高考数学三角函数知识点及典型例题讲解
――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示：
（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对
值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-o ；5
36
π-）
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .
（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：
,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6
π
的终
边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z k k ∈+
,3
2π
π）
4、α与2
α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则
2
α
是第_____象限角 （答：一、三）
5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22
S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如
已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点
（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x
r r
αα==，
()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r
x
α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函数值只
与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如
（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。
（答：7
13
-）；
（2）设α是第三、四象限角，m
m --=
43
2sin α，则m 的取值范围是_______ （答：（－1，)2
3
）；
（3）若
0|
cos |cos sin |sin |=+αα
αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号 （答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如 （1）若08
π
θ-
<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____
(答：tan sin cos θθθ<<)；
（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______
（答：sin tan ααα<<）； （3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______
（答：2(2,2]()3
3
k k k Z π
π
ππ-
+
∈）
（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,
（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
==
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
（1）函数sin tan cos cot y αα
αα
+=+的值的符号为____
（答：大于0）；
y
T
A x
α B S
O M P
（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____
（答：[0,
]4π
U ],4
3
[ππ）
； （3）已知53sin +-=
m m θ，)2
(524cos πθπ
θ<<+-=m m ，则θtan ＝____ （答：12
5
-
）； （4）已知
11tan tan -=-αα，则
α
αα
αcos sin cos 3sin +-＝___；2cos sin sin 2++ααα＝____ （答：35-；5
13
）；
（5）已知a =ο200sin ，则ο160tan 等于
A 、21a a --
B 、21a
a
- C 、a a 21-- D 、a a 2
1-
（答：B ）；
（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin οf 的值为______
（答：－1）。
10.三角函数诱导公式（2
k
πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或
偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。如
（1）97cos tan()sin 2146
ππ
π+-+的值为________
）； （2）已知5
4
)540sin(-=+αο，则=-)270cos(οα______，若α为第二象限角，则
=+-+-)
180tan()]360cos()180[sin(2
αααο
οο________。 （答：5
4-；1003
-）
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβαβαβαβααα
αααβα
αβααβα
αα
αα=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
-m m
如（1）下列各式中，值为
1
2
的是 A 、1515sin cos o o B 、2
2
12
cos sin π
π
-
C 、22251225tan .tan .-o o
D （答：C ）；
（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
（答：C ）；
（3）已知3
5
sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____
（答：7
25
）；
（4）110sin o 的值是______ （答：4）；
(5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a
，乙求得的
结果是2
12a a
-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβαβ++=?，()(
)
222αββ
ααβ+=---等）
，如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4
π
α+的值是_____
（答：3
22
）；
（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2
23
sin()αβ-=，求cos()αβ+的
值
（答：490
729
）；
（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3
cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系
为______
（答：43
(1)55
y x x =<<） (2)三角函数名互化(切割化弦)，如 （1）
求值sin 50(1)o o
（答：1）；
（2）已知
sin cos 2
1,tan()1cos 23
αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值
（答：1
8
）
(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。如
（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____
（答：2
-
）； (2)设ABC ?
中，tan A tan B Atan B +=
，4
sin Acos A =，则此三角形是____三角形
（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2
α
α-=与升幂公
式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如
(1)若32(,)αππ∈
为_____
（答：sin
2
α）；
（2）
函数25f (x )sin x cos x x =
-x R )∈的单调递增区间为____ （答：51212
[k ,k ](k Z )ππ
ππ-+∈）
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如
（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα
αα
+++
（答：sin α）；
（2）求证：
2
1tan 1sin 212sin 1tan 2
2
ααα
α
++=--；
（3）化简：
4221
2cos 2cos 22tan()sin ()
44
x x x x ππ-+
-+ （答：1
cos 22
x ）
(6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=?
tan sin 42ππ===L 等），如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-（答：3
5）.
(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，如 （1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __
（答：21
2
t -±)，特别提醒：这里[t ∈；
（2）若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=，求tan α的值。
（答：43
-
）； （3）已知
2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42
ππ
α<<，试用k 表示sin cos αα-的值
。
13、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b
a
θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。如
（1）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.
（答：[－2,2]）；
（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______
(答：3
2
-)；
（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?=
(答：－2)；
（4）求值：
=?+?
-?20sin 6420cos 120sin 32
2
2________ (答：32)
14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图
方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222
ππ
ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连
接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。
（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最大值
1；当
()322
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。如
（1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为2
1
-，则=a __，=b ＿
（答：1
,12
a b ==或1b =-）；
（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,
2[π
π-
∈x ）的值域是____
（答：[－1, 2]）；
（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____
（答：7；－5）；
（4）函数2()2cos sin()3
f x x x x π
=+sin cos x x +的最小值是_____，此时x ＝
__________
（答：2；()12
k k Z π
π+
∈）
； （5）己知2
1
cos sin =
βα，求αβcos sin =t 的变化范围 （答：1
[0,]2
）；
（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα2
2sin sin +=y 的最大、最小值
（答：1max =y ，222min -=y ）
。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和
()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||
T π
ω=。如 (1)若3
sin )(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++L ＝___
（答：0）；
(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____
（答：π）； (3) 设函数)5
2sin(2)(π
π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则
||21x x -的最小值为____
（答：2）
（4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是
(),02k k Z ππ??+∈
??
?，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。如
（1）函数522y sin x π??
=- ???
的奇偶性是______、 （答：偶函数）；
（2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______
（答：－5）；
（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28
k x (k Z )ππ=+∈）；
（4）
已知f (x )sin(x )x )θθ=++为偶函数，求θ的值。
（答：6
k (k Z )π
θπ=+
∈）
（5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ?
