初中数学华东师大八年级上册(2023年新编)第12章整式的乘除教案

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2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.5因式分解(第2课时)

第12章整式的乘除12.5 因式分解第2课时两数和与两数差的积——因式分解教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.让学生经历探究因式分解的过程，理解和领悟因式分解，发现因式分解的基本方法——公式法；3.掌握运用平方差公式因式分解的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤因式分解的能力.教学重难点重点：掌握公式法（两数和与两数差的积）进行因式分解. 难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底.复习巩固1.因式分解是怎样定义的？因式分解有什么特点？2.把下面多项式分解因式：（1）3222320515y x y x y x -+；（2）22230156mn mn n m +-；（3）()()b a y b a x +-+；（4）()()()22332a b a b a a b +--+. 【答案】（1）()224135y xy y x -+. （2）()32510mn m n n -+. （3）()()a b x y +-. （4）-()()23a b a b ++. 3.计算：()()a b a b +-. 【答案】 22b a -.教学过程导入新课【创设情境，课堂引入】我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法.如果把乘法公式反过来用，就可以将某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.探索：根据上面的计算，请你猜想22a b -的结果. 把乘法公式()()22a b a b a b +-=-反过来，就得到：教学反思探究新知【实践探究，交流新知】思考：两数和与两数差的积——因式分解：（1）（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 【注意】（1）要弄清楚整式乘法中的两数和与两数差的积与因式分解中的两数和与两数差的积的区别，因式分解中左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和乘以这两个数的差；（2）a ，b 可以是单独的数或具体的字母，也可以是多项式. 例如：【小组讨论，师生互学】例1 把下列多项式分解因式：（1）2251a -；（2）222z y x -；（3）2201.094n m -.解：（1）()()()222125151515a a a a -=-=+-；（2）()()()22222x y z xy z xy z xy z -=-=+-；（3）()222242220.010.10.10.19333m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2 把下列各式分解因式：（1）()()22q x p x +-+；（2）()()22916b a b a +--.分析：()()22q x p x +-+是x p +与x q +的平方差；把式子()216a b -- ()29a b +改写成()[]()[]2234b a b a +--后，可以看出它是4()a b - 与()b a +3的平方差，所以它们都可以运用两数和与两数差的积因式分解.教学反思解：（1）()()22q x p x +-+()()()()x p x q x p x q =++++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2x p q p q =++-；（2）()()22916b a b a +--()()2243a b a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()4343a b a b a b a b =-++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()77a b a b =--. 例3 把下列各式分解因式：（1）35x x -；（2）44y x -. 解：（1）35x x - ()123-=x x()()311x x x =+-；（2）44y x -()()2222y x-=()()2222x y x y =+- ()()()22x y x y x y =++-.【注意】（1）如果多项式的各项含有公因式，那么先提公因式，再进一步因式分解.（2）因式分解要彻底，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 同步练习：把下列各式分解因式：（1）3（a +b ）2-27c 2 ；（2）16（x +y ）2-25（x -y ）2；（3）a 2（a -b ）+b 2（b -a ）；（4）（5m 2+3n 2）2−（3m 2+5n 2）2. 【答案】（1）3（a +b +3c ）（a +b -3c ）；（2）（9x -y ）（9y -x ）；（3）（a +b ）（a -b ）2；（4）16（m 2+n 2）（m +n ）（m −n ）.【合作探究，解决问题】用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）例4 已知2 48-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数. 【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝（224+1）（224-1）＝（224+1）（212+1）（212-1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）.∵26＝64，∴26-1＝63，26+1＝65， ∴这两个数是65和63.教学反思【题后总结】（学生总结，老师点评）解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.例5 利用因式分解计算：（1）1012-992；（2）5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和公式法进行因式分解. 解：（1）1012-992＝（101+99）（101-99）＝400.（2）5722×14-4282×14＝（5722-4282）×14＝（572+428）（572-428）×14＝1 000×144×14＝36 000.【题后总结】（学生总结，老师点评）对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，可以使运算简便.课堂练习1.下列代数式中能用两数和与两数差的积因式分解的是（） A.a 2+b 2 B.−a 2−b 2 C.a 2−c 2−2ac D.−4a 2+b 22.将−4+0.09x 2分解因式的结果是（） A.（0.3x +2）（0.3x -2） B.（2+0.3x ）（2-0.3x ） C.（0.03x +2）（0.03x -2） D.（2+0.03x ）（2-0.03x ）3.已知多项式x +81b 4可以分解为（4a 2+9b 2）（2a +3b ）（3b -2a ），则x 的值是（）A.16a 4B.-16a 4C.4a 2D.-4a 2 4. 因式分解：249x -=_____________.5. 因式分解：2()1xy -＝ . 6. 因式分解：4x 2-y 2＝ . 7. 因式分解：a 2−144b 2＝ .8. 已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5，求（m +2n ）2-（3m -n ）2的值. 参考答案1.D2.A3.B4. (23)(23)x x -+5. (1)(1)xy xy +-6. （2x +y ）（2x −y ）7.（a +12b ）（a −12b ）8. 解：原式＝（m +2n +3m −n ）（m +2n −3m +n ）＝（4m +n ）（3n −2m ）＝− （4m +n ）（2m −3n ）.当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.掌握两数和与两数差的积，并能灵活地利用两数和与两数差的积进行因式分解.2.进行因式分解过程中，有公因式的应先提取公因式，然后再分解，因教学反思式分解必须彻底.教学反思布置作业请完成本课时对应练习！板书设计因式分解——平方差法两数和与两数差的积：（1（2）用文字叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.。

