2013年安徽省高考数学试卷(理科)及解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（ ） A． 1+i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i
2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（ ）
A． B． C． D． 3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ） A． 平行于同一个平面的两个平面平行 B． 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C． 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内 D． 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条 D． 既不充分也不必要条件
5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ） A． 这种抽样方法是一种分层抽样 B． 这种抽样方法是一种系统抽样 C． 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D． 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数
6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ） A． {x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B． {x|＜﹣1＜x＜﹣lg2} C． {x|x＞﹣lg2} D． {x|x＜﹣lg2}
7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A． θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B． θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2 C． θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D． θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1 8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得=…=，则n的取值范围是（ ）
A． {3，4} B． {2，3，4} C． {3，4，5} D． {2，3} 9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足==2，则点集{P|，，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（ ） A． B． C． D．
10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x 的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上 11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a= _________ ．
12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= _________ ．
13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为 _________ ．
14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是 _________ ． 15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 _________ （写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形
②当CQ=时，S为等腰梯形 ③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R= ④当＜CQ＜1时，S为六边形 ⑤当CQ=1时，S的面积为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求ω的值； （2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．
17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f （x）＞0} （Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）； （Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上 （1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； （2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上． 19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°， （1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； （2）求cos∠COD．
20．（13分）（2013•安徽）设函数fn（x）=﹣1+x+），证明： （1）对每个n∈N+，存在唯一的xn，满足fn（xn）=0； （2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．
21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X． （I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （II）求使P（X=m）取得最大值的整数m． 2013年安徽省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z=（ ） A． 1+i B． 1﹣i C． ﹣1+i D． ﹣1﹣i
考点： 复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件． 专题： 计算题． 分析： 设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，
b，则复数z可求． 解答： 解：设z=a+bi（a，b∈R），则，
由，得（a+bi）（a﹣bi）i=2（a+bi）， 整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．
则，解得． 所以z=1+i． 故选A． 点评： 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当是不等于实部，虚部等于虚部，是基础题．
2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（ ）
A． B． C． D． 考点： 程序框图． 专题： 图表型． 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．
解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出S=++的值 ∵S=++=． 故选D． 点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ） A． 平行于同一个平面的两个平面平行 B． 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C． 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内 D． 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
考点： 平面的基本性质及推论． 专题： 规律型． 分析： 根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理． 解答： 解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理； 而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理． 故选A． 点评： 本题考查了公理的意义，比较简单．
4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条 D． 既不充分也不必要条件
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先看当“a≤0”时，去掉绝对值，结合二次函数的图象求出函数f（x）=|（ax﹣1）x|是否在在区间（0，+∞）内单调递增；再反过来当函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增时，a≤0是否成立即可． 解答： 解：当“a≤0”时，x∈（0，+∞）
f（x）=|（ax﹣1）x|=﹣a（x﹣）x，结合二次函数图象可知 函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增． 若a＞0，如取a=1，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|=|（x﹣1）x|，当x∈（0，+∞）时
f（x）=，如图所示，它在区间（0，+∞）内有增有减， 从而得到函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增得出a≤0． ”a≤0”是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件． 故选C．
