感生电动势和感生电场
第33-34讲 感生电动势及感生电场
第九周学习内容第33讲感生电动势及感生电场第34讲感生电动势例题第35讲涡电流及电磁阻尼第36讲自感与互感第33讲 感生电动势及感生电场 第34讲 感生电 动势例题感生电动势：回路中单纯由磁场变化产生的感应电动势。
d ∂∂LSBEl St d ⋅=-⋅⎰⎰感生感LEli d ε=⋅⎰i SBSt t d d d Φε∂=-=-⋅∂⎰感生电场 ：产生感生电动势的非静电起源的作用力本质上是一种电场力。
感Ed d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂d 0SE S ⋅=⎰感生感应电场为非保守场、无源场、涡旋场实际电场感生静电E E E +=d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰∂∂环路定理： d 0Sq E ε∑⋅=⎰内S 高斯定理：感生电场的计算：当磁场分布于圆柱形区域内且具有轴对称性时，可利用感生电场的环路定理计算出感生电场的空间分布。
d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂)(t B RLr d d 2r B E t=-感生当 r < R 时， d d 22R B E r t=-感生当 r > R 时，感生电场线为以对称轴为中心的同心圆环。
关于感生电场的方向和感生电场环路中负号的讨论。
d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂ 负号源自法拉第电磁感应定律，与感生电场的方向有关。
i d d d 感LE l tΦε=⋅=-⎰由楞次定律，负号可理解为感生电场及相应的感应电流的效果总是反抗或阻止引起它的原因。
由于电流激发磁场遵循右手螺旋定则，自然地，磁场变化的方向与其所激发感生电场的方向间就构成左手螺旋关系。
由于环路积分的方向与面积分中面元矢量的正法线方向满足右手螺旋定则，其中的负号当然就说明的方向与 的方向满足左手螺旋定则。
∂∂B t E 感生在感生电场中电磁感应定律可写成式中 为感应电场中的电场强度。
此式表明： (A) 闭合曲线 L 上处处相等。
(B) 感应电场是保守电场。
电磁感应 4-2 感生电动势、感生电场、涡电流
Ek
R2 2r
dB dt
当 r>R
例 3 如图，随时间变化的磁场均匀分布于半径为 R 的 圆柱形区域内，磁场方向平行于轴线。长为 L 的金属 棒位于圆形区域弦 ab 位置。若 dB/dt > 0，求金属棒中 感生电动势的大小。
解一：由于磁场分布具有轴对称性，
可知感生电场线是一系列以 O 为圆
× ×
选取如图以轴线为中心的半径为 r
B(t) z
逆时针方向的圆作为积分路径 L
R
由感生电L E场k d的l 环路S 定Bt 理dS
l
r
S
当 r<R 时
Ek
2r
dB dt
r
2
L
圆柱形区域内（磁场存在区 域内）激发的感生电场为
Ek
r 2
dB dt
当 r<R
当 r>R 时
Ek
2r
dB dt
R2
圆柱形区域外（磁场存在区 域外）激发的感生电场为
麦克斯韦大胆提出假设：变化的磁 场在其周围空间会激发电场，即感 生电场。感生电场力就是产生感生 电动势的非静电力。
感生电场不同于静电场。静电场由 静止电荷产生，而感生电场是由变 化的磁场激发 (详细讨论见后面) 感生电场的电场强度为 Ek ， 则电荷 q 所受的感生电场力 F qEk 回路 L 中的感生电动势
dΦ
dt
事实上，计算动生电动势和感生电动势并不要求导体 必须形成闭合回路，但用法拉第定律时必须要求导体 形成闭合回路才可计算（可做辅助线形成回路）
三、感生电场
比较感生电动势的两种观点（磁通量变化、非静电力
做功）得到闭合回路 L 上感生电场的环路定理
S 为以 L 为边界的任意曲面， 其法线方向与回路 L 绕行方向 成右手螺旋关系
电磁感应现象的两类情况 课件
力
导体中自由电 荷所受洛伦兹 力沿导体方向 的分力
感生电动势
动生电动势
回路中相当于电 处于变化磁场中 做切割磁感线运动的导
源的部分
的线圈部分
体
通常由右手定则判断，也 方向判断方法 由楞次定律判断
可由楞次定律判断
大小计算方法
由 E＝nΔΔΦt 计算
通常由 E＝Blvsinθ 计算， 也可由 E＝nΔΔΦt 计算
3．感生电场可用电场线形象描述，但感生电场的电场 线是闭合曲线，所以感生电场又称为涡旋电场．这一点与 静电场不同，静电场的电场线不闭合．
4．感生电场可以对带电粒子做功，可使带电粒子加速 和偏转．
二、感生电动势与动生电动势的对比
感生电动势 动生电动势
产生原因
导体做切割磁 磁场的变化
感线运动
感生电场对自 移动电荷的非
3．感生电场的方向 磁场变化时，垂直磁场的闭合环形回路(可假定 存在)中 感应电流 的方向就表示感生电场的方向.