2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.2整式的乘法(第1课时)

第12章整式的乘除12.2 整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘教学目标1.让学生通过适当的尝试，获得直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，总结运算法则.2.使学生能正确区别各单项式中的系数，同底数的幂和不同底数幂的因式.3.让学生感知单项式的乘法法则对两个以上的单项式相乘同样成立，知道单项式乘法的结果仍是单项式.4.使学生通过探索理解单项式的乘法中，系数与指数的不同计算方法，正确应用单项式的乘法步骤进行计算，能熟练地进行单项式与单项式相乘和含有加减运算的混合运算.教学重难点重点：对单项式运算法则的理解和应用.难点：尝试与探究单项式与单项式的乘法运算规律.教学过程复习巩固1.口述幂的运算的四个法则.【答案】同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +=（m ，n 都是正整数）；幂的乘方：()nm m n a a =（m ，n 都是正整数）；积的乘方：()n n nb a ab =（n 是正整数）；同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（m ，n 是正整数，并且>m n ，0≠a ）.2.幂的运算的四个法则的联系和区别是什么？3.计算：（1）20032004155⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（2）()()532532b a b a -+ ；（3）()()32232x x -.【答案】（1）5；（2）0；（3）128x -.导入新课【创设情境，课堂引入】计算（1）3225x x ；（2）3225x x y .教学方式：教师启发引导学生，学生主动探索，逐步认识.分析：运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数，相同的字母分别结合，教学反思然后相乘.（1）()()32325252510x x x xx=⨯⨯=；（2）()()32325252510x x y x x y x y =⨯⨯=.探究新知【实践探究，交流新知】通过上面两式的计算，启发引导学生归纳得出：单项式与单项式相乘的法则：（1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；（3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式；（4）单项式与单项式相乘的结果仍然是单项式.【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 计算：（1）()2332x y xy - ；（2）()()23254a b b c --. 解：（1）()2332x y xy - ()()()2332x x y y=⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）436y x -=；（2）()()23254a b b c --()()()23254a b b c =-⨯-⎡⎤⎣⎦………（乘法的交换律与结合律）c b a 5220=.例2 计算：（1）()22332x y xy - ；（2）()()2323254a b b c --；（3）()()23254mna b b c --；（4）()()()3222229ab ab ab --.解：（1）()22322647323412x y xy x y x y x y -==；（2）()()()23232466341235425641600a b b c a b b c a b c --=-=-；（3）()()()()()()232232232545454mnmnmnm mn nm m n na b b c a bb c a bc +--=--=--；教学反思（4）()()()3222236224362989ab ab ab a b ab a b a b --=-=-.方法小结：进行计算时，有乘方先算乘方，再算单项式乘以单项式.【巩固练习】计算：（1）()()433nnab ab - ；（2）23222332a b ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()()()()23322122a bc a bc abc abc -----. 【答案】（1）124b a ；（2）6523b a ；（3）0.【总结】（学生总结，老师点评）单项式乘以单项式的注意事项：（1）计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；（2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立. 【拓展延伸】例3 已知-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值. 【思考】根据-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，可以得到什么？怎样求m 2+n 的值？解：因为-2x 3m +1y 2n 与7x n−6y −3−m 的积与x 4y 是同类项，所以3164,231,m n n m ++-=⎧⎨--=⎩ 解得2,3.m n =⎧⎨=⎩所以m 2+n ＝7.【总结】（学生总结，老师点评）根据单项式乘以单项式的法则，结合同类项，列出关于m ，n 的二元一次方程组，进而求得代数式的值.课堂练习1.计算3a ·2b 2的结果是（）A .3ab 2B .6b 2C .6ab 2D .5ab 2 2.计算-2a 2·3a 的结果是（）A .-6a 2B .-6a 3C .12a 3D .6a 3 3.若长方形的宽是a 2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.4.一个三角形的一边长为a ，这条边上的高的长度是它的13，那么这个三角形的面积是_____.5.计算：（1）-3x 2 ·5x 3；（2）4y ·（2xy 2）；（3）（-x ）3·（x 2y ）2.6.若（12m n a b ++）·（21n a b -）＝54a b ，求m +n 2的值.教学反思参考答案1.C2.B3.42a4.216a 5. 解：（1）原式＝（-3×5）（23x x ）＝-155 x ；（2）原式＝（4×2）（2y y ）x ＝83xy ；（3）原式＝（- x 3）·（42x y ）＝-72x y .6.解：原式＝1212154m n n a b a b ++-++＝， ∴ 1215214m n n ++-⎧⎨++⎩＝，＝，解得31.m n ⎧⎨⎩＝，＝∴ 2 4.m n +＝课堂小结单项式乘以单项式中的“一、二、三”一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数不变，作为积的因式.二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂分别相乘.三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可从以下三个方面来检验：①结果仍是单项式；②结果中含有单项式中的所有字母；③结果中每一个字母的指数都等于相乘的单项式中同一字母的指数之和.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式.注意事项（1）应先进行符号运算；（2）按顺序运算；（3）不要丢掉只在一个单项式里出现的字母因式；（4）单项式乘以单项式的法则对于多个单项式相乘仍然成立.教学反思。

