2017-2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷

北京市西城区2018 - 2018学年度第二学期期末试卷

高一数学2018.7

试卷满分：150分考试时间：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的.

1

[,)

+∞

2

执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 11. 函数()f x =_______.

12. 在等差数列{}n a 中,245a a +=，则3a =_______.

13. 随机抽取某班6名学生，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据依次为：162，168，

170，171，179，182，那么此班学生平均身高大约为 cm ；样本数据的方差为 .

14. 设x ，y 满足约束条件2,

1,10,y x x y y ++??

???

≤≤≥ 则3z x y =+的最大值是_______.

15. 有4张卡片，上面分别写有0，1，2，3. 若从这4张卡片中随机取出2张组成一个两位

数，则此数为偶数的概率是_______.

16. 在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，则2017a =_______；

设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得100n S ≤成立的最大整数n =_______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）

在等差数列{}n a 中,12a =,3516a a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）如果2a ，m a ，2m a 成等比数列，求正整数m 的值.

18．（本小题满分13分）

北京是我国严重缺水的城市之一.为了倡导“节约用水，从我做起”，小明在他所在学

校的2000名同学中，随机调查了40名同学家庭中一年的月均用水量（单位：吨），并将月均用水量分为6组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）给出图中实数a 的值；

（Ⅱ）根据样本数据，估计小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约

有多少户；

（Ⅲ）在月均用水量大于或等于10吨的样本数据中，小明决定随机抽取2名同学家庭进行访谈，求这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组的概率.

19．（本小题满分13分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a =,1cos 4

C =-. （Ⅰ）如果3b =,求c 的值；

（Ⅱ）如果c =sin B 的值.

20．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，其中*n ∈N .

吨

a

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）若对于任意正整数n ，都有1223

1

111

n n a a a a a a λ++++

≤，求实数λ的最小值.

21．（本小题满分14分）

已知函数2

()(21)f x ax a x b =+++，其中a ，b ∈R .

（Ⅰ）当1a =，4b =-时，求函数()f x 的零点；

（Ⅱ）如果函数()f x 的图象在直线2y x =+的上方，证明：2b >； （Ⅲ）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x <．

22．（本小题满分14分）

在无穷数列{}n a 中，1a p =是正整数，且满足1

, ,

2

5, .

n

n n n

n a a a a a +??=??+?当为偶数当为奇数 （Ⅰ）当39a =时，给出p 的值；（结论不要求证明） （Ⅱ）设7p =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求150S ；

（Ⅲ）如果存在*m ∈N ，使得1m a =，求出符合条件的p 的所有值.

北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷

高一数学参考答案及评分标准

2018.7

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1. A

2. B

3. B

4. B

5. D

6. A

7. C

8. D

9. C 10. C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11. [2,2]-； 12.

5

2

； 13. 172，45； 14. 73； 15. 5

9

； 16. 4，29.

注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ,

则3512616a a a d +=+=, ………………………3分 又因为12a =，

解得2d =. ………………………5分 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ………………………7分 （Ⅱ）解：因为2a ，m a ，2m a 成等比数列，

所以2

22m m a a a =?， ………………………10分

即2(2)44m m =?，m *∈N ，

解得4m =. ………………………13分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为各组的频率之和为1，所以月均用水量在区间[10,12)的频率为 1(0.02520.0750.1000.225)20.1-?+++?=，

所以，图中实数0.120.050a =÷=. ………………………3分 （Ⅱ）解：由图可知, 样本数据中月均用水量低于8吨的频率为

(0.0250.0750.225)20.65++?=， ………………………5分

所以小明所在学校2000名同学家庭中,月均用水量低于8吨的约有0.6520001300?=(户). ………

………………7分

（Ⅲ）解：设“这2名同学中恰有1人所在家庭的月均用水量属于[10,12)组”为事件A ， 由图可知, 样本数据中月均用水量在[10,12)的户数为0.0502404??=.记这四名同学家庭分别为,,,a b c d ,

月均用水量在[12,14]的户数为0.0252402??=.记这两名同学家庭分别为,e f , 则选取的同学家庭的所有可能结果为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种， ………………………9分

事件A 的可能结果为：(,),(,),(,),(,),a e a f b e b f (,),(,),(,),(,),c e c f d e d f 共8种， ………………………11分 所以8

()15

P A =. ………………………13分

19.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， ………………………3分 得2149223()164

c =+-???-=，

解得4c =. ………………………5分

（Ⅱ）解：（方法一）由1cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C ==

.

