九年级上册数学 圆 几何综合单元测试与练习(word解析版)

九年级上册数学圆几何综合单元测试与练习（word解析版）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB 于点D，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，ACO

OBD

S

S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【答案】（1）2；（2）

2825

x x x

-+

（0＜x＜8）;（3）AD=

14

5

或6．

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.

(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.

【详解】

解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=

1

2

AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴22

AO AC

-，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴22

HO HC

+22

3|x4|

+-2825

x x

-+

∴CD=OD ﹣OC=5

过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴

OH OC

DG CD

=， ∴DG=OH CD OC

?

35， ∴S △ACO =

12AC ×OH=12x ×3=32

x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣

x ）×（3

35）=3

2

（8﹣

x ）

∴y=

ACO OBD

S S

=

()32

3582x x -

（0＜x ＜8）

（3）①当OB ∥AD 时，如图3，

过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB?OH=1

2

OB?AE ， AE=

AB OH OB ?=24

5

=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，

AO=5，

∴75

∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，

∴AD=2AF=14

5

．

②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，

则由①的方法可得DG=BM=

245

， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185

， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，

∴AD=

22AG DG +=6

综上得AD=

14

5

或6．

故答案为（1）2；（2）y=()

2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=14

5或6．

【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

2．如图，∠ABC=45°，△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ，顶点A 、D 分别在∠ABC 的两边BA 、BC 上滑动（不与点B 重合），△ADE 的外接圆交BC 于点F ，点D 在点F 的右侧，O 为圆心．

（1）求证：△ABD ≌△AFE

（2）若AB=42，82＜BE ≤413，求⊙O 的面积S 的取值范围．

【答案】（1）证明见解析（2）16π＜S ≤40π

【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD ，得出三角形全等；（2）利用△ABD ≌△AFE ，和已知条件得出BF 的长，利用勾股定理和2＜BE 13EF,DF 的取值范围， 24

S DE π

=

，所以利用二次函

数的性质求出最值. 试题解析：（1）连接EF ，

∵△ADE 是等腰直角三角形，AE=AD ， ∴∠EAD=90°，∠AED=∠ADE=45°，

∵AE AE = ， ∴∠ADE=∠AFE=45°， ∵∠ABD=45°， ∴∠ABD=∠AFE ， ∵AF AF =， ∴∠AEF=∠ADB ， ∵AE=AD ， ∴△ABD ≌△AFE ； （2）∵△ABD ≌△AFE ， ∴BD=EF ，∠EAF=∠BAD ， ∴∠BAF=∠EAD=90°， ∵42AB = ， ∴BF=

42

cos cos45

AB ABF =∠=8，

设BD=x ，则EF=x ，DF=x ﹣8，

∵BE 2=EF 2+BF 2

， 82＜BE ≤413 ，

∴128＜EF 2+82≤208， ∴8＜EF ≤12，即8＜x ≤12， 则()22284

4S DE x x π

π??==

+-?

?=()2

482

x ππ-+，

∵

2

π

＞0， ∴抛物线的开口向上， 又∵对称轴为直线x=4，

∴当8＜x ≤12时，S 随x 的增大而增大， ∴16π＜S ≤40π．

点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范围，所以在这个问题中要考虑勾股定理的问题，还要考虑圆的面积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值.

3．如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ， （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线；

（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE 的值．

【答案】（1）见解析；（2）

5

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；

（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出

DC=35

5

x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．

【详解】

（1）证明：连接OC，如图1，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∵OC过O，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OC、DC，如图2，

∵AB＝4AD，

∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，

∴∠DCF＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠DCF＝90°，

∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，∵OF＝OC，

∴∠AFC＝∠OCF，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACF，

∴

1

22 AC AD DC x

AF AC CF x

====，

∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，

∵AD＝x，

∴DF＝4x﹣x＝3x，

在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，

解得：DC

x，

∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，∴DC EC

=，

∴∠CFE＝∠AFC，

∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝DC

DF

＝5

35

x

x

=

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．

4．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.

（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.

【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，842

+.

【解析】

试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，

BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2

8

22

OP DB OB

+?+?

==，二者相加即为点P的

关联图形的面积是12．

（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．

（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．

试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，

∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，

∴正方形的面积是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=()(26)2

8

22

OP DB OB

+?+?