电磁感应现象中的洛伦兹力
1.成因：导体棒做切割磁感线，导体棒中的自由电荷 随棒一起定向运动，并因此受到 洛伦兹力．
2．动生电动势 (1)定义：如果感应电动势是由于 导体运动 产生的， 它也叫做动生电动势． (2)非静电力：动生电动势中，非静电力是洛伦兹力 沿 导体棒方向的分力．
势 E2＝ΔΔΦt22＝ΔΔBt22S，由 ΔB1＝ΔB2，Δt2＝2Δt1，故 E1＝2E2， 由此可知，A 项正确．
答案：A
电磁感应中的能量转化与守恒
图中虚线为相邻两个匀强磁场区域 1 和 2 的边 界，两个区域的磁场方向相反且都垂直于纸面，磁感应强 度大小都为 B，两个区域的高度都为 L.一质量为 m、电阻 为 R、边长也为 L 的单匝矩形导线框 abcd，从磁场区域 上方某处竖直自由下落，ab 边
10-2感生电场
1、变化的磁场产生感生电动势
2、感生电动势与涡旋电场的关系
3、涡旋电场的性质 4、涡电流（涡流）
5、感生电动势及感生电场的计算
一．变化的磁场产生感生电动势
当回路 1中电流发生 变化时，在回路 2中 出现感应电动势。
1
Φm 2
G
ε
R
动生电动势 非静电力 洛仑兹力 电磁感应 感生电动势 非静电力
导体MN在 t = 0 时， = 0 x y 求： (t )
× × × × ×
× B× ×
×
× × × × × × × ×
M
×
×
× ×
0
θ ×
×
×v ×
× × × ×
×
N
x
ds xtgdx d B ds kx cos t xtgdx (ktg ) x 2 cos tdx B dS
E感 0
讨论
（2） B ，则 B t 0
E 感 与 L 积分方向切向相反。
在圆柱体外，由于B=0 故 L上 B t 0 L E感 dl 0
于是 L上 E感 0
虽然 B t 在 L 上每点为0，但在 S 上则并非如此。 由图可知，这个圆面积包括柱体内部分的面积，而 柱体内 B t 0
B L E感 dl dS S t E 感 是涡旋场（非位场）
不能引入电位概念
由变化磁场产生
E 库 线是“有头有尾”的， E 感 线是“无头无尾”的
起于正电荷而终于负电荷 是一组闭合曲线
1 q E库 dS 0 S E 库是发散场，
感生电动势
感生电动势一、感生电动势当一个相对静止的导体闭合回路处于随时间变化的磁场中时，穿过导体闭合回路的磁通量也会发生变化，导体中产生感应电动势，称为感生电动势。
二、感生电场1、麦克斯韦假设相对静止的导体闭合回路因磁场变化能产生感生电动势，这说明回路中的电荷由于磁场的变化受到了某种力的作用。
电荷受力的作用分为两种，一种是静电场所施的库仑力，另一种是施于运动电荷的洛仑兹力。
然而，在产生感生电动势的过程中，即没有静电场也没有电荷的运动。
因此，感应电动势的非静既不是静电场的静电力，也不是洛仑兹力，我们用以前学过的知识已无法解释感生电动势的微观机制。
为了解释感生电动势非静电力的起源，英国科学家麦克斯韦提出一个假设：变化磁场在其周围空间会激发一种电场，这种电场称为感生电场或涡旋电场。
这种电场不管空间有无导体或导体回路，不管是介质还是真空它都存在。
这种感生电场对导体中电荷的作用力就是构成感应电动势的非静电力。
麦克斯韦的这一假设已被许多实验所证实。
2、感生电场的性质电场从起源上分为两种：一种是由电荷激发的静电场（库仑电场），用表示；另一种是由变化磁场激发的感生电场，用表示。
这两种电场有一个共同的特点，即对处于电场中的电荷有作用力。
但感生电场的电场力不同于库仑电场的电场力，它是一种非静电力。
如果在感生电场中放入导体，则导体中的在感生电场力的作用下将发生定向运动，在导体中形成电动势；如果导体构成闭合回路，就产生感应电流。
因此，感生电动势的非静电力就是感生电场力，它是形成感生电动势的起因和本质。