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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘帖的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题时可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；如果事件A，B独立，那么P（AB）=P(A)*P(B)第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数,若z*i+2=2 z ,则z = （）（A）1+i（B）1-i（C）-1+i（D）-1-i（2）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（A）（B）（C）（D）（3）在下列命题中，不是公理的是（A）同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）若果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（4）“α≤0”是“函数f（x）= |（αx-1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)-理科数学
安徽理科本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．,．在试题卷、草稿纸上答题无效4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.参考公式:如果事件A与B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A与B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013安徽,理1)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z=().A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案:A解析:设z=a+b i(a,b∈R),则由z·i+2=2z得(a+b i)(a-b i)i+2=2(a+b i),即(a2+b2)i+2=2a+2b i,所以2a=2,a2+b2=2b,所以a=1,b=1,即z=a+b i=1+i.2.(2013安徽,理2)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().A. B. C. D.答案:D解析:开始2<8,s=0+,n=2+2=4;返回,4<8,s=,n=4+2=6;返回,6<8,s=,n=6+2=8;返回,8<8不成立,输出s=.3.(2013安徽,理3)在下列命题中,不是．．公理的是().A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案:A解析:由立体几何基本知识知,B选项为公理2,C选项为公理1,D选项为公理3,A选项不是公理.4.(2013安徽,理4)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:函数f(x)的图象有以下三种情形:a=0a>0a<0由图象可知f(x)在区间(0,+∞)内单调递增时,a≤0,故选C.5.(2013安徽,理5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生.随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是().A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案:C解析:五名男生成绩的平均数为(86+94+88+92+90)=90,五名女生成绩的平均数为(88+93+93+88+93)=91,五名男生成绩的方差为==8,五名女生成绩的方差为=--=6,所以,故选C.6.(2013安徽,理6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为-或,则f(10x)>0的解集为().A.{x|x<-1或x>-lg2}B.{x|-1<x<-lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}答案:D解析:由题意知-1<10x<,所以x<lg=-lg2,故选D.7.(2013安徽,理7)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为().A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1答案:B解析:由题意可知,圆ρ=2cosθ可化为普通方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x=0和x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2,故选B.8.(2013安徽,理8)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,x n,使得=…=,则n的取值范围是().A.{3,4}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}答案:B解析:=…=可化为----=…=--,故上式可理解为y=f(x)图象上一点与坐标原点连线的斜率相等,即n可看成过原点的直线与y=f(x)的交点个数.如图所示,由数形结合知识可得,①为n=2,②为n=3,③为n=4.9.(2013安徽,理9)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||==2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是().A.2B.2C.4D.4答案:D解析:以为邻边作一个平行四边形,将其放置在如图平面直角坐标系中,使A,B两点关于x轴对称,由已知||=||=·=2,可得出∠AOB=60°,点A(,1),点B(,-1),点D(2,0).现设P(x,y),则由=λ+μ得(x,y)=λ(,1)+μ(,-1),即-由于|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R,可得--画出动点P(x,y)满足的可行域为如图阴影部分,故所求区域的面积为2×2=4.10.(2013安徽,理10)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是().A.3B.4C.5D.6答案:A解析:由f'(x)=3x2+2ax+b=0得,x=x1或x=x2,即3(f(x))2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解.如图所示,x1<x2x2<x1由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解,因此3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答,在试题卷上答题无效．．．．．．．．．.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013安徽,理11)若的展开式中x4的系数为7,则实数a=.答案:解析:∵的通项为x8-r a r(-)r=a r x8-r-a r--,∴8-r-=4,解得r=3.∴a3=7,得a=.12.(2013安徽,理12)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案:π解析:∵3sin A=5sin B,∴3a=5b.①又∵b+c=2a,②∴由①②可得,a=b,c=b,∴cos C=--=-,∴C=π.13.(2013安徽,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a 的取值范围为.答案:[1,+∞)解析:如图,设C(x0,)(≠a),A(-,a),B(,a),则=(--x0,a-),=(-x0,a-).∵CA⊥CB,∴·=0,即-(a-)+(a-)2=0,(a-)(-1+a-)=0,∴=a-1≥0,∴a≥1.14.(2013安徽,理14)如图,互不相同的点A1,A2,…,A n,…和B1,B2,…,B n,…分别在角O的两条边上,所有A n B n相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等.设OA n=a n.若a1=1,a2=2,则数列{a n}的通项公式是.答案:a n=-解析:设=S,∵a1=1,a2=2,OA n=a n,∴OA1=1,OA2=2.又易知△OA1B1∽△OA2B2,∴.∴梯形=3=3S.∵所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等,且△OA1B1∽△OA n B n,∴--.∴-,a n=-.15.(2013安徽,理15)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形②当CQ=时,S为等腰梯形③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=④当<CQ<1时,S为六边形⑤当CQ=1时,S的面积为答案:①②③⑤解析:当CQ=时,D1Q2=D1+C1Q2=,AP2=AB2+BP2=,所以D1Q=AP,又因为AD1∥2PQ,所以②正确;当0<CQ<时,截面为APQM,且为四边形,故①也正确,如图(1)所示;图(1)如图(2),当CQ=时,由△QCN∽△QC1R得,即,C1R=,故③正确;图(2)如图(3)所示,当<CQ<1时,截面为五边形APQMF,所以④错误;当CQ=1时,截面为APC1E,图(3),故⑤正确.