:4APQ ACB S S ∆∆=，求点P 的坐标．23．如图，AC 与O 相切于点C ，AB 经过O 上的点D ，BC 交O 于点E ，//DE OA ，CE 是O 的直径．（1）求证：AB 是O 的切线； （2）若4BD =，6CE =，求AC 的长．24．在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含)票价2元，每增加5公里以内（含)加价1元”，如图．小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间（含0和10，下同），则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推．②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．请根据上述信息，回答下列问题：（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为元，他使用学生卡实际支付元；（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为．25．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OC的长为半径的O与AC，CD分别交于点E，F，且DAF BAC∠=∠．（1）求证：直线AF与O相切；（2）若2tan DAF∠=，4AB=，求O的半径．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21(0)y ax bx a a =+++<的对称轴为直线1x =． （1）用含有a 的代数式表示b ； （2）求抛物线顶点M 的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点(0,)P a 作x 轴的平行线交抛物线于A ，B 两点．记抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 围成的区域（不含边界）为W ． ①当1a =-时，直接写出区域W 内整点的个数；②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，D 是射线CA 上一点，连接BD ，以点B 为中心，将线段BD 顺时针旋转60︒，得到线段BE ，连接AE ．（1）如图1，当点D 在线段CA 上时，连接DE ，若DE AB ⊥，则线段AE ，BE 的数量关系是 ； （2）当点D 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2． ①探究线段AE ，BE 的数量关系，并证明； ②直接写出线段CD ，AB ，AE 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和C ，给出如下定义：若C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点P '在C 上，则称P 为C 的反射点．下图为C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，A 的反射点是 ；②点P在直线y x=-上，若P为A的反射点，求点P的横坐标的取值范围；（2）C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是C的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是14，则袋中球的总个数是（）A．2B．4C．6D．82．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )A．6 B．8C．10 D．123．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为()m．A．2 B．4 C．6 D．84．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝kx图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞kx解集为()A ．x ＞2或﹣1＜x ＜0B ．﹣1＜x ＜0C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜2D ．x ＞25．一个扇形半径30cm ，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．20cmD ．30cm6．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则该菱形两邻角度数比为（ ）A ．3：1B ．4：1C ．5：1D ．6：17．二次函数y = -2(x + 1)2+5的顶点坐标是( )A ．-1B ．5C ．(1, 5)D ．(-1, 5) 8．在平面直角坐标系内，将抛物线221y x =-先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到一条新的抛物线，这条新抛物线的顶点坐标是（ ）A ．()2,4-B ．()2,4-C ．()2,3-D ．()2,3- 9．二次函数245y x x =++的图象可以由二次函数2y x 的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 10．在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC ＝6，BC ＝8，则cos B 的值是（ ）A ．35B ．24C ．45D ．43118 ）A ．2B ．2C ．2D ．412．点A(1，y 1)、B(3，y 2)是反比例函数y ＝9x 图象上的两点，则y 1、y 2的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＜y 2 D ．不能确定二、填空题（每题4分，共24分）13．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，1．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号相同的概率是_____．14．用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设P 在__________．15．从长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm的四根木条中，抽出其中三根能组成三角形的概率是______．16．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值为__________．17．Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m （0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝______．18．若3a＝4b（b≠0），则a bb＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程（1）2x2﹣6x﹣1＝0（2）（x+5）2＝6（x+5）20．（8分）二次函数y＝x2+6x﹣3配方后为y＝（x+3）2+_____．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F 是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．22．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB 在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．23．（10分）如图，抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长；（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断△PCM 的形状；若不存在，请说明理由．24．（10分）如图，已知反比例函数y 1＝1k x 与一次函数y 2＝k 2x+b 的图象交于点A （2，4），B （﹣4，m ）两点． （1）求k 1，k 2，b 的值；（2）求△AOB 的面积；（3）请直接写出不等式1k x≥k 2x+b 的解．25．（12分）一个可以自由转动的转盘，其盘面分为3等份，分别标上数字3,4,5.