图与网络优化模型
计算机网络中的网络拓扑建模与仿真
计算机网络中的网络拓扑建模与仿真网络拓扑建模与仿真是计算机网络领域的重要研究方向之一，它通过建立网络拓扑模型和进行仿真实验，帮助人们理解和优化计算机网络的性能。
本文将详细介绍网络拓扑建模与仿真的概念、步骤以及一些常用的方法和工具。
一、概念解释网络拓扑建模与仿真，顾名思义就是根据实际的计算机网络环境，通过建立相应的拓扑模型，并在模型上进行各种实验和仿真，以研究和评估网络的性能、安全性、可靠性等因素。
拓扑模型是对计算机网络中各个节点和连接关系的抽象描述，它可以是一个简单的逻辑图，也可以是一个复杂的三维模型。
二、网络拓扑建模与仿真的步骤1. 确定研究目标：首先需要明确研究的目标，比如分析网络的带宽利用率、评估网络的安全性等。
明确目标有助于确定需要建立的拓扑模型和进行的仿真实验。
2. 收集网络信息：通过收集网络拓扑图、设备配置信息等来获取计算机网络的详细信息。
这些信息对于建立准确的拓扑模型至关重要。
3. 构建拓扑模型：根据收集到的网络信息，可以使用拓扑建模软件或者编程语言来构建网络拓扑模型。
模型的复杂程度可以根据研究目标的不同进行调整。
4. 设定实验参数：在进行仿真实验之前，需要设定一些实验参数，比如节点之间的传输速率、链路质量、数据包大小等。
这些参数决定了实验的条件和结果。
5. 执行仿真实验：按照设定的参数，进行网络拓扑模型的仿真实验。
可以使用仿真软件或者自己编写代码来实现。
6. 收集实验数据：仿真实验完成后，需要收集实验数据并进行分析。
实验数据可以包括网络的性能指标、传输时延、丢包率等。
7. 评估和优化：根据实验数据，对网络的性能进行评估并提出优化策略。
比如调整链路带宽分配、增加网络节点等措施。
三、常用的网络拓扑建模与仿真方法和工具1. 静态建模方法：静态建模方法主要基于已有的网络信息和配置数据，通过建立逻辑图或者数据结构来描述网络拓扑。
常用的工具有Microsoft Visio、Dia等。
2. 动态建模方法：动态建模方法是基于实时流量数据和网络状态信息进行建模，能更准确地描述网络的实际状态。
基于VGG网络模型的图像分类研究
基于VGG网络模型的图像分类研究随着计算机视觉技术的不断发展，图像分类是其中最基础和重要的研究方向之一。
计算机视觉技术通过对图像的像素级别分析和处理，可以从中提取出有意义的特征，以实现对图像的分类、识别等任务。
近年来，基于深度学习的图像分类技术已经取得了长足的发展，在各种领域都有着广泛的应用。
其中，VGG网络模型是一个非常经典的深度学习模型之一，它采用了一个非常深的卷积神经网络架构，并在ImageNet大规模视觉识别竞赛中表现出了非常出色的性能。
本文将以VGG网络模型为基础，进行图像分类的研究，旨在探讨深度学习在图像分类任务中的应用。
一、VGG网络模型简介VGG网络模型是由牛津大学的Simonyan和Zisserman所提出的，它是一个比较经典的卷积神经网络模型。
VGG网络模型的主要特点在于它采用了非常深的卷积神经网络结构，网络层数在16层到19层之间。
这种非常深的网络结构可以更好地实现特征的提取和分类，从而有效地进行图像识别和分类任务。
VGG网络模型的核心结构是卷积层和池化层的交替排列。
卷积层可以有效地提取出图像的特征，包括边缘、纹理、颜色等信息，而池化层则可以将特征图的尺寸缩小，进一步提高了特征的抽象程度。
在VGG网络模型中，还采用了全连接层和softmax层，以实现分类的任务。
二、VGG网络模型的优缺点VGG网络模型在深度学习领域中具有非常高的知名度和影响力，它的优缺点也比较明显。
优点：1、较为简单的网络结构。
相对于其他深度网络模型，VGG网络模型的结构比较简单明晰，易于理解和实现。
2、非常深的网络结构。
VGG网络模型可以将网络层数增加到甚至30层以上，以进一步提高特征的抽象程度和分类的精度。
3、在ImageNet比赛中表现非常出色。
VGG网络模型在ImageNet比赛中表现非常出色，分类准确率达到了92.7%，并且还斩获了多项比赛奖项。
缺点：1、比较大的模型规模。
VGG网络模型由于采用了非常深的网络结构，导致它的参数量非常庞大，难以进行快速训练和推理。
HetGNN-3D:基于异构图神经网络的3D目标检测优化模型