可知AC1=,EP=,且四边形APC1E为菱形,四边形三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(2013安徽,理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解:(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(2)由(1)知,f(x)=2sin.若0≤x≤,则≤2x+.当≤2x+,即0≤x≤时,f(x)单调递增;当≤2x+,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.17.(2013安徽,理17)(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}.(1)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);(2)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根x1=0,x2=, 故f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}.因此区间I=,I的长度为.(2)设d(a)=,则d'(a)=-.令d'(a)=0,得a=1.由于0<k<1,故当1-k≤a<1时,d'(a)>0,d(a)单调递增;当1<a≤1+k时,d'(a)<0,d(a)单调递减.所以当1-k≤a≤1+k时,d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而------<1,故d(1-k)<d(1+k).因此当a=1-k时,d(a)在区间[1-k,1+k]上取得最小值--.18.(2013安徽,理18)(本小题满分12分)设椭圆E:-=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解:(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=-.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率,直线F2P的斜率-,故直线F2P的方程为y=-(x-c).当x=0时,y=-,即点Q坐标为-.因此,直线F1Q的斜率为-.由于F1P⊥F1Q,所以··-=-1.化简得-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.19.(2013安徽,理19)(本小题满分13分)如图,圆锥顶点为P,底面圆心为O,其母线与底面所成的角为22.5°,AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;(2)求cos∠COD.(1)证明:设面PAB与面PCD的交线为l.因为AB∥CD,AB不在面PCD内,所以AB∥面PCD.又因为AB⊂面PAB,面PAB与面PCD的交线为l,所以AB∥l.由直线AB在底面上而l在底面外可知,l与底面平行.(2)解:设CD的中点为F.连接OF,PF.由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD.因为OP⊥底面,CD⊂底面,所以OP⊥CD.又OP∩OF=O,故CD⊥面OPF.又CD⊂面PCD,因此面OPF⊥面PCD.从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF,故∠OPF为OP与面PCD所成的角.由题设,∠OPF=60°.设OP=h,则OF=OP·tan∠OPF=h·tan60°=h.根据题设有∠OCP=22.5°,得OC=.由1=tan45°=-和tan22.5°>0,可解得tan22.5°=-1,因此OC=-=(+1)h.在Rt△OCF中,cos∠COF=,故cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=2()2-1=17-12.20.(2013安徽,理20)(本小题满分13分)设函数f n(x)=-1+x++…+(x∈R,n∈N*).证明:(1)对每个n∈N*,存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0;(2)对任意p∈N*,由(1)中x n构成的数列{x n}满足0<x n-x n+p<.证明:(1)对每个n∈N*,当x>0时,f'n(x)=1++…+->0,故f n(x)在(0,+∞)内单调递增.由于f1(1)=0,当n≥2时,f n(1)=+…+>0,故f n(1)≥0.又f n=-1+≤-=-·---=-·-<0,所以存在唯一的x n∈,满足f n(x n)=0.(2)当x>0时,f n+1(x)=f n(x)+>f n(x),故f n+1(x n)>f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,x n+1<x n,故{x n}为单调递减数列,从而对任意n,p∈N*,x n+p<x n.对任意p∈N*,由于f n(x n)=-1+x n++…+=0,①f n+p(x n+p)=-1+x n+p++…++…+=0.②①式减去②式并移项,利用0<x n+p<x n≤1,得x n-x n+p=-≤-.因此,对任意p∈N*,都有0<x n-x n+p<.21.(2013安徽,理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;(2)求使P (X=m )取得最大值的整数m.解:(1)因为事件A :“学生甲收到李老师所发信息”与事件B :“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,所以 与 相互独立.由于P (A )=P (B )=- -,故P ( )=P ( )=1-,因此学生甲收到活动通知信息的概率P=1---.(2)当k=n 时,m 只能取n ,有P (X=m )=P (X=n )=1.当k<n 时,整数m 满足k ≤m ≤t ,其中t 是2k 和n 中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为( )2.当X=m 时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k-m.仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m-k.由乘法计数原理知:事件{X=m }所含基本事件数为- --- - -.此时P (X=m )=- - -- --. 当k ≤m<t 时,P (X=m )≤P (X=m+1)⇔ - --- - -⇔(m-k+1)2≤(n-m )(2k-m )⇔m ≤2k-. 假如k ≤2k-<t 成立,则当(k+1)2能被n+2整除时, k ≤2k- <2k+1-≤t.故P (X=m )在m=2k- 和m=2k+1-处达最大值;当(k+1)2不能被n+2整除时, P (X=m )在m=2k-处达最大值.(注:[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2k-<t. 因为1≤k<n ,所以2k- -k= - -- --≥0. 而2k- -n=- -<0,故2k-<n. 显然2k-<2k. 因此k ≤2k-<t.。
2013年高考安徽试题数学
2013年高考安徽试题数学2013年高考安徽试题数学是安徽省高考数学科目的考试试题，旨在测试学生的数学知识和解题能力。
本文将针对2013年高考安徽试题数学进行详细分析和解答，帮助考生更好地理解和掌握数学考试的要点。
题目一：已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2-1，则f(g(x))=？题目二：已知一等差数列的前两项为2和5，若该数列的公差为3，则该数列的第n项是多少？题目三：已知点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，若直线AB和直线BC分别为直线y=kx，求k的值。
题目四：若三边长分别为a，b，c的三角形的面积为S，则根据海伦公式，三角形的周长P可以表示为P=？解答一：根据题目，我们需要计算函数f(g(x))，即先计算g(x)，再将结果带入f(x)中。
首先计算g(x)：g(x)=x^2-1。
然后将g(x)的结果带入f(x)：f(g(x))=2(x^2-1)+1=2x^2-2+1=2x^2-1。
所以，f(g(x))=2x^2-1。
解答二：根据题目，我们需要计算等差数列的第n项。
已知前两项为2和5，公差为3。
我们可以使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d来求解。
代入已知条件，得到an=2+(n-1)3=2+3n-3=3n-1。
所以，该数列的第n项是3n-1。
解答三：根据题目，我们需要求解直线AB和直线BC的斜率k。
直线的斜率可以通过两点的坐标差的比值来求解。
根据题目已知，点A(1, 2)，点B(3, 4)，点C(5, 6)。
首先求解直线AB的斜率：k_AB=(4-2)/(3-1)=2/2=1。
然后求解直线BC的斜率：k_BC=(6-4)/(5-3)=2/2=1。
所以，直线AB和直线BC的斜率均为1。
解答四：根据题目，我们需要求解三角形的周长P。
已知三边长分别为a，b，c，根据海伦公式，三角形的面积S可以表示为S=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为三角形的半周长，s=(a+b+c)/2。
2013年安徽高考数学试卷(理科)WORD版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3（9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB === 则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）43（10）若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）62013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
