第四章 指数函数与对数函数
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。
高中数学必修一新教材第四章指数函数与对数函数
第四章指数函数与对数函数4.1指数第1课时根式1．根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)n为奇数时，na n＝a.(2)n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎨⎧a，a≥0，－a，a<0.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根．思考：(na )n 中实数a 的取值范围是任意实数吗？ 提示：不一定，当n 为大于1的奇数时，a ∈R ； 当n 为大于1的偶数时，a ≥0.1.481的运算结果是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．±32．m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2 B.5m C.6m D.5－m 3．下列说法正确的个数是( )①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，na 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．若x 3＝－5，则x ＝________. n 次方根的概念问题【例1】 (1)27的立方根是________．(2)已知x 6＝2 019，则x ＝________. (3)若4x ＋3有意义，则实数x 的取值范围为________．n 次方根的个数及符号的确定(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数； (2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号.1．已知a ∈R ，n ∈N *，给出下列4个式子：①6(－3)2n ；②5a 2；③6(－5)2n ＋1；④9－a 2，其中无意义的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个利用根式的性质化简求值【例2】 化简下列各式：(1)5(－2)5＋(5(－2))5；(2)6(－2)6＋(62)6；(3)4(x ＋2)4.正确区分n a n 与(na )n(1)(n a )n 已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性可知a 的范围； (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性．2．若9a 2－6a ＋1＝3a －1，求a 的取值范围． 有限制条件的根式的运算[探究问题]1．当a >b 时，(a －b )2等于多少？ 提示：当a >b 时，(a －b )2＝a －b . 2．绝对值|a |的代数意义是什么？ 提示：|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x ＝________. (2)若－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [思路点拨] (1)由x <0，先计算|x |及x 2，再化简． (2)结合－3<x <3，开方、化简，再求值．带条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.1．注意n a n 同(na )n 的区别．前者求解时，要分n 为奇数还是偶数，同时要注意实数a 的正负，而后者(n a )n ＝a 是恒等式，只要(na )n 有意义，其值恒等于a .2．一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数或偶数这两种情况．1．思考辨析(1)实数a 的奇次方根只有一个．( )(2)当n ∈N *时，(n－2)n ＝－2.( ) (3)(π－4)2＝π－4.( ) 2．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±1023.(π－4)2＋3(π－3)3＝________.4．已知－1<x <2，求x 2－4x ＋4－x 2＋2x ＋1的值．第2课时 指数幂及运算1．分数指数幂的意义思考：在分数指数幂与根式的互化公式a m n＝na m中，为什么必须规定a>0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝a m n＝0，无研究价值．②若a<0，a m n＝na m不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.2．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．1．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2 C．(a－1)0＝1 D．(－a2)3＝a62．425等于()A ．25 B.516 C.415 D.543．已知a >0，则a －23等于( ) A.a 3 B.13a 2C.1a 3D ．－3a 24．(m 12)4＋(－1)0＝________.根式与分数指数幂的互化【例1】 将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)a a (a >0)；(2)13x (5x 2)2；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4b－23－23(b >0)．根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化： (1)a 3·3a 2；(2)a －4b23ab 2(a >0，b >0)．利用分数指数幂的运算性质化简求解【例2】 化简求值：指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2．(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5；(2)化简：3a 72a －3÷3a －8·3a 15÷3a －3·a －1(a >0)．指数幂运算中的条件求值[探究问题]1.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2存在怎样的等量关系？ 提示：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.2．已知a ＋1a 的值，如何求a ＋1a 的值？反之呢？提示：设a ＋1a＝m ，则两边平方得a ＋1a ＝m 2－2；反之若设a ＋1a ＝n ，则n ＝m 2－2，∴m ＝n ＋2.即a ＋1a＝n ＋2. 【例3】 已知a 12＋a －12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2. [思路点拨]a 12＋a －12＝4――――→两边平方得a ＋a －1的值――――→两边平方得a 2＋a －2的值1．在本例条件不变的条件下，求解决条件求值的思路(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()(4)a m n可以理解为mn个a.()2．把根式a a化成分数指数幂是() A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a323．已知x12＋x－12＝5，则x2＋1x的值为()A．5 B．23 C．25 D．274.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质思考1：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ 提示：指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0<a <1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？ 提示：指数函数值随自变量的变化规律．1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2x D ．y ＝3－x 2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D3．若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝x 134．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________． 指数函数的概念【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上；(3)a x的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________．指数函数的图象的应用【例2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到：(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1；(4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.指数函数的定义域、值域问题[探究问题]1．