高考数学知识点题型测试5
高三数学高频考点试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各式中，能表示函数y=3x-2的定义域的是（）A. x∈RB. x≠0C. x>0D. x<0答案：A解析：函数y=3x-2是一个一次函数，其定义域为全体实数R。
2. 函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像是（）A. 两条直线B. 一个抛物线C. 一条直线D. 一个圆答案：B解析：函数f(x)=ax^2+bx+c是一个二次函数，其图像是一个抛物线。
3. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
答案：f'(x)=3x^2-3解析：对函数f(x)=x^3-3x+1求导得到f'(x)=3x^2-3。
4. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，求该数列的前n项和S_n。
答案：S_n=n^2解析：数列{an}的前n项和S_n可以通过求和公式得到，即S_n=1+3+5+...+(2n-1)=n^2。
5. 已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，求向量a与向量b的点积。
答案：a·b=12+2(-1)=0解析：向量a与向量b的点积等于它们对应分量的乘积之和，即a·b=12+2(-1)=0。
6. 已知函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)的值。
答案：f'(x)=1/(x+1)解析：对函数f(x)=ln(x+1)求导得到f'(x)=1/(x+1)。
7. 已知等差数列{an}的第一项a_1=3，公差d=2，求第10项a_10的值。
答案：a_10=3+92=21解析：等差数列的第n项可以通过公式a_n=a_1+(n-1)d求得，所以a_10=3+92=21。
8. 已知复数z=3+4i，求z的模|z|。
答案：|z|=5解析：复数z的模等于它的实部和虚部的平方和的平方根，即|z|=√(3^2+4^2)=5。
9. 已知直线l的方程为2x-3y+1=0，求直线l与y轴的交点坐标。
高考数学解三角形：正余弦定理专题(五)
A (0, ) 2
cos A 0 tan A 0
A
(
,
)
2
cos A 0
tan A 0
已知 sin A
没有能力判断锐钝角
方法二：大边对大角。
已知 sin A ，自身没有能力判断锐钝角，判断其锐钝角的方法：大边对大角。
大边对大角的内容：在三角形中，边越大，对角越大。
已知三角形的两条边 a 和 b ，判断 a 的对角 A 的锐钝角方法： （Ⅰ） a b A B A 不是最大角 A 是锐角； （Ⅱ） a b A B A 是较大的角 A 是锐角或者钝角，需要分类讨论。
1350
1500
第五步：计算 sin A 和 sin B ， tan A 和 tan B 的值。 （Ⅰ）计算 sin A 和 tan A 的值。 根据三角函数同角之间的基本关系得到： sin 2 A cos2 A 1 sin 2 A 1 cos2 A ， sin A 0
sin A
1 cos2 A 。 tan A sin A
方法三：钝角占位法。
2
（Ⅰ）钝角未出现时：已知正弦的角是锐角或者钝角，需要分类讨论；
（Ⅱ）钝角已经出现时：已知正弦的角是锐角。
题型使用知识点七：三角形面积公式。
S ① ABC
1 2
ab sin C
S ② ABC
1 2
ac sin
B
S ③ ABC
1 bc sin 2
A
第二部分：题型结构和解法剖析
题型：在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 。
600
1200
1350
1500
cos C
3
2
高三数学高考知识点相等函数复习题(最新整理)
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①②
4．下列哪组中的两个函数是同一函数 （ ）
2
A. y x 与 y x
3
B. y 3 x 与 y x
2
2
C. y x 与 y x
D.
y
3
x
3
与y
x2
x
5．下列函数中哪个与函数 y x 相等
2
A. y x
B. y= 3 x3
2
x 的定义域不同，故不是同一函数；对于 D ，
y 3 x3 与 y x2 的
x
定义域不同，故不是同一函数，故选 B.
【方法点睛】本题通过判断几组函数是否为同一函数，主要考查函数的定义域、值域以及对
应法则，属于中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单
元测试卷经常出现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、
都相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数.
7．A
【解析】 B 选项 f x 定义域为 R ， g x 定义域 x 1 ，故不是相同函数. C 选项值域
不同， D 选项定义域不同，故选 A .