根据定义，感生电动势等于感生电场沿某一闭合曲线的线积分，即根据法拉第电磁感应定律，有其中是穿过闭合曲线所包围曲面上的磁通量，即则由于和静止不动，故上式右边对曲面的积分和对时间的积分次序可以互换，因而有感生电场沿的积分方向就是感生电动势是正方向，它与回路法线矢量构成右手螺旋关系。
一般情况下，空间可能既存在电荷，又存在变化的磁场，因而它们激发的两种电场也就可能同时存在。
3感生电动势(大学物理 - 电磁感应部分)
的环路，分割导体
元 dl， 在 dl 上产生的感生
R o
h E感 r
dl
电动势为： d i E 感dl cos
i di E 感dl cos
由上题结果，圆形区 域内部的感生电场：
E感
R dB
2 dt
o
RrBiblioteka 例2：圆形均匀分布的磁场半径为 R，
磁场随时间均匀增 加，
dB k dt
在磁场中放置一长
为 L 的导体棒，求
棒中的感生电动势。
R
o B
L
E感 作用在导体棒上，
使导体棒上产生一个 向右的感生电动势，
感生电场 E感
由变化的磁场激发
电力线为闭合曲线 dB 0 dt
静电场为散场
E感
感生电场为有旋场
静电场E
感生电场E感
为保守场作功与路径无关 为非保守场作功与路径有关
电 场
E dl 0
的
性
静电场为有源场
质
E
dS
q
0
i
E感
dl
d m
dt
感生电场为无源场 E感 d S 0
d dt
s B
dS
如果回路面积不变则有：
i E感 d l sddBt d S
五、感生电场的计算与举例
1. 要求环路上各点的 E感大小相等，方向
与路径方向一致；
2.要求磁场均匀变化 dB 常量 , dt
且 d B // d S ; dt
克斯韦 感生电场和感应电动势的关系
克斯韦感能生电场和感应电动势的关系感生电场和感应电动势是电磁学中重要的概念，它们对于理解电磁现象和应用电磁原理具有重要意义。
克斯韦定律是描述感生电场和感应电动势之间关系的基本原理，本文将从理论和实际应用两个方面详细阐述克斯韦定律对感生电场和感应电动势的影响。
一、克斯韦定律的理论基础克斯韦定律是基于麦克斯韦方程组推导得出的，它描述了磁场的变化会在空间中感生电场，从而引起感应电动势。
具体而言，克斯韦定律可以表述为：当磁场穿过一个闭合线圈时，产生的感应电动势与磁场的变化率成正比。
这一关系可以用数学公式表示为：ɛ = -dΦB/dt，其中ɛ表示感应电动势，ΦB表示磁通量，t表示时间。
克斯韦定律的理论基础在于磁场的变化会导致电场的产生，这一原理是电磁学的基本原理之一，也是电磁感应现象的重要表现。
通过克斯韦定律，我们可以深入理解磁场和电场之间的耦合关系，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论依据。
二、克斯韦定律在应用中的意义克斯韦定律不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也具有广泛的应用价值。
克斯韦定律可以用来解释和分析感应电动势产生的机制，在发电机、变压器等电气设备中起着重要作用。
克斯韦定律也可以应用于感应加热、感应熔炼等热能转换技术中，实现能量的转换和利用。
克斯韦定律还可以用来探测地下矿藏、地壳构造等大地物理勘探领域，在石油、矿产勘探中具有重要作用。
克斯韦定律在实际应用中的意义主要体现在以下几个方面：1. 工程设计：在发电机、变压器、感应加热设备等电气设备中，克斯韦定律可以用来分析电磁感应现象，指导设备的设计和优化。
2. 能源转换：在能源转换领域，克斯韦定律可以应用于感应加热、感应熔炼等技术，实现能量的高效转换和利用。
3. 地球勘探：在地球物理勘探领域，克斯韦定律可以用来探测地下矿藏、地壳构造等地质信息，为资源勘探和开发提供重要依据。
三、克斯韦定律的局限性和发展虽然克斯韦定律在描述感生电场和感应电动势之间的关系方面有着重要的意义，但也存在一定的局限性。
感生电动势 感生电场.