函数y＝2x2＋1的定义域与f(x)＝x2＋1的定义域什么关系？提示：定义域相同．2．如何求y ＝2x 2＋1的值域？提示：可先令t ＝x 2＋1，则易求得t 的取值范围为[1，＋∞)，又y ＝2t 在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t ≥2，所以y ＝2x 2＋1的值域为[2，＋∞)．【例3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－3x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x ＋2x ＋1＋2.[思路点拨] 函数式有意义―→原函数的定义域 ――→指数函数的值域原函数的值域1．若本例(1)的函数换为“y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1”，求其定义域． 2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x ≤2”，再求函数的值域．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝a f (x )的值域的求解方法如下： (1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．3．形如y ＝f (a x )的值域，要先求出u ＝a x 的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x )的值域．1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0且a ≠1)这一结构形式．2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．由于指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的定义域为R ，所以函数y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．1．思考辨析(1)y ＝x 2是指数函数．( ) (2)函数y ＝2－x 不是指数函数．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( )2．如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是()A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c3．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________．4．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？第2课时 指数函数的性质的应用利用指数函数的单调性比较大小【例1】 比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a 1.1与a 0.3(a >0且a ≠1)．比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.(4)当底数含参数时，要按底数a >1和0<a <1两种情况分类讨论.1．比较下列各值的大小：⎝ ⎛⎭⎪⎫4313，223，⎝⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫3412.利用指数函数的单调性解不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，a ≠1)，求x 的取值范围．1．利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．2．解不等式a f (x )>a g (x )(a >0，a ≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即a f (x )>a g (x )⇔⎩⎨⎧f (x )>g (x )，a >1，f (x )<g (x )，0<a <1.2．若ax ＋1>⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 5－3x(a >0且a ≠1)，求x 的取值范围． 指数型函数单调性的综合应用[探究问题]1．试结合图象，分析y ＝2－x ，y ＝2|x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的单调性，并写出相应单调区间．提示：减区间为(－∞，＋∞)增区间为(0，＋∞)减区间为(－∞，0)减区间为(－∞，＋∞)2．结合探究1，分析函数y ＝2|x |与函数y ＝|x |的单调性是否一致？ 提示：y ＝2|x |的单调性与y ＝|x |的单调性一致．3．函数y ＝a －x 2(a >0，且a ≠1)的单调性与y ＝－x 2的单调性存在怎样的关系？ 提示：分两类：(1)当a >1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性一致；(2)当0<a <1时，函数y ＝a －x 2的单调性与y ＝－x 2的单调性相反． 【例3】 判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．[思路点拨] 令u ＝x 2－2x ―→函数u (x )的单调性 ―→函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u 的单调性――→同增异减函数f (x )的单调性把本例的函数改为“f (x )＝2－x 2＋2x ”，求其单调区间．函数y＝a f(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性.1．比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性．(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m<c且c<b n，则a m<b n；若a m>c且c>b n，则a m>b n.2．解简单指数不等式问题的注意点(1)形如a x>a y的不等式，可借助y＝a x的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论．(2)形如a x>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝a x的单调性求解．(3)形如a x>b x的不等式，可借助图象求解．3．(1)研究y＝a f(x)型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1.当a>1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相同．当0<a<1时，y＝a f(x)与f(x)单调性相反．(2)研究y＝f(a x)型单调区间时，要注意a x属于f(u)的增区间还是减区间.1．思考辨析(1)y＝21－x是R上的增函数．()(2)若0.1a>0.1b，则a>b.()(3)a，b均大于0且不等于1，若a x＝b x，则x＝0.()(4)由于y＝a x(a>0且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数．()2．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1) 3．下列判断正确的是( )A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．π2＜π 2D ．0.90.3＞0.90.5 4．已知函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19. (1)比较f (2)与f (b 2＋2)的大小； (2)求函数g (x )＝ax 2－2x (x ≥0)的值域．4.3 对数 4.3.1 对数的概念1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a 的范围是a >0，且a ≠1.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a>0，且a≠1)．(3)log a a＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？提示：由对数的定义：a x＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x ＝log a N时，不存在N≤0的情况．1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log22＝M D．log2a＝M2．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3 C．9 D．273．在b＝log a(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<0 B．0<a<1或1<a<5 C．0<a<1 D．1<a<54．ln 1＝________，lg 10＝________.