8．C 【解析】分析：由题意结合函数的定义考查函数的定义域和对应关系即可求得最终结果. 详解：逐一考查所给的选项：
对于 C：
，定义域为{x|x≥0}，它们定义域不相同，∴不是同一函数；
对于 D：
，定义域为 R，对于关系也相同，∴是同一函数；
故选：D．
点睛：本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于
中档题. 判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常
高考数学 专题05 解析几何中的对称解法(解析版)
专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 三．【题型】（一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得． 当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2， 由x=-2得6（负值已舍） 故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（ ）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=， 即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-， 所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１， 即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =； （2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+， 所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++， 因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-， 因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=， 由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =， 根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-， 从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。
2024年高考数学知识点及公式整理汇总.doc
2024年高考数学知识点及公式整理汇总高中数学重点知识点全总结1、命题的四种形式及其相互关系是什么?(互为逆否关系的命题是等价命题。
)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
2、对映射的概念了解吗?映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射?(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。
)3、函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?(定义域、对应法则、值域)4、反函数存在的条件是什么?(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗?(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)5、反函数的性质有哪些?①互为反函数的图象关于直线y=x对称;②保存了原来函数的单调性、奇函数性;6、函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)1、抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取;系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个;分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
2、对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望(平均值)和方差去估计总体的期望和方差。
3、向量——既有大小又有方向的量。
在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变。
4、并线向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
1、三类角的求法：①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。
2、正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：3、怎样判断直线l与圆C的位置关系?圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
高考数学总结归纳知识点加题型
高考数学总结归纳知识点加题型高考数学是每个学生都要面对的一门重要科目，它占据了高考综合素质评价的一定比重。
为了帮助同学们更好地备考高考数学，下面将对常见的知识点进行归纳总结，并附上相应的题型练习。
一、函数与方程1. 一次函数知识点：函数的概念、斜率和截距的含义、函数图像与性质等。
题型练习：已知一次函数y=2x-3，请确定函数的斜率和截距，并绘制函数图像。
2. 二次函数知识点：二次函数的概念、顶点坐标、对称轴、单调性等。
题型练习：已知二次函数y=x^2-4x+3，请确定函数的顶点坐标、对称轴，并描述函数的单调性。
3. 指数函数与对数函数知识点：指数函数与对数函数的性质、图像、定义域与值域等。
题型练习：已知指数函数y=3^x，请确定函数的定义域、值域，并绘制函数图像。
二、几何与三角函数1. 三角函数知识点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、性质、图像等。
题型练习：已知直角三角形中一角的正弦值为0.6，请确定该角的度数，并计算其余弦和正切值。
2. 平面几何知识点：平面图形的面积、周长、相似性、圆的性质等。
题型练习：已知正方形的边长为3 cm，请计算其面积和周长。
3. 空间几何知识点：立体图形的体积、表面积、相似性、平行性等。
题型练习：已知长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，请计算其体积和表面积。
三、概率与统计1. 概率知识点：概率的基本概念、概率的计算、事件间的关系等。
题型练习：有一枚均匀的骰子，抛掷一次，求出出现奇数点数的概率。
2. 统计知识点：统计数据的收集、整理、分析和展示等。
题型练习：某班级的学生身高数据为：160 cm、165 cm、170 cm、175 cm、180 cm，请计算平均身高和中位数。
以上仅为部分高考数学的知识点总结和相应题型练习，希望对同学们备考高考数学有所帮助。
在备考过程中，同学们要注重理论与实践相结合，多进行题型练习和模拟考试，熟悉考题的出题规律和解题技巧。
高考数学复习题型及答案
高考数学复习题型及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+2x+1的图像是：A. 一条直线B. 一个开口向上的抛物线C. 一个开口向下的抛物线D. 一个圆答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则其第10项a10的值为：A. 29B. 32C. 35D. 41答案：A二、填空题3. 若复数z=1+i，则|z|=________。
答案：√24. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)=________。
答案：3x^2-6x三、解答题5. 求证：对于任意实数x，不等式x^2+x+1>0恒成立。
证明：要证明x^2+x+1>0恒成立，只需证明其判别式Δ<0。
计算判别式Δ=1^2-4×1×1=-3<0，因此原不等式恒成立。
6. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式。
解：由递推关系an+1=2an+1，可得an+1+1=2(an+1)，即数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列。
因此，an+1=2^n，进而得到an=2^(n-1)-1。
四、计算题7. 计算定积分∫₀^₁x^2dx。
解：∫₀^₁x^2dx=(1/3)x^3|₀^₁=1/3。
8. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dσ，其中D是由x^2+y^2≤1所围成的圆盘。
解：∬D(x^2+y^2)dσ=∫₀^π∫₀^1(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)rdrdθ=∫₀^π∫₀^1r^3 dθ dr=(π/2)∫₀^1r^3dr=(π/2)(1/4)=π/8。
以上题型涵盖了高考数学中常见的选择题、填空题、解答题和计算题，通过这些题型的练习，可以有效地复习和巩固数学知识，为高考做好充分的准备。
2025年高考数学复习核心考点全题型突破(新教材新高考)第07讲 第五章章节综合检测(解析版)
3
y= x=1
A ．25米
B ．28米
C ．30米【答案】C