2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.1幂的运算(第2课时)

第12章整式的乘除12.1 幂的运算第2课时幂的乘方教学目标1.使学生掌握幂的乘方法则，并能够用式子表示；2.通过自主探索，让学生明确幂的乘方法则是根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则推导出来的，并能利用幂的乘方的法则熟练地进行幂的乘方运算；3.培养学生在学习上探索与建构的思想.教学重难点重点：幂的乘方法则的应用. 难点：理解幂的乘方的意义.教学过程复习巩固1.同底数幂的乘法法则是什么？用式子怎样表示？【答案】同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加，m n m n a a a +=（m ，n 为正整数）.2.计算：（1）22000x x ；（2）()()2322--；（3）()()233x x x ---；（4）()()()23a b a b a b ---.【答案】（1）2002x ；（2）5(2)-；（3）8x ；（4）6()a b -.导入新课【创设情境，课堂引入】根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空. （1）()()22223323=⨯=；（2）()()3333322232=⨯⨯=；（3）()()433333a a a a a a ==.探究新知【实践探究，交流新知】【教师引导，解决问题】【提问】同学们通过上述几道题的计算，观察一下这几道题有什么共同特点？【学生活动】先独立思考，再踊跃回答.教学反思两种运算，一种是同底数幂的乘法，另一种是幂的乘方. 【提问】通过计算探究其结果有什么规律？幂的乘方可以转化为同底数幂的乘法.【学生活动】根据上述探索得到的规律计算()nm a （m ，n 为正整数）.引入课题概括：()n nm m mm m m mmn n a a a a a a +++===个个（m ，n 为正整数）.幂的乘方法则：（1）字母表示：()nm mn aa =（m ，n 为正整数）.（2）文字叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【注意】a 可以是单独的字母，具体的数或者多项式. 【思考】同底数幂的乘法运算性质与幂的乘方的运算性质有什么相同点和【巩固练习】计算：（1）2432()x x x +；（2）33)(a 43()a ；（3）22()m x y +⎡⎤-⎣⎦；（4）（0.125）17×（216）3.【答案】621241(1)2(2)(3)()(4).8m x a x y +-；；；【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 计算：（1）()5310；（2）()43b；（3）()52a；（4）()()2332a a ⎡⎤--⎣⎦.解：（1）()155353101010==⨯；（2）()124343b b b ==⨯；（3）()105252a a a ==⨯；（4）()()()23362612aa a a a ⎡⎤--=--=-⎣⎦. 【思考】（-a 2）5和（-a 5）2的结果相同吗?为什么?【学生活动】先独立思考，再与同伴交流. 不相同.理由如下：（-a 2）5表示5个（-a 2）相乘，其结果是负的；教学反思（-a 5）2表示2个（-a 5）相乘，其结果是正的. 【思考总结】（学生总结，老师点评）(−a n )m ＝{a mn (m 为偶数)，−a mn(m 为奇数).例2 计算：（1）()()3422aa ；（2）()()4234244a a a aa+-；（3）()()()2433362x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦⎣⎦.解：（1）()()34226814a a a a a ==；（2）()()4234248888442a a a a aa a a a +-=+-=-；（3）()()()()()()24333618181822x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤----=---=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦.例3 如果292164n =，求3n 的值. 解：∵292164n =， ∴2418222n =， ∴1842=+n ， ∴4=n .课堂练习1.下列各式中，与51m x +相等的是（） A . 51()m x + B . 15()m x + C . 5()m x x D . 5m x x x2. 14x 不可以写成（）A . 533()x xB . 238()()()()x x x x ----C . 77()xD . 3452x x x x 3.若 28()m x x =，则m ＝ . 4.若 3212[()]m x x =，则m ＝ .5.若 22m m x x =，求9m x 的值.6.若 33n a =，求34()n a 的值.7.已知 2,3m n a a ==，求23m n a +的值.参考答案1. C2.C3.44.25.解： 2393332()28m m m m m x x x x x ＝＝，＝＝＝.6.解：344()381.n a ＝＝教学反思7.解：23m na+＝（a m）2·（a n）3＝22×33＝4×27＝108.课堂小结幂的乘方法则()().()]().m n mnm n p mnpa a m na a m n p⎧⎪=⎨⎪=⎩内容：幂的乘方，底数不变，指数相乘.字母表示：，都是正整数推广：[，，都是正整数【注意】幂的底数，可以是数，可以是字母，也可以是多项式.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于：同底数幂的乘法是指数相加，而幂的乘方则是指数相乘.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计幂的乘方1. 幂的乘方的运算法则：（a m）n＝a mn（m，n都是正整数），语言表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.2.【注意】（1）运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.（2）在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式.（3）(−a n)m＝{a mn(m为偶数)，−a mn(m为奇数).3.［（a m）n］p＝a mnp（m，n，p都是正整数）.教学反思。