……7分

由正弦定理

sin sin a c A C =，得sin sin a C A c ==

. ……………………10分

所以cos A ==

. 因为πA B C ++=，

所以sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+ ………………………12分

1()4-+=. ………………………13分

（方法二）由1

cos 4C =-，(0,π)C ∈，得sin C …………7分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 得2124422()4

b b =+-???-，

解得4b =，或5b =-（舍）. ………………………10分

由正弦定理sin sin b c B C =

，得sin sin b C B c ==

………………………13分

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：当1n =时，113a S ==-； ………………………1分 当2n ≥时，125n n n a S S n -=-=-， ………………………3分 因为13a =-符合上式，

所以25n a n =-*()n ∈N . ………………………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得2521n n b -=+. ………………………5分 所以12n n T b b b =++

+

31

25(21)(21)(21)n ---=++++++

31

25(222)n n ---=++

++ ………………………6分

32(14)14n n --=+-

1

(41)24

n n =-+. ………………………9分

（Ⅲ）解：

1223

1111111

1

131335

(25)(23)

n n a a a a a a n n +=-+++

+

??--+++

2111111[(1)()()]323352523n n =-+-+-++---

11

646n =--

-， ………………………11分 当1n =时，

1211

3a a =，

（注：此时1046

n <-） 由题意，得1

3

λ≥； ………………………12分 当2n ≥时， 因为1

046

n >-， 所以

1223

11111

6

n n a a a a a a +<-+++

. 因为对于任意正整数n ，都有

1223

1

11

1

n n a a a a a a λ++++

≤，

所以λ的最小值为13

. ………………………13分

21.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由2

()340f x x x =+-=，解得4x =-，或1x =.

所以函数()f x 有零点4-和1. ………………………3分 （Ⅱ）解：（方法1）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方，

所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.

即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分

所以当0x =时上式也成立，代入得2b >. ………………………8分 （方法2）因为()f x 的图象在直线2y x =+的上方， 所以2(21)2ax a x b x +++>+对x ∈R 恒成立.

即2220ax ax b ++->对x ∈R 恒成立. ………………………5分 当0a =时，显然2b >. 当0a ≠时，

由题意，得0a >，且2(2)4(2)0a a b ?=--<， ………………………6分 则24(2)40a b a ->>， 所以4(2)0a b ->，即2b >.

综上，2b >. ………………………8分

（Ⅲ）解：由题意，得不等式2

(21)20ax a x +++<，即(1)(2)0ax x ++<. …………9分

当0a =时，不等式化简为20x +<，解得2x <-； ………………………10分 当0a ≠时，解方程(1)(2)0ax x ++=，得根12x =-，21x a

=-

. 所以，当0a <时，不等式的解为：2x <-，或1x a

>-； ………………………11分 当102a <<时，不等式的解为：1

2x a

-<<-； ………………………12分 当1

2

a =

时，不等式的解集为?； ………………………13分

当12a >

时，不等式的解为：1

2x a

-<<-. ………………………14分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|2x x <-，或1

}x a >-；当0a =时，不等式的解

集为{|2}x x <-；当102a <<时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-；当1

2a =时，不等式

的解集为?；当1

2

a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<-.

22.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：36p =，或13. ………………………3分 （Ⅱ）解：由题意，17a =，

代入，得212a =，36a =，43a =，58a =，64a =，72a =，81a =，96a =，

所以数列{}n a 中的项，从第三项起每隔6项重复一次（注：39a a =）， ………5分 故150123483456

24()S a a a a a a a a a =++++

+++++

71224(638421)6384=+++++++++++ 616=.

………………………8分

（Ⅲ）解：由数列{}n a 的定义，知*n a ∈N .

设t 为数列{}n a 中最小的数，即min{}i t a i =∈N *， 又因为当n a 为偶数时，12n

n a a +=

， 所以t 必为奇数. ………………………9分 设k a t =，则15k a t +=+，25

2

k t a ++=， 所以5

2

t t +≤

，解得5t ≤. 所以{1,3,5}t ∈. ………………………10分 如果3k a t ==，

那么由数列{}n a 的定义，得18k a +=，24k a +=，32k a +=，41k a +=， 这显然与3t =为{}n a 中最小的数矛盾，

所以3t ≠. ………………………12分

如果5k a t ==， 当1k =时，5p =；

当2k ≥时，由数列{}n a 的定义，得1k a -能被5整除，…，得1a p =被5整除； 所以当且仅当*15()a p r r ==∈N 时，5t =. ………………………13分 这与题意不符.

所以当*15()a r r ≠∈N 时，数列{}n a 中最小的数1t =，

即符合条件的p 值的集合是*{|r r ∈N ，且r 不能被5整除}. …………………14分