高数11-1

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自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版

自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2.为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx，c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根:当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理):2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当a,0时，开口向下. 对称轴顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组. 当时，方程组有唯一解;当时，方程组无解;当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组 (1)若方程组有无穷多解，求a的值; (2)当a,6时，求方程组的解.解:(1)因为方程组有无穷多组解，所以, 解得a,4.(2)当,6是，原方程组变为, a解得 3.不等式 (1)一元二次不等式 22考虑不等式ax，bx，c,0，如果记一元二次方程ax，bx，c=0的两个不同实根分别为x，x，且x,x，根据一元二次函数的图形可知: 1212当a,0时，这个不等式的解集是{x?x,x或x,x}; 12当a,0时，它的解集是{x?x,x,x}. 12222用类似的方法可以求解不等式ax，bx，c?0，ax，bx，c,0和ax，bx，c?0. 2例3.解不等式x,5x，6?0. 2解:令,5，6,0,xx(x,2)(x,3),0, 得,2或=3, xx? 解集为(,?，2]?[3，，?). 2例4.解不等式x，(1,a)x,a,0. 2解:令x，(1,a)x,a,0, (x,a)(x，1),0, 得x,a或x,,1, ?若a,,1，解集为(a，,1), ?如a,,1，解集为Φ, ?若a,,1，解集为(,1，a). (2)绝对值不等式不等式?f(x)?,a,0等价于f(x),a或f(x),,a; 不等式?f(x)?,a等价于,a,f(x),a. 例5.解下列含有绝对值符号的不等式: (1)?2x,3??5 (2)?3x,1??7 解:(1)原不等式等价于,5?2x,3?5 解得:,1?x?4. 所以解集为[,1，4]. (2)原不等式等价于3x,1?,7或3x,1?7， 3x,1?,7的解集为x?,2，3x,1?7的解集为x?, 1小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以解集为(,?，,2]?[，，?). 2例6.解不等式?x,2x,5?,3. 解:原不等式等价于2x,2x,5,,3的解集为(,?，]?[，，?)， 2x,2x,5,3的解集为(,2，4)，所以原不等式的解集为(,2，]?[，，4). 4.数列 (1)等差数列:相邻两项的差为定值，即a,a,d，d称为公差. n，1n通项公式:a,a，(n,1)d n1前n项和公式:当m，n,k，l时，a，a,a，a mnkl特别地有例7.设{a}是一个等差数列，且a，a，a，a,64，求a，a和S. 2310116712n解:因为 2，11,3，10,13 所以a，a,a，a,32, 211310又因为 6，7,13，所以a，a,32, 67S,(a，a)×12?2,6(a，a),6×32,192. 12112112(2)等比数列:相邻两项的商为定值，即，q称为公比. n-1通项公式:a,aq n1前n项和公式: 当m，n,k，l时，aa,aa mnkl特别地有例8.设{a}是一个等比数列，且a,12，a,48，求a，a和aa的值.n3511026解: 所以q,?25a,a?q,48×(?2),?1536 1055因为2，6,3，5,8 所以a?a,a?a,12×48,576. 26351.1.2 集合与逻辑符号 1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类: N——自然数集Z——整数集 Q——有理数集R——实数集 C——复数集合 2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a?A;否则就说a不属于A，记为aA. 3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A. 若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A,B. 2例9.A,{1，2}，C,{x?x,3x，2,0}，则A和C是什么关系, 2解:解方程x,3x，2,0，得x,1或x,2. 所以C,{1，2}，从而A,C. 4.空集不含任何元素的集合称为空集(记作Φ).规定空集为任何集合的子集. 2例10.{x?x?R，x，1,0},Φ 5.集合的表示方法:列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间:[a，b],{x?a?x?b，x?R}; 开区间:(a，b),{x?a,x,b，x?R}; 半开半闭区间: 左开右闭区间:(a，b],{x?a,x?b，x?R}，左闭右开区间:[a，b),{x?a?x,b，x?R}; (,?，b],{x?x?b，x?R}，[a，，?],{x?x?a，x?R}; 点a的邻域:U(a，ε),(a,ε，a，ε)，ε,0，即U(a，ε)是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用U表示; a点a的去心邻域:N(a，ε),(a,ε，a)?(a，a，ε)，ε,0.点a的去心邻域也可以表示为N. a6.集合之间的运算 (1)并:由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A?B. A?B,{x?x?A或x?B}，A?B,B?A. 例11.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A?B. 解:A?B,{1，2，3，4，6，8，10，12}. 例12.已知:,{?1,,5}，,{?,3,?2}，求:?. AxxBxxAB解:A?B,{x?,3,x,5}. (2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A?B. A?B,{x?x?A且x?B}，A?B,B?A 例13.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2、4、6、8、10、12}，求:A?B. 解:A?B,{2，4}. 例14.已知:A,{x?1,x,4}，B,{x?,3,x?3}，求:A?B. 解:A?B,{x?1,x?3}. (3)余集(差集):由中不属于的元素组成的集合称为与的差集，记为,. ABABABA,B,{x?x?A但xB}. 例15.已知:A,{1，2，3，4}，B,{2，4，6，8，10，12}，求:A,B. 解:A,B,{1，3}. 7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如果pq，qp 同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件(充要条件)，记作pq. 1.2 函数的概念与图形 1.2.1 函数的概念 1.定义设D是一个非空数集，f 是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x?D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y,f(x)，x?D. 也称是的函数，其中称为自变量，称为因变量.当?时，称()为函数在点处的函数值.数集叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数,{?,()，?}称为函数的值域. yxxyxDfxxDWyyfxxD000例1.已知:，求:y的定义域、值域. 2解:令1,x?0，解得:,1?x?1, 所以定义域为[,1，1]. 2因为0?1,x?1，所以0??1，所以值域为[0，1].例2.已知:，求:y的定义域、值域.解:根据题意，得，解得,1,x,1，所以定义域为(,1，1)， 2小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问因为 0,?1，从而，所以值域为[1，，?). 2.函数的三要素:定义域、对应法则、值域. 约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化. 例3.判断下列两个函数是否相等，(1)y,x，3; (2).例4.求函数的定义域. 解:根据题意，得解得:2?x,3或3,x,5，所以定义域为[2，3)?(3，5). 3.函数的表示法:表达式法(解析法)、图形法、数表法. 1.2.2 函数的图形 1.函数图形的概念函数y,f(x)，x?D的图形是指在xOy平面上的点集{(x,y)?y,f(x)，x?D}. 常见的几个幂函数的图形:2.函数的性质 (1)有界性函数f(x)，x?D，存在两个实数m、M，满足条件:对于D中所有的x都有不等式m?f(x)?M，则称函数f(x)在D上有界，否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界，(1)y=sinx， (2). (2)单调性设函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x及x，当x,x时，恒有f(x),f(x)，则称函数f(x)在区间D上是单调增加，称f(x)是D上的单调增加函数，称D是函数f(x)的单调增加区间. 121212设函数及，当,时，恒有),)，则称函数f(x)在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点xxxxf(xf(xf(x)在区间D上是单调减少，称f(x)是D上的单调减少函数，称D是函数f(x)的单调减少区间. 1212122例6.求的单调性. y, x解:任取,,0， xx1222,,)(，),0, xx,(xxxx121212所以y,x在(,?，0)上单调减少.22同理可得:y, x在(0，，?)上单调增加. 例7.求y ,sinx的单调性. 解:y,sinx的图像如图，y=sinx在(2kπ,，2kπ，)上单调增加，在(2kπ，，2kπ，)上单调减少. (3)奇偶性设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),f(x)，称 f(x) 为偶函数;设D关于原点对称，对于任意的x?D，有 f(,x),,f(x)，称 f(x) 为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性(1)(2)解:(1)因为，所以定义域为R.3小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问所以f(x)为奇函数.(2) x-x因为a,a?0，故x ?0，所以定义域为(,?，0)?(0，，?).所以()为奇函数. fx(4)幂函数的性质α形如y,x的函数为幂函数，其中α为任意常数. 性质: α对任意实数α，曲线y,x都通过平面上的点(1，1);αα,0时，y,x在(0，+?)单调增加; αα,0时，y,x在(0，+?)单调减少; ，+?); α为正整数时，幂函数的定义域是(,?αα为偶数时，,为偶函数; yxαα为奇数时，, 为奇函数; yxα为负整数时，幂函数的定义域是 (,?，0)?(0，+?). α幂函数y,x(α是常数)的图形:1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形:例10.画出下面分段函数的图形:例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数… … (剩余部分略)完整免费版请访问—— 1.4 函数运算 1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f(x)，g(x)都在D上有定义，k?R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外)，而函数值的对应定义如下: (1)加法运算 (f，g)(x),f(x)，g(x)，x?D . (2)数乘运算(kf)(x),kf(x)，x?D. (3)乘法运算 (fg)(x),f(x)g(x)，x?D .(4) 除法运算 g(x)?0， x?D. 其中等号左端括号表示对两个函数f，g 进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f(x)=ln(1，x)，g(x)=1,cosx，求 . 因为函数f(x)=ln(1，x)的定义域为(,1，+?)，函数g(x)=1,cosx 的定义域为(,?，+?)，且当x=2 kπ(k为整数)时，g(x)=0，所以，解，x?(,1， +?)\{2kπ}(k为整数) 1.4.2复合函数如有函数()和(),它们的定义域分别为和，值域分别是和当时，对于任意?,都有唯一的()?,，从而有唯一的(())?与?对应，这样就确定了一个从到的函数，此函数称fxgxDD ZZ.ZD xDgxZDfgxZxDDZfgf g.gfggffggf为 f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。

