第6章_机器人动力学分解
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机器人第六章-静力学与动力学
1 1
8
对 x求导得速度分量：
x2 d1cos(1)1 d2 cos(12)(1 2) y2 d1sin(1)1 d2 sin(1 2)(1 2)
v22 x22 y22 d1212 d22(12 212 22) 2d1d2 cos(2)(12 12)
动能：
K2
势能：
1 2
m2d1212
它们就是在忽略摩擦之后，驱动器为使操作机保持静力平衡
所应提供的关节力或关节力矩，记作
r
i
uur ki uFuiur Nhomakorabeari，其大小为
ki M i
3
当忽略杆件自重时
ur Gi
，上式可简记为 ：
ur i Fi uur i Mi
r r
i
ur i R i 1
ur i Ri1
0 ur i R i 1
6
6.3 二杆机器人的拉格朗日方程 6.3.1 刚体系统拉格朗日方程
应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。
定义：L=K-P L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。
❖ 系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、 圆柱坐标系等）中表示 ，不是一定在直角坐标系中。
动力学方程为：
二、机器人动力学研究的问题可分为两类： 1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器
人（关节）的运动参数或动力学效应（即已知 , 求 , 和 ，称为动力学正问题）。
2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力
（矩）（即已知 ,和，求 , 称为动力学逆问题 ）。 5
三、动力学研究方法：
ur i1 F i1 uur i M i1
4
机器人学及其智能控制第6章 机器人的动力学
F mx kx
（式 6.10）
下面再用牛顿力学求解，对系统进行受力分析后，很容易就可以得到系统的受力方程为：
F ma
（式 6.11）
其中：
F kx ma
（式 6.12）
整理之后可以得到：
F ma kx
（式 6.13）
很容易得出这样一个结论，对于一个简单系统，用牛顿力学求解更容易，下面我们求解 一个稍微复杂一点的系统。
m2l
cos
m2l
2
sin
L kx x
F (m1 m2 )x m2l cos m2l 2 sin kx
（式 6.20）
（式 6.21） （式 6.22） （式 6.23）
对于旋转运动： 得到：
L
m2l 2
m2lx cos
d dt
L
m2l 2
m2lx
cos
m2lx
sin
L
m2gl sin
（式 6.29）
为方便分析，将其写成矩阵的形式：
F T
m1 m2l
m2
cos
m2l cos
m2l 2
x
0 0
m2l
sin 0
x2
2
kx m2
gl
sin
（式 6.30）
由此可以看出，对于求解复杂系统的运动方程，采用拉格朗日力学进行求解更加方便。
动力学仿真
为了对操作臂的运动进行仿真，必须采用前面建立的动力学模型，由封闭形式的动力学 方程（6.66），可通过仿真求出动力学方程中的加速度
q(t t) q(t) q(t)t 1 q(t)t 2 2
式中，每次迭代要用式（6.67）计算一次 q 。这样，通过输入已知的力矩函数，用数值积分
（式 6.10）
下面再用牛顿力学求解，对系统进行受力分析后，很容易就可以得到系统的受力方程为：
F ma
（式 6.11）
其中：
F kx ma
（式 6.12）
整理之后可以得到：
F ma kx
（式 6.13）
很容易得出这样一个结论，对于一个简单系统，用牛顿力学求解更容易，下面我们求解 一个稍微复杂一点的系统。
m2l
cos
m2l
2
sin
L kx x
F (m1 m2 )x m2l cos m2l 2 sin kx
（式 6.20）
（式 6.21） （式 6.22） （式 6.23）
对于旋转运动： 得到：
L
m2l 2
m2lx cos
d dt
L
m2l 2
m2lx
cos
m2lx
sin
L
m2gl sin
（式 6.29）
为方便分析，将其写成矩阵的形式：
F T
m1 m2l
m2
cos
m2l cos
m2l 2
x
0 0
m2l
sin 0
x2
2
kx m2
gl
sin
（式 6.30）
由此可以看出，对于求解复杂系统的运动方程，采用拉格朗日力学进行求解更加方便。
动力学仿真