2013年高考安徽试题数学
2013年高考安徽试题数学你好！针对2013年高考安徽试题数学，我将尽力提供一些回答。
请注意，由于题目可能因年份和具体内容而异，以下回答仅供参考，具体请参考官方发布的正式题目和答案。
一、选择题（共30分，每题3分）1.（3分）已知函数f(x) = x³ - 6x² + 9x + R，则f(2) = .答案：5。
通过将2代入函数中，我们可以得到f(2) = 2³- 6*2²+ 9*2 + R = 5。
2.（3分）在极坐标系中，点P(3, π/3)到直线θ = 2kπ的最近距离为 .答案：3。
在极坐标系中，点P(3, π/3)转化为直角坐标为(3, 3√3/2)。
直线θ = 2kπ可以转化为直角坐标为x = 0。
最近距离即为点P到x轴的距离，即3√3/2。
3.（4分）已知数列｛an｝的通项公式为an = n(n+1)，则｛an｝的前n项和为 .答案：n(n+1)(n+2)/3。
由于数列｛an｝的通项公式为an = n(n+1)，所以前n项和可以通过公式Sn = n(n+1)(n+2)/3来计算。
二、填空题（共18分，每题3分）4. （3分）在平面直角坐标系中，点A(4, 0)关于原点的对称点为B，设线段AB的垂直平分线为l，当l经过点C( - 1, 3)，则l的函数表达式为_____.答案：y = - x + 4。
由于点A(4, 0)关于原点的对称点为B，所以B的坐标为( - 4, 0)。
线段AB的垂直平分线为l，且经过点C( - 1, 3)，因此可以设l的函数表达式为y = kx + b，其中k为斜率。
将点C的坐标代入函数表达式中，得到b = -1 + 4 = 3，再根据垂直平分线的性质得到k = -1，因此l的函数表达式为y = - x + 4。
5. （3分）已知函数f(x) = x³ - 6x² + 9x + R在区间[a, b]上的值域为[R, R]，则R = _____.答案：可能是正数也可能是负数或零。
2013安徽数学高考电子版
开始S=0，1s s n=+n=n+28n <输出s 结束否是2013年安徽卷理科数学解答（全部word 版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若z +2=2z zi ， 则z =（ A ）（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ D ）（A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112（3）在下列命题中，不是公理．．的是（ A ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ C ）（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ C ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（ D ）（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ B ） （A ）=0()cos =2R ∈θρρθ和 （B ）=()cos =22R ∈πθρρθ和（C ） =()cos =12R ∈πθρρθ和 （D ）=0()cos =1R ∈θρρθ和（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（ B ） Oa b xy（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3 （9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满（ D ）足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R =++≤∈λμλμλμ所表示的区域的面积 是（ D ）（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）43（10）若函数32()=+x +b +f x x a x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23()+2()+=0f x af x b 的不同实根个数是（ A ）（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6解答:显然()()12=,=f x x f x x 是方程23(())2()0f x af x b ++=的两个实根，所以，画图知选A.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
高考数学试卷(2013安徽卷附详细答案)
本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524 （C ）34（D ）1112（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x（7）在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和（8）函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3（9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是（A） （B）（C ）（D）（10）若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
13年高考真题——理科数学(安徽卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ⋅+=，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i --（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） （A ）16 （B ）2524 （C ）34 （D ）1112（3）在下列命题中，不是公理．．的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）“0a ≤”是“函数()()|1|f x ax x =-在区间()0,+∞内单调递增”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93。
下列说法一定正确的是（ ） （A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数（6）已知一元二次不等式()0f x <的解集为{}|112x x x <->或，则()1010xf >的解集为（ ） （A ）{}|1lg2x x x <->-或 （B ）{}|1lg2x x -<<- （C ）{}|lg2x x >- （D ）{}|lg2x x <-（7）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） （A ）()0R θρ=∈和cos 2ρθ= （B ）()2R θπρ=∈和cos 2ρθ= （C ）()2R θπρ=∈和cos 1ρθ= （D ）()0R θρ=∈和cos 1ρθ=（8）函数()y f x =的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到()2n n ≥个不同的数12,,,n x x x ，使得()()()1212n nf x f x f x x x x ===。
【推荐】2013年安徽省高考数学试卷(理科)
2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）设i是虚数单位，是复数的共轭复数，若（•）i+2=2，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．3．（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．（5分）“a≤0”是“函数f（）=|（a﹣1）|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数6．（5分）已知一元二次不等式f （）＜0的解集为{|＜﹣1或＞}，则f （10）＞0的解集为（ ）A ．{|＜﹣1或＞﹣lg2}B ．{|﹣1＜＜﹣lg2}C ．{|＞﹣lg2}D ．{|＜﹣lg2}7．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．θ=0（ρ∈R ）和ρcos θ=2B ．θ=（ρ∈R ）和ρcos θ=2C ．θ=（ρ∈R ）和ρcos θ=1D ．θ=0（ρ∈R ）和ρcos θ=18．（5分）函数y=f （）的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n （n ≥2）个不同的数1，2，…，n ，使得=…=，则n 的取值范围是（ ）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}9．（5分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）若函数f （）=3+a 2+b+c 有极值点1，2，且f （1）=1，则关于的方程3（f （））2+2af （）+b=0的不同实根个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）若的展开式中4的系数为7，则实数a= ． 12．（5分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b+c=2a ，3sinA=5sinB ，则角C= ．13．（5分）已知直线y=a 交抛物线y=2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为 ．14．（5分）如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n =a n ，若a 1=1，a 2=2，则数列{a n }的通项公式是 ．