HetGNN-3D：基于异构图神经网络的3D目标检测优化模型汪明明;陈庆奎;付直兵【期刊名称】《小型微型计算机系统》【年(卷),期】2024(45)2【摘要】3D感知是自动驾驶场景的核心问题,传感器融合可以综合利用激光雷达和摄像机的优点以达到更高的3D目标检测准确率.传感器融合涉及点云到图像对准问题,预先对传感器标定可以得到点到图像位置的投影关系,然而这种对准方式受传感器相对位置偏移与采集时间偏移影响而在干扰下对模型产生负面影响.针对该问题,本文把场景中实体在各个传感器下的不同表达作为不同对象,以对象为节点建立包含两类节点与三类边的异构图描述该场景,并提出了基于该异构图的3D目标检测优化模型HetGNN-3D.该模型通过图结构捕获对象间潜在联系并找到点云对象节点与图像对象节点间对应关系,从而减弱干扰带来的影响.HetGNN-3D包含图初始化、消息传递、图读出三大模块.图初始化模块使用基于点云的3D目标检测模型的输出和基于图像的2D目标检测模型的输出建立对象级异构图.消息传递模块针对异构图特性分类聚合与更新消息.图读出包含用于对象关系预测的边读出与属于同一实体的对象子图读出,然后基于对象子图得到3D目标检测结果.在nuScenes数据集的实验表明,HetGNN-3D有效融合点云信息与图像信息优化了3D目标检测结果,此外,基于对象级异构图的边关系预测使融合过程与预先标定得到的传感器映射矩阵解耦合,从而提升了融合模型的容错性与鲁棒性.【总页数】8页(P438-445)【作者】汪明明;陈庆奎;付直兵【作者单位】上海理工大学管理学院;上海理工大学光电信息与计算机工程学院【正文语种】中文【中图分类】TP391【相关文献】1.基于图像逆投影和3D部件混合模型的目标检测2.基于IFSSD卷积神经网络的柚子采摘目标检测模型3.基于神经网络模型压缩技术的目标检测算法研究4.基于并行图神经网络的3D点云目标检测5.基于卷积神经网络的目标检测与识别模型优化因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型优化模型在数学建模中起着重要的作用。
通过优化模型，我们可以找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
本文将介绍优化模型的基本概念、常见的优化方法以及在实际问题中的应用。
让我们来了解一下什么是优化模型。
优化模型是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值的过程。
这个过程可以通过建立数学模型来描述，其中包括目标函数、约束条件以及变量的定义和范围。
在优化模型中，目标函数是我们希望最大化或最小化的指标。
它可以是一个经济指标，如利润最大化或成本最小化，也可以是一个物理指标，如能量最小化或距离最短化。
约束条件是对变量的限制，可以是等式约束或不等式约束。
变量则是我们需要优化的决策变量，可以是连续变量或离散变量。
常见的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化模型。
它可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法和内点法。
非线性规划是指目标函数和约束条件中包含非线性项的优化模型。
它的求解方法相对复杂，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是指变量取值只能是整数的优化模型。
它的求解方法包括分支定界法和割平面法等。
动态规划是一种递推的优化方法，适用于具有最优子结构性质的问题。
优化模型在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以通过优化模型来确定最佳的生产数量和生产时间，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配中，我们可以通过优化模型来确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
在交通调度中，我们可以通过优化模型来确定最短路径或最优路径，以最小化行驶时间或最大化交通效率。
优化模型还可以应用于金融投资、供应链管理、电力系统调度、网络优化等领域。
通过建立数学模型和选择合适的优化方法，我们可以在复杂的实际问题中找到最优的解决方案，提高效率和效益。
优化模型在数学建模中是非常重要的。
它通过建立数学模型和选择合适的优化方法，帮助我们找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
DenseNet在计算机视觉中的应用与优化