为了对操作臂的运动进行仿真，必须采用前面建立的动力学模型，由封闭形式的动力学 方程（6.66），可通过仿真求出动力学方程中的加速度
q(t t) q(t) q(t)t 1 q(t)t 2 2
式中，每次迭代要用式（6.67）计算一次 q 。这样，通过输入已知的力矩函数，用数值积分
第六章--机器人动力学-PPT
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例6-4：
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解： （3）手臂水平，并伸至全长，承受最大转动加速度，m2 5kg
由已知条件可得
0 r 2m m2 5kg
r 0 max 1s 2
则有
D 1
m1r12
m2r2
196 10 12 5 22 1
226kg m2 / s2
N
r
M
m2
r1
m1
o
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结果分析：
Jc (Jc)
式中 Jc ω τ
物体转动惯量 物体角速度 力矩
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6.2 拉格朗日动力学方法
6.2.1 用于保守系统的拉格朗日方程
在《分析力学》一书中Lagrange是用s个独立变量来描述力学体 系的运动，这是一组二阶微分方程。通常把这一方程叫做Lagrange 方程，其基本形式为
（1）正问题 （2）逆问题
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4
动力学的两个相反问题
动力学正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩， 求各关节的位移、速度和加速度（即运动轨迹），主 要用于机器人仿真。
动力学逆问题：已知机械手的运动轨迹，即几个关节 的位移、速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或 力矩，用于机器人实时控制。
7
机器人学第六章(机器人运动学及动力学)
第六章 机器人运动学及动力学6.1 引论到现在为止我们对操作机的研究集中在仅考虑动力学上。
我们研究了静力位置、静力和速度，但我们从未考虑过产生运动所需的力。
本章中我们考虑操作机的运动方程式——由于促动器所施加的扭矩或作用在机械手上的外力所产生的操作机的运动之情况。
机构动力学是一个已经写出很多专著的领域。
的确，人们可以花费以年计的时间来研究这个领域。
显然，我们不可能包括它所应有的完整的内容。
但是，某种动力学问题的方程式似乎特别适合于操作机的应用。
特别是，那种能利用操作机的串联链性质的方法是我们研究的天然候选者。
有两个与操作机动力学有关的问题我们打算去解决。
向前的动力学问题是计算在施加一组关节扭矩时机构将怎样运动。
也就是，已知扭矩矢量τ，计算产生的操作机的运动Θ、Θ和Θ。
这个对操作机仿真有用，在逆运动学问题中，我们已知轨迹点Θ、Θ和Θ，我们欲求出所需要的关节扭矩矢量τ。
这种形式的动力学对操作机的控制问题有用。
6.2 刚体的加速度现在我们把对刚体运动的分析推广到加速度的情况。
在任一瞬时，线速度矢量和角速度矢量的导数分别称为线加速度和角加速度。
即BB Q Q BBQ Q 0V ()V ()d V V lim dt t t t t t∆→+∆-==∆ （6-1）和AA Q Q AAQ Q 0()()d lim dt t t t t t∆→Ω+∆-ΩΩ=Ω=∆ （6-2）正如速度的情况一样，当求导的参坐标架被理解为某个宇宙标架{}U 时我们将用下面的记号U A AORG V V = （6-3）和U A A ω=Ω （6-4）6.2.1 线加速度我们从描述当原点重合时从坐标架{}A 看到的矢量BQ 的速度AA B A A Q B Q B B V V BR R Q =+Ω⨯ （6-5）这个方程的左手边描述AQ 如何随时间而变化。
所以，因为原点是重合的，我们可以重写（6-5）为A AB A A B B Q B B d ()V dtB B R Q R R Q =+Ω⨯ （6-6） 这种形式的方程式当推导对应的加速度方程时特别有用。
机器人学导论第六章PPT课件
.
18
计算速度和加速度的向外迭代法
为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算操作 臂每个连杆在某一时刻的角速度、线加速度和角 加速度。首先对连杆1进行计算，由第五章知识
由式（6-15）可得连杆之间角加速度变换的方程：
.