==，

∴点P的关联图形的面积是12．

（2）判断△OCD是直角三角形．

证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．

（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．

理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)4

1622

AC DB AB +?+?==为定值，

要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小， ∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小， 连接OC ，设交半圆O 于点P ，

∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=22，

∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．

∵CD=42，CP=222-， ∴△PCD 的面积=

()(26)4

1622

AC DB AB +?+?==，

∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+．

考点：圆的综合题．

5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D 在线段AB 上，AD=2．点P ，Q 以相同的速度从D 点同时出发，点P 沿DB 方向运动，点Q 沿DA 方向到点A 后立刻以原速返回向点B 运动．以PQ 为直径构造⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交折线AC ﹣CB 于点E ，将线段EP 绕点E 顺时针旋转60°得到EF ，过F 作FG ⊥EP 于G ，当P 运动到点B 时，Q 也停止运动，设DP=m ．

（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m 的代数式表示） （2）当线段FG 长度达到最大时，求m 的值； （3）在点P ，Q 整个运动过程中，

①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）

【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10﹣4

33

时，⊙O 与△ABC 的边相切．②点F 的运动路径的长为1136+5

72

． 【解析】

试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m ?2.

（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3

cos30cos30FG EF PE EP =?=?=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．

（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .

当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )?(m ?2)=4，如图3中，设

O 切AC 于H .连接

OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .

分别求解即可．

②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m ?2. 故答案为2+m ，m ?2. (2)如图1中，

在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，

3

cos30cos30FG EF PE EP ∴=?=?=

， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时53553

AC BC EP AB ??=

==

3tan30(2)3

EP AP m =?=+?

， 533

(2)m ∴

=+?，

∴m =5.5

(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设

O 切AC 于H ，连接OH .

则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.

当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )?(m ?2)=4， 如图3中，设

O 切AC 于H .连接OH .

则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设

O 切BC 于N ，连接ON .

在Rt △OBN 中, 43

sin603

OB ON ==

， 43

10AO ∴=-

， 43

123AP ∴=-

， 43

2123

m ∴+=-， 43

10m ∴=-

， 综上所述,当m =1或4或43

10-

时，O 与△ABC 的边相切。 ②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .

易知122353

53AF CF AC =

==，

122353113

53F F ∴== 60,30FEP PEB ∠=∠=，

90FEB ∴∠=，

tan EF EP EBF EB EB

∴∠=

=为定值， ∴点F 的第二段的轨迹是线段2BF ， 在2Rt BF C 中, 222222535

5(

722

BF BC F C =+=+=，

∴点F 115

37.62

6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在y 轴的正半轴上，点A 在x 轴

的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（?4，0）处．

（1）求直线AB的解析式；

（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）

1

3

2

y x

=-+（2）d=5t （3）故当 t=

8

5

，或8

15

，时，QR=EF，N（-

6，6）或（2，2）．

【解析】

试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-

a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；

（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;

试题解析：

（1）∵C（0，8），D（-4，0），

∴OC=8，OD=4，

设OB=a，则BC=8-a，

由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，

在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，

则（8-a）2=a2+42，

解得：a=3，

则OB=3，

则B（0，3），

tan∠ODB=

3

4 OB

OD

=，

在Rt

△AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=3

4

OA OC = ， 则OA=6， 则A （6，0），

设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，

则60{3

k b b +== ，解得：1

{23

k b =-= ， 故直线AB 的解析式为：y=-1

2

x +3； （2）如图所示：

在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6， 则2

2

135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠=

= ，255OA

cos BAO AB

∠==， 在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=?=，

则AQ=

10cos AP

t BAO =∠ ,

∵PR ∥AC ，

∴∠APR=∠CAB ，

由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ， ∴∠BAO=∠APR ， ∴PR=AR ，

∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°， ∴∠PQA=∠QPR ， ∴RP=RQ ， ∴RQ=AR ，

∴QR=

1

2 AQ=5t, 即d=5t;

（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，

∴四边形NTOS 是正方形，

则TQ=TR=

1522QR t = ， ∴111515

1022224

NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）

（） ， 分两种情况，

若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），

点N 在直线1

32

y x =-+ 上， 则1

32

n n -=-

+ ， 解得：n=-6，

故N （-6，6），NT=6， 即

15

64

t = ， 解得：85t =

; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：1

32

n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，

即

15

24

t =, 解得：t=8

15

∴当 t =85，或8

15

，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。

点睛：此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用。

7．如图1，四边形ABCD 中，

、

为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点

A 、

B 重合），EF ∥A

C 交BC 于点F ，FG ∥B

D 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接H

E ．记四边形EFGH 的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD 为“四边形”， 此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为 ．

（1）等腰梯形 （填“是”或 “不是”）“四边形”； （2）如图3，是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，，点为

上的一动

点，将△

沿

的中垂线翻折，得到△

．当点运动到某一位置时，以、、、

、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有 个． 【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个． 【解析】

试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可； （1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；

（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断. 矩形ABCD 中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10； （1）等腰梯形是“四边形”；