初中数学华东师大八年级上册(2023年新编)第12章整式的乘除八年级上册1 十字相乘法

因式分解---十字相乘法◆教学目标知识与技能：理解十字相乘法的概念及意义，会用十字相乘法分解因式情感与态度：培养学生的观察能力，分析能力，解决实际问题的能力。

培养学生合作探究的能力。

◆教学重点与难点(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．◆【教学过程】◆ 【复习引入】１．提出问题：（1）因式分解常用方法我们已经学习了哪几种提公因式法公式法（平方差公式、完全平方式）（2）提公因式法的关键是找准公因式，怎么找准公因式？系数找最大公约数，找相同字母的最低次幂（3）平方差公式、完全平方式分解因式关键是什么？1、a 2–b 2 =(a +b )(a –b ) 2、a 2±2ab +b 2 = (a ±b )2 3、a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc =(a +b +c )22、探究新知前面出现了一个公式：(x +p )(x +q )=x 2+(p +q )x +pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式例1：因式分解x 2+5x +4可以看出常数项 4= 1×4而一次项系数 5 = 1 + 4∴原式=(x +1)(x +4)例2：因式分解x 2–6x +8可以看出常数项8= (–2)×(–4)而一次项系数 –6 = (–2) + (–4)∴原式=(x –2)(x –4)概括：就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项随堂练习：（1）x 2–6x +5 （2）x 2–5a -6小试牛刀1、填一填2、用十字相乘分解因式（画出十字图）m 2－12m ＋20 x 2＋xy －6y 2例2：因式分解 3x 2+7x +2。

2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.2整式的乘法(第3课时)