小颖准备转动转盘5次，现已转动3次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下： 次数1 2 3 4 5 数字 43 3 小颖继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这5次指针所指数字的平均数不小于3.6且不大于3.8”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)26．如图，在平面直角坐标系中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1)O A B （每个方格的边长均为1个单位长度）.（1）将OAB ∆以点O 为旋转中心，逆时针旋转90度得到11OA B ∆，请画出11OA B ∆；（2）请以点O 为位似中心，画出OAB ∆的位似三角形22OA B ∆，使相似比为2:1.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】试题解析：袋中球的总个数是：2÷14=8（个）．故选D．2、D【解析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出AF ABGF GD==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴AF ABGF GD==2，∴AF=2GF=4，∴AG=2．∵AD∥BC，DG=CG，∴AG DGGE CG==1，∴AG=GE∴AE=2AG=1．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．3、B【解析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得ED DCDC FD=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】解：根据题意，作△EFC ；树高为CD ，且∠ECF=90°，ED=2，FD=8；∵∠E+∠ECD=∠E+∠CFD=90°∴∠ECD=∠CFD∴Rt △EDC ∽Rt △FDC ，有 ED DC DC FD=；即DC 2=ED•FD ， 代入数据可得DC 2=16，DC=4；故选：B ．【点睛】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．4、A【解析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：由图可知，x ＞2或﹣1＜x ＜0时，ax+b ＞x k ． 故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键．5、B【解析】试题解析：设此圆锥的底面半径为r ， 2πr=12030180π⨯， r=10cm故选B ．考点：弧长的计算．6、C【分析】菱形的性质；含30度角的直角三角形的性质.【详解】如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm ，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1，故选C.7、D【解析】直接利用顶点式的特点写出顶点坐标．【详解】因为y=2（x+1）2-5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-1，5）．故选：D ．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，熟练掌握顶点式的特点是解题的关键.8、B【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】抛物线221y x =-的顶点坐标为（0，−1），∵向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，−4）．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 9、C【解析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将245y x x =++转化为顶点式，与原式2y x 对比，利用口诀左加右减，上加下减，即可得到答案【详解】解：∵()2245=21y x x x =++++，∴ ()2245=21y x x x =++++的图形是由2y x 的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位【点睛】本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目10、C【分析】利用勾股定理求出AB ，根据余弦函数的定义求解即可．【详解】解：如图，在Rt ABC 中，6AC =，8BC =，22226810AB BC AC ∴++=，84105BC cosB AB ∴===， 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11、A【解析】根据最简二次根式的定义进行化简即可. 84222=⨯= 故选：A.【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是关键.12、A【解析】∵反比例函数y ＝9x中的9>0， ∴经过第一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小，又∵A (1,y ₁)、B (3,y ₂)都位于第一象限，且1<3，∴y ₁>y ₂，故选A.二、填空题（每题4分，共24分）13、13【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】根据题意，画树状图如下：共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有1种结果，所以两次摸出的小球标号相同的概率是31=93，故答案为13．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．错因分析中等难度题.失分的原因有两个：（1）没有掌握放回型和不放回型概率计算的区别；（2）未找全标号相同的可能结果.14、⊙O上或⊙O内【分析】直接利用反证法的基本步骤得出答案．【详解】解：用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．故答案为：在⊙O上或⊙O内．【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的解题方法是解题关键．15、3 4【分析】四根木条中，抽出其中三根的组合有4种，计算出能组成三角形的组合，利用概率公式进行求解即可．【详解】解：能组成三角形的组合有：4，8，10；4，10，12；8，10，12三种情况，故抽出其中三根能组成三角形的概率是3 4 .【点睛】本题考查了列举法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．16、4 5【分析】根据勾股定理及三角函数的定义直接求解即可；【详解】如图，22228610AB BC AC=+=+=，∴sin∠A84105 BCAB===，故答案为：4 5【点睛】本题考查了三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.17、80°或120°【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，DB长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB上的一点B′，交直角边AC于B″，此时DB′=DB，DB″=DB=2CD，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【详解】解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案为80°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．18、1 3【分析】依据3a＝4b，即可得到a＝43b，代入代数式进行计算即可．【详解】解：∵3a＝4b，∴a＝43b，∴a bb-＝43b bb-＝13bb＝13．故答案为：13．【点睛】本题主要考查了比例的性质，求出a＝43b是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）32x±=；（2）x＝﹣5或x＝1．