（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“

四边形”最多，最多有5个. 考点：动点问题的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

8．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，45ABC ∠=?，12BC cm =，半圆O 的直径

12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，

点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ?的重叠部分的面积为(

)2

S cm

．

（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为

_________；MN 的最小值为________．

（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ?重叠部分的面积

S ；

（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切？

【答案】（1）24cm ，()

926-cm ；（2）2

(189)cm π+；（3）0x =或6x =或

932x =-

【解析】 【分析】

（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON

AB ⊥于N ，与半圆交于点

M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，

2

61218()92()OB OC CB cm ON BN OB cm =+=+====，所以926()MN ON OM cm =-=-；

（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，

2901

6669183602

BOH HOC S S S ππ?=+=

?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，262OB OH ==，1262OC BC OB =-=-，移动的距离为

612621862()cm +-=-，运动时间为1862

932x -=

=-（秒)． 【详解】

解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=

如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，

MN ON OM =-，

45ABC ∠=?， 45NOB ∴∠=?，

在Rt ONB ?中，61218()OB OC CB cm =+=+= 2

92()ON BN cm ∴==

=，

926()MN ON OM cm ∴=-=-，

故答案为24cm ，(926)cm -；

（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，

设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．

BC 为直径， 90CHB ∴∠=?， 45ABC ∠=?

45HCB ∴∠=?，

HC HB ∴=，

OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，

2901

6669183602

BOH HOC S S S ππ?=+=

?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12， 0x ∴=（秒)或6（秒)；

当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，

连接OH ，则OH AB ⊥，6OH = 45B ∠=?，90OHB ∠=?， 262OB OH ∴=， 1262OC BC OB =-=-，

移动的距离为61221862()cm +-=-， 运动时间为1862

932x -=-)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切． 【点睛】

本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.

9．△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接AE ．

（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；

（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为2，求线段MN的长．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）6

MN

【解析】

【分析】

（1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后得到

2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，即可得到结论；

（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；

（3）连接HG、BM．由三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，则∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后得到∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，则OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S△OHF=S△OHG=a，则S△FHG=2a，S△BHG=4a，然后由S四边形BHOG2，可求得2，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形

的性质可得到2x，然后依据S△BHG=1

2

2，可求得x=2，故此可得到HB、

GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．【详解】

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∴∠BAC+2∠C=180°．

∵BD⊥AC，

∴∠ADE=90°．

∴∠E+∠CAE=90°．

∴2∠CAE+2∠E=180°．

∵∠E=∠ACB，

∴2∠CAE+2∠ACB=180°．

∴∠BAC=2∠CAE．

（2）连接OB、OC．

∵AB=AC ，AO=AO ，OB=OC ， ∴△ABO ≌△ACO ． ∴∠BAO=∠CAO ． ∵∠BAC=2∠CAE ， ∴∠BAO=∠CAE ． 在△ABF 和△ACE 中，

ABF ACE AB AC

BAF CAE ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△ABF ≌△ACE ． ∴BF=CE ．

（3）连接HG 、

BM ．

∵AB=AC ，∠BAO=∠CAO ， ∴AG ⊥BC ，BG=CG ． ∵BH=DH ，

∴HG 是△BCD 的中位线． ∴HG ∥CD ． ∴∠GHF=∠CDE=90°． ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ．

∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°， ∴∠FHO=∠AFD=∠HFO ． ∴HO=OF ．

∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°， ∴∠OGH=∠OHG ．

∴OF=OG ． ∵OM=OC ，

∴四边形MFCG 是平行四边形． 又∵MC 是圆O 的直径， ∴∠CBM=90°． ∴四边形MFGB 是矩形． ∴MB=FG ，∠FMB=∠AFN=90°． ∵MF ∥BC ， ∴△MFH ∽△CBH ．

∴

1

2HF MF BH CB ==． ∴HF ：HD=1：2． ∴HF=FD ．

在△ADF 和△GHF 中，

AFD GFH ADF GHF FH FD ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ADF ≌△GHF ． ∴AF=FG ． ∴MB=AF ．

在△MNB 和△NAF 中，

90BMF AFN ANF BNM MB AF ∠=∠=???

∠=∠??=?

， ∴△MNB ≌△NAF ． ∴MN=NF ．

设S △OHF =S △OHG =a ，则S △FHG =2a ，S △BHG =4a ， ∴S 四边形BHOG

． ∴

． 设HF=x ，则BH=2x ．

∵∠HHG=∠GFB ，∠GHF=∠FGB ， ∴△GFH ∽△BFG ． ∴

HF GH HG BH =，即2x HG

HG x

=． ∴

． ∴S △BHG =

12BH?HG=1

2

，