【详解】由题意得60CAD ∠=︒，45CBD ∠=︒，
依题意()(0,0,A B 所以(2AB m = AB mAC AM AB AC
=-
A ．13
CI =+B ．JH C ．若FP FA FE λμ=+ ，则λ＋μ的最大值为932
+D ．【答案】ACD
【详解】如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转30连接CH ，CJ ，连接FI ，交HJ 于点L ，易得O ，C
12．（2023春·江西·高一校联考阶段练习）景德镇号称著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐地ABCD上举办陶瓷展览会，已知
的动点，
2
3
GEFπ
∠=，举办方计划将
11003m B．1200 A．2
【答案】BC
∠=，则【详解】解：设AEGα
【答案】5
【详解】以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设因为45BAC ∠=︒，且AC 故()1,1CD d =-- ，CB =
故(23,23CB CD b d +=--
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第程或演算步骤.）
(1)若26,AB AC BAC ==∠=(2)若BQ 交AD 于点,F BF = 【答案】(1)12
(2)1,13⎡⎤⎢⎥
(1)求c 边的长度；
(2)若21cos 7BAD ∠=，求BAC ∠的余弦值；(3)在（2）的条件下，若4ABC AEF S S =△△，求。
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高考数学知识点题型测试51.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．1．集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.(3)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(∁UA)＝A.2．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．4．简单的逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p 为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．5．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.考点一集合间的关系及运算例1 (1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6 C．8 D．10(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．答案(1) D (2)D解析(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.(2)因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，则u＝1－x2∈ (0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解． (1)(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9(2)设全集U ＝R ，集合P ＝{x|y ＝ln(1＋x)}，集合Q ＝{y|y ＝x}，则 右图中的阴影部分表示的集合为( ) A ．{x|－1<x≤0，x ∈R} B ．{x|－1<x<0，x ∈R} C ．{x|x<0，x ∈R} D ．{x|x>－1，x ∈R} 答案 (1)C (2)B解析 (1)x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.(2)由1＋x>0得x>－1，即P ＝{x|x>－1}；Q ＝{y|y≥0}，因此结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是P∩(∁RQ)＝{x|－1<x<0，x ∈R}． 考点二 四种命题与充要条件例2 (1)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a2＋b2＋c2<3 C ．若a ＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D ．若a2＋b2＋c2≥3，则a ＋b ＋c ＝3(2)设x ，y ∈R ，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(1)从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别． (2)结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手． 答案 (1)A (2)B解析 (1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确． (2)如图：x2＋y2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x2＋y2≥9时，x>3且y≥3并不一定成立，当x ＝2，y ＝3时，x2＋y2≥9， 但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3时，x2＋y2≥9一定成立，故选 B.一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可． (1)(2012·天津)设x ∈R ，则“x>12”是“2x2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)给出以下三个命题：①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B．② C．③ D．②③ 答案 (1)A (2)B解析 (1)不等式2x2＋x －1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x>12或x<－1，故由x>12⇒2x2＋x －1>0，但2x2＋x －1>0D ⇒/x>12，故选A.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B.故选B. 考点三 逻辑联结词、全称量词和存在量词例3 (1)(2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数(2)已知命题p ：抛物线y ＝2x2的准线方程为y ＝－12；命题q ：若函数f(x ＋1)为偶函数，则f(x)关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( ) A ．p∧q B．p∨(綈q)C ．(綈p )∧(綈q)D ．p∨q 答案 (1)B (2)D解析 (1)通过否定原命题得出结论．原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．(2)命题p ：抛物线y ＝2x2的准线方程为y ＝－18，所以命题p 是假命题．命题q ：将函数f(x ＋1)的图象向右平移1个单位得到f(x)的图象，所以函数f(x)的图象关于x ＝1对称，故命题q 是真命题．所以p∨q 为真．(1)全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假可以先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断．(2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化．若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． (1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p ：∀x∈R,2x<3x；命题q ：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p∧q B．綈p∧qC ．p∧綈qD ．綈p∧綈q(2)已知命题p ：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q ：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a≤－2或a ＝1 B ．a≤2或1≤a≤2 C ．a>1 D ．－2≤a≤1 答案 (1)B (2)C解析 (1)当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x<3x ，∴p：∀x∈R,2x<3x 是 假命题．如图，函数y ＝x3与y ＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解， ∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题． ∴p∧q 为假命题，排除A. ∵綈p 为真命题，∴綈p∧q 是真命题．选B.