19
当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为
应用是（6-12）可以得到每个连杆坐标系原点的 线加速度：
上的力矩N引起刚体的转动为
式中 c I 是刚体在坐标系{C}中的惯性张量。刚体 的质心在坐标系{C}的原点上。
图
6-4
.
17
6.5 牛顿—欧拉迭代动力学方程
现在讨论对应于操作臂给定运动轨迹的力 矩计算问题。假设已知关节的位置、速度 和加速度，结合机器人运动学和质量分布 方面的知识，可以计算出驱动关节运动所 需的力矩。
38
6.8 操作臂动力学方程的结构
状态空间方程
用牛顿-欧拉方程对操作臂进行分析时，动力学方 程可以写成如下形式
式中 Mθ为操作臂的n×n质量矩阵， Vθ,θ是n×1
的离心力和哥氏力矢量，Gθ是重力矢量。上式
之所以成为状态空间方程，是因为式中 Vθ,θ取
决于位置和速度。Mθ和 Gθ中的元素都是关于
然而，我们经常需要对方程的结构进行研 究。这是需要给出封闭形式的动力学方程， 应用牛顿-欧拉方程递推算法对 ,进和行 符号推导即可得到这些方程。
.
27
6.7 封闭形式运动学方程应用举例
这里我们计算图6-6 所示平面二连杆操 作臂的封闭形式动 力学方程。假设操 作臂的质量分布： 每个连杆的质量都 集中在连杆的末端， 设其质量分别为
当第i+1个关节是移动关节是，上式可简化为
3.2 机器人动力学
y3h y2 l 3 y0 y1 l 2 θ2 x1 l1 θ1 x0
x3h θ3 x2
2018年5月18日星期五
3.2
运动学方程的建立
解：（4）建立方程
将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有：
c 123 s 123 0 0 s 123 c 123 0 0 0 l1c 1 l 2 c 12 l 3 c 123 0 l1 s 1 l 2 s 12 l 3 s 123 1 0 0 1
{i-1}
{0}
M0n M01 M12 Mi 1i Mn1n
3.2
运动学方程的建立
1、运动学方程建立步骤 （1）建立坐标系 （2）确定参数 （3）相邻杆件的位姿矩阵 （4）建立方程 2、运动学方程的解
2018年5月18日星期五
3.2
运动学方程的建立
1、运动学方程建立步骤
运动学方程的模型： M=f(qi)， i=1，…，n M——机器人手在空间的位姿 qi——机器人各个关节变量
机器人运动学
姿态可以用坐标系 三个坐标轴两两夹角的
ｚ
ｚh
余弦值组成3×3的姿态
矩阵来描述。
ｘh ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h ｏ ｘ
ｙh ｙ
cos(x, xh ) cos(x, yh ) cos(x, z h ) R cos( y, xh ) cos( y, yh ) cos( y, z h ) cos(z , xh ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
3.2
运动学方程的建立
解：（4பைடு நூலகம்建立方程
若用矩阵形式表示，则为：
nx n y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 p x c 123 s py 123 pz 0 1 0 s 123 c 123 0 0 0 l1c 1 l 2 c 12 l 3 c 123 0 l1 s 1 l 2 s 12 l 3 s 123 1 0 0 1
x3h θ3 x2
2018年5月18日星期五
3.2
运动学方程的建立
解：（4）建立方程
将相邻杆件位姿矩阵依次相乘，则有：
c 123 s 123 0 0 s 123 c 123 0 0 0 l1c 1 l 2 c 12 l 3 c 123 0 l1 s 1 l 2 s 12 l 3 s 123 1 0 0 1
{i-1}
{0}
M0n M01 M12 Mi 1i Mn1n
3.2
运动学方程的建立
1、运动学方程建立步骤 （1）建立坐标系 （2）确定参数 （3）相邻杆件的位姿矩阵 （4）建立方程 2、运动学方程的解