指数式与对数式的互化【例1】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：(1)2－7＝1128；(2)log1232＝－5；(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝19；(2)⎝⎛⎭⎪⎫14－2＝16；(3)log1327＝－3; (4)log x64＝－6.利用指数式与对数式的关系求值【例2】求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x.求对数式log a N(a>0，且a≠1，N>0)的值的步骤(1)设log a N＝m；(2)将log a N＝m写成指数式a m＝N；(3)将N写成以a为底的指数幂N＝a b，则m＝b，即log a N＝b.2．计算：(1)log9 27；(2)log 43 81；(3)log354625.应用对数的基本性质求值[探究问题]1．你能推出对数恒等式a log a N＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？提示：因为a x＝N，所以x＝log a N，代入a x＝N可得a log a N＝N.2．若方程log a f(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程log a f(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)提示：若log a f(x)＝0，则f(x)＝1；若log a f(x)＝1，则f(x)＝a.【例3】设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13 C．100 D．±100(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．[思路点拨](1)利用对数恒等式a log a N＝N求解；(2)利用log a a＝1，log a1＝0求解．1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－12的值．1．利用对数性质求解的两类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c 的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质a log a N＝N与log a a b＝b的作用(1)a log a N＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)log a a b＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．1．对数的概念：a b＝N⇔b＝log a N(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．3．对数恒等式a log a N＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.1．思考辨析(1)log a N是log a与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．() 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg 1＝0 B．27－13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3 D．log55＝1与51＝53．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝________. 4．求下列各式中的x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2 x ＝－23 (3)x ＝log 2719； (4)x ＝log 1216.4.3.2 对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．思考：当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？提示：不一定． 2．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c b log ca .1．计算log 84＋log 82等于( ) A ．log 86 B ．8 C ．6 D ．12．计算log510－log52等于() A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 3．log23·log32＝________.对数运算性质的应用【例1】计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645(用a，b表示)．(变结论)在本例1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log an b m＝m n log a b ，log a b ＝1log ba 等．2．求值：(1)log 23·log 35·log 516；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a ＝3b ，则ab 等于多少？提示：设2a ＝3b ＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，∴ab ＝log 23. 2．对数式log a b 与log b a 存在怎样的等量关系？ 提示：log a b ·log b a ＝1， 即log a b ＝1log ba .【例3】 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值．应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.1．应用对数的运算法则，可将高一级(乘、除、乘方)的运算转化为低一级(加、减、乘)的运算．2．换底公式反映了数学上的化归思想，其实质是将不同底的对数运算问题转化为同底的对数运算．3．熟练掌握对数的运算法则，注意同指数运算法则区别记忆．1．思考辨析(1)log2x2＝2log2x.()(2)log a[(－2)×(－3)]＝log a(－2)＋log a(－3)．()(3)log a M·log a N＝log a(M＋N)．()(4)log x2＝1log2x.()2．计算log92·log43＝()A．4B．2 C.12 D.143．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.ba B.a＋ba C．ab D．a＋b4．计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.4.4对数函数第1课时对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y ＝2log 3x ，y ＝log 3(2x )是对数函数吗？ 提示：不是，其不符合对数函数的形式． 2．对数函数的图象及性质提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”． 3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值为( ) A ．5 B.15 C.1e D.122．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________． 对数函数的概念及应用【例1】 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)； ⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__________.判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 对数函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．求对数型函数的定义域时应遵循的原则 (1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．对数函数的图象问题[探究问题]1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0.2．函数y＝a x与y＝log a x(a>0且a≠1)的图象有何特点？提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．【例3】(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象为()A B C D(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．1．把本例函数图象的变换规律(1)一般地，函数y ＝f (x ±a )＋b (a ，b 为实数)的图象是由函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左或向右平移|a |个单位长度，再沿y 轴向上或向下平移|b |个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y ＝f (|x －a |)的图象是关于直线x ＝a 对称的轴对称图形；函数y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象在f (x )≥0的部分相同，在f (x )<0的部分关于x 轴对称.1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a >0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R .