第12章整式的乘除12.2整式的乘法第3课时多项式与多项式相乘教学目标1.使学生理解并掌握多项式乘以多项式的法则.2.经历探索多项式与多项式相乘的过程，通过导图理解多项式与多项式相乘的结果，能够按多项式乘法法则进行简单的多项式乘法运算，达到熟练地进行多项式乘法运算的目的.3.培养数学感知，体验数学在实际应用中的价值，树立良好的学习态度.教学重难点重点：多项式乘以多项式的形成过程及其理解和应用. 难点：多项式乘以多项式的法则的正确应用.教学过程复习巩固1.口述单项式与单项式相乘的法则. 【答案】（1）系数相乘作为积的系数；（2）相同的字母，应用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；（3）只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式.2.口述单项式乘以多项式的法则.【答案】单项式与多项式相乘，就是用单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加.导入新课【创设情境，课堂引入】某地区在退耕还林期间，将一块长m 米、宽a 米的长方形林地的长、宽分别增加n 米和b 米.用两种方法表示这块林地现在的面积.思考：（1）加长加宽后得到的林地的长为多少？宽为多少？面积为多少？【答案】长为()n m +米，宽为()b a +米，面积为()()m n a b ++平方米.教学反思（2）现在这块林地可以看作由四块面积分别为多少的长方形林地组成，总面积为多少？【答案】四块林地的面积分别为ma 平方米、mb 平方米、na 平方米、nb 平方米，总面积为()ma mb na nb +++平方米.（3）两种不同的方法，得到的结果相等吗？【答案】相等.()()m n a b ma mb na nb ++=+++. 想一想：（1）()()m n a b ma mb na nb ++=+++的等号左边是什么运算？等号右边又是什么运算？（2）请你总结规律.探究新知【实践探究，交流新知】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式与多项式相乘−−→−转化单项式与多项式相乘−−→−转化单项式与单项式相乘.字母呈现：ma +mb +na +nb .【例1 计算：（1）（x +2）（x −3）；（2）（2x + 5y ）（3x −2y ）. 解：（1）（x +2）（x −3）2326x x x -+-＝26x x --＝；（2）（2x + 5y ）（3x −2y ）＝6x 2−4xy +15yx −10y 2 ＝6x²+11xy −10y². 例2 计算：（1）（m −2n ）（m²+mn −3n²）；（2）（3x²−2x +2）（2x +1）. 解：（1）（m −2n ）（m²+mn −3n²）＝222232223m m m mn m n n m n mn n n +---+教学反思＝3222233226m m n mn m n mn n +---+ ＝322356m m n mn n --+；（2）（3x²−2x +2）（2x +1）＝6x³+3x²−4x²−2x +4x +2＝6x³−x²+2x +2.【巩固练习】计算：（1）（x +2y ）（5a +3b ）；（2）（2x −3）（x +4）；（3）（x +y ）2；（4）（x +y ）（x 2-xy +y 2）. 解：（1）原式＝x ·5a +x ·3b +2y ·5a +2y ·3b ＝5ax +3bx +10ay +6by ；（2）原式＝2x 2+8x -3x -12＝2x 2+5x -12；（3）原式＝（x +y ）（x +y ）＝x 2+xy +xy +y 2 ＝x 2+2xy +y 2；（4）原式＝x 3-x 2y +xy 2+x 2y -xy 2+y 3 ＝x 3+y 3.【反思总结】（学生总结，老师点评）多项式乘以多项式中的注意事项：（1）运算要按一定顺序，做到不重不漏.（2）多项式乘以多项式，未合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积.（3）多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘时，要带上每项前面的符号一起运算：同号相乘得正，异号相乘得负.【合作探究，解决问题】【小组讨论】例3 先化简，再求值：(2)(3)(2)(4)x y x y x y x y -+--- ，其中1x =-，y ＝2.