15．（5分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ ＜时，S 为四边形②当CQ=时，S 为等腰梯形③当CQ=时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R= ④当＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ=1时，S 的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）已知函数f （）=4cos ω•sin （ω+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f （）在区间[0，]上的单调性． 17．（12分）设函数f （）=a ﹣（1+a 2）2，其中a ＞0，区间I={|f （）＞0} （Ⅰ）求I 的长度（注：区间（a ，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数∈（0，1），当1﹣≤a ≤1+时，求I 长度的最小值．18．（12分）设椭圆E ：的焦点在轴上（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．19．（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．20．（13分）设函数fn （）=﹣1++++…+（∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的∈[，1]，满足fn（n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中n构成数列{n}满足0＜n﹣n+p＜．21．（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系位学生参加（n和都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（=m）取得最大值的整数m．2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）设i是虚数单位，是复数的共轭复数，若（•）i+2=2，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】设出复数=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数可求．【解答】解：设=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．则，解得．所以=1+i．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选：D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3．（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【分析】根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选：A．【点评】本题考查了公理的意义，比较简单．4．（5分）“a≤0”是“函数f（）=|（a﹣1）|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．【解答】解：当a=0时，f（）=||，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（）=|（a﹣1）|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（）=|（a﹣1）|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（）=|（a﹣1）|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（）=|（a﹣1）|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C ．【点评】本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数【分析】根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s 2=[（1﹣）2+（2﹣）2+…+（n ﹣）2]求解即可．【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样． 五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8． 五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选：C．【点评】本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分）已知一元二次不等式f（）＜0的解集为{|＜﹣1或＞}，则f（10）＞0的解集为（）A．{|＜﹣1或＞﹣lg2} B．{|﹣1＜＜﹣lg2}C．{|＞﹣lg2} D．{|＜﹣lg2}【分析】由题意可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，由指数函数的单调性可得解集．【解答】解：由题意可知f（）＞0的解集为{|﹣1＜＜}，故可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10＞﹣1，而10＜可化为10＜，即10＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：＜﹣lg2故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7．（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cos θ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R ），ρcos θ=2．故选：B ．【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8．（5分）函数y=f （）的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n （n ≥2）个不同的数1，2，…，n ，使得=…=，则n 的取值范围是（ ）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3} 【分析】由表示（，f （））点与原点连线的斜率，结合函数y=f （）的图象，数形结合分析可得答案． 【解答】解：令y=f （），y=，作直线y=，可以得出2，3，4个交点，故=（＞0）可分别有2，3，4个解．故n 的取值范围为2，3，4．故选：B ．【点评】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（，f （））点与原点连线的斜率是解答的关键．9．（5分）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由两定点A ，B 满足==2，说明O ，A ，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P 点坐标，由平面向量基本定理，把P 的坐标用A ，B 的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P 所表示区域的面积． 【解答】解：由两定点A ，B 满足==2，=﹣，则||2=（﹣）2=﹣2•+=4，则||=2，说明O ，A ，B三点构成边长为2的等边三角形． 不妨设A （），B （）．再设P （，y ）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为．故选：D ．【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．10．（5分）若函数f （）=3+a 2+b+c 有极值点1，2，且f （1）=1，则关于的方程3（f （））2+2af （）+b=0的不同实根个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【分析】求导数f ′（），由题意知1，2是方程32+2a+b=0的两根，从而关于f （）的方程3（f （））2+2af （）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案． 【解答】解：f ′（）=32+2a+b ，1，2是方程32+2a+b=0的两根， 由3（f （））2+2af （）+b=0，得=1，或=2，即3（f （））2+2af （）+b=0的根为f （）=1或f （2）=2的解． 如图所示，由图象可知f（）=1有2个解，f（）=2有1个解，因此3（f（））2+2af（）+b=0的不同实根个数为3．故选：A．【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）若的展开式中4的系数为7，则实数a= ．【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：由通项公式Tr+1==，∵的展开式中4的系数为7，∴，解得．故答案为．【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= ．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）已知直线y=a交抛物线y=2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）． 故答案为[1，+∞）．【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14．