高考数学知识点题型测试5

高考数学知识点题型测试5

1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.

2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．

1．集合的概念、关系与运算

(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

(2)集合与集合之间的关系：A?B，B?C?A?C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.

(3)集合的运算：?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(?UA)＝A.

2．四种命题及其关系

四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

3．充分条件与必要条件

若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?q，则p，q互为充要条件．

4．简单的逻辑联结词

(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p 为真假对立的命题．

(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．

5．全称量词与存在量词

“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定为“?x∈M，綈p(x)”.

考点一集合间的关系及运算

例1 (1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )

A．3 B．6 C．8 D．10

(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则

图

中阴影部分表示的集合为( )

A．[－1,0] B．(－1,0)

C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)

弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．

答案(1) D (2)D

解析(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，

∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.

∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，

∴B中所含元素的个数为10.

(2)因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，

A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，

故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．

(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．

(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解． (1)(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9

(2)设全集U ＝R ，集合P ＝{x|y ＝ln(1＋x)}，集合Q ＝{y|y ＝x}，则 右图中的阴影部分表示的集合为( ) A ．{x|－1－1，x ∈R} 答案 (1)C (2)B

解析 (1)x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.

(2)由1＋x>0得x>－1，即P ＝{x|x>－1}；Q ＝{y|y≥0}，因此结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是P∩(?RQ)＝{x|－1

例2 (1)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a2＋b2＋c2<3 C ．若a ＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D ．若a2＋b2＋c2≥3，则a ＋b ＋c ＝3

(2)设x ，y ∈R ，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

(1)从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别． (2)结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手． 答案 (1)A (2)B

解析 (1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确． (2)如图：x2＋y2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，

当x2＋y2≥9时，x>3且y≥3并不一定成立，当x ＝2，y ＝3时，x2＋y2≥9， 但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3时，x2＋y2≥9一定成立，故选 B.

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可． (1)(2012·天津)设x ∈R ，则“x>1

2”是“2x2＋x －1>0”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 (2)给出以下三个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；

②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；

③在一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B．② C．③ D．②③ 答案 (1)A (2)B

解析 (1)不等式2x2＋x －1>0的解集为??????

????x ???

x>1

2

或x<－1

，故由x>1

2?2x2＋x －1>0，但2x2

＋x －1>0D ?/x>1

2

，故选A.

(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ?a ＝b ?A ＝B.故选B. 考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词

例3 (1)(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数

(2)已知命题p ：抛物线y ＝2x2的准线方程为y ＝－1

2；命题q ：若函数f(x ＋1)为偶函数，则

f(x)关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( ) A ．p∧q B．p∨(綈q)

C ．(綈p )∧(綈q)

D ．p∨q 答案 (1)B (2)D

解析 (1)通过否定原命题得出结论．

原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

(2)命题p ：抛物线y ＝2x2的准线方程为y ＝－1

8

，所以命题p 是假命题．

命题q ：将函数f(x ＋1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于x ＝1对称，故命题q 是真命题．所以p∨q 为真．

(1)全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假可以先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断．

(2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化．若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． (1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p ：?x∈R,2x<3x；命题q ：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p∧q B．綈p∧q

C ．p∧綈q

D ．綈p∧綈q

(2)已知命题p ：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q ：“?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a≤－2或a ＝1 B ．a≤2或1≤a≤2 C ．a>1 D ．－2≤a≤1 答案 (1)B (2)C

解析 (1)当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x<3x ，∴p：?x∈R,2x<3x 是 假命题．

如图，函数y ＝x3与y ＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解， ∴q：?x∈R，x3＝1－x2是真命题． ∴p∧q 为假命题，排除A. ∵綈p 为真命题，

∴綈p∧q 是真命题．选B.

(2)命题p 为真时a≤1；“?x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0”为真，即方程x2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q 为真命题，即綈p 真且q 真，即a>1.

1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素 的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助 数轴和韦恩图加以解决．

2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．

3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．

4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.

1．已知集合A ＝{z∈C|z＝1－2ai ，a∈R}，B ＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B 等于( ) A ．{1＋3i,1－3i} B ．{3－i} C ．{1＋23i,1－23i} D ．{1－3i} 答案 A

解析 A∩B 中的元素同时具有A ，B 的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a ＝±3

2

.故选A.

2．下列命题中正确的是( )

A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p∧q”为真命题

B ．“sin α＝12”是“α＝π

6

”的充分不必要条件

C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α

D ．命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0” 答案 D

解析 对A ，只有当p ，q 全是真命题时，p∧q 为真；对B ，sin α＝12?α＝2kπ＋π

6或2kπ

＋

5π6，k∈Z，故“sin α＝12”是“α＝π

6

”的必要不充分条件；对C ，l⊥β，α⊥β?l∥α或l ?α；对D ，全称命题的否定是特称命题，故选D.

3．若集合A ＝{x|x2－x －2<0}，B ＝{x|－2－2 B ．a≤－2 C ．a>－1 D ．a≥－1 答案 C

解析 A ＝{x|－1

∵A∩B≠?，∴a>－1.

