空间向量的坐标运算PPT课件
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空间向量的直角坐标运算ppt课件
r a(a1,a2,a3)
za
a3k
a1i
a2j
k
y
ij
.x
复习二：平面向量的坐标运算
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
则
ab(x1x2,y1y2)
aab((xx 11 , y x1 2),y 1 ( y2 R ))
abx1x2y1y2
若 A(x1, y1) B(x2,y2) 则 AB x 2 x 1 ,y 2 y 1
(2)若 a b ,求 x,y满足的 。 条件
.
例2：A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2)求
(1)AB,AC
(2)AC在AB上正投影的数量
z
C
o
B
y
D A
x
.
探索与研究
若 1 中 a ( 例 a 1 , a 2 的 , a 3 ) b , ( b 1 , b 2 , b 3 ), 求一向 a,b量 都与 垂直。
AB (x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 )
.
复习三：
平面向量平行和垂直的条件
若
a (x1,y1)
b(x2,y2)
a //b (b 0 ) a b (R)
x1y2x2y10
a b ab0
x1x2y1y20
.
类比三：空间向量平行和垂直的条件
r
r
若 a(a1,a2,a3) b(b1,b2,b3)
a //b (b 0 ) a b2
a 3 b3
当b与三个坐标平面 行都 时不平
a a / /b (b b 0 ) a b ab110ab22
a3 b3
rr
a b a 1 b 1 a 2 .b 2 a 3 b 3 0
空间向量运算的坐标表示 课件(人教版)
2.夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
a b a,b 900 cos a,b 0
a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
数量积运算的证明：
设i, j, k为单位正交基底，则
F(1 2
,
1 2
,1),
EF
(
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
A1(1, 0,1), D(0, 0, 0), DA1 (1,0,1), 1 11
A
EF
DA1
(
2
,
2
,
) 2
(1, 0,1)
0,
x
D1
F
C1
B1
EC
DO
y
B
EF DA1即: EF DA1
a b a1b1 a2b2 1.距离公式 | a | a a a12 a22
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.夹角公式 cos a,b a b a1b1 a2b2
| a | | b | a12 a22 b12 b22
a b a,b 900 cos a,b 0 a b 0 a1b1 a2b2 0
a b (a1 b1, a2 b2 )
a (a1,a2)( R)
a // b a b
即a1
b1, a2
b2 ,
a1 b1
a2 b2
, a1b2
a2b1
0
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
设M=（x，y），若M是线段AB的中点，
x x1 x2 , y y1 y2
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
| a | | b | a12 a22 a32 b12 b22 b32
a b a,b 900 cos a,b 0
a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
数量积运算的证明：
设i, j, k为单位正交基底，则
F(1 2
,
1 2
,1),
EF
(
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
A1(1, 0,1), D(0, 0, 0), DA1 (1,0,1), 1 11
A
EF
DA1
(
2
,
2
,
) 2
(1, 0,1)
0,
x
D1
F
C1
B1
EC
DO
y
B
EF DA1即: EF DA1
a b a1b1 a2b2 1.距离公式 | a | a a a12 a22
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2.夹角公式 cos a,b a b a1b1 a2b2
| a | | b | a12 a22 b12 b22
a b a,b 900 cos a,b 0 a b 0 a1b1 a2b2 0
a b (a1 b1, a2 b2 )
a (a1,a2)( R)
a // b a b
即a1
b1, a2
b2 ,
a1 b1
a2 b2
, a1b2
a2b1
0
AB OB OA (x2 x1, y2 y1)
设M=（x，y），若M是线段AB的中点，
x x1 x2 , y y1 y2
1.3空间向量及其运算的坐标表示 课件(共19张PPT).ppt
(x,0,0)
(0,y,0)
(0,0,z)
点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
新知讲授
八个卦限及坐标的符号
Ⅲ
z
yoz 面
6
zox 面
Ⅱ
Ⅳ
xoy 面
o
Ⅵ
x
Ⅶ
Ⅷ
Ⅱ
点P所在卦限 Ⅰ
(+,+,+) (-,+,+)
坐标符号
Ⅵ
点P所在卦限 Ⅴ
(+,+,-) (-,+,-)
(3)C（-1,-3,3）；
z
C(-1,-3,3)
•
(-1,-3,0)
C1
•
(2,-2,0)
B1
Oห้องสมุดไป่ตู้
1
•
B•
(2,-2,-1)
1
x
•
1
• A(1,4,1)
y
•
A1(1,4,0)
新知讲授
特殊位置的点的坐标
5
z
•
F
C
•
1
•
O•
• A1
E
1
•
•
D
B
y
x
点P的位置
坐标形式
原点O
X轴上A
y轴上B
z轴上C
(0,0,0)
D1 B1 中点，求证： EF DA1
15
16
例题讲解
例 3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1