高数第一章知识点总结

式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）

安徽大学期末试卷MK10-11(1)高数B(三)试卷.pdf

（A）Y ∼ χ 2 (n) （B）Y ∼ χ 2 (n −1) （C）Y ∼ F (n,1)
). （D）Y ∼ F (1, n)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 6、二次型 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 + x3 )2 + (x1 + x3 )2 的秩为
答题勿超装订线
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
《高等数学 B(三)》（B 卷）第 1 页共 6 页
得分 .
年级
院/系
安徽大学期末试卷
7、设 A, B 为两个随机事件，满足 P( A) = a, P(B) = 0.3, P( A ∪ B) = 0.7 ，若事件 A 与 B 相互独立，则 a = _________ .
⎡1 0 0⎤
8、设矩阵 A = ⎢⎢2 2 0⎥⎥ ， A∗ 是 A 的伴随矩阵，则 ( A∗)−1 =
（A） A = 0 或 B = 0
（B） A + B = 0
（C） | A |= 0 或| B |= 0
（D）| A | + | B |= 0
得分
2、设 A 为 n 阶方阵，则以下结论中不成立的是( ). （A）若 A 可逆，则矩阵 A 的属于特征值 λ 的特征向量也是矩阵 A−1 的属于特征值 1 λ 的特征向量（B） A 的特征向量即为方程 (λ E − A) X = 0 的全部解（C）若 A 存在属于特征值 λ 的 n 个线性无关的特征向量，则 A = λE （D） A 与 AT 有相同的特征值

厦门理工学院高数1(B)期中考试试卷参考答案(1)

1 y 1 ( x 1) 2 cos t t sin t 1 sin t t cos t
．．
．
7. 设参数方程为
x t (1 sin t ) dy ，则 dx y t cos t
2 ln x 3
8. 若 y x 2 ln x , 则 y =
系
相应地函数增量 y 的线性主部为 0.2，则 f (1) A．0.1 B．0.5 C．-1 D. 1
( D )
第 3 页共 7 页
得分阅卷人
三、计算题（每题 5 分，共 25 分），请把答案写在问题的下面。
1. 求极限 lim(
x 1
1 3 ) 1 x 1 x3
解： lim
sin 2 1 x
信级班级生
专业
1 sin 2 1 2 2 e x sin …………… x x
装
考
…7 分
系
第 6 页共 7 页
4. 试求由方程 2 y x ( x y) ln( x y ) 所确定的函数 y y ( x) 的微分 dy 解： 2 y 1 (1 y) ln( x y ) ( x y )
f (0) b f (0 ) lim (e x 1) 2. …………
x 0
……6 分 …7 分
…………… 综上：当a 1, b 2时，f ( x)在x 0处可导。
第 5 页共 7 页
2．求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x etan x esin x
则dy
…7 分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得分阅卷人