?=-+∈???
?在上单调递增，在
()32,222k k k Z ππππ??++∈????
单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！
16、形如sin()y A x ω?=+的函数：
（1）几个物理量：A ―振幅；1
f T
=―频率（周期的倒数）；x ω?+―相位；?―初
相；
（2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；?由图象上的特殊点确定，
如()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2
π
?<
＝_____（答：15()2sin()23
f x x π
=+）；
（3）函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X 令X ＝0，3,,,222
ππ
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图
象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()sin y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A
倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由
()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|?
ω
个单位，如 （1）函数2sin(2)14y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？
（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4
y x π
=-的图象，再向左平移
8
π
个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1
2
即得sin y x =的图象）；
(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2
x
y =的图象向___平移____个
单位
（答：左；
2
π）； （3）将函数72sin(2)13y x π
=-
+图像，
按向量a r 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a r
；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6
a π=--r
）；
（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
（答：）
（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将
sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，
但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。如
（1）函数23
y sin(x )π
=-+
的递减区间是______
（答：51212
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+∈）
； （2）12
34
x y log cos(
)π
=+的递减区间是_______ （答：336644
[k ,k ](k Z )π
πππ-+∈）
； （3）设函数)2
2
,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π=x 对称，它
的周期是π，则
A 、)21,0()(的图象过点x f
B 、()f x 在区间52[,]123
ππ
上是减函数
C 、)0,12
5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A
（答：C ）；
（4）对于函数()2sin 23f x x π?
?=+ ??
?给出下列结论：
①图象关于原点成中心对称；
②图象关于直线12
x π
=
成轴对称；
③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3
π
个单位得到； ④图像向左平移
12
π
个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。 其中正确结论是_______
（答：②④）；
（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为3
π
，那么此函数的周期是_______
（答：π）
17、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数
的定义域了吗？
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =
cos x +的周期为
2
π
，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π??
???
()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间
,k k k Z ππππ??
-++∈内都是增函数。但要注意在整个定
18. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边
的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C
===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理
的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R
== 2c R
=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：2222
2
2
2cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc
+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三
角形的形状.
(4)面积公式：111sin ()222
a S ah a
b C r a b
c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.
如ABC ?中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：
,sin()sin ,sin cos 22
A B C
A B C A B C π++=-+==；
（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如
（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==o ，那么满足条件的ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
（答：C ）；
（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件
（答：充要）；
（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____
（答：1
2
-）；
(4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____
（答：60o ）；
（5）在ABC ?中，若其面积222
S =，则C ∠=____
（答：30o ）；
（6）在ABC ?中，60 1A ,b ==o ，则ABC ?外接圆的直径
是_______
（答：
3
）；
（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32
B C
a A +==则= ，
22b c +的最大值为
（答：19
32
;）；
（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是
（答：06
C π
<≤
）； （9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=o ，且,,AOB BOC COA ???的面积满
足关系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠（
答：45o ）．
19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表示一个角，
这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??
-????
内(11)a -≤≤。(2)反正弦arcsin x 、反余弦
arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2
,2(],,0[],2
,2[πππππ--.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直
线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ，[)π,0， [0,),[0,),[0,]2
π
ππ．
20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如
（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值______
（答：34
π
）；
（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______
（答：3
π
）；
（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值
（答：23
π
）.
三角函数知识点及题型归纳
三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos = )25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin 3cos απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ??? （Ｂ）,3ππ?? ??? （Ｃ）4,33ππ?? ??? （Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是 。 2.若函数()(13tan )cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为 最大值为 。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ??? ?上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 8.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 B. 13 2 + C. 3 2 D.1+3 三.单调性 1.函数]),0[()26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 （ ）.
三角函数,反三角函数公式大全
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]
中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
高中文科数学三角函数知识点总结
三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +
(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o
三角函数知识点及典型例题
三角函数知识点及典型例题 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合：{} |360,S k k Z ββα==+?∈ . §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l =α. 3、弧长公式： R 4、扇形面积公式： S=21 lr=2 1αr 2. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=） _______ sin r y =α，________cos r x =α，_____tan x y =α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号一正二正弦三切四余 和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一： ()()()_tan _2tan _cos _2cos _sin _2sin απααπααπα=+=+=+k k k （Z k ∈） 5、 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：2 2 sin cos 1αα+=.2、 商数关系：sin tan cos α αα =. §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二：()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 2、诱导公式三：()()()._tan _tan _____,cos _cos _,sin _sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四： ()()()._tan _tan _,cos _cos _,sin _sin ααπααπααπ-=--=-=- 4、诱导公式五：._sin _2cos _,cos _2sin ααπααπ=?? ? ??-=??? ??-
高中数学常用反三角函数公式
反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = .
反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： .
名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. .
反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞
初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ； 第四象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3 α所在的象限 （5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零； 任一角α的弧度数的绝对值r l =||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。 （6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（22cm ） 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系 I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0） 练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。 II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切 线； 练习： （1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<） （2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33x k x k k Z ππππ??∣- <≤+∈???? （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 反三角函数公式 反三角函数图像与特征 1 ： 反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数. 反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞ If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再 初中三角函数知识点总结(中考复习) 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余 A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得 由B A C 切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：2 2 2 c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度 (坡比)。用字 母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 :i h l =h l α 三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值： （1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如 (； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。 （4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周 期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如 （1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？ sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx 锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角 函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2三角函数知识点总结及练习题
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