DenseNet在计算机视觉中的应用与优化1.引言在计算机视觉领域，卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，CNN）是一种常见且有效的深度学习模型。
近年来，DenseNet（密集连接网络）作为CNN的一种新架构，开始受到越来越多的关注和应用。
本文将介绍DenseNet的基本原理、在计算机视觉中的应用和相关的优化方法。
2.DenseNet的基本原理DenseNet是由Dense Block和Transition Layer组成的神经网络架构。
Dense Block由多个密集连接的层组成，每个层的输出都与前面所有层的输出相连。
这种密集连接的方式使得信息能够更好地在网络中流动，增加了网络的参数效率和特征重用能力。
而Transition Layer则用于控制网络的维度，通过减小特征图的通道数量来降低网络复杂度。
3.DenseNet在计算机视觉中的应用3.1 图像分类DenseNet在图像分类任务中表现出色。
通过密集连接的方式，网络可以充分利用输入和中间层之间的特征信息，从而提高特征的传递效率和网络的性能。
通过堆叠多个Dense Block，网络可以进一步加深，提高模型的复杂度和表达能力。
这使得DenseNet在大规模图像分类数据集上取得了很好的效果，超过了传统的卷积神经网络模型。
3.2 目标检测DenseNet也可以应用于目标检测任务。
目标检测需要同时进行目标定位和分类，因此需要处理不同尺度的特征。
DenseNet网络可以通过不同层之间的连接来获得丰富的多尺度特征，从而更好地捕捉目标的细节和上下文信息。
一些改进版的DenseNet还引入了注意力机制，在目标检测中进一步提升了性能。
3.3 语义分割在语义分割任务中，DenseNet也展现出了良好的性能。
密集连接的特点使得网络可以更好地保留和传递图像中的语义信息。
DenseNet可以通过自编码器结构或者融合多尺度特征来实现像素级别的分割。
关于供应链中物流网络的优化模型
汇报人： 2023-12-26
目录
• 物流网络优化模型概述 • 物流网络优化模型的构建 • 物流网络优化模型的算法 • 物流网络优化模型的应用 • 物流网络优化模型的挑战与展
望
01
物流网络优化模型概述
定义与特点
定义
物流网络优化模型是一种通过数学方 法和计算机技术，对物流网络进行优 化设计的模型。
结果评估
对优化方案进行评估和验证， 分析其可行性和效果。
03
物流网络优化模型的算法
启发式算法
一种基于经验和直观的算法，通常 用于解决复杂问题。
启发式算法通过模拟人类的决策过程 来寻找解决方案。它们通常采用简化 的搜索策略，快速找到“足够好”的 解，但不一定能找到最优解。
元启发式算法
01
一种更高级的启发式算法，结合 了多种启发式方法。
02
元启发式算法通过整合多种启发 式方法来提高搜索效率。它们通 常用于解决大规模、复杂的问题 ，如组合优化问题。
精确算法
一种能够找到最优解的算法。
精确算法通过穷举所有可能解来找到最优解。虽然这种方法能够保证找到最优解 ，但当问题规模较大时，计算成本会非常高。
04
物流网络优化模型的应用
制造业供应链
提高客户服务水平
优化物流网络可以更好地 满足客户需求，提高客户 服务水平，增加客户满意 度。
物流网络优化的发展历程
01
初期阶段
早期的物流网络优化主要关注运输成本最小化，通过简单的线性规划方
法进行求解。
02
发展阶段
随着计算机技术和数学方法的进步，物流网络优化开始考虑更多的因素
，如库存成本、设施成本等，并采用更复杂的数学模型进行求解。
图神经网络常见问题解决方案(Ⅲ)
图神经网络常见问题解决方案图神经网络（Graph Neural Networks，GNN）是一种用于处理图数据的机器学习模型，近年来在社交网络分析、推荐系统、生物信息学等领域取得了广泛的应用。
然而，图神经网络在实际应用中也面临着一些常见的问题和挑战。
本文将针对图神经网络的常见问题进行探讨，并提出一些解决方案。
数据稀疏性问题图数据通常具有稀疏性，即节点之间的连接较为稀疏，这给图神经网络的训练和推理带来了一定的挑战。
针对这一问题，可以采取以下解决方案：1. 图卷积神经网络（GCN）：GCN 是一种有效处理稀疏图数据的神经网络模型，通过聚合节点的邻居信息来获取更丰富的特征表示。
因此，可以通过采用GCN 模型来处理稀疏图数据，提高模型的性能。
2. 节点嵌入技术：节点嵌入是将节点映射到低维向量空间的技术，可以将稀疏的图数据转化为稠密的向量表示，从而降低数据稀疏性带来的问题。