（5分）如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OAn =a n ，若a 1=1，a 2=2，则数列{a n }的通项公式是．【分析】设，利用已知可得A 1B 1是三角形OA 2B 2的中位线，得到==，梯形A 1B 1B 2A 2的面积=3S ．由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S ．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n ．【解答】解：设，∵OA 1=a 1=1，OA 2=a 2=2，A 1B 1∥A 2B 2，∴A 1B 1是三角形OA 2B 2的中位线，∴==，∴梯形A 1B 1B 2A 2的面积=3S ．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S ．∵所有A n B n 相互平行，∴所有△OA n B n （n ∈N *）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n ﹣1）×3=3n ﹣2．∴．因此数列{an }的通项公式是．故答案为．【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．15．（5分）如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 ①②③⑤ （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ ＜时，S 为四边形 ②当CQ=时，S 为等腰梯形③当CQ=时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R= ④当＜CQ ＜1时，S 为六边形 ⑤当CQ=1时，S 的面积为．【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当CQ=时，即Q 为CC 1中点，此时可得PQ ∥AD 1，AP=QD 1==，故可得截面APQD 1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q 向C 移动时，满足0＜CQ ＜，只需在DD 1上取点M 满足AM ∥PQ ，即可得截面为四边形APQM ，故①正确； ③当CQ=时，如图，延长DD 1至N ，使D 1N=，连接AN 交A 1D 1于S ，连接NQ 交C 1D 1于R ，连接SR ，可证AN ∥PQ ，由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R ：D 1R=C 1Q ：D 1N=1：2，故可得C 1R=，故正确；④由③可知当＜CQ ＜1时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q 与C 1重合，取A 1D 1的中点F ，连接AF ，可证PC 1∥AF ，且PC 1=AF ，可知截面为APC 1F 为菱形，故其面积为AC 1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）已知函数f （）=4cos ω•sin （ω+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f （）在区间[0，]上的单调性．【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于是[0，]范围内的角，得到2+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f （）在区间[0，]上的单调性．【解答】解：（1）f （）=4cos ωsin （ω+）=2sin ω•cos ω+2cos 2ω=（sin2ω+cos2ω）+=2sin （2ω+）+，所以 T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f （）=2sin （2+）+，因为0≤≤，所以≤2+≤，当≤2+≤时，即0≤≤时，f （）是增函数， 当≤2+≤时，即≤≤时，f （）是减函数，所以f （）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．17．（12分）设函数f （）=a ﹣（1+a 2）2，其中a ＞0，区间I={|f （）＞0} （Ⅰ）求I 的长度（注：区间（a ，β）的长度定义为β﹣α）； （Ⅱ）给定常数∈（0，1），当1﹣≤a ≤1+时，求I 长度的最小值．【分析】（Ⅰ）解不等式f （）＞0可得区间I ，由区间长度定义可得I 的长度； （Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d （a ）=，利用导数可判断d （a ）的单调性，由单调性可判断d （a ）的最小值必定在a=1﹣或a=1+处取得，通过作商比较可得答案．【解答】解：（Ⅰ）因为方程a ﹣（1+a 2）2=0（a ＞0）有两个实根1=0，＞0，故f （）＞0的解集为{|1＜＜2}， 因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d （a ）=，则d ′（a ）=，令d ′（a ）=0，得a=1，由于0＜＜1，故当1﹣≤a ＜1时，d ′（a ）＞0，d （a ）单调递增；当1＜a ≤1+时，d ′（a ）＜0，d （a ）单调递减，因此当1﹣≤a ≤1+时，d （a ）的最小值必定在a=1﹣或a=1+处取得，而=＜1，故d （1﹣）＜d （1+），因此当a=1﹣时，d （a ）在区间[1﹣，1+]上取得最小值，即I 长度的最小值为．【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．18．（12分）设椭圆E ：的焦点在轴上（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P （0，y 0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P 的斜率=，直线F 2P 的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q 的斜率=．利用F1Q ⊥F 1P ，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P 的坐标． 【解答】解：（1）∵椭圆E 的焦距为1，∴，解得．故椭圆E 的方程为．（2）设P （0，y 0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中．由题设可知：0≠c ．则直线F 1P 的斜率=，直线F 2P 的斜率=．故直线F 2P 的方程为．令=0，解得．即点Q．因此直线F1Q 的斜率=．∵F1Q ⊥F 1P ，∴=．化为．联立，及0＞0，y 0＞0，解得，．即点P 在定直线+y=1上．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题．19．（13分）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°，（1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．【分析】（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．【解答】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt △OCF 中，cos ∠COF===∴cos ∠COD=cos （2∠COF ）=2cos 2∠COF ﹣1=17﹣12【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．20．（13分）设函数f n （）=﹣1++++…+（∈R ，n ∈N +），证明：（1）对每个n ∈N +，存在唯一的∈[，1]，满足f n （n ）=0； （2）对于任意p ∈N +，由（1）中n 构成数列{n }满足0＜n ﹣n+p ＜．【分析】（1）由题意可得f ′（）＞0，函数f （）在（0，+∞）上是增函数．求得f n （1）＞0，f n （）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．（2）由题意可得f n+1（n ）＞f n （n ）=f n+1（n+1）=0，由 f n+1（） 在（0，+∞）上单调递增，可得 n+1＜n ，故n ﹣n+p ＞0．用 f n （）的解析式减去f n+p （n+p ）的解析式，变形可得n ﹣n+p =+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．【解答】证明：（1）对每个n ∈N +，当＞0时，由函数f n （）=﹣1++），可得f ′（）=1+++…＞0，故函数f （）在（0，+∞）上是增函数．由于f 1（1）=0，当n ≥2时，f n （1）=++…+＞0，即f n （1）＞0．又f n （）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的n ，满足f n （n ）=0．（2）对于任意p ∈N +，由（1）中n 构成数列{n }，当＞0时，∵f n+1（）=f n （）+＞f n （），∴f n+1（n ）＞f n （n ）=f n+1（n+1）=0．由 f n+1（） 在（0，+∞）上单调递增，可得 n+1＜n ，即 n ﹣n+1＞0，故数列{n }为减数列，即对任意的 n 、p ∈N +，n ﹣n+p ＞0． 由于 f n （n ）=﹣1+n +++…+=0 ①，f n+p （n+p ）=﹣1+n+p +++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用 0＜n+p ≤1，可得n﹣n+p=+≤≤＜=＜．综上可得，对于任意p ∈N +，由（1）中n 构成数列{n }满足0＜n ﹣n+p ＜． 【点评】本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．21．