高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考

第二章习题解答参考习题 2-11．设()=8f x x ，试按定义求(1)f '．解 ()()()0011818(1)=limlim 8x x f x f x f x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆． 2．设2()=f x ax bx c ++，其中,,a b c 为常数.按定义求()f x '．解 ()()()0=limx f x x f x f x x∆→+∆-'∆()()()220limx a x x b x x c ax bx c x∆→+∆++∆+-++=∆()202lim 2x ax x a x b x ax b x∆→∆+∆+∆==+∆． 3．证明 (sin )=cos x x '．证设()sin f x x =，则()()()sin sin 2cos sin 22x x f x x f x x x x x ∆∆⎛⎫+∆-=+∆-=+ ⎪⎝⎭ ()()()002cos sin 22lim lim x x x x x f x x f x f x x x∆→∆→∆∆⎛⎫+ ⎪+∆-⎝⎭'==∆∆0sin2lim cos cos 22x xx x x x ∆→∆∆⎛⎫=+⋅= ⎪∆⎝⎭，所以 (sin )=cos x x '．4．下列说法可否作为()f x 在0x 可导的定义（1）000()()limh f x h f x h h→+--存在；解不能．因为从极限式中不能判断()0f x 存在，也不能判断000()()limh f x h f x h→+-存在．例如()f x x =在0x =点不可导，但00(0)(0)limlim 0h h h h f h f h h h→→--+--==却存在．（2）000()()lim h f x h f x h +→+-和000()()lim h f x h f x h+→---存在且相等；解可以．因为()0000()()lim h f x h f x f x h++→+-'=，()0000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x f x h h+--→-→----'==--，根据导数存在的充要条件，可知()0f x '存在．5．求下列函数的导数：（1）5y x =；（2）y =；（3）y x =；（4）13log y x = ；（5）y =（6）lg y x =．解（1）51455y x x -'==；（2）132212y x x --'⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭（3）221577222277y x x x '⎛⎫'=== ⎪⎝⎭（4）111ln 3ln3y x x '==-；（5）25152326616y x x x +--''⎛⎫⎛⎫'==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）1ln10y x '=． 6．已知物体的运动规律为3s t =(米)，求这物体在2t =(秒)时的速度．解因为3s t =，23dsv t dt==，所以2t =时，()223212v =⨯=． 7．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)=0f '．证因为()()0(0)=lim x f x f f x∆→∆-'∆，而()f x 为偶函数，故()()f x f x -∆=∆，所以()()()()000(0)limlim (0)x x f x f f x f f f x x∆→∆→-∆--∆-''==-=-∆-∆，所以(0)=0f '．8．抛物线2y x =在哪一点的切线平行于直线45y x =-在哪一点的切线垂直于直线2650x y -+=解由2y x =，可得2y x '=，若切点为()200,x x ，则依题设024x =，即02x =时，切线平行于直线45y x =-；01213x ⋅=-，即032x =-时，切线垂直于直线2650x y -+=；所以抛物线2y x =在点()2,4的切线平行于直线45y x =-在点39,24⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线垂直于直线2650x y -+=．9．在抛物线2y x =上取横坐标为11x =及23x =的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线解由题设可知2y x '=，所取的两点为()1,1，()3,9，连接两点的直线斜率为4k =，依题设，应有24x =，即2x =，所以所求点为()2,4．10.如果()y f x =在点()4,3处的切线过点()0,2，求()4f '．解依题设，曲线在点()4,3处的切线为()()344y f x '-=-，满足()()23404f '-=-，从而()144f '=．11．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性：（1）y = （2）21sin ,0,0,0.x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 解（1）因为()000x y →==，所以y =0x =点连续，而20031lim x x x →→==+∞，所以y =0x =点不可导；（2）因为()201lim sin 00x x y x →==，所以21sin ,0,0,0.x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点连续，又 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x →→==，所以21sin ,0,0,0.x x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =点可导． 12．设sin ,0()=,0x x f x ax b x <⎧⎨+≥⎩在0x =处可导，求,a b 的值．解因为sin ,0()=,0x x f x ax b x <⎧⎨+≥⎩在0x =处可导，所以()0lim ()0x f x f →=，且()()00f f -+''=，又0lim ()0x f x -→=，0lim ()x f x b +→=，()0f b =，故0b =，()00f =，从而()()()000sin 0lim lim 1x x f x f xf x x---→→-'===， ()()()0000lim lim x x f x f ax f a xx +++→→-'===，所以1a =． 13．已知2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，求(0)f +'，(0)f -'和(0)f '．解因为2,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，所以()200()0(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-'===， ()00()0(0)lim lim 1x x f x f xf x x---→→--'===-，所以(0)f '不存在． 14．设函数33,0()=,0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，求()f x '．解当0x >时，2()3f x x '=，当0x <时，2()3f x x '=-，当0x =时，()()3000(0)limlim 0x x f x f x f xx +++→→-'===， ()()3000(0)lim lim 0x x f x f x f xx ---→→--'===，所以(0)0f '=，所以 223,0()=3,0x x f x x x ⎧≥'⎨-<⎩．15．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；（2）周期函数的导函数仍是周期函数．证（1）设()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，而()()()limh f x h f x f x h→+-'=，()()()()()0limlim h h f x h f x f x h f x f x h h→→-+----+'-== ()()0lim h f x h f x h →--=-()()()0lim h f x h f x f x h→--'==-，所以()f x '为偶函数；相似地，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，于是()()()()()0limlim h h f x h f x f x h f x f x h h→→-+----'-== ()()()0limh f x h f x f x h→--'=-=--，所以()f x '为奇函数．（2）设()f x 为周期函数，则存在T ，使()()f x T f x +=，则()()()0limh f x T h f x T f x T h →++-+'+=()()()0lim h f x h f x f x h→+-'==，所以()f x '也是以T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间[0,]x 上细棒的质量m 是x 的函数()m m x =．应怎样确定细棒在点0x 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）解设在0x 处的线密度为()0x ρ，给0x 以x ∆的增量，则在区间00[,]x x x +∆上细棒的平均线密度为()()00m x x m x x+∆-∆，故()()()()00000limx m x x m x x m x xρ∆→+∆-'==∆．17．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a ．证由2xy a =可得2,0a y x x =≠，于是22,0a y x x '=-≠，若切点为200,a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该点处的切线为()220200a a y x x x x -=--，它与两坐标轴的交点分别为()02,0x ，2020,a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以所求三角形的面积为220012222a S x a x =⨯⨯=． 18．设函数()f x 在0x =处可导，试讨论函数|()|f x 在0x =处的可导性．解因为函数()f x 在0x =处可导，所以()()0()0lim0x f x f f x→-'=存在，而()()()0limx x f x f f x x=→-'=，故（1）若(0)0f =，由()()0()0lim 0x f x f f x →-'=可知：()()0f x f xα'=+，其中lim 0x α→=，从而()()0f x x f α'=+⎡⎤⎣⎦，此时()()()000limlim 0x x x x f xf x f xxαα=→→'+⎡⎤⎣⎦''==⋅+，因此|()|f x 在0x =点的左导数为()0f '-，右导数为()0f '，所以|()|f x 在0x =处可导的充要条件是()00f '=；（2）若(0)0f ≠，设(0)0f >，则()0lim ()00x f x f →=>，由保号性定理，0δ∃>，当()0,x U δ∈时，()0f x >，此时有()()()()0()0()0limlim0x x x f x f f x f f x f xx=→→--''===，相似地，若(0)0f <，则()0lim ()00x f x f →=<，由保号性定理，0δ∃>，当()0,x U δ∈时，()0f x <，此时有()()()()00()0()0limlim 0x x x f x f f x f f x f x x=→→---⎡⎤⎣⎦''===-；总之，若()f x 在0x =处可导，则当(0)0f ≠时，|()|f x 在0x =处可导；当(0)0f =时，|()|f x 在0x =处可导的充要条件是()00f '=．