(推荐时间：40分钟) 一、选择题

1．(2013·课标全国Ⅰ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x|x ＝n2，n∈A}，则A∩B 等于( ) A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 答案 A

解析 ∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16. ∴B＝{1,4,9,16}．

∴A∩B＝{1,4}，故选A.

2．(2012·安徽)命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x>1 B ．不存在实数x ，使x≤1 C ．对任意实数x ，都有x≤1 D ．存在实数x ，使x≤1 答案 C

解析 利用特称命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x≤1”．故选C.

3．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A ?B”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ?B. 但A ?B 时，a ＝2或3.所以A 正确． 4．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝???

?

??

x|

12

x≤1，B ＝{}x|x2－6x ＋8≤0，则A∩?RB

等于( ) A ．{x|x≤0} B ．{x|2≤x≤4}

C ．{x|0≤x<2或x>4}

D ．{x|0

解析 A ＝{x|x≥0}，B ＝{x|2≤x≤4}

∴A∩?RB ＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2} ＝{x|0≤x<2或x>4}．

5．已知集合P ＝{0，m}，Q ＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠?，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或5

2D ．1或2

答案 D

解析 由于Q ＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}＝{x|0

2，x∈Z}＝{1,2}，而P ＝{0，m}且P∩Q≠?，

故m ＝1或2.故选D.

6．(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 C

解析 由|a||b||cos 〈a ，b 〉|＝|a||b|，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.

即〈a ，b 〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.

7．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x ，y)|x ∈A，y∈B}，则集合A×B 中属于集合{(x ，y)|logxy∈N}的元素个数是( ) A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 答案 B

解析 由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此一共有4个元素，故选B.

8．已知p ：?x∈R，mx2＋2≤0，q ：?x∈R，x2－2mx ＋1>0，若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞)

B ．(－∞，－1]

C ．(－∞，－2]

D ．[－1,1] 答案 A

解析 ∵p∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题． 由p ：?x∈R，mx2＋2≤0为假命题， 由綈p ：?x∈R，mx2＋2>0为真命题， ∴m≥0.①

由q ：?x∈R，x2－2mx ＋1>0为假命题， 得綈q ：?x∈R，x2－2mx ＋1≤0为真命题，

∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.② 由①和②得m≥1，故选A.

9．设平面点集A ＝?

??

?

??

???

?x ，y ???

y －x ? ??

?

?y －1x ≥0，B ＝{(x ，y)|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A∩B 所表示的平面图形的面积为( )

A.34π

B.35π

C.47π

D.π2 答案 D

解析 借助图形，数形结合求解．

由题意知A∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y ＝1

x

与直线y ＝x 将圆(x －1)2＋(y －1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部 分．

∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与y ＝1

x 的图象都关于直线y ＝x 对称，

从而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π， ∴S 阴影＝S2＋S4＝π

2

.

10．给出下列命题：

①?x∈R，不等式x2＋2x>4x －3均成立； ②若log2x ＋logx2≥2，则x>1；

③“若a>b>0且c<0，则c a >c

b ”的逆否命题；

④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是( )

A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案 A

解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x ＋

1

log2x

≥2，得x>1；③中由a>b>0，得1a <1

b ，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p

且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确． 二、填空题

11．(2012·天津)已知集合A ＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B ＝{x∈R|(x－m)(x －2)<0}，且A∩B ＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________. 答案 －1 1

解析 A ＝{x|－5

12．已知R 是实数集，M ＝{x|2

x <1}，N ＝{y|y ＝x －1＋1}，则N∩(?RM)＝________.

答案 [1,2]

解析 M ＝{x|2

x <1}＝{x|x<0或x>2}，

N ＝{y|y ＝x －1＋1}＝{y|y≥1}， ?RM ＝{x|0≤x≤2}，

∴N∩(?RM)＝{x|1≤x≤2}＝[1,2]．

13．设p ：x

x －2<0，q ：0

答案 (2，＋∞)

解析 p ：02.

14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k －1D∈/A，且k ＋1D ∈/A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 答案 6

解析 所求不含“孤立元”的集合中的元素必是连续三个整数，故有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个． 15．给出下列四个命题：

①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题； ②“?x0∈R，使得x20－x0>0”的否定是：“?x∈R，均有x2－x<0”； ③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；

④p：a∈{a，b ，c}，q ：{a}?{a ，b ，c}，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号) 答案 ①④

解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确； 对②，命题“?x0∈R，使得x20－x0>0”的否定应是： “?x∈R，均有x2－x≤0”，故②错； 对③，因由“x2＝4”得x ＝±2，

所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；

对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确． 16．对于集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x∈M 且x N}，M N ＝(M －N)∪(N－M)．设A ＝{y|y

＝x2－3x ，x∈R}，B ＝{x|y ＝log2(－x)}，则A B ＝________.

答案 (－∞，－9

4

)∪[0，＋∞)

解析 A ＝{y|y≥－94}，B ＝{x|x<0}，A －B ＝{x|x≥0}，B －A ＝{x|x<－9

4}，

则A B ＝(A －B)∪(B－A)＝(－∞，－9

4

)∪[0，＋∞)．