( )(2)函数y ＝log a (x ＋2)恒过定点(－1,0)．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 2．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x 3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，53 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围．第2课时 对数函数及其性质的应用比较对数值的大小【例1】 比较下列各组值的大小：(1)log 534与log 543；(2)log 132与log 152；(3)log 23与log 54.比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.1．比较下列各组值的大小：(1)log 230.5，log 230.6；(2)log 1.51.6，log 1.51.4； (3)log 0.57，log 0.67；(4)log 3π，log 20.8. 解对数不等式【例2】 已知函数f (x )＝log a (x －1)，g (x )＝log a (6－2x )(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数φ(x )＝f (x )＋g (x )的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．[思路点拨](1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．常见的对数不等式的三种类型(1)形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如log a x＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝log a x的单调性求解；(3)形如log a x＞log b x的不等式，可利用图象求解.2．(1)已知log a 12>1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．对数函数性质的综合应用[探究问题]1．类比y＝a f(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝log12(2x－1)的单调性吗？提示：形如y＝a f(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log12(2x－1)由函数y＝log12t及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>12，结合“同增异减”可知，y＝log12(2x－1)的减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2．如何求形如y＝log a f(x)的值域？提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0<a<1两种情况，借助y＝log a x的单调性求函数y＝log a f(x)的值域．【例3】(1)已知y＝log a(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为() A．(0,1)B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞)(2)函数f(x)＝log 12(x2＋2x＋3)的值域是________．1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．1．思考辨析(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．()(2)y＝log 12x2在(0，＋∞)上为增函数．()(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．()(4)函数y＝log 12(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．()2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b3．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式log a(3x＋1)<log a(7－5x)的解集；(3)若函数y＝log a(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．第3课时不同函数增长的差异三种函数模型的性质1．已知变量y ＝1＋2x ，当x 减少1个单位时，y 的变化情况是( ) A ．y 减少1个单位 B ．y 增加1个单位 C ．y 减少2个单位 D ．y 增加2个单位2．下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝e x B ．y ＝ln x C ．y ＝2x D ．y ＝e －x3．某工厂8年来某种产品总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________． 几类函数模型的增长差异【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )A ．y ＝2 019xB ．y ＝2019C ．y ＝log 2 019xD ．y ＝2 019x (2)下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度不变D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】 函数f (x )＝2x 和g (x )＝2x 的图象如图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＜x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2 019)与g (2 019)的大小．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.2．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y ＝kx ＋b (k ≥0)、指数函数y ＝a x (a >1)、对数函数y ＝log b x (b >1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.。
人教高中数学必修一A版《对数》指数函数与对数函数说课复习(对数的概念)
第四章 指数函数与对数函数
将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4; (2)log127＝－3；
3
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
(3)43＝64; (4)14－2＝16. 解：(1)由 log216＝4 可得 24＝16.
(2)由
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
(3)设 x＝lg1000，则 10x＝1000＝103，
所以 x＝3，
即 lg1000＝3.
(4)设 x＝lg0.001，则 10x＝0.001＝10－3，所以 x＝－3，即 lg0.001
＝－3.
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
利用对数的性质求值
课件
课件
课件
课件
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
本部分内容讲解结束
栏目 导引
4.3 对 数
第二课时 对数的运算
课件
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数的运算 掌握对数的运算性质，能运用运算性 数学运算
■名师点拨 logaN 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可 分开书写．
人教高中数学必修一A版《对数函数》指数函数与对数函数说课复习(对数函数的概念、图象及性质)
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
a＞1
性质
定义域 值域 定点
单调性
_(_0_，__＋__∞__) _
R
_(_1_，__0_)__，即 x＝__1__时，y＝__0__
在(0，＋∞)上是
_减__函__数___
在(0，＋∞)上是
_增__函__数___
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨
________．
解析：因为(a －4a＋4)·log x 是对数函数，则 a －4a＋4＝1，得 2 a
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
2
a＝1 或 a＝3.由于 a>0，a≠1，则 a＝1 舍去，即 a＝3.