习题 2-21．求下列函数的导数：（1）3cos2y x =；（2）4sin(31)y t =-；（3）32e 4cos2x y x =+；（4）5(1)y x =+；（5）43e 1x y -=+；（6）y =（7）1ln y x x=；（8）23(1)(1)y x x x =++-；（9）3e sin xy x x =；（10）322ln 3ln x x y x x +=+．解（1）()()()()3sin 223sin 226sin 2y x x x x ''=⋅-=-⋅=-；（2）()4cos(31)3112cos(31)y t t t ''=-⋅-=-；（3）()()()()332e 34sin 226e 8sin 2x x y x x x x '''=+-=-；（4）()445(1)15(1)y x x x ''=++=+；（5）()443e 4012e x x y x --''=-+=-；（6）y '==（7）()()()()2221ln ln ln 1ln ln ln x x x x x x y x x x x x x +⋅'+'=-=-=-；（8）()()3222221(1)(1)3(1)(1)522y x x x x x x x x '=+-+++⋅-=-++；（9）()23323e sin e sin e cos e 3sin sin cos x x x x y x x x x x x x x x x x x '=++=++；（10）()()()()()2234222222333ln 2ln 294ln 323ln 3ln x x x x x x x x x x x xx x y x x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭'==++2．证明：（1）2(cot )csc x x '=-；（2） (csc )csc cot x x x '=- ．证（1）22cos sin sin cos cos (cot )csc sin sin x x x x x x x x x '-⋅-⋅⎛⎫'===- ⎪⎝⎭；（2）21cos 1cos (csc )csc cot sin sin sin sin x x x x x x x x x '⎛⎫'==-=-⋅=- ⎪⎝⎭． 3．证明：（1）(arccos )x '= （2）21(arccot )1x x '=-+．证（1）设arccos y x =，则其反函数为cos x y =，,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由于sin x y '=-，由反函数求导法则，()1arccos sin x y '=-== （2）设arccot y x =，则其反函数为cot x y =，()0,y π∈，由于2csc x y '=-，由反函数求导法则，()222111arccos csc 1cot 1x y y x'=-=-=-++． 4．求下列函数在给定点处的导数：（1）2cos 3sin y x x =-，求π4x y ='；（2）2233x y x =+-，求(2)f '．解（1）因为2sin 3cos y x x '=--，所以π4ππ2sin3cos 442x y ='=--=-；（2）因为()()()22212223333x xy x x ⋅-'=-+=+--，所以()22222103332x y =⋅'=+=-．5．写出曲线122y x x=-与x 轴交点处的切线方程．解令0y =，得曲线122y x x =-与x 轴交点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2122y x '=+，所以142y ⎛⎫'±= ⎪⎝⎭，所以所求切线有两条，方程分别为42y x =+，42y x =-．6．求下列函数的导数：（1）25(23)y x =+；（2）2sin (52)y x =-；（3）2321e xx y -++=；（4）2sin ()y x =；（5）2cos y x =；（6）y =（7）()arctan x y e =；（8）2(arccos )y x =；（9）lnsin y x =；（10）3log (1)a y x =+．解（1）242245(23)(23)20(23)y x x x x ''=⋅+⋅+=+；（2）222cos(52)(52)4cos(52)y x x x x ''=-⋅-=--；（3）()()223212321e 32162e xx x x y x x x -++-++''=⋅-++=-+；（4）222cos()()2cos()y x x x x ''=⋅=；（5）()()2cos cos 2cos sin sin 2y x x x x x ''==-=-；（6）()22y a x ''=-==（7）()()221e e 1e 1e xxxx y ''==++；（8）2(arccos )(arccos )2(arccos )y x x x ⎛⎫''=== ⎝ （9）()1cos sin cot sin sin xy x x x x''===；（10）233313(1)(1)ln (1)ln x y x x a x a''=+=++．7．求下列函数的导数：（1）arccos(12)y x =-；（2）1arcsin y x=；（3）1ln 1ln xy x-=+；（4）ln (y x =；（5）sin cos n y x nx =⋅；（6）y =（7）e y =；（8）[]ln ln(ln )y x =；（9）y =（10）1arccot tan 22x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．解（1）2)y x ''=-==；（2）211y x x '⎫⎫'==-=⎪⎪⎭⎭；（3）()()()()22111ln 1ln 21ln 1ln x x x x y x x x -+--'==-++；（4）y x ''=+==；（5）()()()1sin sin cos sin sin n n y n x x nx x nx nx -'''=⋅+-()1sin cos cos sin sin n n x x nx x nx -=⋅-()1sin cos 1n n x n x -=+⎡⎤⎣⎦；（6）1sin 21sin 2x y x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭()()()22cos 21sin 21sin 22cos 21sin 2x x x x x -+--=+2cos 21sin 2xx-=+()2cos 2cos 21sin 2x x x =-+；（7）(1ee1y x'''===+ （8）()()()1111ln (ln )ln ln (ln )ln (ln )ln ln ln (ln )y x x x x x x x x '''==⋅=；（9）y'====；（10）211tan 2211tan 22x y x '⎛⎫'=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭2241sec 2224tan 2x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222sec 1213cos 4tan 22xx x =-=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 8．设1cos ,0()ln (1)cos ,0x x f x x x x x -<⎧=⎨+-≥⎩，求()f x '．解当0x ≠时，sin ,0()1cos sin ,01x x f x x x x x x<⎧⎪'=⎨-+>⎪+⎩，当0x =时，20002sin sin1cos 022(0)lim limlim sin 022x x x x xx x f xxx ----→→→--'===⋅=，()()100ln 1cos 0(0)lim lim ln 1cos ln 10x x x x x x f x x e x +++→→+--⎡⎤'==+-=-=⎢⎥⎣⎦，所以()00f '=，从而sin ,0()1cos sin ,01x x f x x x x x x <⎧⎪'=⎨-+≥⎪+⎩．9．求函数cos (sin )x y x =的导函数．解法1 因为cos cos lnsin (sin )x x x y x e ==，所以()()cos cos lnsin cos cos ln sin sin sin ln sin cos sin x x x x y e x x x x x x x ⎛⎫''=⋅=-+ ⎪⎝⎭()2cos cos sin sin ln sin sin xx x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．解法2 对数求导法，由cos (sin )x y x =，得ln cos ln (sin )y x x =，两边同时对x 求导，得cos sin ln sin cos sin y x x x x y x'=-+，所以()2cos cos sin sin ln sin sin xx y x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭．10．设()sin f x x =，3()x x ϕ=，求[()]f x ϕ'，[()]f x ϕ'，{[()]}f x ϕ'．解因为()sin f x x =，3()x x ϕ=，所以()cos f x x '=，2()3x x ϕ'=，所以()()22[()]3sin 3f x f x x ϕ'==，[]()3[()]cos ()cos f x x x ϕϕ'==，()()()()33323{[()]}sin cos 3cos f x x x x x x ϕ''⎡⎤'===⎣⎦. 11．设()f x '存在，求下列函数的导数：（1）(cos )n f x ；（2）cos [()]n f x ．解（1）[]()11(cos )(cos )(cos )(cos )(cos )cos nn n f x nf x f x nf x f x x --''''⎡⎤==⎣⎦1sin (cos )(cos )n n xf x f x -'=-；（2）{}{}{}()11cos [()]cos [()]cos[()]cos [()]sin[()]n n n f x n f x f x n f x f x f x --'''==-()1sin[()]cos [()]n n f x f x f x -'=-⋅⋅．12. 求曲线()22sin sin f x x x =+所有具有水平切线的点．解因为()2cos 2sin cos f x x x x '=+，令()0f x '=，得()cos 1sin 0x x +=，于是cos 0x =，或sin 1x =-，推得 ,2x k k Z ππ=+∈，或32,2x k k Z ππ=+∈，所以所求的点为2,32k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，32,12k ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈．