数学建模-食堂排队问题
数模竞赛-食堂就餐问题
论文题目：食堂就餐问题(A)摘要：该问题研究的是我校食堂就餐的评价和预测问题。
其问题的关键是在建立合理的就餐满意指标下，怎样对学校现有的食堂做出综合评价、分析和预测就餐学生比例以及如何提高餐饮体系，从而为校园营造良好的餐饮服务。
通过了解和分析，我们利用层次分析法的思想，建立合理的食堂的就餐满意度的列表，确定各项指标对总体满意度的影响权重，构造成对比较矩阵，借助Matlab7.0等软件计算出较为合理，满意的结果。
问题1的结论：通过模型得出食堂容量、就餐环境、价格、饭菜质量以及就餐者的口味喜好所占比重分别为：3.33%、26.15%、12.90%、51.28%、6.34%，我们可以依据这些指标对学校现有各食堂进行科学，合理的综合评价。
问题2的结论：在合理假设模型下，得出新食堂的学生就餐比例为55.8%，旧食堂的学生就餐比例为44.2%。
并通过对比矩阵，预测出新、旧食堂的满意度差值在一定时间内会增加，然后会渐渐趋向平稳。
关键词：食堂就餐满意度层次分析1 问题重设良好的餐饮服务体系是学生良好的校园生活保障，是学校后勤服务系统的最重要环节之一。
请根据我校的当前状态，建立数学模型回答下列问题：(1)建立合理的就餐满意度指标，并按此指标，对学校现有食堂做出综合评价。
考虑的因素可能包括：宿舍、教学楼、食堂的位置关系、容量；各食堂的就餐体系，如餐饮分类、排队打卡方法；早中晚餐区别；周末和非周末区别；其他。
(2)在问题(1)的满意度指标影响下，分析各食堂就餐学生的比例，并预测该比例的长期变化趋势。
(3)基于你的模型和结论，总结学校餐饮体系的优缺点，并提出一些可行性的建议。
2符号说明和基本假设2.1符号说明：b1——食堂的容量；b2——就餐环境，包括：食堂的硬件卫生，打卡问题，服务态度等b3——价格；b4——饭菜质量；b5——就餐者的口味喜好；p1——西苑新食堂；p2——西苑旧食堂；A——成对比较矩阵——矩阵A的最大特征根；λmaxw——矩阵A最大特征值对应的特征向量或权向量；CI——矩阵A不一致程度的指标RI——平均随机一致性指标CR——一致性比率2.2基本假设（1）、假设各院学生仅在自己院校食堂就餐（2）、假设学生在该食堂就餐人数正比于学生对食堂满意度（3）、假定食堂就餐体系的改良具有滞后性（4）、假设主观因素与客观因素同等重要（5）、假设就餐者对食堂的满意度指标是短期不变的（6）、假设不存在食堂扩建情况（7）、假定食堂之间存在良性竞争3 问题的分析——建立和求解3.1模型的分析与建立学校餐饮的核心是服务于学生和创造良好生活保障。
食堂满意度及就餐人数预测模型(数学建模)
表 1.4 B3 层对子准则层指标权重 B3 C8 C9 表 1.5 B4 层对子准则层指标权重 B4 C10 C11 C12 C10 1 1/3 1/4 C11 3 1 1/2 C12 4 2 1 C8 1 1/2 C9 2 1
BC
0.75 0.25
BC
0.625013074 CCI=0.0091 0.238487123 CR=0.0176 0.136499803 Lamb=3.0183
案例层 4.两两比较标度及含义： 标度：
a
ij
标度值 1 3 5
定义 一样重要 比较重要 明显重要
含义 因素 i 和因素 j 一样重要 因素 i 和因素 j 相比重要一点 因素 i 和因素 j 相比明显重要
7 9 2、4、6、8 倒数 5.层次概念图：
目标层：
十分重要 极端重要
因素 i 和因素 j 相比十分重要 因素 i 和因素 j 相比极端重要 上述相邻判断的中间状态所对应的标度值
n CI max n 1
max
1 n n i 1
a
j 1 ij
n
j
i
（式中 max 为最大特征根，n 为矩阵的阶数） 2、计算一致性比率 CR CI （式中 RI 为平均随机一致性指标，下表给出） CR RI 当 CR 0.1 ，则认为一致性可通过，即判断矩阵内部无逻辑矛盾，可用。 矩阵 阶数
说明：R=0.990287 拟合度较高且 P=0.0362434<0.05 符合要求 故：W=（0.665416X2-30.2008）% 全校总人数 S=15118，故给出各食堂就餐人数 s（s=S×W） 表 2.2 各食堂就餐人数 食堂 一食堂 二食堂 三食堂 人数 S 3475 2023 1483 3.就餐人数递推模型 （1）模型概述： 该模型基于指数平滑法（ES） ，给出在稳定情况下，在食堂就餐人数和前一天 就餐人数的关系。经过分析现有数据，给出较为精确的平滑常数α。食堂可根据 该模型，由当日就餐人数推测出下一天的就餐人数。 （3）模型分析：由于假设在工作日内就餐整体稳定，故可认为对于某一确定食 堂，周一至周五每顿饭的平滑常数确定，因此，本模型给出三个食堂的就餐人数 递推方程。 但周一与周六就餐人数会出现突变，故周一与周六就餐人数根据以往 情况用平均值法确定。 （4）平滑常数 确定方法：根据统计数据，在已知就餐人数的情况下。依照公 式： 一次指数平滑公式： st Yt (1 ) st 1 在 excel 表格中，利用折线图法改变 的值，使实际曲线与预测曲线逼近，在出 现突变的临界情况左右即是我们所求的 值（精确到 0.0001） 。 （5）三个食堂的 值