中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱 A1B1,C1D1上，
(0,y,0)
(0,0,z)
点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F
坐标形式
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
新知讲授
八个卦限及坐标的符号
Ⅲ
z
yoz 面
6
zox 面
Ⅱ
Ⅳ
xoy 面
o
Ⅵ
x
Ⅶ
Ⅷ
Ⅱ
点P所在卦限 Ⅰ
(+,+,+) (-,+,+)
坐标符号
Ⅵ
点P所在卦限 Ⅴ
(+,+,-) (-,+,-)
(3)C（-1,-3,3）；
z
C(-1,-3,3)
•
(-1,-3,0)
C1
•
(2,-2,0)
B1
Oห้องสมุดไป่ตู้
1
•
B•
(2,-2,-1)
1
x
•
1
• A(1,4,1)
y
•
A1(1,4,0)
新知讲授
特殊位置的点的坐标
5
z
•
F
C
•
1
•
O•
• A1
E
1
•
•
D
B
y
x
点P的位置
坐标形式
原点O
X轴上A
y轴上B
z轴上C
(0,0,0)
D1 B1 中点，求证： EF DA1
15
16
例题讲解
例 3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1
中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱 A1B1,C1D1上，
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
课件5：3.1.4空间向量的直角坐标运算
|b|＝_____________________________，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，
＋y
－y
＋z
－z
2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，
＋y
－y
＋z
－z
2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
1.3.2空间向量运算的坐标表示-高二数学课件
a − b = (a1 − b1 ，a2 − b2 ，a3 − b3 )，
λa = (λa1 ，λa2 ，λa3 )，
a ∙ b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
新知探究
空间向量运算的坐标表示
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
设{Ԧi，Ԧj，k}为空间的一个单位正交基底，则
上，且∠ = 90° , ∠ = 30° ,求
(1)向量的坐标；(2)向量，夹角的余弦值.
解: (1)过作 ⊥ 于，则 = ∙
1
2
1
2
= − ∙ 60° = 1 − = ,
1
2
所以点坐标为 0， − ，
又因为 0，1，0 ，
所以 = 0， −
22 + 02 + (−8)2 = 2 17.
(2) ∵ ∙ = (1， − 3，2) ∙ (2，0， − 8) = −14，
∴ < ， >=
∙
||||
=
−14
14×2 17
=−
238
.
34
例题讲解
练习6.如图， = 2,原点是的中点，点的坐标为
z
P1
如图建立空间直角坐标系Oxyz，
k
设P1 (x1 ，y1 ，z1 )，P2 (x2 ，y2 ，z2 )是空间中任意两点，
则P1 P2 = OP2 − OP1 = (x2 − x1 ，y2 − y1 ，z2 − z1 ).
于是P1 P2 = |P1 P2 | =
P1 P2 ∙ P1 P2 =
P2
(1)求AM的长.(2)求BE1 与DF1 所成角的余弦值.
3
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课件(共45张PPT)
[解] (1)建立如图所示的空间直角坐标 系．点 E 在 z 轴上，它的 x 坐标、y 坐标均为 0，而 E 为 DD1 的中点，故其坐标为0，0，12.
由 F 作 FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为 M，N， 由平面几何知识知 FM＝12，FN＝12， 故 F 点坐标为12，12，0. 点 G 在 y 轴上，其 x、z 轴坐标均为 0，
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路 (1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如， 设向量 a＝(x，y，z)． (2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已 知 a∥b，则引入参数 λ，有 a＝λb，再转化为方程组求解． (3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
利用坐标运算解决夹角、距离问题
1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的 坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．
2．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向 量―A→B 的坐标等于终点坐标减起点坐标．即―A→B ＝(x2－x1， y2－y1，z2－z1)．
[跟踪训练] 1．(2019·福建三明高二期末质量检测)已知 A(1，－2,0)和向量
空间向量的坐标表示
[ 例 1] ( 链 接 教 材 P18 例 1) 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，建立适当的坐标系．
(1)写出 E，F，G，H 的坐标； (2)写出向量―E→F ，―G→H 的坐标．
又 GD＝34，故 G 点坐标为0，34，0. 由 H 作 HK⊥CG 于 K，由于 H 为 C1G 的中点． 故 HK＝12，CK＝18，∴DK＝78， 故 H 点坐标为0，78，12. (2)―E→F ＝―O→F －―O→E ＝12，12，－12， ―G→H ＝―O→H －―O→G ＝0，18，12.