习题 2-31．求下列函数的二阶导数：（1）35e x y -= ；（2）e sin t y t -= ；（3）2sin ln y x x = ；（4）tan y x = ；（5）ln(y x = ；（6）2(1)arctan y x x =+ ．解（1）353e x y -'=，359e x y -''=；（2）()e sin e cos e cos sin t t t y t t t t ---'=-+=- ，()()e cos sin e sin cos 2e cos t t t y t t t t t ---''=--+--=-；（3）()221sin 2sin cos ln sin ln sin 2xy x x x x x x x x'=+⋅=⋅+，()()22sin 22sin cos sin ln 2cos 2x x x x xy x x x x ⋅-''=+⋅+ ()()222sin 2sin 2cos 2ln x xx x x x=+⋅-；（4）2sec y x '=，22sec sec tan 2sec tan y x x x x x ''=⋅⋅=⋅；（5）1y ⎛⎫'=+= ⎝ ()3221422y x x -''=-+⋅=；（6）2arctan 1y x x '=+，22arctan 1x y x x ⎛⎫''=+ ⎪+⎝⎭． 2．3e x y x = ，求(5)(0)y ．解设3u x =，x v e =，则23u x '=，6u x ''=，6u '''=，()0,4n u n =∀≥；(),nx v e n N +=∀∈，代入莱布尼兹公式，得 ()()()()5445(5)510105y u v u v u v u v u v uv ''''''''''''=+++++2310610653x x x x e xe x e x e =⋅+⋅+⋅+，所以 (5)(0)60y =．3．22e x y x =，求(20)y ．解设2u x =，2x v e =，则2u x '=，2u ''=，()0,3n u n =∀≥；()22,nn x v e n N +=∀∈，代入莱布尼兹公式，得 ()()20(20)200n k k k k yC u v -==∑()()()181920210202020C u v C u v C uv '''=++ 182119202202202019022222x x x e C x e C x e =⋅⋅+⋅+⋅()202229520x e x x =++．4．试从d 1d x y y='导出：（1）223d d ()x y y y ''=-'；（2）3235d 3()d ()x y y y y y ''''''-='．解因为d 1d x y y ='，所以()()2232d 111d x d d dx y y y dy y dx y dy y y y ''''⎛⎫⎛⎫==⋅=-⋅=- ⎪ ⎪'''''⎝⎭⎝⎭， ()()3333d d x d y d y dx y dy dx dyy y ⎛⎫⎛⎫''''=-=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭⎝⎭ ()()()()()32265331y y y y y y y y y y y '''''''''''''''-⋅-=-⋅='''． 5．证明：函数12e e x x y C C λλ-=+（12,,C C λ是常数）满足关系式20y y λ''-=．解因为12e e x x y C C λλ-=+，所以()1212e e e e x x x x y C C C C λλλλλλλλ--'=+-=-，2212e e x x y C C λλλλ-''=+，所以()22221212e e e e 0x x x x y y C C C C λλλλλλλλ--''-=+-+=． 6. 求常数λ的值，使得函数x y e λ=满足方程560y y y '''+-=．解因为x y e λ=，所以x y e λλ'=，2x y e λλ''=，代入方程560y y y '''+-=，得()2560x e λλλ+-=，因为0,x e x R λ≠∀∈，所以2560λλ+-=，解得16λ=-，21λ=．7. 设()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+，求常数,b c 的值，使得()()00f g =，且()()00f g ''=.解因为()()sin f x x a =+，()sin cos g x b x c x =+，所以()()cos f x x a '=+，()cos sin g x b x c x '=-,所以由()()00f g =，()()00f g ''=，可得sin c a =，且cos b a =． 8．求下列函数的n 阶导数．（1）12121n n n n n y x a x a x a x a ---=+++++L （12,,n a a a L 是常数）；（2）e x y x =；（3）2sin y x =；（4）2156y x x =-+．解（1）()()12312112n n n n y nx n a x n a x a ----'=+-+-++L ，()()()()()23412211223n n n n y n n x n n a x n n a x a ----''=-+--+--++L ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故()!ny n =．（2）()e e e 1x x x y x x '=+=+，()()e 1e e 2x x x y x x ''=++=+，()()e 2e e 3x x x y x x '''=++=+，由此可见，每求一次导数，增加一个e x ，所以()()e n x y x n =+，n N +∀∈；（3）()()21cos 211sin cos 2222x y x x -===-， ()2sin cos sin 2cos 22y x x x x π⎛⎫'===-+ ⎪⎝⎭，()2cos 22cos 222y x x π⎛⎫''==-+⋅ ⎪⎝⎭，()222sin 22cos 232y x x π⎛⎫'''=-=-+⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()4332cos 22cos 242y x x π⎛⎫=-=-+⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()12cos 22nn y x n π-⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，n N +∀∈．（4）因为 21115632y x x x x ==--+--，而()2133x x -'⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，()()()311233x x -''⎛⎫=--- ⎪-⎝⎭， ()()()()4112333x x -'''⎛⎫=---- ⎪-⎝⎭，可见，()()()()()()1112333n n n x x --⎛⎫=----- ⎪-⎝⎭L ()()11!3n n n x --=--，同理，()()()()()()()()11112321!22n n nn n x n x x ----⎛⎫=-----=-- ⎪-⎝⎭L ，所以()()()()()()()1111111!321!32nn n nn n n y n x x n x x ----++⎛⎫⎡⎤=----=-- ⎪⎣⎦ ⎪--⎝⎭．习题 2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d d y x：（1）e 0xy x y +-=；（2）22320x y xy y -+=；（3）e ln sin 2xy y x x +=；（4= （0a >的常数）．解（1）将方程两边同时对x 求导，得1e 0xy dy dy y x dx dx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，变形得：e 11e xy xydy y dx x -=-；（2）将方程两边同时对x 求导，得22222230dy dy dy xy x y x y y dx dx dx ⎛⎫⎛⎫+-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形整理得：2224223dy xy y dx x xy y -+=-+；（3）将方程两边同时对x 求导，得 e ln 2cos 2xy dy dy y y x x x dx dx x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形整理得：22cos 2e ln exyxy dy x x y xy dx x x x --=+；（4）将方程两边同时对x 求导，得0+=，变形整理得：()0dy x dx =>． 2．求曲线2520x y xy +-=在点(1,1)处的切线方程．解将方程两边同时对x 求导，得：42520dy dy x y y x dx dx ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，将1x =，1y =代入，解得：()1,10dydx=，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为：1y =．3．已知sin cos()0y x x y -+=，求隐函数()y y x =在点π0,2⎛⎫⎪⎝⎭的导数值．解将方程两边同时对x 求导，得：sin cos sin()10dy dy x y x x y dx dx ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将0x =，2y π=代入，解得：0,212dydxππ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--．4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数22d d yx．（1）tan()y x y =+；（2）1e y y x =+；（3）ln y y x y =+；（4）arctan yx=. 解（1）将方程两边同时对x 求导，得：2sec ()1dy dy x y dx dx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得2csc ()dyx y dx=-+，再求导，得：()222csc()csc()cot 1d y dy x y x y x y dx dx ⎛⎫=-+-+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，将2csc ()dy x y dx=-+代入，整理得：()22322csc ()cot d y x y x y dx =-++；（2）将方程两边同时对x 求导，得：e e y ydy dyx dx dx=+，解得：e 1e y y dy dx x =-，再求导，得：()()222e 1e e e e 1e yy y y y y dy dy x x dx dx d ydxx ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-，将e 1e y y dy dx x =-代入，整理化简得：()()()()222332e 2e e 321e yyyy x y d y dx y x --==--；（3）将方程两边同时对x 求导，得：ln 1dy dy dyy dx dx dx+=+，解得：1ln dy dx y =，再求导，得：()2221ln dyd yy dxdx y =-，将1ln dy dx y =代入，整理化简得：()2321ln d y dx y y =-；（4）将方程两边同时对x 求导，得：2222221121dy dy x y x ydx dx x x y y x -+⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得：dy x y dx x y +=-，再求导，得：()()()22211dy dy x y x y d y dx dx dx x y ⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，将dy x ydx x y +=-代入，整理化简得：()()222322x y d y dx x y +=-. 