2018年5月18日星期五
3.2
运动学方程的建立
1、运动学方程建立步骤
运动学方程的模型： M=f(qi)， i=1，…，n M——机器人手在空间的位姿 qi——机器人各个关节变量
机器人运动学
姿态可以用坐标系 三个坐标轴两两夹角的
ｚ
ｚh
余弦值组成3×3的姿态
矩阵来描述。
ｘh ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h ｏ ｘ
ｙh ｙ
cos(x, xh ) cos(x, yh ) cos(x, z h ) R cos( y, xh ) cos( y, yh ) cos( y, z h ) cos(z , xh ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
3.2
运动学方程的建立
解：（4பைடு நூலகம்建立方程
若用矩阵形式表示，则为：
nx n y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 p x c 123 s py 123 pz 0 1 0 s 123 c 123 0 0 0 l1c 1 l 2 c 12 l 3 c 123 0 l1 s 1 l 2 s 12 l 3 s 123 1 0 0 1
《机器人动力学》课件
机器人动力学有助于优化机器人的设 计和性能，提高机器人的运动性能和 作业能力。
安全性和稳定性
通过机器人动力学的研究，可以预测 机器人在不同环境和操作条件下的行 为，从而避免潜在的危险和保证机器 人的安全稳定运行。
机器人动力学的发展历程
初始阶段
早期的机器人动力学研究主要关注于简单的机械臂模型，采用经典力学理论进行分析。
刚体动力学是研究刚体在力作用下的运动规律的科学。刚体动力学建模
是研究刚体运动过程中力和运动状态之间的关系。
02
牛顿-欧拉法
牛顿-欧拉法是一种基于牛顿运动定律和欧拉方程的刚体动力学建模方
法。通过这种方法，可以建立刚体的运动方程，描述刚体的运动状态。
03
拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日方程的刚体动力学建模方法。这种方法
《机器人动力学》ppt 课件
目录
Contents
• 机器人动力学概述 • 机器人动力学的基本原理 • 机器人动力学建模 • 机器人控制中的动力学应用 • 机器人动力学研究的挑战与展望 • 机器人动力学实验与案例分析
01 机器人动力学概述
定义与特点
定义
机器人动力学是研究机器人运动过程中力和运动状态之间关系的学科。它主要关注机器人在操作物体 、环境交互以及自身运动过程中产生的力和扭矩，以及这些力和扭矩如何影响机器人的运动状态。
在实际应用中的表现。
06 机器人动力学实验与案例分析
实验一：刚体动力学实验
总结词
理解刚体动力学基本原理
详细描述
通过实验一，学生将学习刚体动力学 的基本原理，包括刚体的运动学和动 力学特性。实验将通过演示刚体在不 同条件下的运动，帮助学生理解刚体 动力学的概念和应用。
第6章_机器人动力学分解
d L d 2 2 ml ml dt dt
计算结果与采用牛顿欧拉方法计算的结果相同。 例6-5 如图6-7所示两连杆平面机械臂。连杆 长都分别为L1和L2，连杆质量分别为m1和m2，质 心到杆端点距离分别为Lc1和Lc2，两杆绕质心转动 惯量分别为Ic1和Ic2，两个关节上作用驱动力矩1和 2，建立系统的动力学方程 非定轴转动刚体的动能表示为质心平移动能和 绕质心转动动能之和。 K 1 mv 2 1 I 2
8
y
例6-4 如图6-6所示单摆由一根无质量杆末端连接一集中质 量m，杆长为l，其上作用力矩，建立系统的动力学方程。 解：① 牛顿-欧拉方法 单摆运动可以简化为刚体的定轴转动，其动力学方程为
2
x l
N I
N mgl sin 转动惯量和合外力矩计算如下， I ml mgl sin ml 2 因此，系统的动力学为 x l sin , y l cos ② 拉格朗日方程