B t
3. 特殊情况下感生电场的计算
空间均匀的磁场限制在半径为 R 的圆柱内， B 的方向平行柱轴 且有 求：E感生 分布 解：设场点距轴心为r ,根据对称性，取以 o为心，过场点的圆周环路 L
dB c dt
L B 0
感生 动生
ε ε ε
1 tg ω v 3 t 3 sin ωt =3k θ
感生
动 3 2
3 2 v k tg θ t cosω t
动生
ωt θ v t cos = B l v = k tg
感
=
Φ 1 tg ω v 3 t 3 sin t ω t = 3 k θ
N
×
×
x ×
d Φ = B .dS = k x cosω t.x tg θ dx 2 cosω t dx x = k tg θ
dS = x tg θ dx
y ××Βιβλιοθήκη ×B××
×
×
×
×
×
×
×
×
0
Φ = B .dS
x 2
θ x
×
×
×
×
×
dx
x
1 3 cos ω d x tg x t k x = 0 k tg θ = 3 θ cosω t d Φ -1 tg ( 3 2 dx 3 sin ) ω t ω ω t x cos e = dt = 3 k θ x dt 1 tg 3 2 v ω t k tg = 3 k θ ω v 3 t 3 sin θ t cosω t
c. 静电场是由静止电荷产生的，感生电 场是由变化磁场产生的。
二. 感生电场的计算
1. 原则
大学物理13-3感生电动势
I
a
l
b 图1
解： 设顺时针绕向为矩形线圈的回路正方向．
则 d B d S Bl d r, B 0I
2 r
b 0I l d r 0I l ln b
a 2 r
2 a
i
d dt
它的柱形电磁铁在两极间产生磁场。在磁场中 安置一个环形真空管道作为电子运行的通道。当磁 场发生变化时，就会沿管道方向产生感应电场。射 入其中的电子就受到这感应电场的持续作用而被不 断加速。
电子感应加速器
为了使电子在环形真空室中按一定的轨道运动，
电磁铁在真空室处的磁场的 值必B须满足
R mv 常量 eB
忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与
对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感应电
动势 Ei 并讨论 Ei方向．
I (t)
a
b
v
解：线框内既有感生又有动生电动势．设顺时针
绕向为回路正方向．
(t)
B
d
S
ab
0 I
(t) x(t)
d
y
a 2y
0 I (t)x(t) ln a b
b
(x vt)
§13－3 感生电动势
1. 感生电场
当导体回路不动，由于磁场变化引起磁通量改变 而产生的感应电动势，叫做感生电动势。
变化的磁场在其周围激发了一种电场，这种电场
称为感生 电场。 以 表E示感生电场的场强，根据电磁感应定律，
则有（ 为选d l定的回路方向）
i
L
或
Edl d dt
LE d l
电磁感应现象的两类情况
14
二、洛伦兹力与动生电动势
15
理论分析：
× × × × × × ×
_× _ _
f f ×
×
× × ×
v
× × ×
_ _ _
f
× ×
17
二、洛伦兹力与动生电动势
一段导体切割磁感线运动时相当于一个电源，这时非 静电力与洛伦兹力有关。由于导体运动而产生的电动 势叫动生电动势
动生电动势的大小：若导线与磁场垂直，则电动势大 小为
E Blv
18
动生电动势 特 点 原 因 非的 静来 电源 力 磁场不变，闭合电路的整 体或局部在磁场中运动导 致回路中磁通量的变化 由于S的变化引起 回路中变化
二、洛伦兹力与动生电动势
例3如图，导体AB在做切割磁感线运动时，将产生 一个电动势，因而在电路中有电流通过，下列说法 中正确的是（ AB ） A．因导体运动而产生的感应电动势称为动生 电动势 B．动生电动势的产生与洛仑兹力有关 C．动生电动势的产生与电场力有关 D．动生电动势和感生电动势产生的原因是一 样的
感生电动势 闭合回路的任何部分都不 动，空间磁场发生变化导 致回路中磁通量变化 由于B的变化引起 回路中变化 变化磁场在它周围空间激发 涡旋电场，非静电力就是感 生电场力，由感生电场力对 电荷作功而产生电动势 楞次定律判断
19
非静电力就是洛仑兹力， 由洛仑兹力对运动电荷 作用而产生电动势
方 向
右手定则
铁
芯
线圈
磁场 B 电 子 束
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z
n
I
0
R k e er r
S
E E
E
E
图a
2018/12/3
11
由 S E感 d s 0 ，有 E感 r ( r ) 0 。