3. 图数据增强：通过数据增强技术，可以在一定程度上解决数据稀疏性问题。
例如，可以通过添加虚拟节点或边来增加图的密度，从而改善图神经网络的训练效果。
传播路径长度问题在图数据中，节点之间的传播路径长度参差不齐，这会导致在传播信息时出现信息丢失或信息过度传播的问题。
为了解决这一问题，可以采取以下策略：1. 消息传递机制：设计一种有效的消息传递机制，可以使节点之间的信息传递更加高效和准确。
例如，可以采用图注意力网络（GAT）模型，通过注意力机制来动态地调整不同节点之间的信息传递权重。
2. 图注意力池化：利用图注意力池化机制，可以在保留重要信息的同时，减少不必要的信息传递。
通过对图中节点的注意力进行聚合，可以降低传播路径长度对模型性能的影响。
3. 图结构优化：对图数据的结构进行优化，使得传播路径长度更加均衡和规整。
例如，可以通过图剪枝、图分割等技术来优化图的结构，从而改善信息传播的效果。
节点分类不平衡问题在节点分类任务中，往往会面临节点分类不平衡的问题，即不同类别的节点数量存在较大差异。
基于混合整数线性规划的供应链网络优化模型
基于混合整数线性规划的供应链网络优化模型供应链网络是现代企业的重要组成部分，通过合理优化供应链网络，可以实现资源的高效利用，减少成本，提高服务质量，提升企业的竞争力。
混合整数线性规划是一种常用的优化方法，能够有效解决供应链网络中的复杂问题。
本文将介绍基于混合整数线性规划的供应链网络优化模型。
1. 模型的建立供应链网络优化模型的目标是最小化总成本或最大化总利润。
在建立模型时，需要明确以下几个方面的内容：1.1 决策变量决策变量是指供应链网络中可以通过调整来优化的各个要素，如生产量、采购量、运输量等。
根据具体的供应链网络特点，可以建立相应的决策变量。
1.2 目标函数目标函数是指优化模型的目标，可以是最小化成本、最大化利润或其他相关的指标。
目标函数的具体形式需要根据供应链网络的特点和优化目标来确定。
1.3 约束条件约束条件是指优化模型中必须满足的条件，这些条件可以包括供应链网络的物流约束、生产能力约束、库存约束等。
约束条件的具体形式需要根据供应链网络的具体情况来确定。
1.4 模型求解建立完供应链网络优化模型后，可以使用混合整数线性规划的方法求解模型。
混合整数线性规划是一种对线性规划问题进行扩展，能够处理决策变量为整数的情况。
2. 供应链网络的优化通过基于混合整数线性规划的供应链网络优化模型，可以实现供应链网络的优化。
具体的优化方法包括：2.1 供应链网络的布局优化供应链网络的布局优化是指通过调整供应链网络中各个节点（厂商、仓库、分销中心等）的位置和数量，使得物流成本最小化。
在建立供应链网络优化模型时，可以通过引入节点位置和数量的决策变量来实现供应链网络的布局优化。
2.2 生产与采购方案的优化生产与采购方案的优化是指通过调整生产量和采购量的决策变量，使得生产成本和采购成本最小化。
可以通过引入生产量和采购量的决策变量，并结合供应链网络的约束条件，达到最优化的目标。
2.3 库存与运输优化库存与运输优化是指通过调整库存水平和运输方案，使得库存成本和运输成本最小化。
基于卷积神经网络的图像分类算法研究与优化
基于卷积神经网络的图像分类算法研究与优化随着人工智能技术的不断发展，图像分类算法已经成为了计算机视觉中的一个重要问题。
其中，基于卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，简称CNN）的图像分类算法已经被广泛应用于图像检索、图像超分辨率、图像识别等领域，受到了越来越多的关注。
一、卷积神经网络简介卷积神经网络是一种深度学习算法，主要包括卷积层、池化层、全连接层等模块。
卷积层主要负责提取特征，池化层主要负责降低特征图的维度，全连接层主要负责实现分类。
二、图像分类算法的应用图像分类算法可以应用于很多领域，例如人脸识别、车牌识别、国旗识别等。
在这些应用场景中，不同的图像分类算法的表现往往不同，需要我们根据具体的需求和问题来选择相应的算法。
三、如何进行图像分类图像分类的过程一般可以分为以下几个步骤：1、数据预处理。
将图像进行尺寸缩放、灰度化、归一化等处理。
2、特征提取。
使用卷积神经网络提取图像的特征向量。
3、特征选择。
根据不同的应用场景，选取合适的特征。
4、分类器构建。
使用分类算法对特征向量进行分类。
四、如何优化图像分类算法对于卷积神经网络中的图像分类算法，我们可以从以下几个方面进行优化：1、模型的选择。