答案：3
3．若对数函数 f(x)＝logax 的图象过点(2，1)，则 f(8)＝________． 解析：依题意知 1＝loga2，所以 a＝2，所以 f(x)＝log2x，故 f(8) ＝log28＝3.
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件
课件
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y＝1 与所给
图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，
自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数
的大小．
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教
第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质 考点1对数函数的概念1.(2019·某某某某一中高一期中)与函数y =10lg(x -1)相等的函数是()。
A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A 解析:y =10lg(x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -12=x -1(x >1),故选A 。
2.(2019·某某公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是()。
A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析:由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。
3.(2019·某某南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为()。
A.lg101B.1 C.2D.0 答案:C解析:f (f (10))=f (lg10)=f (1)=12+1=2。
4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。
A.y =log a (2x )B.y =lg10xC.y =log a (x 2+x )D.y =ln x 答案:D解析:由对数函数的定义,知D 正确。
5.(2019·某某调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)=。
答案:43解析:设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=log √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。
6.(2019·某某中原油田一中月考)已知函数f (x )=log 3x ,则f (√3)=。
第4章 指数函数与对数函数(二)(含答案)
2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22xy -=B．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D4．已知a ＝512，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．18.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109310.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.14．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）16．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101xf x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101xg x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）22.（本小题满分12分）已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xxa f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x【答案】D 【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =，故选D ．2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22x y -=B ．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=【答案】A 【解析】A ，y ＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0，y (－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y [0,1)．C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D ，因为11x +∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝113x +的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．选A ．3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D【答案】B 【解析】由2log 3x =知328x ==，所以()1131331222x---===，故选B ．4．已知a＝12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n【答案】D 【解析】∵0＜512-＜1∴f （x ）=a x 在R 上单调递减，又∵f （m ）＞f （n ），∴m ＜n ，故选D ．5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【答案】D 【解析】作出函数()y f x =和y k =的图象，如图所示由图可知当方程()f x k =有两不等实数根时，则实数k 的取值范围是(0,1]故选D6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<【答案】B 【解析】因为函数x y a =的图像在第一、二象限内，所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将x y a =向下移动，因为当01a <<时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当1a >时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故1a >，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故11m -<-，0m <，故选：B ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．1【答案】A 【解析】因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数x y e =与4y x=交点P 的横坐标；又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标；因为函数x y e =与ln y x =互为反函数，所以函数x y e =与ln y x =图像关于直线y x =对称，又4y x=的图像关于直线y x =对称，因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有1221x y x y =⎧⎨=⎩，因此12114==x x x y .故选：A8.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】：：易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <，因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==，又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <，综上所述：a b c <<.故选：A ．9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ．10.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D ．12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<【答案】D 【解析】依题意可得，12121,log ,()2xy x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.【答案】1+-m n m【解析】因为31log 10=n，所以11lg 3=n ，得到lg3n =.5lg 6lg 2lg 3log 6lg 5lg10lg 21++===--m nm .故答案为：1+-m n m14．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.【答案】2【解析】设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫++=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为215.