解：（x -2y ）（x +3y ）-（2x -y ）（x -4y ）＝x 2+3xy -2xy -6y 2-（2x 2-8xy -xy +4y 2）＝x 2+xy -6y 2-2x 2+9xy -4y 2 ＝-x 2+10xy -10y 2. 当x ＝-1，y ＝2时，原式＝-（-1）2+10×（-1）×2-10×22 ＝-1-20-40 ＝-61.【拓展延伸】例4 已知ax 2+bx +1（a ≠0）与3x -2的积不含x 2项，也不含x 项，求系数a ，b 的值.思考：由积中不含x 2项、x 项可以推出什么？由此怎样求出a ，b 的值？解：（ax 2+bx +1）（3x -2）＝3ax 3-2ax 2+3bx 2-2bx +3x -2＝3ax 3+（3b -2a ）x 2+（3-2b ）x -2.教学反思因为积不含x 2项，也不含x 项，所以3b -2a ＝0，3-2b ＝0，解得a ＝94，b ＝32.即系数a ，b 的值分别是94，32.【反思总结】解决此类问题，先根据多项式乘以多项式的法则写出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，得出这一项系数等于零，由此列方程（组）解答.【拓展练习】计算：（1）（x +2）（x +3）＝ x 2+5x +6 ；（2）（x -4）（x +1）＝x 2-3x -4；（3）（y +4）（y -2）＝228y y +-；（4）（y -5）（y -3）＝2815y y -+. 根据上面的计算结果，观察规律并填空：（x +p ）（x +q ）＝2x +p q +（）x + pq . 课堂练习1.下列多项式相乘，结果为x 2−4x −12的是（） A .（x −4）（x +3） B .（x −6）（x +2） C .（x −4）（x −3） D .（x +6）（x −2）2.如果（x +a ）（x +b ）的结果中不含x 的一次项，那么a ，b 满足（）A .a ＝bB .a ＝0C .a ＝−bD .b ＝03.如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各有若干张，如果要拼一个长为（a +3b ）、宽为（2a +b ）的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为（）A.2，3，7B.3，7，2C.2，5，3D.2，5，7 4.计算：（1）（y +1）（x -y ）-x （y -x ）；（2）（-7x 2-8y 2）（-x 2+3y 2）；（3）（3a +1）（2a -3）-（6a -5）（a -4）. 5.化简求值：（4x +3y ）（4x -3y ）+（2x +y ）（3x -5y ），其中x ＝1，y ＝−2.参考答案1.B2.C3.A4.解：（1）原式＝xy +x -y 2-y -xy +x 2＝x 2+x -y 2-y ；（2）原式＝7x 4-21x 2y 2+8x 2y 2-24y 4＝7x 4-13x 2y 2-24y 4；（3）原式＝6a 2-9a +2a -3-6a 2+24a +5a -20＝22a -23.教学反思5.解：(4x+3y)(4x−3y)+(2x+y)(3x−5y)教学反思＝16x2−12xy+12xy−9y2+6x2−10xy+3xy−5y2＝22x2−7xy−14y2.当x＝1，y＝−2时，原式＝22×12-7×1×（-2）-14×（-2）2＝22+14 −56＝−20.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们：1.理解并掌握多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq.实质：先转化为单项式乘以多项式的运算，再转化为单项式乘以单项式的运算.2.多项式与多项式相乘，（1）不要“漏乘”；（2）注意“符号”.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计多项式与多项式相乘1.法则先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（a+b）（p+q）＝ap+aq+bp+bq.实质：先转化为单项式乘以多项式的运算，再转化为单项式乘以单项式的运算.2.多项式乘以多项式中的注意事项（1）运算要按一定顺序，做到不重不漏；（2）多项式乘以多项式，未合并同类项之前积的项数应等于两个多项式的项数之积；（3）每一项相乘时要带上每项前面的符号一起运算.。