不同的应用场景对模型的要求不同，我们需要根据具体的需求来选择不同的卷积神经网络模型。
2、超参数调整。
对于卷积神经网络模型，我们需要调整网络的超参数来优化分类性能，例如学习率、批大小、网络深度等。
3、数据增强。
使用数据增强技术可以提升模型的泛化能力，例如旋转、平移、随机裁剪等。
4、迁移学习。
在一些场景下，我们可以使用迁移学习来将预训练好的模型参数应用于当前的任务中，从而提升分类性能。
五、结语在本文中，我们对基于卷积神经网络的图像分类算法进行了简单的介绍，并探讨了如何对图像分类算法进行优化。
当然，图像分类算法的研究还有很多可发掘的领域，例如在多任务学习、半监督学习等方面的应用。
我们相信，在不断的探索和研究之中，这一领域的发展前景将会更加明朗。
trt的工作原理
trt的工作原理TRT（TensorRT）是NVIDIA推出的一个用于深度学习推理的高性能优化器和推理引擎。
它可以将经过训练的深度学习模型转换为高度优化的计算图，以提高推理过程的速度和效率。
TRT通过使用各种优化技术和算法，包括网络剪枝、层融合、内存管理等，来减少模型的计算量和内存占用，从而加速深度学习模型的推理过程。
TRT的工作原理可以分为三个主要的步骤：模型优化、计算图生成和推理加速。
1. 模型优化：在模型优化阶段，TRT会对输入的深度学习模型进行各种优化操作，以减少计算量和内存占用。
其中一项重要的优化技术是网络剪枝，它通过移除不必要的神经元和连接来减少模型的大小和计算量。
TRT还会进行层融合，将多个计算密集型的层合并为一个更高效的层，从而减少计算量和内存占用。
2. 计算图生成：在计算图生成阶段，TRT会将优化后的模型转换为一个高度优化的计算图。
TRT会根据模型的结构和参数，自动判断出计算图中的各个节点和边的关系，然后根据硬件设备的特性和性能要求，进行进一步的优化和调整。
TRT会将计算图中的一些操作合并为单个操作，以减少计算量和内存占用。
此外，TRT还会对计算图中的操作进行精确的数值计算，以提高推理的准确性。
3. 推理加速：在推理加速阶段，TRT会将优化后的计算图部署到GPU上进行推理。
TRT会利用GPU的并行计算能力和专门的硬件加速器，以高效地执行计算图中的各个操作。
TRT还会使用一些技术，如动态图优化和多流推理，来进一步提高推理的速度和效率。
此外，TRT还支持批量推理，可以同时处理多个输入样本，进一步提高推理的并行性和吞吐量。
总结：TRT通过模型优化、计算图生成和推理加速三个步骤，实现了对深度学习模型推理过程的高效优化和加速。
它能够减少计算量和内存占用，提高推理的速度和效率。
通过使用TRT，开辟者可以在不牺牲模型精度的情况下，显著提升深度学习模型的推理性能，从而加速各种应用领域，如计算机视觉、自然语言处理等。
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第十章 图与网络优化模型在图论中通常用V 表示点，E 表示边（无向），A 表示弧（有向），G 表示图，点和边构成的图称为无向图，G=（V ，E ），点和弧构成的图称为有向图,G=(V ,A)。
对图G 的边（或弧）标上权数，称为赋权图。
求1到7的最短路。
本图是个有向图，弧上的数字不妨理解为距离。
目前用于求解最短路的算法有多种，如：动态规划法，Dijkstra 算法，0-1规划方法等。
下面只介绍0-1规划法设1为起点，7为终点。
引入1,0=ij x 表示：若弧(i,j)在最短路上,1=ij x ,否则，0=ij x Z 为目标函数上各弧的路程之和。
起点1必定有一条弧出发,所以121=∑=nj jx终点n 必定有一条弧到达,所以111=∑-=n i inx其它点有两种情况：(1) 该点不在最短路上，即无进线弧，也无出线弧。
满足：0,1=∑≠=nk i i ikx，且0,1=∑≠=nki i kix(2) 该点在最短路上，即有进线弧，也有出线弧。