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1．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
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2
2．空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) ，
|AB|＝
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3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
则O（0，0，0）；A（2，0，0）； B（1，1，0）；
S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）； O
y
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
COB SAOB 2 10 SA OB 5 2 5
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
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10
uuur
uuur
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的
r uuur r uuur
依题意,有 n AB 0且n AC 0 ,即
x 2y 4z 0 2x 4 y 3z 0
解得z=0且rx=2y,令y=1,则x=2
∴平面 的一个法向量是 n (2,1,0)
2020/4/2
7
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
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问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
B1
C1
AB1 (1,0,1), AC (1,1,0)
A
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
则n AB1 0, n AC 0
X1+z1=0
x
所以 X1+y1=0 取x1=1,得y1=z1=-1
B C
故n=(1,-1,-1)
cos n, B1C1
n B1C1 n B1C1
010 1 3
直线l
与平面
所成的角为
(0≤ ≤
), sin
au rr
；
2
au
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例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
B1C1 (0,1,0),
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
r n (4, 3, 6)
r
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
,uuyu,rz )
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
2
2
求平面ABC的单位法向量为 (1，- 2，2） 3 33
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11
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12
六、夹角：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
rr
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
), cos
ab rr
；
2
ab r r
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6
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
解:∵ Au(u1ur,2,3) 、B(2,0u,u-ur1) 、C(3,-2,0)
∴
AB (1,2,4), AC (2,4,3)
r
设平面 的法向量是 n (x, y, z)
3 3
故所20求20/4直/2 线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为
3 3
D1 D
y
14
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z
3.向ur量n 是平面的法向量，向
量m 是与平r面ur平行或在平面
内，则有 n m 0
5
垂直关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则r r r r
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
单位法向量。
r 解：设平面的法向量为n （x，y，z），
r uuur r uuur 则n AB，n AC
（x，y，z）g(2, 2,1) 0，（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx
r n
2y z 0
5y 3z 0
(1 , 1,1),
r |n
, 取z
| 3
1，得
x y
1 2 1
B(3cosα，3sinα，1)，则| |的取值范围是 ( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]
解析：∵ ＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴| |∈[1,5].
答案：B
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4
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
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8
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
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1
1．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
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2
2．空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) ，
|AB|＝
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3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
则O（0，0，0）；A（2，0，0）； B（1，1，0）；
S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）； O
y
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
COB SAOB 2 10 SA OB 5 2 5
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
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uuur
uuur
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3),求平面ABC的
r uuur r uuur
依题意,有 n AB 0且n AC 0 ,即
x 2y 4z 0 2x 4 y 3z 0
解得z=0且rx=2y,令y=1,则x=2
∴平面 的一个法向量是 n (2,1,0)
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问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
r
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
r ∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
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问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
B1
C1
AB1 (1,0,1), AC (1,1,0)
A
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
则n AB1 0, n AC 0
X1+z1=0
x
所以 X1+y1=0 取x1=1,得y1=z1=-1
B C
故n=(1,-1,-1)
cos n, B1C1
n B1C1 n B1C1
010 1 3
直线l
与平面
所成的角为
(0≤ ≤
), sin
au rr
；
2
au
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例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
B1C1 (0,1,0),
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
r n (4, 3, 6)
r
解:设平面 r uuur
ArBCu的uur一个u法uur向量为
n
(
x
,uuyu,rz )
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
2
2
求平面ABC的单位法向量为 (1，- 2，2） 3 33
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六、夹角：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
rr
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤
), cos
ab rr
；
2
ab r r
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例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
解:∵ Au(u1ur,2,3) 、B(2,0u,u-ur1) 、C(3,-2,0)
∴
AB (1,2,4), AC (2,4,3)
r
设平面 的法向量是 n (x, y, z)
3 3
故所20求20/4直/2 线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为
3 3
D1 D
y
14
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z
3.向ur量n 是平面的法向量，向
量m 是与平r面ur平行或在平面
内，则有 n m 0
5
垂直关系：
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则r r r r
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
单位法向量。
r 解：设平面的法向量为n （x，y，z），
r uuur r uuur 则n AB，n AC
（x，y，z）g(2, 2,1) 0，（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx
r n
2y z 0
5y 3z 0
(1 , 1,1),
r |n
, 取z
| 3
1，得
x y
1 2 1
B(3cosα，3sinα，1)，则| |的取值范围是 ( )
A.[0,5]
B.[1,5]
C.(1,5)
D.[1,25]
解析：∵ ＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴| |∈[1,5].
答案：B
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r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
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在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平r行;
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