l cos , y l sin x 选择为描述单摆位置的广义坐标， 1 m 2 2 m 2 2 2 1 系统的动能 y l cos l 22 sin 2 ml 22 K mv 2 x 2 2 2 2 P mgy mgl cos 取坐标原点为势能零点，则系统的势能
L /2
L /2
x 2dm 2
L /2
0
x 2 dx 2
( L / 2) 3
3
图6-2 匀质杆绕质心惯性矩
2
M L3 1 2 ML2 L 3 8 12
平行移轴定理：刚体绕任意平行于质心轴的惯性矩为 I C I Md 2 （6-5） 其中CI 表示刚体绕质心轴的惯性矩，M为刚体质量，d为两轴之间的距离。 若已知刚体绕质心轴的惯性矩，则刚体绕任意平行轴的惯性矩可以非常方便 地利用平行移轴定理（6-5）进行计算。 例如，计算图6-2所示匀质杆绕杆端点的惯性矩，根据平行移轴定理， 1 L 1 I C I Md 2 ML2 M ( )2 ML2 12 2 3 dv {A} 可以验证，与采用积分方法计算的结果相同。
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X Z H W L Y
4
Z H
I xx y z dv
2 2 V
H
0
y
L W 0 0
2
z dxdydz
2
W X L
Y
W
H
0
y
L 0
2
z 2 dydz W
H
0
L / 3 Lz dz
3 2
HL3 LH 3 M 2 W ( ) (L H 2 ) 3 3 3 M M 同理可以得到另外两个惯性矩， I yy (W 2 H 2 ), I zz (W 2 L2 ) 3 3 下面计算惯性积， H L W H L I xy xy dv xydxdydz yW 2 / 2dydz
I xz I yz I zz
I zz x 2 y 2 dv
I xz xz dv I yz yz dv
V
其中dv表示单元体，表示单元体密度，单元体的位置Ar =[x y z]T。 惯性张量中Ixx，Iyy和Izz称为惯性矩，交叉项Ixy，Ixz和Iyz称为惯性积。 惯性张量中元素的数值与坐标系的选择有关，一般存在某个坐标系，使得交 叉项全为0。称其坐标轴为惯性主轴，该坐标系称为惯性主轴坐标系。 对于质量均匀分布的规则物体，惯性主轴就是物体的对称轴。 例6-2 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体，密 度为r，质量为M，计算其惯性张量。 解：单元体dv=dxdydz，根据（6-8）得：
I r 2 dm
V
R
0
2
0
例6-1 如图6-2 所示匀质杆，质量为M，杆长为L， 计算绕质心的惯性矩。 解：匀质杆的线密度=M/L，取微元体 dx，则
4 4 R M R 1 2 r 2 rdrd 2 2 MR 4 R2 4 2
Z
x dx
X
I
5
A A
I zz C I zz M ( xc2 yc2 ) I xy C I xy M ( xc yc )
式中是[xc yc zc]T是刚体质心在{A}坐标系下的坐标。需要说明的是，在使用平行 移轴定理时，{A}坐标系和质心坐标系{C}的姿态必须相同。 例6-3 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体在质心坐标系（原点位于质心， 坐标系姿态与原坐标系姿态相同）下表示的惯性张量。 xc W 解：根据平行移轴定理计算，其中 y 1 L c 2 因此得， z H
f mv
1
Y
下面以图6-1所示质量为M半径为R的均匀圆盘绕过 圆心的Z轴的惯性矩计算问题给出惯性矩的定义：
r
X
I r 2 dm
V
图6-1 圆盘绕过圆心轴惯性矩
（6-3）式给出了任意刚体绕固定轴惯性矩的定义，其中dm是微元体质量，r是 微元体到转轴的距离，V是刚体的体积，因此（6-3）表示在整个体积上积分。 对于图6-1所示均匀圆盘，面密度=M/(R2)，取极坐标微元体，则
V 0 0 0 0 0
4 0 同理可以得到另外两个惯性积，
对于惯性张量的计算问题，平行 移轴定理也是成立的，下面给出 其中两个表达式，其余的四个表 达式与此类似：
W 2 L2
H
dz
W 2 L2 H
4 M M I xz WH , I yz HL 4 4