满足：1,1=∑≠=nki i ikx，且1,1=∑≠=nki i kix改写上述两个等式为：0,1,1==∑∑=≠=ii nj kj nki i ikx x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===<<====∑∑∑∑∑=====1,0,...,2,1,01,11..min 111111,ij ii ni ji ni ij ni in ni i nj i ijijx n i x nj x x x x t s x wZmodel : sets :city/1..7/;!定义7个城市;links(city,city):dist,x;!定义各城市之间的距离表(若城市i 到城市j 无路,用一个大数表示),决策变量; endsets data :dist=0 2 10 1000 1000 1000 1000 1000 0 7 3 1000 1000 1000 1000 1000 0 1000 4 1000 1000 1000 1000 1000 0 1000 1000 8 1000 1000 5 1000 0 3 7 1000 1000 1000 1000 1000 0 12 1000 1000 1000 4 1000 3 0 ; enddatan=@size (city);min =@sum (links:dist*x); @sum (city(i):x(1,i))=1; @sum (city(i):x(i,n))=1;@for (city(i)|i#gt#1 #and# i#lt#n :@sum (city(j):x(i,j))=@sum (city(j):x(j,i))); @for (city(i):x(i,i)=0); @for (links:@bin (x)); end10.2 旅行售货员TSP 模型有一个旅行推销员，从某个城市出发，要遍访若干城市各一次且仅一次，最后返回原来出发城市。
已知从城市I 到城市J 的旅费为ij C ，问如何安排旅行路线使总旅费最小？分析：巡回---能到每个城市一次，且仅一次的一条线路称为一个巡回。
子巡回---从一个起点出发,到若干(不是全部)城市一次,且仅一次,又回到起点的一条线路称为一个子巡回.定理1:含有一个子巡回,必定至少有两个子巡回. 定理2:TSP 模型的一条最优巡回,必定不含子巡回.证明:如果含有子巡回,则必存在一个子巡回有这种情况:有一个城市要经过二次,才能回到起点城市.如何用数学表达式来描述子巡回与总体巡回的区别呢?显然,有子巡回的线路必然有一个城市(这个城市却不是起点城市)要经过二次,而不含子巡回的线路只有起点城市才经过二次.假设有一条线路:没有子巡回的情形:121...x x x x n →→→→有子巡回的情形:113321......x x x x x x x x n i i →→→→→→→+引入变量i u ,对上述线路上的各城市按序给予编号,1-=i u i ,每个城市只编一次号.没有子巡回的情形1+-i i u u :-1,-1,-1,...,-1,-1有子巡回的情形1+-i i u u :-1,-1,-1,...,m,...,-1,-1 m 不等于-1. 定理3: 设1,0=ij x 表示是否从城市I 到城市J,约束条件:j i j i u u n nx u u j i ij j i ≠==≥-≤+-,...,3,2,...,2,1,0,,1 则:(1)任何含有子巡回的路线必然不满足上述约束条件(不管i u 如何取值) (2)不含子巡回的线路都可以满足上述约束条件.(只要i u 取适当值)TSP 模型如下:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≠==≠===∑∑∑===不含子巡回n j i x j i n i x j i n j x t s x cZ ij n j ij ni ij nj i ijij,...,3,2,1,,1,0,,...,3,2,1,1,,...,3,2,1,1..min 111,具体例子:已知六个城市之间的路程如下表:求一条TSP 线路?model : sets :CITY/1..6/:u;!定义六个城市,u 是TSP 线路的编号;LINKS(CITY,CITY):dist,x;!dist 距离列表,x 为决策变量; endsets data :!u=0,1,2,3,4,5; dist=0 702 454 842 2396 1196702 0 324 1093 2136 764 454 324 0 1137 2180798842 1093 1137 0 161618572396 213621801616 0 29001196764 798 185729000 ;enddatan=@size (city);Min =@sum (links:dist*x);@for (links:@bin (x));!x 为0-1变量;@for (city(i):@sum (city(j)|i#ne#j:x(i,j))=1); @for (city(i):@sum (city(j)|i#ne#j:x(j,i))=1); @for (city(i):@for (city(j)|j#GT#1 #and# i#ne#j:u(I)-U(j)+n*x(i,j)<=n-1););@for (city(i):u(i)<=n-1); end10.3 最小生成树和最优连线(minimal spanning tree MST 模型)树是图论中的一种简单而又重要的图,它是连通并且无圈的无向图.