5．用对数求导法求下列函数的导数：（1）cos (sin )x y x =；（2）(tan 2)x y x =；（3）1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭；（4）(2y x =-解（1）两边取自然对数，得：ln cos ln(sin )y x x =，两边同时对x 求导，得：()1cos sin ln sin cos sin dy xx x x y dx x=-+⋅, 整理化简得：()cos (sin )sin ln sin cos cot x dyx x x x x dx=-+⋅⎡⎤⎣⎦；（2）两边取自然对数，得：ln ln(tan 2)y x x =，两边同时对x 求导，得：()2sec 221ln(tan 2)tan 2x dyx x y dx x ⋅=+⋅，整理化简得：4(tan 2)ln(tan 2)sin 4x dy x x x dx x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦；（3）两边取自然对数，得：()ln ln ln ln 11x y x x x x x ⎛⎫==-+⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭，两边同时对x 求导，得：()111ln ln 11dy x x x y dx x x ⎛⎫=-++-⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭整理化简得：1ln 111xdy x x dx x x x ⎛⎫⎡⎤=+ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦；（4）两边取自然对数，得：()111ln ln(21)ln ln(31)ln 1248y x x x x =-++++-，两边同时对x 求导，得：()121312124(31)81dy y dx x x x x =+++-+-，整理化简得：()2131(22124(31)81dy x dx x x x x ⎤=-+++⎢⎥-+-⎦6．求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx：（1）cos sin sin cos x a bt b at y a bt b at =+⎧⎨=-⎩（,a b 为常数）；（2）22221(1)1at x t a t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（a 为常数）．解（1）因为()()sin cos dx ab bt ab at dt =-+，()()cos sin dyab bt ab at dt=+，所以()()()()()()()()cos sin cos sin d d sin cos sin cos ab bt ab at bt at y x ab bt ab at bt at ++==-+-+；（2）因为()()()()22222221222111a t at t a t dx dt t t +-⋅-==++， ()()()22222221(1)2411at t a t t dy atdt t t -+--⋅-==++ 所以22d 22d 11y t tx t t =-=--． 7．求曲线2e 1(2)ettx t y t t --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在0t =处的切线方程与法线方程．解因为e e t t dx t dt --=-，()222e (2)e t t dy t t t dt--=---，所以221dy t dx t +=-，02t dy dx==，又01,0t t xy====故所求切线为：()21y x =-，法线为：()112y x =--． 8．已知曲线2e 2e tx t mt n y p ⎧=++⎪⎨=-⎪⎩在0t =时过原点，且在该点处的切线与2350x y +-=平行，求常数,,m n p ．解因为2dx t m dt =+，e tdy p dt=，故e 2t dy p dx t m =+，由题设可知：00t xn ===，02e 0t yp ==-=，23t dy p dxm ===-，所以所求常数为：0n =，2e p =，3e m =-．注：此题的书后答案有误．9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d d yx：（1）231x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩；（2）e cos e sin t t x t y t ⎧=⎨=⎩；（3）()2ln 1arctan x t y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩；（4）()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩（()f t ''存在且不为零）．解（1）因为2dx t dt =-，213dy t dt=-，所以21313222dy t t dx t t -==-+-，于是 22223131313222224d y d t dt t t dx dt t dx t t ++⎛⎫=-+⋅==- ⎪-⎝⎭；（2）因为e cos e sin t t dx t t dt =-，e sin e cos t t dyt t dt=+，所以e sin e cos sin cos e cos e sin cos sin t t t tdy t t t t dx t t t t++==--，于是 ()()()22222cos sin sin cos sin cos 1cos sin e cos e sin cos sin t tt t t t d y d t t dt dx dt t t dx t t t t -+++⎛⎫==⋅ ⎪--⎝⎭- ()32e cos sin tt t =-；（3）因为221dx t dt t =+，2111dy dt t =-+，所以22111221dy t t t dx t -+==+，于是2222112241d y t t dx t t+==+；（4）因为()dx f t dt ''=，()()()()dy f t tf t f t tf t dt ''''''=+-=，所以dy t dx=，于是221()d y dx f t =''．10．将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器中，注水速率为4吨/分钟．当水深为5米时，其表面上升的速率为多少解如图所示，设在t 时刻容器中水面的高度为()h t （米），此时水面的半径为()r t （米），则依题意应有()()2143r t h t t π=，而()()84h t r t =，所以()31412h t t π=，两边同时对时间t 求导，可得()2144dh h t dt π=，当()5h t =时，可求得1625dh dt π=，所以当水深为5米时，其表面上升的速率为16min 25m π． 11．汽车A 以50公里/小时的速度向西行驶，汽车B 以60公里/小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶．当汽车A 距离交叉路口0.3公里，汽车B 距离交叉路口0.4公里时，两辆车以什么速率接近解如图所示，设在t 时刻，汽车A 距离交叉路口()x t ，汽车B 距离交叉路口()y t ，则两车之间的直线距离为()()()22s t x t y t =+t 求导，可得()()()()22dx dy x t y t ds dt dt dtx t y t +=+50dx dt =，60dy dt =，故当()0.3x t =，()0.4y t =时，22780.30.4ds dt ==+，即当汽车A 距离交叉路口0.3公里，汽车B 距离交叉路口0.4公里时，两辆车以78/km h 的速率接近．12．一个路灯安装在15英尺高的柱子上，一个身高为6英尺的人从柱子下以5英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子40英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动解如图所示，设在t 时刻，此人离灯柱的水平距离为()x t ，身影的顶端离灯柱的水平距离为()y t ，则依题意有：5dx dt =，()()()615y t x t y t -=，可见()()53y t x t =，两边同时对时间t 求导，得52533dy dx dt dt ==，所以他身影的顶端以25feet /3s 的速率移动，与他离灯柱的水平距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习题 2-51．函数2y x =，求当1x =，而0.1x ∆=，0.01时，y ∆与d y 之差是多少解当1x =，0.1x ∆=时，21.110.21y ∆=-=，d 20.2y x x =∆=，所以 0.01y dy ∆-=；当1x =，0.01x ∆=时，21.0110.0201y ∆=-=，d 20.02y x x =∆=，所以 0.0001y dy ∆-=；2．求函数2y x x =+在3x =处，x ∆等于0.1，0.01时的增量与微分．解因为2y x x =+，所以()21dy x x =+∆，当3x =，0.1x ∆=时，223.1 3.1330.71y ∆=+--=，0.7dy =；当3x =，0.01x ∆=时，223.01 3.01330.0701y ∆=+--=，0.07dy =．3．函数3y x x =-，求自变量x 由2变到1.99时在2x =处的微分．解因为3y x x =-，所以()231dy x x =-∆，当2x =，0.01x ∆=-时，()()23210.010.11dy =⨯-⨯-=-．4．求下列函数的微分（1）234123y x x x x =+-+；（2）2e x y x -=；（3）21xy x =- ；（4）22tan (1)y x =+；（5）ln cos 3x y = ；（6）e sin ax y bx =．解（1）()23144dy x x x dx =+-+；（2）()()()2222222e e e e 2e 12x x x x x dy dx x d x dx x x dx x dx -----=+-=+-=-；（3）()()()()()()()222222222211121111x dx xd x x dx x x dx xdy dx x x x ------+===---；（4）2222222tan(1)tan(1)2tan(1)sec (1)(1)dy x d x x x d x =++=+++2224tan(1)sec (1)x x x dx =++；（5）()()ln cos ln cos 13ln 3ln cos 3ln 3cos cos x x dy d x d x x==⋅lncos 3ln 3tan x xdx =-⋅；（6）()()()()()()e sin e cos e sin cos ax ax ax dy d ax bx bx d bx a bx b bx dx =+=+⎡⎤⎣⎦． 