一元二次方程(3)
第3讲 一元二次方程的解法-公式法
第3讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)（3）x（3x－2）－6x2-2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝-16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；例2. m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0（1）有两个相等的实数根？（2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）x2+16x-13=0（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根. 2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．36-±B ．36±C ．323±D ．323-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为__________________．（c ≤1）10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．12．当x=_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 13．若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为______________．14．应用公式法解下列方程:(1) 2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0； (4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.15.小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的2116，图中阴影部分表示道路，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．课后巩固:1．解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t(3) (x+5)(x-2)＝8；（4）x22x+1=0（5）0.4x2-0.8x=1 （6）23y2+13y-2=02.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. （1）养鸭场的面积能达到150m2吗？（2）能达到200 m2吗？（3）能达到250m2吗？如果能，要怎么围？。
3 用公式法求解一元二次方程
2.求出
b2 4ac 的值，
b b2 4ac 2a
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3.代入求根公式: x
4.写出方程的解：
x1、 x2
1.（口答）填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0 【解析】a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 . x= 即 = x1= -2 , x2 = . .
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例题】 【例1】解方程：x2-7x-18=0． 【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
即：x1=9, x2= -2．
【解析】设门的高为 x 尺，根据题 意得 x 2 x 6 .8 2 10 2. 即，2x2-13.6x-53.76＝0. 10 x-6.8 x
解这个方程,得
x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去). ∴x-6.8=2.8．
答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是
9 17 x . 4 16
2
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0)吗? 1.化1:把二次项系数化为1；
b c 解 : x x 0. a a
2Leabharlann 2.移项:把常数项移到方程的右边；
b c x x . a a
2
3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
什么？
2.用公式法解方程应注意的问题是什么？
一元二次方程的应用 (3)
∴销售单价定为：50+30=80元 答：销售单价定为为80元。
自主演练
2．某水果店销售一种成本为5元/kg的水果.在 销售中发现，当这种水果的价格定为7元/kg时， 每天能卖出160kg.在此基础上销售单价每提高1 元/kg ，该水果店每天就会少卖出20kg.
（1）若该水果店每天销售这种水果所获得的利 润是420元，则单价定为多少？ （2）在利润不变的情况下，为了让利于顾客， 单价应定为多少？
24.4一元二次方程的应用 ---营销问题
探究1
某商场经销太阳能路灯，标价为4000元/个。优惠办法是：一 次购买数量不超过80个，按标价收费；一次购买超过80个，每多 买一个，所购路灯每个可降价8元，但单价最低不低于3200元/个. 若顾客一次性购买这种路灯花费516000元，则该顾客实际购买了 多少个路灯？
解：设实际购买路灯为x个. ∵4000×80=320000＜516000，∴购买量超过了80个. 则路灯的售价为——[—40—00—-—8(—x-—8—0)—]元———————，
依据题意可得： x[4000-8(x-80)]=516000 整理得： x2-580x+64500=0 解之得：x1=150, x2=430 (不合题意，舍去） 答：该顾客实际购买了150个路灯
超市在月成本不超过10000元的情况下
自主演练
1．某超市经销一种成本为40元ห้องสมุดไป่ตู้kg的水产品，市场调查
发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每 涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情
况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售 利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？
3 一元二次方程的解法(优质版)
解：(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，
x2－6x＋8＝0，
(x－3)2＝1，
∴x1＝4，x2＝2.
返回
方法 3 用公式法解方程
6．x2＝6x＋1
解：x2＝6x＋1， x2－6x－1＝0， ∴x1＝3＋ 1 0 ，x2＝3－ 1 0 .
返回
7． 2 x－2＝2x2
解： 2 x－2＝2x2，2x2－ 2 x＋2＝0， Δ＝b2－4ac＝2－4×2×2<0， ∴原方程无实数根．
返回
方法 4 用因式分解法解方程
8．(x－1)2－2(x－1)＝0
解：(x－1)2－2(x－1)＝0， (x－1)(x－3)＝0， ∴x1＝1，x2＝3.
返回
9．(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0)2＝0，(x－3)2＝0， ∴x1＝x2＝3.
返回
方法 5 用适当的方法解方程
10．3(x－5)2＝x2－25
解：3(x－5)2＝x2－25， 2(x－5)(x－10)＝0， ∴x1＝5，x2＝10.
返回
11．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2
解：(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2，
4x2＋4x－5＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝16＋80＝96.