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵a=2，b=﹣6，c=﹣1，∴△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44＞0，则x==（2）∵(x+5)2﹣6(x+5)=0，∴(x+5)(x﹣1)=0，则x+5=0或x﹣1=0，解得：x=﹣5或x=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．20、（﹣12）【分析】由于二次项系数为1，所以右边加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，化简，即可得出结论．【详解】∵y＝x2+6x﹣3＝（x2+6x）+3＝（x2+6x+32﹣32）﹣3＝（x+3）2﹣9﹣3＝（x+3）2﹣12，故答案为：（﹣12）．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式的互化，掌握配方法是解本题的关键．21、（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π-．【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=43422⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．22、（1）见解析；（2）254π．【分析】（1）分别作出点B、C绕点A按顺时针方向旋转90︒得到的对应点，再顺次连接可得；（2）根据扇形的面积公式列式计算可得．【详解】（1）解：如图所示：△AB′C′即为所求（2）解：∵AB= 2234+=5， ∴线段AB 在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：2905360π⨯=254π【点睛】本题主要考查作图以及旋转变换，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．23、（1）抛物线的解析式为248y x x 433=-++；（2）PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）；（3）存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 【解析】（1）将A （3，0），C （0，4）代入2y ax 2ax c =-+，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长．（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC ∽△AEM ，②△CFP ∽△AEM ；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax 2ax c =-+（a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4），∴，解得4a {3c 4=-=． ∴抛物线的解析式为248y x x 433=-++． （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，∵A （3，0），点C （0，4），∴3k b 0{b 4+==，解得4k {3b 4=-=． ∴直线AC 的解析式为4y x 43=-+． ∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，4m 43-+）． ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线248y x x 433=-++上， ∴点P 的坐标为（m ，248m m 433-++）． ∴PM=PE －ME=（248m m 433-++）－（4m 43-+）=24m 4m 3-+． ∴PM=24m 4m 3-+（0＜m ＜3）． （3）在（2）的条件下，连接PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=4m 43-+，CF=m ，PF=248m m 4433-++-=248m m 33-+， 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况： ①若△PFC ∽△AEM ，则PF ：AE=FC ：EM ，即（248m m 33-+）：（3－m ）=m ：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=2316． ∵△PFC ∽△AEM ，∴∠PCF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠PCF=∠CMF ．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．∴△PCM 为直角三角形．②若△CFP ∽△AEM ，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3－m ）=（248m m 33-+）：（4m 43-+）， ∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP ∽△AEM ，∴∠CPF=∠AME ．∵∠AME=∠CMF ，∴∠CPF=∠CMF ．∴CP=CM ．∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为2316或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形． 24、（1）k 1＝8，k 1＝1，b ＝1；（1）2；（3）x≤﹣4或0＜x≤1． 【解析】（1）由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出反比例函数解析式，再结合点B 的横坐标即可得出点B 的坐标，根据点A 、B 的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数解析式；（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即可求出一次函数图象与y 轴的交点坐标，再利用分割图形法即可求出△AOB 的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集．【详解】（1）∵反比例函数y ＝1k x 与一次函数y ＝k 1x+b 的图象交于点A （1，4），B （﹣4，m ）， ∴k 1＝1×4＝8，m ＝8-4＝﹣1， ∴点B 的坐标为（﹣4，﹣1）．将A （1，4）、B （﹣4，﹣1）代入y 1＝k 1x+b 中，222442k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得：212k b =⎧⎨=⎩， ∴k 1＝8，k 1＝1，b ＝1．（1）当x ＝0时，y 1＝x+1＝1，∴直线AB 与y 轴的交点坐标为（0，1），∴S △AOB ＝12×1×4+12×1×1＝2． （3）观察函数图象可知：不等式1k x≥k 1x+b 的解集为x≤﹣4或0＜x≤1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）根据待定系数法求出函数解析式；（1）利用分割图形法求出△AOB 的面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．25、能，5=9P ． 【分析】根据平均数的定义求解可得后两次数字之和为8或9；根据题意画出树状图，再利用概率公式求其概率．【详解】能设第4次、第5次转出的数字分别为a 和b ，根据题意得：()13.6433 3.85a b ≤++++≤， 解得：89a b ≤+≤，所以后两次数字之和为8或9；画出树状图：共有9种等情况数，其中“两次数字之和为8或9”的有5种，所以()5 3.6 3.859P =这次指针所指数字的平均数不小于且不大于． 【点睛】本题考查用列表法或树状图的方法解决概率问题；求一元一次不等式组的方法以及概率公式的运用．求出事件的所有情况和符合条件的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．26、（1）见详解；（2）见详解.【分析】（1）根据旋转的规律，将点A 、B 围绕O 逆时针旋转90°，得到A 1、B 1，连接O 、A 1、B 1即可； （2）连接OA 并延长到A 2，使OA 2=2OA ，连接OB 并延长到B 2，使OB 2=2OB ，然后顺次连接O 、A 2、B 2即可；【详解】解：（1）如图，△OA 1B 1即为所求作三角形；（2）如图，△OA 2B 2即为所求作三角形；【点睛】本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．。