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）【答案】10【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14，则1121000n x x ⋅<，即10.0012n<，由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =，故答案为：10.16．若函数()2,1,x a x a f x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(](],10,1-∞- 【解析】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-；②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤；③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞- .故答案为：(](],10,1-∞- .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．【解析】解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0由零点存在性定理，f (x )在(0,2)上存在实根又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )有且只有一个零点．解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g (x )＝2－2x 和h (x )＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f (x )有且只有一个零点．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为[2,16]，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.【答案】（1）1[,4]2；（2）[1,3]-【解析】（1）因为函数()2xf x =的值域为⎤⎦216x ≤≤，所以142x ≤≤，即函数()f x 的定义域1,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（2）令2log t x =，因为142x ≤≤，所以21log 2x -≤≤，即12t -≤≤，所以函数()y g x =，x A ∈可以化为()22u t t t =-（12t -≤≤），所以()()min 11u t u ==-，()()max 13u t u =-=，即函数()y g x =，x A ∈值域为[]1,3-.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【解析】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f .（2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <，∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101x f x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101x g x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）定义域为()0,x ∈+∞.值域为R .（Ⅱ）0t ≥【解析】（Ⅰ）∵1010x ->，∴01010x >，∴()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.又∵1010x ->，∴()f x 的值域为R .（Ⅱ）()()()()()lg lg 1101l 0101g 1x x xg x f x =-+=--+1012lg lg 1101101x x x ⎛⎫-⎛⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.∵100x >，∴1011x +>，∴202101x <<+，∴220101x -<-<+，∴2011101x <-<+，∴2lg 10101x ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，∴()g x 的值域为(),0-∞.∵关于x 的不等式()g x t <恒成立，∴0t ≥.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年.【解析】解：（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a +=所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216m a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈故至少还需要26年22.（本小题满分12分）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．【答案】（1）20；（2）见答案（3）1008【解析】（1）函数x y a =（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，∴220a a +=，得4a =或5a =-（舍去）．（2）由（1）知4()42xx f x =+，∴1144444()(1)442424224x x xx x x x x f x f x --+-=+=+++++2044421422444242x x x x x x =+=+=+⋅+++．（3）由（2）知12016(()120172017f f +=，22015()(120172017f f +=， ，10081009()(120172017f f +=，∴123201612016(()(([()(201720172017201720172017f f f f f f ++++=+ 2201510081009[(()][(()]11110082017201720172017f f f f +++++=+++=。
4.3 对数的概念及其运算课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第四章指数函数与对数函数
例1 将下列指数式、对数式互化．
(1)2－2＝14；
(2)log3 81＝4.
【分析】 本题考查指数式与对数式互化：ab＝N⇔loga N＝b(a＞0 且
a≠1)，其中底数不变． 【解】 (1)将指数式 2－2＝14化为对数式 log2 14＝－2；
(2)将对数式 log3 81＝4 化为指数式 34＝81.
＋∞)，故选C.
2．下列计算正确的是( C )
A．(－1)－1＝1
B．lg a＋lg b＝lg(a＋b)
C．(－x7)÷(－x3)＝x4 D. a2＋1＝a＋1
【解析】 显然 D 选项错误；∵(－1)－1＝－1，∴A 错误；∵lg a＋lg b
＝lg(a·b)，∴B 错误；
(－x7)÷(－x3)＝x7－3＝x4，∴C 正确，故选 C.
4.3 对数的概念及其运算
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．对数的定义 若ab＝N(a＞0且a≠1)，则b叫做以a为底N的对数，即loga N＝b.其中a 叫做底数，N叫做真数． (1)底数a的取值范围是a＞0且a≠1；真数的取值范围是N＞0； (2)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，log10 N简记为lgN； (3)自然对数：以无理数e＝2.71828……为底的对数叫做自然对数， loge N简记为ln N.
5．换底公式 loga b＝llooggcc ba(a＞0，b＞0，c＞0 且 a≠1，c≠1)；特别地 c＝10，loga b ＝llgg ab. 结论：(1)loga b·logb a＝1；loga b＝log1b a； (2)logambn＝mn loga b；loganbn＝loga b.
学一学
2（1－m） C. m
《对数》指数函数与对数函数PPT教学课件(第二课时对数的运算)
第二课时 对数的运算
第四章 指数函数与对数函数
考点
学习目标
核心素养
对数的运算 掌握对数的运算性质，能运用运算性 数学运算
性质 质进行对数的有关计算
了解换底公式，能用换底公式将一般
换底公式
数学运算
对数化为自然对数或常用对数
能灵活运用对数的基本性质、对数的 对数运算的
运算性质及换底公式解决对数运算 综合问题
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
■名师点拨 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意 义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5) 是错误的． 2．换底公式
logcb logab＝__l_o_g_ca_____ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
2. 1 1＋ 1 1＝________． log149 log513 11
解析：log14119＋log11513＝llgg419＋llgg513＝－ －22llgg23＋－ －llgg53＝llgg23＋llgg53＝lg13＝ log310. 答案：log310
)
A．8
B．6
C．－8
D．－6
解析：选 C.log219·log3215·log514＝log23－2·log35－2·log52－2＝ －8log23·log35·log52＝－8.
