2013年北京二模数学代数综合题汇编(无需编辑)

2013年北京二模数学代数综合题汇编
1．（西城区）在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数11
:(0)
k C y x x
=
>的图象上，
其中1
k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1．
(1) 若1k =2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ； (2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且1
1
k >，当AO =AB 时，求1k 的值；
(3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22
:(0)
k C y x x
=
>的图象分别与线段BE ，
BD 交于点M ，N ，其中210
k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为
2S ，若12S S S =-，求S
与2k 的函数关系式以及S 的最大值．
2．（海淀区）已知：抛物线2
(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ． （1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线2
(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．
①求m 的取值范围；
②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ．
3. （东城区）已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2
=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）求证：抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；
（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2
=--+-x m x m 有两个不相等的
整数根时，把抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
y x
O
4．（石景山区）（1）如图，抛物线2
y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0），其对称轴
与x 轴的交点为C , 反比例函数k y x
=
（x >0，k 是常数）的图象经过抛物线的顶点D ．
（1）求抛物线和反比例函数的解析式． （2）在线段DC 上任取一点E ，过点E 作轴平行线，交y 轴于点F 、交双曲线于点G ，
联结DF 、DG 、FC 、GC ．
①若△DFG 的面积为4，求点G 的坐标；
②判断直线FC 和DG 的位置关系，请说明理由；
③当DF =GC 时，求直线DG 的函数解析式．
x
5.（丰台区）已知关于x的方程2(2)30
--+-=.
x m x m
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）设抛物线2(2)3
=--+-与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关
y x m x m
于直线y=-x的对称点恰好是点M，求m的值.
6. （大兴区）已知：如图，抛物线L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标；
（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会因k值的变化而
发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
7. （昌平区）已知点A （a ，）、B （2a ，y ）、C （3a ，y ）都在抛物线2
112
2
y x x
=-
上.
（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；
（3）是否存在含有、y 、y ，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.
1y 231y 23
8. （顺义区）23、已知抛物线232
-+=mx x y
（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点。

（2）若m 为整数，当关于x 的方程0232
=-+mx x 的两个有理根在－1与
3
4之间（不
包括－1、
3
4）时，求m 的值。

（3）在（2）的条件下。

将抛物线232
-+=mx x y 在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ，再将图象G 向上平移n 个单位，若图象G 与过点（0,3）且与x 轴平行的直线有4个交点，直接写出n 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿＿＿
9. （房山区）已知二次函数217=2
2
y x kx k ++
-
．
（1）求证：不论k 为任何实数，该函数的图象与x 轴必有两个交点；
（2）若该二次函数的图象与x 轴的两个交点在点A （1，0）的两侧，且关于x 的一元二次方程k 2x 2＋(2k ＋3)x ＋1=0有两个不相等的实数根，求k 的整数值； （3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 2＋2(a ＋k )x ＋2a －k 2＋6 k －4=0 有大于0且小于3的实数根，求a 的整数值．
10.（朝阳区）已知关于x 的一元二次方程x 2+(4-m )x +1-m = 0． （1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x 2+(4-m )x +1-m
向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y =x +b 与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b 的值．
11.（门头沟县）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
2
42768
8
3
m m y
x
x m
m --=-
+
+-+经
过原点O ， 点B (-2,n )在这条抛物线上.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线2y x =-沿y 轴向下平移b 个单位后得到直线l ， 若直线l 经过B 点，求n 、
b 的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，直线l 与y 轴交于点D ，且与抛物线的对称轴交于点E .若P 是抛物线上一点，且PB =PE ，求P 点的坐标.
12.（怀柔县） 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.
（1）求C 1的顶点坐标；
（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，
0），求C 2的函数关系式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；
（3）若.,),2(),,(21121y y C y Q y n P >且上的两点是直接写出实数n 的取值范围. 解：
13（密云县）已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x
轴上的一个固定点；
（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的
整数根，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的
解析式．。