A A
M WL 4
I zz C I zz M ( xc2 yc2 ) I xy C I xy M ( xc yc )
L /2
L /2
x 2dm 2
L /2
0
x 2 dx 2
( L / 2) 3
3
图6-2 匀质杆绕质心惯性矩
2
M L3 1 2 ML2 L 3 8 12
平行移轴定理：刚体绕任意平行于质心轴的惯性矩为 I C I Md 2 （6-5） 其中CI 表示刚体绕质心轴的惯性矩，M为刚体质量，d为两轴之间的距离。 若已知刚体绕质心轴的惯性矩，则刚体绕任意平行轴的惯性矩可以非常方便 地利用平行移轴定理（6-5）进行计算。 例如，计算图6-2所示匀质杆绕杆端点的惯性矩，根据平行移轴定理， 1 L 1 I C I Md 2 ML2 M ( )2 ML2 12 2 3 dv {A} 可以验证，与采用积分方法计算的结果相同。
刚体的惯性张量
Z
A
r
对于在三维空间自由运动的刚体，存在无穷多 个可能转轴，计算绕所有转轴的惯性矩显然是 V 不现实的。 因此需要考虑这样的问题： Y X 是否存在一个量，它能够表示刚体绕任意转轴的 答案是肯定的，该量就是刚体的惯性张量。 图6-3 空间刚体的惯性张量 惯性矩？ 它描述了刚体的三维质量分布，若惯性张量在某坐标系下表示出来，它 是一个3阶对称矩阵。定义了固连的坐标系{A}，在坐标系{A}中惯性张量为：
3
惯性张量是一个对称矩阵，各元素的值为，
I xx y z 2 dv
V V
V
I xy xy dv
V V
I xx A I I xy I xz
I xy I yy I yz
（6-8）
刚体定轴转动与惯性矩
I 刚体定轴转动微分方程： （6-1） 其中I称为绕固定轴的惯性矩（也称为转动惯量），是作用在固定轴上的 合外力矩。 质量为m的质点，其在直线上运动的动力学问题可以用牛顿第二定律描述：
f （6-2） 或者 mx 比较（6-1）和（6-2）式可以发现，刚体定轴转动和质点的直线运动的动力 学方程的形式是完全相同的。因此，I可以看成刚体定轴转动的惯性质量。
第6章 机器人动力学
机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动 力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。 机器人动力学问题分为两类： 一类是已知作用在机器人上驱动力随时间的变规律，求机器人的运动规 律（位置、速度和加速度轨迹），称为机器人正动力学问题；
另一类是已知机器人随时间的运动规律，求期望的驱动力，称为机器人 逆动力学问题。
4
Z H
I xx y z dv
2 2 V
H
0
y
L W 0 0
2
z dxdydz
2
W X L
Y
W
H
0
y
L 0
2
z 2 dydz W
H
0
L / 3 Lz dz
3 2
HL3 LH 3 M 2 W ( ) (L H 2 ) 3 3 3 M M 同理可以得到另外两个惯性矩， I yy (W 2 H 2 ), I zz (W 2 L2 ) 3 3 下面计算惯性积， H L W H L I xy xy dv xydxdydz yW 2 / 2dydz
I xz I yz I zz
I zz x 2 y 2 dv
I xz xz dv I yz yz dv
V
其中dv表示单元体，表示单元体密度，单元体的位置Ar =[x y z]T。 惯性张量中Ixx，Iyy和Izz称为惯性矩，交叉项Ixy，Ixz和Iyz称为惯性积。 惯性张量中元素的数值与坐标系的选择有关，一般存在某个坐标系，使得交 叉项全为0。称其坐标轴为惯性主轴，该坐标系称为惯性主轴坐标系。 对于质量均匀分布的规则物体，惯性主轴就是物体的对称轴。 例6-2 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体，密 度为r，质量为M，计算其惯性张量。 解：单元体dv=dxdydz，根据（6-8）得：
I r 2 dm
V
R
0
2
0
例6-1 如图6-2 所示匀质杆，质量为M，杆长为L， 计算绕质心的惯性矩。 解：匀质杆的线密度=M/L，取微元体 dx，则