择决定命运，环境造就人生！
第21章 一元二次方程
双休创新练(一) 方法技巧训练3 一元二次方程的解法
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方法 1 用直接开平方法解方程
1．(4x－1)2＝225
解：(4x－1)2＝225，
4x－1＝±15，
∴x1＝4，x2＝
21.2解一元二次方程(第3课时)
所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根．
ax2+bx+c=0 (a≠0).
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
.
问题：接下来能用直接开平方解吗？
∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时，
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们 是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站 起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判 断的吗？
3 用公式法求解一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
栏目索引
例 用公式法解方程2x2+3x=4.
解析 移项,得2x2+3x-4=0.
因为a=2,b=3,c=-4,
所以b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0,
所以x= b b2 4ac = 3 41 = 3 41 ,
2a
22
4
所以原方程的解为x1= 3 41 ,x2= 3 41 .
栏目索引
题型一 利用b2-4ac由根的个数确定字母的值或范围
例1 已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0.
(1)当k
时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当k
时,方程有两个相等的实数根;
(3)当k
时,方程没有实数根.
解析 (1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac>0,即(-4)2-4×2k>0, ∴k<2. (2)当方程有两个相等的实数根时,b2-4ac=0,即(-4)2-4×2k=0,∴k=2. (3)当方程无实数根时,b2-4ac<0,即(-4)2-4×2k<0,∴k>2.
∴x= (2 3)
21
0=
3 ,∴x1=x2=
3.
(2)在方程的两边同乘8,得4x2-4x+1=0.
a=4,b=-4,c=1, ∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,
∴x= (4) 0 = 4 = 1 ,∴x1=x2= 1 .
24 8 2
2
(3)将原方程化为一元二次方程的一般形式为 2 x2- 3 x- 2 =0.a= 2 ,b=
根的判别式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
3 用公式法求解一元二次方程
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2 2 2 9 9 9 x 2 x 4. 2 24 4
3.配方:方程两边都加上一次项系 数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合 并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方 程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两相 去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门 的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得
x 2 x 6 . 8 10 2 .
2
10
x
即 2x2-13.6x-53.76＝0. 解这个方程,得 x1 ＝9.6; x2 ＝-2.8(不合题意,舍去). ∴x-6.8=2.8. 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
b
巩固练习
例 1 解方程：x2-7x-18=0 解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
ห้องสมุดไป่ตู้
x
b
b 2 4ac 2a
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 2 1 2
即：x1=9, x2= -2.
x
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(基础)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 3.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.4.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a-+=. ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-. ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-； (3) 2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x= ∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程： x 2﹣3x ﹣2=0． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1) 2x 2+x=2；(2) 3x 2﹣6x ﹣2=0；(3)（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=． 类型二、因式分解法解一元二次方程3．（凉山州模拟）解方程: （1）2x 2﹣3x ﹣2=0；（2）x （2x+3）﹣2x ﹣3=0．【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x （2x+3）﹣（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程． 【答案与解析】解：（1）（2x+1）（x ﹣2）=0， 2x+1=0或x ﹣2=0， 所以x 1=﹣，x 2=2； （2）x （2x+3）﹣（2x+3）=0， （2x+3）（x ﹣1）=0， 2x+3=0或x ﹣1=0， 所以x 1=﹣，x 2=1．【总结升华】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-． 【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如(1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（泗洪县校级模拟）解方程：（1）2x 2﹣x ﹣1=0（2）（x ﹣2）2=6﹣3x ．【答案】解：（1）2x 2﹣x ﹣1=0∴（2x+1）（x ﹣1）=0， ∴x ﹣1=0，2x+1=0，解得：x 1=1，x 2=﹣；（2）（x ﹣2）2=6﹣3x ．方程变形得：（x ﹣2）2+3（x ﹣2）=0， ∴（x ﹣2）（x ﹣2+3）=0， ∴x ﹣2=0，x+1=0， 解得：x 1=2，x 2=﹣1．5．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x2﹣2x+1=0 x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x2﹣3x+2=0 x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x2+x ﹣2=0x1=，x2=﹣1 3x2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1）2x2+5x+2=0x1=﹣，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2）4x2+13x+3=0 x1= ，x2= 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则 ax2+bx+c=a （x ﹣x1）（x ﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=70 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =- 3．一元二次方程2340x x +-=的解是( )A ．11x =；24x =-B ．11x =-；24x =C ．11x =-；24x =-D ．11x =；24x = 4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝76．（河北模拟）已知等腰△ABC 的两条边的长度是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两根，则△ABC 的周长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．8或10二、填空题7．（厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____.8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________． 12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题13．