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
4．已知
a2＝1861(a>0)，则
log2a＝________． 3
解析：由 a2＝1861(a>0)得 a＝49， 所以 log3249＝log23232＝2. 答案：2
高中数学第四章 指数函数与对数函数之函数的应用(二)(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)
4.5 函数的应用(二)思维导图常见考法考点一 零点的求解【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数()f x ax b =+的零点是2(0a ≠)，则函数2()g x ax bx=+的零点是( ) A ．2 B ．2和0C ．0D ．2-和0【答案】B【解析】由条件知(2)0f =，∴2b a =-，∴2()(2)g x ax bx ax x =+=-的零点为0和2.故选B.【举一反三】1．(2020·全国高三课时练习(理))已知函数f (x )＝22111log 1x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，，，则函数f (x )的零点为( )A ．，0B ．－2，0C ．D ．0【答案】D【解析】当1x ≤时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当1x >时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12， 又因为1x >，所以此时方程无解.综上所述，函数f (x )的零点只有0.故选：D（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点. （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点.2.已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________．【答案】0【解析】当1x ≤时，由()210xf x =-=，解得0x =；当1x >时，由2()1log 0f x x =+=，解得12x =，又因为1x >，所以此时方程无解． 综上，函数()f x 的零点为0.考点二 零点区间的判断【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C 【解析】可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ．【举一反三】1．(2020·宁县第二中学高二期中(文))函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．(-2，-1) B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B【解析】因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0)，选B ．2．(2020·甘肃省岷县第一中学高二月考(文))函数1()22xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在区间为( )判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】()12125f -=++=，()01023f =-+=，()1311222f =-+=， ()1122244f =-+=，()1733288f =-+=-，()()230f f ∴⋅<， 由零点存在定理可知：()f x 零点所在区间为()2,3.故选：D .3．(2020·浙江衢州·高一期末)函数()24xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()1,0-B ．()2,3C ．()0,1D ．()1,2【答案】D 【解析】()19114022f -=--=-<，()010430f =+-=-<，()121410f =+-=-<，()242420f =+-=>，()38347f =+-=()()120f f ∴⋅< ()f x ∴零点所在区间为()1,2故选：D考点三 零点个数的判断【例3】(1)(2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末(文))函数()212log 6y x x =-++的零点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(2)(2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中)方程0lnx x +=的实数解的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】(1)C(2)A【解析】(1)令0y =，则()212log 60x x -++=，即250x x -++=，又Δ1200=+>，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：C(2)方程0lnx x +=的实数解的个数，即为方程lnx x =-的实数解的个数， 即为函数ln y x =与函数y x =-图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数ln y x =与函数y x =-的图象，如图所示：只有一个交点，所以方程0lnx x+=的实数解的个数为1故选：A【举一反三】1．(2020·四川内江·高三三模(理))函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为_______.【答案】2【解析】令()()2ln140xf x x=⋅+-=，则()24ln122xxx-+==，在同一直角坐标系中作出函数()ln1y x=+与22xy-=的图象，如图：由图象可知，函数()ln1y x=+当1x→-时，()ln1y x=+→+∞则与22xy-=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln122xxx-+==有两个不同实根，所以函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为2.判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y ＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．故答案为：2.2．(2020·浙江高一课时练习)方程21lg22x x-=的实根的个数为________．【答案】2个【解析】方程21lg22x x-=的实根个数可转为函数2122y x=-和lgy x=的交点个数，在同一坐标系中作出2122y x=-和lgy x=的图像，如图，可得交点个数为2个，故方程的实根个数是2个，故答案为：2个3.已知01a<<，则函数logxay a x=-的零点的个数为______.【答案】2【解析】函数logxay a x=-的零点的个数即为方程logxaa x=的解的个数，也就是函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数.画出函数图象如图所示，观察可得函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数为2，从而函数logxay a x=-的零点的个数为2考点四 根据零点求参数【例4】．(2020·山西应县一中高二期中(文))已知关于x 的方程21xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1]-∞- B ．(),1-∞-C ．[1,)+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】由题意,画出()2xf x m =-的图像如下图所示:由图像可知,若方程21x m -=有两个不等实根则函数图像在y 轴左侧的最大值大于等于1即可 所以1m 即(1,)m ∈+∞故选:D 【举一反三】1．(2020·江苏省海头高级中学高一月考)方程222(1)3110x k x k +-+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为( ) A ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(3,2)-C ．(2,3)-D ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】方程222(1)3110x k x k +-+-=中，令∆0>，得224(1)4(311)0k k --->，化简得260k k +-<，解得32k -<<，所以(3,2)k ∈-时，方程有两个不相等的实数根；故选：B. 2．