5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1）d()sin d t t ω=；（2）2d()sec 3d x x =；（3）d()x =；（4）22d d()xx a =+；（5）2d()e d x x x =；（6）ln d()d xx x=. 解（1）()1cos t ωω-；（2）()1tan 33x ；（3；（4）1arctan x a a ；（5）21e 2x ；（6）21ln 2x ．6．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为0.15厘米，长度L 为4厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为0.001厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜（铜的密度为8.9克/立方厘米， 3.1416π≈）解因为圆柱形的扩音器插头的体积为2V r L π=，侧面镀层的体积约为2V dV rL r π∆≈=∆，当0.15r =，0.001r ∆=，4L =时，32 3.14160.1540.001 3.7699210V -∆≈⨯⨯⨯⨯≈⨯，故所需铜的重量约为33.76992108.90.03355m -≈⨯⨯≈克．7．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为2h ，若h 比R 小得多，试证明透镜的厚度22h D R≈．解如下图所示，镜面半径R 、镜面口径2h 、透镜厚度D 之间有关系：()222h R D R +-=，化简得：2220h RD D -+=，得：22222441R R h h D R R --==--若h 比R 小得多，则2222112h h R R-≈-，故222221122h h h D R R R R R R R⎛⎫=--≈--= ⎪⎝⎭．8．利用微分求下列函数值的近似值（1）cos59o ；（2）tan 46o ；（3）lg11；（4） 1.01e ；（526；（63996解（1）()00cos59cos 601cos cos sin 318033180πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≈-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭o130.51512180π⎫=-≈⎪⎝⎭；（2）()002tan 46tan 451tan tan sec 418044180πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+≈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭o 12 1.0349180π=+⨯≈；（3）()1lg11lg 101lg101 1.043410ln10=+≈+⨯≈；（4） 1.0110.010.01 2.7455e e e e +=≈+⨯≈；（526251251 5.1225=+≈=；（6()233331996100041000100049.98673-=-≈⨯⨯-≈．9．当||x 较小时，证明下列近似公式：（1）sin x x ≈；（2）(1)1x x αα+≈+；（3）ln(1)x x +≈．解（1）设()sin f x x =，则()cos f x x '=，当||x 较小时，()sin sin0cos0f x x x x =≈+⋅=，所以sin x x ≈；（2）设()(1)f x x α=+，则()1(1)f x x αα-'=+图2-11当||x 较小时，()()()(1)111f x x f f x x αα'=+≈+=+，所以(1)1x x αα+≈+；（3）设()ln(1)f x x =+，则()11f x x'=+，当||x 较小时，()()()ln(1)11f x x f f x x '=+≈+=，所以ln(1)x x +≈．习题 2-61.一飞机在离地面2000米的高度，以200公里/小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设t 时刻飞机离B 点的水平距离为()x t ，摄影机镜头C 与A 点连线与飞机的水平飞行方向成θ夹角，则()cot 2000x t θ=，()()20000003600x t x t =-，两边同时对时间t求导，可得()211csc 200036dx t d dt dt θθ-==-，即21sin 36d dt θθ=，当飞机飞至该目标上方时，2πθ=，代入解得：()13605/362d rad s dt θππ=⨯=． 2.一架飞机着陆的路径如图2-11所示，并且满足下列条件：（ⅰ）降落点为原点，飞机开始降落时水平距离为l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中，飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数k （必须比重力加速度小很多）．（1）求一个三次多项式()32P x ax bx cx d =+++，通过在开始降落和着陆的点对()P x 和()P x '施加一定的条件限制，使它满足条件（ⅰ）；（2）根据条件（ⅱ）和（ⅲ），试证明：226hv k l≤；（3）假设一条航线不允许飞机的垂直加速度超过2860k =哩小时．如果一架飞机的飞行高度为35000呎，速度为300哩小时，飞机应从距离飞机场多远处开始降落（4）画出满足问题（3）中条件的航线图．解假设从飞机开始着陆时计时，飞行时间为t ，飞机位置为(),x y ．（1）如要满足条件（ⅰ），应有0t =时，,x l y h ==，0t dy dt==；t T =（T 为着陆时刻）时，0x y ==，0t Tdydt==，因为()32y P x ax bx cx d ==+++，于是()()232dy dx dxP x ax bx c dt dt dt'==++，所以应有 32h al bl cl d =+++，2320al bl c ++=，0d =，0c =，解得3223,,0h h a b c d l l =-===，所以()323223h h P x x x l l=-+；（2）由条件（ⅱ）和（ⅲ）可知：dxv dt =，22d y k dt ≤，由()323223h h y P x x x l l==-+，可得：23266dy h h dx x x dt l l dt ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 222223232212666d y h h dx h h d xx x x dt ll dt l l dt ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以[]0,x l ∀∈，应有232126hh x v k ll ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，故226hv k l ≤；（3）当2860k =哩，0.62135000350000.305 6.62921000h ==⨯⨯≈呎哩，300v =哩小时，由226hv k l ≤，可解得64.52l ≥≈（哩），即飞机应从距离飞机场约64.52哩的水平距离处开始降落．（4）满足条件（3）的航线为()3232322350003350000.260625.223264.5264.52P x x x x x ⨯⨯=-+≈-+（呎）（注：式中x 的单位哩，图略）．本章复习题A1、填空题（1）()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的_____条件，()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的______条件．解因为()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续，故第一个空应填“充分”，第二个空应填“必要”．（2）()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的______条件．解应填“充分必要”．（3）若假定0()f x '存在，则000()()limh f x h f x h h→+--=______．解因为()()00000000()()()()limlim h h f x h f x f x f x h f x h f x h h h→→+-+--+--= ()()00000()()lim h f x h f x f x h f x h h →+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦()02f x '=，所以应填“()02f x '”．（4）若()(1)(2)f x x x x =++，则(0)_______f '=．解因为()(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x '=++++++，故(0)2f '=，应填“2”．（5）曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为________．解因为23322t t y dy t t dx x t '==='，所以2t =时，23t dy dx ==，5x =，8y =，切线方程为()835y x -=-，即370x y --=，所以应填“370x y --=”．2、选择题（1）()f x 在点0x 的左导数0()f x -'及右导数0()f x +'都存在且相等是()f x 在点0x 可导的（）．A ．充分条件B ．充分必要条件C ．必要条件D ．既非充分条件也非必要条件解选B ．（2）设101()n n n f x a x a x a -=+++L ，则()(0)n f =（）．A ．n aB ．0aC ．0!n aD ．0 解选C ．因为()0()!n f x n a =．（3）设函数()y f x =二阶可导，(ln )y f x =，则22d d yx等于（）．A ．1(ln )f x x 'B ．21[(ln )(ln )]f x f x x '''- C ．21[(ln )(ln )]xf x f x x '''- D ．21(ln )f x x' 解选B ．因为1(ln )(ln )f x y f x x x'''=⋅=，则221(ln )(ln )(ln )(ln )f x x f x f x f x x y x x '''⋅⋅-'''-''==．（4）若函数()y f x =有01()2f x '=，则当0x ∆→时，该函数在0x x =处的微分d y 是（）．A ．与x ∆等价的无穷小B ．与x ∆同阶的无穷小C ．比x ∆低阶的无穷小D ．比x ∆高阶的无穷小解选B ．因为()0012x x dyy x x x ='=∆=∆，所以001lim 2x x x dy x =∆→=∆．（5）已知方程222x y R +=确定了函数()y y x =，则22d d yx 等于（）．A ．xy- B ．23R y C ．33R y - D ．23R y -解选D ．由222x y R +=可得220x y y '+⋅=，。