记为G=(V,A). 树具有下列性质:1、 树是连通图，但无回路；2、 树中任意两个顶点间有且只有一条链；3、 在树的不相邻的两个顶点间加上一条边，就得到一个圈；4、 在树中任意去掉一条边，图就不连通；5、 含有p 个顶点的树有p-1条边。
连通图G 的子图T ，若T 的顶点集与G 的顶点集相同，且T 为树。
称T 为图G 的生成树，（或支撑树），当然生成树不是唯一的。
如果图的边有权，则权和最小的生成树称为最小生成树。
但最小生成树也不一定唯一。
图G 有生成树的充要条件是G 连通。
具体实例：求下列赋权图的最小生成树。
假设ij w 表示点I 到点j 的权，当两个节点没有线路相通时，∞=ij w 。
设0-1变量ij x ,当1=ij x ,表示从节点I 到节点J 的边在树中;当0=ij x ,表示从节点I 到节点J 的边不在树中。
目标函数:∑==nj i ij ijx wZ 1,min约束条件：假设根节点为1v ，根节点只有出去的线路，且出去的线路不少于1条，但没有进来的线路。
所以： （1）0,12121=≥∑∑==nj j nj jx x，其它节点（除根节点外）必须有且只有一条线路进来，但可能有0，1，多条出去。
（2）j i n j xni ij≠==∑=,,...,3,2,11任意两个节点都不能迂回。
（3）j i x x ji ij ≠≤+,1 树的边与节点关系。
（4）11,-=∑=n xnj i ij仅仅上述条件还不够，因为一棵树是连通且不能有圈的。
为了描述圈，我们引进树层的概念，记根为0层，与从0层线路进来的节点都记为1层，与从1层线路进来的节点都记为2层，......。
每个节点都有一个层数，记为u ，所以 （5）1,01-≤=n u u i 。
每个节点的层数等于该节点进线的上节点的层数+1。
（6）n i x uu nik k ki ki ,...,3,2,1,1=+=∑≠=注：条件（2）、（3）、（5）、（6）已限制了这棵树不会迂回，并且连通，不产生圈。
为什么？model : sets :node/1..8/:u;link(node,node):dist,x; endsetsn=@size (node); data : dist=; enddatamin =@sum (link:dist*x);@sum (node(i)|i#gt#1:x(1,i))>=1; @sum (node(i)|i#gt#1:x(i,1))=0;@for (node(k)|k#gt# 1:@sum (node(i)|i#ne#k:x(i,k))=1;); @for (link(i,k)|i#gt#k:x(i,k)+x(k,i)<=1;); @for (node(i):x(i,i)=0;); @sum (link:x)=n-1; u(1)=0;@for (link:@bin (x));@for (node(i)|i#gt#1:u(i)=@sum (node(k):u(k)*x(k,i))+1); @for (node(i)|i#gt#1:u(i)<=n-1;); end10.4 最大流问题定义1：给一个有向图G=（V ，E ），在V 中指定一个点，称为发点（记为s v ），和另一个点，称为收点（记为t v ），其余的点称为中间点。
对于每一个弧E v v j i ∈),(，赋权0),(≥j i v v w 称为弧容量。
这样的D 叫做一个网络，记G=(V,E,W)。
网络是赋权的有向图。
发点只有流出弧，没有流进弧；收点只有流入弧，没有流出弧，这样的网络称为运输网络。
设),(j i v v f 是定义在网络G=（V ，E ，W ）的边集E 上的一个实数函数，满足： （1）),(),(j i j i v v w v v f ≤---每条边的流量不超过该边大弧容量。
（2）tsjjiiv x v x x v f v x f ≠≠=∑∑,,),(),(---中间点流入与流出平衡。