（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系位学生参加（n和都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（=m）取得最大值的整数m．【分析】（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量的取值范围，由于≤n故要分两类=n与＜n 进行研究，=n时易求，＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当=n时，m只能取n，此时有P（=m）=P（=n）=1当＜n时，整数m满足≤m≤t，其中t是2和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给位”所包含的基本事件总数为（）2，当=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣，由乘法原理知：事件{=m}所包含的基本事件数为P（=m）==当≤m＜t时，P（=M）＜P（=M+1）⇔（m﹣+1）2≤（n﹣m）（2﹣m）⇔m ≤2﹣假如≤2﹣＜t成立，则当（+1）2能被n+2整除时，≤2﹣＜2+1﹣＜t，故P（=M）在m=2﹣和m=2+1﹣处达到最大值；当（+1）2不能被n+2整除时，P（=M）在m=2﹣[]处达到最大值（注：表示不超过的最大整数），下面证明≤2﹣＜t因为1≤＜n，所以2﹣﹣=≥=≥0而2﹣﹣n=＜0，故2﹣＜n，显然2﹣＜2因此≤2﹣＜t综上得，符合条件的m=2﹣[]【点评】本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分。
[VIP专享]2013年高考数学全解全析-安徽卷(理)
2013年高考数学全解全析－安徽卷（理）第Ⅰ卷一、选择题1．设i 是虚数单位.是复数z 的共轭复数．若z ·i ＋2＝2z ，则z ＝( )z z A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b iz 则Error!解得Error!因此z ＝1＋i.2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.B.C.D.162524341112答案 D解析 赋值S ＝0，n ＝2进入循环体：检验n ＝2<8，S ＝0＋＝，1212 n ＝2＋2＝4；检验n <8，S ＝＋＝，121434 n ＝4＋2＝6；检验n <8，S ＝＋＝，34161112 n ＝6＋2＝8，检验n ＝8，脱离循环体，输出S ＝.11123．在下列命题中，不是公理的是( )A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A解析 B 、C 、D 选项是公理．4．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ＝0，f (x )＝|x |在(0，＋∞)上单调递增；若a ≠0，f (x )＝|(ax －1)x |＝(ax －1)2x 2f ′(x )＝；2a 2x (x －12a )(x －1a )|(ax －1)x |当x >0时，若a <0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增．若a >0，由f ′(x )>0解得0<x <或x >.12a 1a 因此“a ≤0”⇔“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”．5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数答案 C解析 男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x 15女＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91，x 15s ＝(42＋42＋22＋22＋02)＝8，2甲15s ＝(32＋22＋22＋32＋22)＝6.2乙156．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为，则f (10x )>0的解集为( ){x |x <－1或x >12}A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}答案 D解析 由已知条件0<10x <，解得x <lg ＝－lg 2.12127．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝(ρ∈R )和ρcos θ＝2π2C ．θ＝(ρ∈R )和ρcos θ＝1π2D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1答案 B解析 如图，在极坐标系中圆ρ＝2cos θ与圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝和π2ρcos θ＝2.8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得＝f (x 1)x 1＝…＝，则n 的取值范围为( )f (x 2)x 2f (xn )xnA ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}答案 B解析 过原点作直线与函数y ＝f (x )的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取值范围是{2,3,4}．9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足||＝||＝·＝2，则点集OA → OB→ OA → OB →{P |＝λ＋μ.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )OP → OA → OB→ A ．2B ．2C ．4D ．42323答案 D解析 由||＝||＝·＝2，OA OB OA OB 知cos ∠AOB ＝，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝，12π3点集{P |＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域如图所示；OP → OA → OB→其面积为4S △AOB ＝4.310．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知x 1≠x 2，且Error!若x 1<x 2，作y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点．即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同的实根．若x 1>x 2，如图同理方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．二、填空题11．若8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.(x ＋a3x )答案 12解析 T r ＋1＝C x 8－r r ＝a r C x 8－r ，由8－r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C ＝7，则a 3＝，a ＝.r 8(a3x )r 8434338181212．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝，c ＝2a －b ＝5b 37b3cos C ＝＝－，又0<C <π，因此角C ＝.a 2＋b 2－c 22ab122π313．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a由Error!得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知Error!解得a ≥1.14．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2解析 由已知S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1＝S 梯形A n ＋1B n ＋1B n ＋2A n ＋2S △OB n ＋1A n ＋1－S △OB n A n＝S △OB n ＋2A n ＋2－S △OB n ＋1A n ＋1，即S △OB n A n ＋S △OB n ＋2A n ＋2＝2S △OB n ＋1A n ＋1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA ＋OA ＝2OA ，即a ＋a ＝2a ，2n 2n ＋22n ＋12n 2n ＋22n ＋1因此{a }为等差数列a ＝a ＋3(n －1)＝3n －2，2n 2n 21a n ＝.3n －215．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <时，S 为四边形；12②当CQ ＝时，S 为等腰梯形；12③当CQ ＝时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝；3413④当<CQ <1时，S 为六边形；34⑤当CQ ＝1时，S 的面积为.62答案 ①②③⑤解析 截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <，则M 在线12段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为12等腰梯形，命题②正确；当CQ ＝时，由△PCQ ∽△ADM ，＝，则DM ＝AD ·＝.连接MQ 交34DM AD CQPC CQ PC 32C 1D 1于R 点＝＝，即D 1R ＝2C 1R ，又D 1R ＋C 1R ＝1，则C 1R ＝故命题③正确．当<CQ <1时，C 1RD 1R C 1Q D 1M 121334连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题④错误．