（曲靖一模）解下列方程： （1）2x 2﹣5x+1=0 （2）（x+4）2=2（x+4）14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0，①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】A ；【解析】解：x 2﹣6x+8=0，∴（x ﹣2）（x ﹣4）=0， ∴x 1=2，x 2=4．由三角形的三边关系可得：（两边之和大于第三边）， ∴腰长是4，底边是2， 所以周长是：4+4+2=10． 故选：A ．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0． ∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1．8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0， ∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)3692x ±-⨯⨯-±==，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13. 【解析】解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=1，∴△=25﹣4×2×1=17＞0， 则x=；（2）∵（x+4）2﹣2（x+4）=0，∴（x+4）（x+2）=0， 则x+4=0或x+2=0， 解得：x=﹣4或x=﹣2． 14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0， ∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y 2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-； 当2y =-时，212x +=-，32x =-．∴ 原方程的解为11x =-，232x =-． 15.【解析】 (1)(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； ③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，2420150b ac m -=-=，即34m =； ③当原方程没有实数根时，2420150b ac m -=-<，即34m <．。
《一元二次方程(三))讲义(预科课)》
第十一讲一元二次方程(三）一、增长率问题eg:例1．某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（）A．580（1+x）2＝1185B．1185（1﹣x）2＝580C．580（1﹣x）2＝1185D．1185（1+x）2＝580例2．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件182万个．若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）2＝182C．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182夯1．（练）为了绿化校园，某校计划经过两年时间，让校园的绿地面积从100m2增加到121m2．设平均每年绿地面积增长率为x，则方程可列为（）A．100（1+x）2＝21B．（1+x）+（1+x）2＝21C．100（1+x）2＝121D．（1+x）+（1+x）2＝121夯5．（练）房价上涨成为热点问题．据统计，某地房价由8月份房子每平方均价由5000元涨到10月份每平方均价7200元．（1）求该地这两个月房价的平均增长率；（2）按此速度上涨，11月房价每平方能否超过8500元，请说明理由．二、面积问题1.围猪圈问题例5如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD（含隔离栏EF），花园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为25m．（篱笆的宽度忽略不计）（1）花园面积可能是252m2吗？若可能，求边AB的长，若不可能，说明理由；（2）花园面积可能是330m2吗？若可能，求边AB的长，若不可能，说明理由．夯4．（练）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，则x为.2.铺草坪问题夯6．如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，问小路应为多宽？夯7．如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，可列出的方程正确的是.培3．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．三、握手问题 1.握手问题2.送礼（比赛）问题3. 传染病问题例6.（练）2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA ），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x 支，则可列方程为 ．例7.（练）祁中初三66班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ） A ．9302)1(=-x x B ．9302)1(=+x x C ．x （x +1）＝930 D ．x （x ﹣1）＝930例8.（练）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x 名同学，则可列方程为（ ） A ．x +（x +1）x ＝36 B ．1+x +（1+x ）x ＝36C ．1+x +x 2＝36D ．x +（x +1）2＝36夯3.（练）有n 支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，可列方程是 .培2．（练）有两个人患了流感，经过两轮传染后总共有162人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人．四、商品销售问题例9．新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价x 元，根据题意可列方程（ ）A ． 5000)5048)(2900(=⨯+-x x B ．5000)5048)(400(=⨯+-xxC ．5000)508)(2900(4=+-x xD ．5000)508)(400(4=+-xx例10．某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价上涨m 元，每月能售出 个排球（用m 的代数式表示）．（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．夯9．（练）某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x元．（1）根据题意，填表：每件利润（元）销售量（件）利润（元）降价前4420880降价后①②（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？直1、（练）某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：（1）研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式；（2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？直2、（练）房价上涨成为热点问题．据统计，某地房价由8月份房子每平方均价由5000元涨到10月份每平方均价7200元．（1）求该地这两个月房价的平均增长率；（2）按此速度上涨，11月房价每平方能否超过8500元，请说明理由．直3、（练）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？作业：1.整理笔记2.第十一讲剩余习题。
第03讲 一元二次方程的解法(公式法3种题型)(原卷版)
第03讲一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >1当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a +=，即：42b x a-±=2当240b ac -<时，22404b ac a -<这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．三、用公式法解一元二次方程一般步骤1把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；2确定a 、b 、c 的值；3求出24b ac -的值（或代数式）；4若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．四、根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（）（A ）012=+x （B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x（2）不解方程，判别方程25750x x -+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x --=的根的情况是()（A ）有两个相等实根（B ）有两个不等实根（C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +-=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根（B ）有两个相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根例2.不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x -+=．