4 4 R M R 1 2 r 2 rdrd 2 2 MR 4 R2 4 2
Z
x dx
X
I
5
A A
I zz C I zz M ( xc2 yc2 ) I xy C I xy M ( xc yc )
式中是[xc yc zc]T是刚体质心在{A}坐标系下的坐标。需要说明的是，在使用平行 移轴定理时，{A}坐标系和质心坐标系{C}的姿态必须相同。 例6-3 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体在质心坐标系（原点位于质心， 坐标系姿态与原坐标系姿态相同）下表示的惯性张量。 xc W 解：根据平行移轴定理计算，其中 y 1 L c 2 因此得， z H
f mv
1
Y
下面以图6-1所示质量为M半径为R的均匀圆盘绕过 圆心的Z轴的惯性矩计算问题给出惯性矩的定义：
r
X
I r 2 dm
V
图6-1 圆盘绕过圆心轴惯性矩
（6-3）式给出了任意刚体绕固定轴惯性矩的定义，其中dm是微元体质量，r是 微元体到转轴的距离，V是刚体的体积，因此（6-3）表示在整个体积上积分。 对于图6-1所示均匀圆盘，面密度=M/(R2)，取极坐标微元体，则
V 0 0 0 0 0
4 0 同理可以得到另外两个惯性积，
对于惯性张量的计算问题，平行 移轴定理也是成立的，下面给出 其中两个表达式，其余的四个表 达式与此类似：
W 2 L2
H
dz
W 2 L2 H
4 M M I xz WH , I yz HL 4 4
A A
M WL 4
I zz C I zz M ( xc2 yc2 ) I xy C I xy M ( xc yc )
L /2
L /2
x 2dm 2
L /2
0
x 2 dx 2
( L / 2) 3
3
图6-2 匀质杆绕质心惯性矩
2
M L3 1 2 ML2 L 3 8 12
平行移轴定理：刚体绕任意平行于质心轴的惯性矩为 I C I Md 2 （6-5） 其中CI 表示刚体绕质心轴的惯性矩，M为刚体质量，d为两轴之间的距离。 若已知刚体绕质心轴的惯性矩，则刚体绕任意平行轴的惯性矩可以非常方便 地利用平行移轴定理（6-5）进行计算。 例如，计算图6-2所示匀质杆绕杆端点的惯性矩，根据平行移轴定理， 1 L 1 I C I Md 2 ML2 M ( )2 ML2 12 2 3 dv {A} 可以验证，与采用积分方法计算的结果相同。
刚体的惯性张量
Z
A
r
对于在三维空间自由运动的刚体，存在无穷多 个可能转轴，计算绕所有转轴的惯性矩显然是 V 不现实的。 因此需要考虑这样的问题： Y X 是否存在一个量，它能够表示刚体绕任意转轴的 答案是肯定的，该量就是刚体的惯性张量。 图6-3 空间刚体的惯性张量 惯性矩？ 它描述了刚体的三维质量分布，若惯性张量在某坐标系下表示出来，它 是一个3阶对称矩阵。定义了固连的坐标系{A}，在坐标系{A}中惯性张量为：
3
惯性张量是一个对称矩阵，各元素的值为，
I xx y z 2 dv
V V
V
I xy xy dv
V V
I xx A I I xy I xz
I xy I yy I yz
（6-8）
刚体定轴转动与惯性矩
I 刚体定轴转动微分方程： （6-1） 其中I称为绕固定轴的惯性矩（也称为转动惯量），是作用在固定轴上的 合外力矩。 质量为m的质点，其在直线上运动的动力学问题可以用牛顿第二定律描述：
f （6-2） 或者 mx 比较（6-1）和（6-2）式可以发现，刚体定轴转动和质点的直线运动的动力 学方程的形式是完全相同的。因此，I可以看成刚体定轴转动的惯性质量。
第6章 机器人动力学
机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动 力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。 机器人动力学问题分为两类： 一类是已知作用在机器人上驱动力随时间的变规律，求机器人的运动规 律（位置、速度和加速度轨迹），称为机器人正动力学问题；
另一类是已知机器人随时间的运动规律，求期望的驱动力，称为机器人 逆动力学问题。