高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)

A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算

L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
n
7
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第十一章
曲线积分与曲面积分
5.性质 (1)设、为常数，则 [P1 P2 ]dx P1dx P2 dx，
L L L
L [Q1 Q2 ]dy L Q1dy L Q2dy .
( 2) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
( t ), ( t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连
2 2 续导数, 且 ( t ) ( t ) 0, 则曲线积分
L P ( x, y)dx Q( x, y)dy存在,
9
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第十一章
曲线积分与曲面积分
且 P ( x , y )dx Q( x , y )dy
L L
( t ) ( t ) ,cos , 其中cos 2 2 2 2 ( t ) ( t ) ( t ) ( t )
L : A B,
L
A
M2 M1
yi M i 1xi
M i M n 1
x
分割 A M 0 , M1 ( x1 , y1 ),, M n1 ( xn1 , yn1 ), M n B.
M i 1 M i ( xi )i ( yi ) j .

高数第十一章无穷级数12.2

n
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n 1 n
1 2
(
n
)2
1 2
2
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校理工学院数学教研室
lim
n
nun
l
0(或
lim
n
nun
)
,
则级数un n1
发散
(2)如果 p1,
而
lim
n
n
pun
l
(0 l
)
,
则级数un n1
收敛.
例 11
判定级数 n1
n 1(1 c
os
n
)
的收敛性.
3
3
解:
因为
lim
n
n
2
un
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n1 1 ( )2
n 2n
3
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❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un n1
为正项级数,
如果 lim n n
un
,
则当 1 时级数
收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可
能发散.
a
例9 用根值审敛法判定级数均为正数的收敛性.
n 1
(
b an
)
n
其中ana(n),
an,
1 n
发散,
n
所以级数 sin 1 也发散.
n n铁1 岭师范高等专科学校理工学院数学教研室

高数下第11讲：Gauss公式、Stokes公式、数项级数

与z h(h 0)之间的部分外侧，cos, cos , cos 是在点(x, y, z)处法向量的方向余弦
2.计算下列向量场 A的散度：
(1)
A
e xy2
i
(cos
xy)
j
(cos
xz 2 )
k
(2) A x y i arctan exy j ln(1 yz) k
3.计算I x(8y 1)dydz 2(1 y 2 )dzdx 4yzdxdy, 其中是由曲线 z y 1
x 0
(1 y 3)绕y轴旋转一周所围成的曲面，它的法向量与y轴正向的夹角恒大于 2
4.计算I xsin xdydz y2dxdz z2dxdy,其中：z 1 1 x2 y2的上侧
5.计算I x3dydz [ yf ( yz) y3 ]dzdx [z 3 zf ( yz)]dxdy, 其中f (u)具有连读导数，
其中n 为曲面的外法线向量
8.设f (x)连续可导, P Q R f [(x2 y2 )z]，有向曲面t是圆柱体x2 y2 t2,
0
z
1的表面，方向朝外.It
t
P求极限 lim t 0
It t4
2 Stokes 公式
设L是空间分段光滑有向闭曲线，是以L为边界的分片光滑的有向曲面，P,Q, R在
包含曲面在内的某空间区域具有一阶连续偏导数，则：
L
Pdx
Qdy
Rdz
( R y
Q )dydz z
(
P z
R x
)dzdx
( Q x
P y
)dxdy
L与方向符合右手法则：四指弯曲方向为L正向，大拇指与曲面上法向量指向相同
9.计算I ( y2 z2 )dx (2z2 x2 )dy (3x2 y2 )dz，其中L是平面x y z 2与柱面 L

高数习题集(附答案)

第一章函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设x x f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111 ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-，。

高数下第十一章曲线积分与曲面积分

L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解记 L所围成的闭区域为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作位于 D 内圆周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2

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