例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m -+-=．(1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k -+=有实数根，则k 的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．73．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k --=没有实数根，则k 的值可以是（）A ．5-B ．4-C ．3-D ．24．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=没有实数根，则k 的值可以是（）A ．2B ．1C ．0D ．1-5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k --+=没有实数根，则k 的取值范围为（）A ．0k >B ．4k >C ．0k <D ．4k <二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x ---=有实数根，则实数k 的取值范围是______．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a的值为________．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x --+=有实数根，则m 的取值范围是______．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x -+____________0=没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x -+________=0有两个不相等的实数根．三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根．13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a -+-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围．14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值．15．（2023秋·江苏扬州·九年级统考期末）已知关于x 的方程()2200mx nx m +-=≠．(1)若方程有两个相等的实数根，请求出m ，n 的关系；(2)求证：当2n m =-时，方程总有两个实数根．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +-=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax --=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．可能有实数根，也可能没有C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +--=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．0k >B ．0k ≥C ．0k <D ．0k ≤5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A ．1k >-B ．1k <C ．1k >-且0k ≠D ．1k <且0k ≠二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+-x x __________0=有两个相等的实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围是______．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为2-，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x的方程220-．+-=x mx m(1)当该方程的一个根为1-时，求m的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820--=（配方法）x x(2)2320++=（公式法）x x。
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一元二次方程（3）
一 填空题
1.关于x 的方程是(m 2–1)x 2
+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.
2.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0，x ，y 为实数，则x y =_________
3.当k= 时，方程x 2+(k+1)x+k=0有一根是0
4.若两数和为-7，积为12，则这两个数是
5.已知x=-1是方程x 2-ax+6=0的一个根，则a=_____，另一个根为______
6.请写出一个一元二次方程使它有一个根为3 ，
7.如果把一元二次方程 x 2–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是
8.若一个三角形的三边长均满足方程x 2-6x+8=0，则此三角形的周长为
9.已知方程（x+a ）（x-3）=0和方程x 2-2x-3=0的解相同，则a=_______________
10.一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数字的2／7，若设个位数字为x ，则可列出方程________________ 二 选择题
11.一元二次方程x 2-1=0的根为（ ）A 、x ＝1 B 、x ＝－1 C 、x 1＝1，x 2＝－1 D 、x 1＝0，x 2＝1
12.如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）
A 、x 2+3x+4=0
B 、x 2-4x+3=0
C 、x 2+4x-3=0
D 、x 2+3x-4=0
13.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
A ()()12132+=+x x
B 02112=-+x x
C 02=++c bx ax
D 1222-=+x x x 14.已知3是关于x 的方程4x 2／3-2a+1=0的一个解，则2a 的值是（ ）A 11 B 12 C 13 D 14
15.关于x 的一元二次方程x 2+k=0有实数根，则（ ）A k ＜0 B k ＞0 C k ≥0 D k ≤0
16.若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x 为（ ）A ±0.5 B ±1 C ±
22 D ±2 17.若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ）
A 1，0
B -1，0
C 1，-1
D 无法确定
18.用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为 ( ) A 22()2
4p p x += B 224()24p p q x -+= C 224()24p p q x +-= D 224()24
p q p x --=
19.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )（A ）6（B ）-1或6 （C ）-1 （D ）-6
20.某毕业班同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为( )A x(x ＋1)＝1035 B x(x －1)＝1035×2 C x(x －1)＝1035 D 2x(x ＋1)＝1035
三 解答题
21.解方程
（1）9)12(2=-x （2）0322=+x x （3）0432
=-+x x
（4）022=--x x （5）()()752652x x x +=+ （6）42)2)(1(+=++x x x
22.已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x 2
－17x ＋66＝0的根，求此三角形的周长
23.两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm ，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少
32cm 2，求大小两个正方形的边长。
24.西瓜经营户以2元／千克的价格购进一批小型西瓜，以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0．1元，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共花24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元?
25.如图, 在△ABC 中, ∠B = 90°, 点P 从点 A 开始沿AB 边向点B 以 1cm / s 的速度移动, Q 从点B 开始沿
BC 边向C 点以 2 cm / s 的速度移动, 如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发, 几秒钟后, △PBQ 的面积等于8 cm 2 ?
26.（1）已知x 的方程062)2(2=+--x x k 无实根，求k 可取的最大整数
（2）已知方程0243)1(2222=++++++ab ab a x a x 有实根，求b ／a 的值
27.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，•制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整
个挂图的面积是5 400cm 2，求挂图的长与宽。