(2020·内蒙古集宁一中高二月考(文))若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( ) A ．3B ．4C ．1D ．2【答案】D【解析】∵(2)4270,(3)8370,ff=+-<⎧⎨=+->⎩且()f x单调递增,∴()f x的零点所在的区间为(2,3),∴2k=.故选：D 3．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．考点五二分法【例5】(2020·福建高一期中)设()338xf x x=+-，用二分法求方程3380x x+-=在(1,2)x∈内近似解的过程中得()10f<，()1.50f>，()1.250f<，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定【答案】B【解析】()338xf x x=+-又(1.5)0,(1.25)0f f><∴(1.5)(1.25)0f f⋅<由零点存在定理可得()f x在区间(1.25,1.5)存在零点.3380x x+-=∴方程的根落在区间(1.25,1.5)故选：B．【举一反三】1．(2020·全国高一单元测试)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．C．5[2,]2-D．1[,1]2-【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为1155 [2,],[,1],[1,],[,4] 2222---.2．(2020·浙江高一单元测试)利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.149 1.5162.0 2.6393.4824.595 6.0638.010.556…0.040.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间( )A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)【答案】C【解析】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C3．(2019·海南龙华·海口一中高二月考)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是() A．B．C．D．【答案】C【解析】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)•f(b)＜0A、B中不存在f(x)＜0，D中函数不连续．故选C．考法六函数模型【例6】(2020·定远县育才学校)某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.10.041,lg20.301==)A ．2022年B ．2023年C ．2024年D ．2025年【答案】C【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元， 由题意可得：()100110%200n⨯+≥，即1.12n ≥， 两边取对数可得：lg20.3017.3lg1.10.041n >=≈，则8n ≥， 即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C . 【举一反三】1．(2020·湖北郧阳·高二月考)一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h )A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x=，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ．2．(2020·重庆)某品牌牛奶的保质期y (单位：天)与储存温度x (单位：C ︒)满足函数关系()0,1kx b y a a a +=>≠.该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天，则该品牌牛奶在24C ︒的保质期是( )A ．60天B ．70天C ．80天D ．90天【答案】C【解析】由题意可知，0270ba+=，8180k ba+=，可得8823k b kb a aa +==，所以()332482270803k b k b a a a +⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故该品牌牛奶在24C ︒的保质期是80天.故选：C3．(2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为( )(提示：31.065 1.208≈)A ．93.8万亿元B ．97万亿元C ．99.9万亿元D ．106.39万亿元 【答案】C【解析】依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%82.7 1.20899.901699.9⨯+≈⨯=≈ 故选：C4．(2020·辽宁锦州)水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y (单位2m )与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择. (参考数据：2 1.414,3 1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ )(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【答案】(1)38()()2x y x N =∈(2)原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【解析】(Ⅰ)(0,1)x y ka k a =>>的增长速度越来越快，12(0)y px q p =+>的增长速度越来越慢. (0,1)x y ka k a ∴=>>依题意应选函数则有23=18=27ka ka ⎧⎨⎩， 解得3=2=8a k ⎧⎪⎨⎪⎩ ()382x y x N ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，(Ⅱ)当0x =时，8y =该经过x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍. 有 38810002x ⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭32log 1000x ∴= lg10003lg 2=3lg3lg2=- 17.03≈ 答：原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用课件 a高一第一册数学课件
2021/12/7
第二十四页，共三十四页。
解:(1)根据题表中提供的数据,知描述该农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数,
因此用函数 Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt 中的任何一个进行描 述时都应有 a≠0,
而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格中所提供 的数据不符,
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差 距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模 的核心素养.
2021/12/7
第二十三页，共三十四页。
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
位:天)的数据如下表:
第十一页，共三十四页。
2021/12/7
解:(1)当 x=1 时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 当 x=2 时, y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2; 当 x=3 时, y=100(1+1.2%)2+100(1+2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3;… 故 y 关于 x 的函数解析式为 y=100(1+1.2%)x(x∈N*). (2)当 x=10 时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人. (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万, 即 100×(1+1.2%)x=120,
2021/12/7
第九页，共三十四页。
(3)根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数 选择适当的函数模型,这样得到的函数模型的模拟效果 较好.( )