2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第12章整式的乘除12.5因式分解(第3课时)

第12章整式的乘除12.5因式分解第3课时两数和（差）的平方——因式分解教学目标1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；2.掌握运用完全平方公式因式分解的方法；3.能综合运用提公因式和完全平方公式对多项式进行因式分解.教学重难点重点：掌握公式法（完全平方公式）进行因式分解.难点：怎样进行多项式的因式分解？如何能将多项式分解彻底？复习巩固1.因式分解目前学习了几种方法？因式分解中需要注意什么问题？2.计算：（1）()224c b a +- ；（2）()()2223n m n m --+；（3）ab ab 223- ；（4）164+-x .【答案】（1）()()22a b c a b c ++--；（2）()()423m n m n ++；（3）()()211ab b b +-；（4）()()()2422xx x ++-.3.计算：（1）()2b a +；（2）()2b a -.【答案】（1）222b ab a ++；（2）222b ab a +-.教学过程导入新课【创设情境，课堂引入】把乘法公式()2222b ab a b a ++=+，()2222b ab a b a +-=- 反过来，就得到()2222b a b ab a +=++，()2222b a b ab a -=+-.探究新知【实践探究，交流新知】完全平方公式：教学反思（1）（2）用文字叙述：两个数的平方和，加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数和（差）的平方.【注意】（1）弄清楚整式乘法中的两数和（差）的平方与因式分解中的两数和（差）的平方的区别，因式分解中的左边是两个数的平方和加上（减去）这两个数积的2倍，右边是这两个数的和（差）的平方.（2）a ，b 可以是单独的数，具体的字母，也可以是多项式. 例如：运用两数和（差）的平方因式分解时，要根据第二项的符号来选择运用哪一个.【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 把多项式1102524++x x 分解因式. 解：1102524++x x ()222252511x x =+⨯⨯+ ()2215+=x .例2 把多项式2244x y xy ++分解因式. 解：2244x y xy ++()22x y =+.小结：若多项式的第一项的符号为“-”时，通常先把“-”号提取出来，然后再因式分解，注意提取“-”号后，括号里各项都要改变符号.例3 把22363ay axy ax ++分解因式.解：22363ay axy ax ++()23y x a +=.小结：如果多项式有公因式，应先提取公因式，然后再因式分解. 同步练习：把下列各多项式分解因式：（1）223612y xy x +- ；（2）221025q pq p ++；（3）224914b ab a +- ；（4）422416249;a a b b ++教学反思()2223y xy x a ++=（5）()()25102++-+y x y x ；（6）3222a x a ax ++.【答案】（1）()26y x -. （2）()25q p +. （3）()27b a -.（4）()22234b a +. （5）()25-+y x . （6）()2a x a +.课堂练习1.下列二次三项式因式分解后是两数和（差）的平方的是（） A.x 2-8x -16 B.x 2+8x +16 C.x 2-4x -16 D.x 2+4x +162.已知y 2+my +16因式分解后是两数和（差）的平方，则m 的值是（） A.8 B.4 C.±8 D.±43.下列各式因式分解正确的是（）A.1+4x 2＝（1+2x ）2B.6a −9−a 2＝−（a −3）2C.2144m m +-＝2(12)m -D.x 2+xy +y 2＝（x +y ）2 4.因式分解：x 2-2x ＋1＝ . 5.因式分解：222x xy y ++＝ . 6.因式分解：a 2+10a +25＝.7.因式分解：m 221236mn n -+＝ . 8.利用因式分解计算：（1）342+34×32+162；（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92. 参考答案1.B2.C3.B4.（x -1）225.()x y +6.（a +5）27.（m −6n ）28.解：（1）342+34×32+162＝（34+16）2＝2 500；（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92＝（38.9-48.9）2＝100.课堂小结通过本节课的学习，要求同学们1.掌握两数和（差）的平方，并能灵活地利用两数和（差）的平方进行因式分解：a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，a 2-2ab +b 2＝（a -b ）2. 2.完全平方公式的特点：（1）必须是三项式（或可以看成三项的）；（2）有两个同号的平方项；（3）有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）.3.进行因式分解过程中，有公因式的应先提取公因式，然后再分解，因式分解必须彻底.教学反思布置作业请完成本课时对应练习！板书设计因式分解——完全平方公式法运用完全平方公式因式分解：a 2+2ab +b 2＝2()a b -， a 2-2ab +b 2＝2()a b -.教学反思。

初中数学华东师大八年级上册(2023年新编)第12章整式的乘除用公式法分解因式教案

用公式法分解因式教案教学目标：1.理解整式乘法和因式分解是互逆的，培养逆向思维能力。

2.理解因式分解的意义，掌握用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法。

3.掌握提公因式法公式法分解因式的综合运用。

4.体会换元法，类比法，整体思想，转化思想。

重点：用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。

难点：灵活运用两个公式进行因式分解。

教学过程：一．创设情境，明确目标复习回顾1.乘法公式的回顾。

2.因式分解的意义及方法引出新课，确定学习目标二．引导自学，初步达标自主完成下面填空并思考（4分钟独立完成）（一）根据乘法公式计算（m+2)(m-2) (a-b)(a+b) (m+2)(m+2) (a+b)(a+b)（二）根据等式的对称性填空m2-4 a2-b2 m2+4m+4 a2+2ab+b2（三）思考：把乘法公式反过来进行因式分解的方法叫做公式法。

a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2三．探究新知，达成目标探究一用平方差公式分解因式思考：1.因式分解时，平方差公式的左边和右边各有什么特征？2.你能用语言叙述这个公式吗？归纳：平方差公式公式：a2-b2=(a+b)(a-b)（一）结构特点：1.左边有二项，是两个数的平方差的形式2.右边是两数和乘以这两数差的形式（二）判断：看多项式是否能写成两个数的平方差的形式（三）语言：两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差，这个公式就是平方差公式.例1：把下列各式进行因式分解1.4a2-252.-16m4+81n4归纳：利用平方差公式进行因式分解的步骤（1）变形式；（2）定a和b；（3）写结果注意：因式分解要彻底，即结果要保证不能再分解为止探究二用完全平方公式分解因式思考：因式分解时，完全平方公式的左边和右边各有什么特征?你能用语言叙述这个公式吗？归纳：完全平方公式公式：a2+或-2ab+b2=(a+或-b)2（一）结构特点1.公式左边是三项式，其中首尾两项都为正，且这两项可化为两个数的平方，中间的一可正可负，并且是这两个数的积的2倍。