0 nI k，r R B rR 0 ， 由无限长和轴对称条件，应有 E 感 E 感 ( r ) 。
解：方向
无限长直载流螺线管有：
E感 z ( r ) 0 。 故应有： E感是极矢量，
2018/12/3
该电流系统对垂直轴线的反射面反演不变，
E感 ( r ) E感 ( r )e E感 e
综上述大于零
E dl Edl＝2rE
1. 感生电 动势
2018/12/3 2
麦克斯韦（Maxwell）提出：变化的磁场可以 激发非静电性质的电场 — 感生电场 E感 。
B 感 E感 d l d s t L s
感生电场是非保守场 — 有旋电场（curl electric field）， 它不存在相应的“势”的概念。 研究一个矢量场，必须搞清它的环量和通量。 E感 的通量如何呢？
内
g
作用力
2018/12/3 9
一般：
E合 E静 E感 （空间存在带电体和变化磁场 ） dB E合 dl ds （非保守力场，涡旋场 dt l s E合 ds
s
q
0
内
（有源场）
2018/12/3
10
四. 感应电场的计算举例 已知：在半径为R的无限长螺线管内部的磁场B随时间作 线性变化（dB/dt=常量）时，求管内外的感生电场E
E
1 dB E r 2 dt
（2）当r>R，
E
2
R dB E 2r dt
O
R
2018/12/3
E的方向沿圆周切线，指向与圆周 内的dB/dt成左旋关系。
电子感应加速器 15
2018/12/3
16
§6－4涡电流
大块金属处于变化磁场中 或在磁场中运动时，其中 产生的感应电流呈涡旋 状——涡电流 大块金属电阻小，涡电流 大，释放大量热量
4
d dB 感应 E感 dl ds dt l dt s E感 dS 0 （无源场）
s
它揭示了电场和磁场是相互联系的。变化磁场激发的感 生电场沿任一闭合回路的线积分一般不等于零。 说明：1）有旋电场是变化的磁场激发的；2）感生电 场不是保守力场，其电场线既无起点也无终点，永远 是闭合的，象旋涡一样。因此，通常把感生电场称为 有旋电场。3）:感生电场同样对电荷有力的作用。产 生感生电动势的 非静电场Ek 正是感生电场 。
2018/12/3
（eddy current）
电磁冶炼：
0
2018/12/3
R
r
1 B E dS 2r S t 1 B 1 2 dB ds R 2r t S 2r dt 13
2018/12/3
14
分析：E感 ( r ) E感 ( r )e
令
E感 e
E E
（1）当r<R，
dB/dt大于零 E
2018/12/3 7
2：感生电场与静电场的比较。
2018/12/3
8
静电场
感生电场
场源
正负电荷
变化的磁场
场 的 性 质
E 静 dS
s
E 感 dS 0 0 有旋电场 s （无源场） （有源场、发散场） B l E感 dl s t ds E dl 0 l 保守场 非保守场
2018/12/3 3
Maxwell假设：E感 线闭合，即：
E感 d s 0
s
这已被实验证实。 B B线( B ) l E感 dl s t ds E感 线与 B 线是相互套联的
E感 线
2018/12/3
曲面S的法线方与曲线L积分方向满 足右手螺旋关系
2018/12/3 6
三、 问题讨论与解答 1：感生电场与磁场的关系.
d m B E感 d l ds l s dt t B l E感 dl s t ds
变化的磁场和它所激发的感生电场，在方向上 足反右手螺旋关系----左手螺旋关系。
L L
n
I 0
R
k r < R： e B B 2 dB er d S dS r t t dt r S S
1 dB E的方向沿圆周切线，指 E r 2 dt 向与圆周内的dB/dt成左
旋关系。
B dS t S
L E感
r > R：
2018/12/3 5
在自然界中存在着两种以不同方式激发的电场， 所激发电场的性质也截然不同。
1. 静电荷激发电场
E dS
s
E dl 0
l
内
g
0
（有源场、发散场）
由静止电荷所激发的电场是保守力场（无旋场）， 在该场中电场强度沿任一闭合回路的线积分恒等 于零。电力线是非闭合的。
§10.3 感生电动势和感生电场
一 . 感生电动势 （Induced emf）
(t)
S
ds
B ( t ) 如图，L不动， B变 感
dΦ d 感 Bd s dt dt S B （不动） L d s S t
1
符号规定：
2018/12/3
的正向与L的绕向成右螺旋关系，
由此定出 d s 法线的正向。
1. 当导体回路S不变，而仅仅磁场B变化时，回路中 磁通量变化导致感应电动势的产生。
2. 思考：由什么提供此非静电力？
1. 二 . 感生电场 （induced electric field） 1. 实验表明， 感与导体回路的材料无关。 感生 E感生 dl