当CQ ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为，，则S 的面积··＝，故命题⑤正确．23122362三、解答题16．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ω>0)的最小正周期为π.(ωx ＋π4)(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间上的单调性．[0，π2]解 (1)f (x )＝4cos w x ·sin(w x ＋π4)＝2sin ωx ·cos ωx ＋2cos 2ωx22＝(sin2 ωx ＋cos2 ωx )＋22＝2sin＋.(2 ωx ＋π4)2因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1.2π2ω(2)由(1)知，f (x )＝2sin＋.(2x ＋π4)2若0≤x ≤，π2则≤2x ＋≤.π4π45π4当≤2x ＋≤.π4π4π2即0≤x ≤时，f (x )单调递增；π8当≤2x ＋≤，π2π45π4即≤x ≤时，f (x )单调递减．π8π2综上可知，f (x )在区间上单调递增，[0，π8]在区间上单调递减．[π8，π2]17．设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解 (1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝.a1＋a 2故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝，(0，a1＋a 2)I 的长度为.a1＋a 2(2)设d (a )＝，a1＋a 2则d ′(a )＝.1－a 2(1＋a 2)2令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而＝＝<1.d (1－k )d (1＋k )1－k 1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )22－k 2－k 32－k 2＋k 3故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值.1－k2－2k ＋k 218．设椭圆E ：＋＝1的焦点在x 轴上．x 2a 2y 21－a 2(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．(1)解 因为焦距为1，所以2a 2－1＝，解得a 2＝.1458故椭圆E 的方程为＋＝1.8x 258y 23(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝.2a 2－1由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝.y 0x 0＋c 直线F 2P 的斜率kF 2P ＝.y 0x 0－c故直线F 2P 的方程为y ＝(x －c )．y 0x 0－c 当x ＝0时，y ＝，即点Q 坐标为.cy 0c －x 0(0，cy 0c －x 0)因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝.y 0c －x 0由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝·＝－1.y 0x 0＋c y 0c －x 0化简得y ＝x －(2a 2－1)①2020将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限．解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2.即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；(2)求cos ∠COD .(1)证明 设面PAB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l .由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)解 设CD 的中点为F ，连接OF ，PF .由圆及等腰三角形的性质知，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD .因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF .故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°＝h .3根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝＝.OPtan ∠OCP htan 22.5°由1＝tan 45°＝和tan 22.5°>0，2tan 22.5°1－tan222.5°可解得tan 22.5°＝－1.2因此OC ＝＝(＋1)h .h2－12在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝＝＝－.OFOC 3h(2＋1)h 63故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝2(－)2－1＝17－12.63220．设函数f n (x )＝－1＋x ＋＋＋…＋(x ∈R ，n ∈N *)．证明：x 222x 332xn n 2(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n∈，满足f n(x n)＝0；[23，1](2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <.1n 证明 (1)对每个n ∈N *，当x >0时，f n ′(x )＝1＋＋…＋>0.x 2xn －1n 故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，fn (1)＝＋＋…＋>0.故f n (1)>0.1221321n 2所以存在唯一的x n∈，满足f n(x n)＝0.[23，1](2)当x>0时，f n ＋1(x)＝f n (x)＋>f n (x)，xn ＋1(n ＋1)2故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f (n ＋1)(x)在(0，＋∞)内单调递增知x n ＋1<x n .故{x n }为单调递减数列．从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p <x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋＋…＋＝0.①x 2n 22xn nn 2f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋＋…＋＋＋…＋＝0.②x 2n ＋p 22x n n ＋pn 2xn 1n ＋p (n ＋1)2xn n ＋p (n ＋p )2①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得＝－<.∑n ＋p k ＝n ＋11k (k －1)1n 1n ＋p 1n 因此，对任意p ∈N *，都有0<x n －x n ＋p <.1n 21．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .解 (1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以与相互独立．由于P (A )＝P (B )＝＝，故P ()＝P ()＝1－.因此学生甲收到A B C k －1n C k nk n A B kn 活动通知信息的概率P ＝1－2＝.(1－k n )2kn －k 2n 2(2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C )2.当X ＝m 时，同时收到李老是和张老师k n转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －kx 由乘法计数原理知：事件|X ＝m |所含基本事件数为C C C ＝C C C .k n2k －m k m －k n －k k n m －k k m －k n －k此时P (X ＝m )＝＝.C k n C2k －m k C m －k n －k (Ck n )2C m －k k C m －k n －k C k n 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C ≤C C ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )m －k k m －k n －k m ＋1－k k m ＋1－k n －k (2k －m )⇔m ≤2k －.假如k ≤2k －<t 成立．(k ＋1)2n ＋2(k ＋1)2n ＋2则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时．k ≤2k －<2k ＋1－≤t .(k ＋1)2n ＋2(k ＋1)2n ＋2故P (X ＝m )在m ＝2k －和(k ＋1)2n ＋2m ＝2k ＋1－处达最大值；(k ＋1)2n ＋2当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时．P (X ＝m )在m ＝2k －处达最大值．[(k ＋1)2n ＋2](注：[x ]表示不超过x 的最大整数)．下面证明k ≤2k －<t .(k ＋1)2n ＋2因为1≤k <n ，所以2k －－k ＝－1≥(k ＋1)2n ＋2kn －k 2n ＋2＝≥0.k (k ＋1)－k 2－1n ＋2k －1n ＋2而2k －－n ＝－<0.(k ＋1)2n ＋2(n －k ＋1)2n ＋2故2k －<n .显然2k －<2t .(k ＋1)2n ＋2(k ＋1)2n ＋2因此k ≤2k －<1.(k ＋1)2n ＋2。