(2)命题p 为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0”为真，即方程x2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q 为真命题，即綈p 真且q 真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素 的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助 数轴和韦恩图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.1．已知集合A ＝{z∈C|z＝1－2ai ，a∈R}，B ＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B 等于( ) A ．{1＋3i,1－3i} B ．{3－i} C ．{1＋23i,1－23i} D ．{1－3i} 答案 A解析 A∩B 中的元素同时具有A ，B 的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a ＝±32.故选A.2．下列命题中正确的是( )A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p∧q”为真命题B ．“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件C ．l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥αD ．命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0” 答案 D解析 对A ，只有当p ，q 全是真命题时，p∧q 为真；对B ，sin α＝12⇒α＝2kπ＋π6或2kπ＋5π6，k∈Z，故“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件；对C ，l⊥β，α⊥β⇒l∥α或l ⊂α；对D ，全称命题的否定是特称命题，故选D.3．若集合A ＝{x|x2－x －2<0}，B ＝{x|－2<x<a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是( ) A ．a>－2 B ．a≤－2 C ．a>－1 D ．a≥－1 答案 C解析 A ＝{x|－1<x<2}， B ＝{x|－2<x<a}， 如图所示：∵A∩B≠∅，∴a>－1.(推荐时间：40分钟) 一、选择题1．(2013·课标全国Ⅰ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x|x ＝n2，n∈A}，则A∩B 等于( ) A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 答案 A解析 ∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16. ∴B＝{1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}，故选A.2．(2012·安徽)命题“存在实数x ，使x>1”的否定是( ) A ．对任意实数x ，都有x>1 B ．不存在实数x ，使x≤1 C ．对任意实数x ，都有x≤1 D ．存在实数x ，使x≤1 答案 C解析 利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x>1”的否定是“对任意实数x ，都有x≤1”．故选C.3．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A ⊆B”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B. 但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确． 4．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12x≤1，B ＝{}x|x2－6x ＋8≤0，则A∩∁RB等于( ) A ．{x|x≤0} B ．{x|2≤x≤4}C ．{x|0≤x<2或x>4}D ．{x|0<x≤2或x≥4} 答案 C解析 A ＝{x|x≥0}，B ＝{x|2≤x≤4}∴A∩∁RB ＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2} ＝{x|0≤x<2或x>4}．5．已知集合P ＝{0，m}，Q ＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或52D ．1或2答案 D解析 由于Q ＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}＝{x|0<x<52，x∈Z}＝{1,2}，而P ＝{0，m}且P∩Q≠∅，故m ＝1或2.故选D.6．(2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由|a||b||cos 〈a ，b 〉|＝|a||b|，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.7．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x ，y)|x ∈A，y∈B}，则集合A×B 中属于集合{(x ，y)|logxy∈N}的元素个数是( ) A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 答案 B解析 由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此一共有4个元素，故选B.8．已知p ：∃x∈R，mx2＋2≤0，q ：∀x∈R，x2－2mx ＋1>0，若p∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 答案 A解析 ∵p∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题． 由p ：∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题， 由綈p ：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题， ∴m≥0.①由q ：∀x∈R，x2－2mx ＋1>0为假命题， 得綈q ：∃x∈R，x2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.② 由①和②得m≥1，故选A.9．设平面点集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y)|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34πB.35πC.47πD.π2 答案 D解析 借助图形，数形结合求解．由题意知A∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y ＝1x与直线y ＝x 将圆(x －1)2＋(y －1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部 分．∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与y ＝1x 的图象都关于直线y ＝x 对称，从而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π， ∴S 阴影＝S2＋S4＝π2.10．给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x －3均成立； ②若log2x ＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则c a >cb ”的逆否命题；④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是( )A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x ＋1log2x≥2，得x>1；③中由a>b>0，得1a <1b ，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确． 二、填空题11．(2012·天津)已知集合A ＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B ＝{x∈R|(x－m)(x －2)<0}，且A∩B ＝(－1，n)，则m ＝________，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}， B ＝{x|(x －m)(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.12．已知R 是实数集，M ＝{x|2x <1}，N ＝{y|y ＝x －1＋1}，则N∩(∁RM)＝________.答案 [1,2]解析 M ＝{x|2x <1}＝{x|x<0或x>2}，N ＝{y|y ＝x －1＋1}＝{y|y≥1}， ∁RM ＝{x|0≤x≤2}，∴N∩(∁RM)＝{x|1≤x≤2}＝[1,2]．13．设p ：xx －2<0，q ：0<x<m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是__________．答案 (2，＋∞)。