初中数学华东师大八年级上册(2023年新编)第12章整式的乘除因式分解(教案)

课题：因式分解第一课时因式分解—提公因式法＆、教学目标：1、使学生能明确因式分解与整式乘法之间的关系，让学生在探索中进行新旧知识的比较，使学生明白可以将因式分解的结果再乘出来就能检验因式分解的正确性。

2、让学生经历探究因式分解的过程，理解和领悟因式分解，发现因式分解的基本方法---提公因式法。

3、激发学生的兴趣，让学生体会到数学的应用价值。

＆、教学重点、难点、关键：重点：掌握提公因式法进行分解因式。

难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底。

关键：灵活地应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式应分解彻底。

＆、教学过程：一、回顾与交流运用前两节课所学的知识填空:（1）()___________=++c b a m .（2）(x+1)(x-1)= .（3）()__________2=+b a .答案：（1）mc mb ma ++. （2）x x +2. （3）222b ab a ++.二、探究问题，导入新知探索因式分解的概念及方法：问题:你会做下面的填空吗？把下列多项式写成乘积的形式 (1) ma+mb+mc=(2) x 2 -1 =(3) a 2 +2ab+b 2 =答案：（1）()c b a m ++. （2）(x+1)(x-1). （3）()2b a +.思考：（1）《回顾与交流》中的计算题有什么特点？等式的左边是什么？右边呢？属于我们曾经学过的什么类型的知识体系？（2）《探索》中的计算题有什么特点？等式的左边是什么？右边呢？同上面的算法有什么区别？教学方法：教师通过上述计算题的对比，引导学生观察每个等式的特点，引导出因式分解的概念。

§.因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（又名分解因式）。

注意：（1）因式分解的特点是左边是一个多项式，右边是几个因式之积，即最终运算是乘积。

（2）因式分解和整式乘法的过程正好相反，互为逆变形。

对于多项式中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称m 为多项式mc mb ma ++的公因式。

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单项式乘以多项式
【教学目标】
知识与技能
会进行简单的单项式乘以多项式运算
过程与方法
经历探索单项式乘以多项式运算法则的过程,体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考及语言表达能力。

情感、态度与价值观
培养良好的探究意识与合作交流能力，体会整式运算的应用价值。

【教学重难点】
重点：单项式乘以多项式的法则
难点：整式乘法法则的推导与应用
【导学过程】
【知识回顾】
计算：（1）2(ab －3) ＝（2）(2xy 2) ·3yx ＝
（3）(―2a 3b) (―6ab 6c) ＝（4）－3(ab 2c+2bc －c) ＝【情景导入】如图，你能计算它的面积？
【新知探究】
探究一、
你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的表示方法？其中包含了什么运算?
方法一：可以先表示出各部分的长与宽，相加得到整个面积为
方法二：可以用总长乘以宽，得到整个面积为
由上面的探索，我们得到了
上面等式从左到右运用了乘法分配律，将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式
单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加
探究二、
计算
1．2ab （5ab 2＋3a 2b ） 2．
ab ab ab 2
1)2(322•-
３．)132)(2(2+--a a a ４．)6)(211012(3322xy y y x xy -+--
探究三、例题
已知：2x ·（x n +2）=2x n+1－4，求x 的值。

练习：若a 3（3a n －2a m +4a k ）=3a 9－2a 6+4a 4，求－3k 2（n 3mk+2km 2）的值。

【知识梳理】
你有什么收获？
【随堂练习】
1、单项式和单项式相乘，把它们的，分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起积得一个。

2、单项式和多项式相乘，用单项式去乘多项式的，再把所得的积。

3、化简：322)3(x x -的结果是
A ．56x -
B ．53x -
C ．
D ．
4、下列运算正确的是（）
A ．2+=3
B ．2=1
C ．2·=3
D ．2÷=
5、化简：=+-
⋅)13
1(92y x xy
6、计算：)1()42(522-++-x x x x x。