排队论在餐厅排队管理中的应用
排队论在餐厅排队管理中的应用餐厅作为人们日常生活中非常重要的一部分，其经营管理的效率和质量直接关系到顾客的用餐体验和餐厅的经济效益。
然而，由于顾客数量众多和服务过程中存在一定的不确定性，餐厅排队管理一直是一个具有挑战性的问题。
为了提高顾客满意度和经营效益，越来越多的餐厅开始应用排队论来优化其排队管理。
本文将探讨排队论在餐厅排队管理中的应用，并分析其对提高服务质量和经营效益所起到的作用。
首先，我们来了解一下什么是排队论。
排队论是运筹学中研究顾客到达过程、服务过程以及系统性能指标等问题所使用的数学工具。
它通过对系统各个要素进行建模，并运用概率统计方法进行分析，从而得出关于系统性能指标（如平均等待时间、平均逗留时间等）以及资源利用率、吞吐量等方面有关问题答案。
在餐厅中，顾客到达过程是指顾客从进入餐厅到排队的过程。
排队过程是指顾客在餐厅内等待的过程。
服务过程是指顾客点餐、制作、上菜等环节。
在这个过程中，排队论可以帮助餐厅管理者更好地理解和优化顾客到达和服务的规律，从而提高整个排队系统的效率。
首先，排队论可以帮助餐厅管理者预测和优化顾客到达过程。
通过对历史数据的分析和概率统计方法的运用，可以建立到达模型，预测不同时间段内顾客到达的数量和间隔时间。
这对于餐厅来说非常重要，因为它可以帮助餐厅管理者合理安排人员和资源，并提前做好准备工作，以应对高峰期的突发情况。
其次，排队论可以帮助餐厅管理者优化服务过程。
通过对服务环节进行建模，并运用概率统计方法进行分析，可以得出不同服务环节所需时间以及不同菜品制作所需时间等数据。
这些数据对于合理安排人员、提高工作效率非常重要。
例如，在高峰期增加点单窗口或者增加制作人员数量等措施都是根据排队论的分析结果进行的决策。
最后，排队论可以帮助餐厅管理者优化排队策略。
通过对排队模型进行建模，并运用概率统计方法进行分析，可以得出最优的排队策略。
例如，可以根据顾客到达的规律和服务环节所需时间等因素，确定最佳的服务窗口数量和顾客受理规则等。
数学建模之排队问题
排队问题教程一：复习期望公式()i i p a X P ==，∑=ii i p a EX ，()()∑=ii i p a g X Eg二：排队问题单个服务台排队系统问题（比如理发店只有一个理发师情况）：假定顾客到达时间间隔()λ/1~e X 分钟，每个顾客接受服务的时间长度为()μ/1~e Y 分钟，假定1）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客到达的概率为()2t o t ∆+∆λ 2）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客到达的概率为()2t o ∆ 3）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客接受完服务离开概率为()2t o t ∆+∆μ 4）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客离开的概率为()2t o ∆用()t p n 表示在t 时刻，没有离开的顾客数（由于指数分布无记忆性，正在接受服务的顾客还需要接受的服务时间和任何一个顾客的接受服务时间同分布）。
记t 时刻在服务系统总人数n 的概率为()t p n ，则在t t ∆+时刻在服务系统总人数n 的概率()t t p n ∆+由以下几个不相容部分构成a)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，也没有顾客离开，概率 ()t p t o t t o t n ))(1))((1(∆-∆-∆-∆-μλb)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，有1顾客离开，概率 ()t p t t n ⋅∆⋅∆μλc)：t 时刻有n-1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，没有顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(-∆-∆-∆μλd)：t 时刻有n+1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，有1个顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(+∆-∆-∆λμ e)：其他情况，概率()t o ∆由上面分析，()()()()()()()t o t p t t t p t t p t t t t p ∆+∆-⋅∆+⋅⋅∆-+⋅∆⋅∆=∆+1000111λμλμλ()()[]()()()t o t p t o t t t p t o t t t t t o t t o t t p t t p n n n n ∆+∆-∆-∆+∆-∆-∆+∆⋅∆+∆-∆-∆-∆-=∆++-11))(1())(1())(1))((1(λμμλμλμλ，1≥n简写()()()()()()00111p t t t p t t t p t o t λμλ+∆=-∆⋅+∆⋅-∆+∆()()[]()()()t o t p t t p t t t t p t t p n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆-∆-=∆++-11)1)(1(μλμλ即()()()()()t o t p t t p t t p t t p ∆+⋅∆+⋅∆⋅-=-∆+1000μλ()()()()()()()t o t p t t p t t t p t p t t p n n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆+-=-∆++-11μλμλ因此得到()()()()t p t p t p 100⋅+⋅-='μλ()()()()()()t p t p t p t p n n n n 11+-⋅+⋅++-='μλμλ假定()k t k p t p −−→−∞→，()()0−−→−∞'→t k t p 得到 010=⋅+⋅-p p μλ()011=⋅+⋅++-+-n n n p p p μλμλ把0p 当作已知，求解通项n p >将p(1)用)0(/p μλ代入得()()()n n n n p p p p μλμλλμμλμ001=→-+-=再，由1=∑kkp，我们得到()10=∑∞=n np μλ，>因此μλμ-=0p ， nnn p p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μλμλμμλ0 问题1：系统平均有几个人没有离开？解答：系统有n 个人没有离开的概率n p ，因此，系统中滞留人数平均∑∞=0n n np>问题2：系统中排队等待服务平均有几个人？()∑∞=-11n npn>问题3：系统中平均每个人排队等待时间？解答：当一个顾客进入系统中，发现前面已经有n 个顾客在系统中，则他排队等待的平均时间就是这n 个顾客的平均服务时间总和（由于指数分布无记忆特性，不管正在接受服务的顾客已经服务了多少时间，其还要接受的服务时间依然服从相同的指数的分布）因此系统中平均每个人排队等待时间为nn pn∑∞=0μ>问题4：系统中每个顾客逗留时间平均？解答：每个顾客平均排队用时+每个顾客平均服务用时为所求 >。
-数学建模排队论模型[精编文档]
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顾客
工人 病人 敌机 机器
服务台
公共汽车 医生 高炮 修理工
排队系统队列除了有形的还有无形的。
在上述顾客-服务台组成的排队系统中，顾客到来 的时刻与服务台进行服务的时间一般来说是随不同 的时机与条件而变化的，往往预先无法确定。因此， 系统的状态是随机的，故而排队论也称随机服务系 统。
最简单流应 x(t) :t 具 0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a 和0 0 t1 t,2 tn x(a ti ) x(a)
的分布只取决于 t1,t2,而,t与n 无关a。
(2)流具有无后效性
(1 i n)
对互不交接的时间区间序列 ai ,bi (1 i， n)
x(bi ) 是x(a一i ) 组相互独立的随机变量。
N
pn
， 1
n0
1
p0
N 1
(1
)
1 N1
1 1
N
n p0 1
n0
1
pn
N 1
(1
)
n
1 N1
1 1
系统的各项指标
N
L
N
npn
n0
2
(N 1) N1
1
1 N1
1 1
Lq
N
(n
n0
1) pn
N 2
N N 1
N N1
1 1 N1
1 1
N 1
排队论模型
排队论模型
一、排队论的基本概念 二、单通道等待制排队问题
（M／M／1排队系统） 三、多通道等待制排队问题
（M／M／c排队系统）
一、排队论的基本概念
（一）排队过程 1.排队系统
基于泊松过程的食堂排队问题分析
2.2
生灭过程
考虑一类状态离散、时间连续的 Markov 链，其在时间段 [t, t + ∆t] 内的转移
概率满足以下条件： λn (t)∆t + o(∆t), k = n + 1 P (X (t + ∆t) = k | X (t) = n) = µn (t)∆t + o(∆t), k = n − 1 o(∆t), |k − n| ≥ 2
第二次大作业
7
多队列，新到的同学自行选择排哪个队列，这实际上可以分为 r 个独立的 M /M /1 队列。经过分析可知，第一种排队方式即多服务员单队列的排队系统方案，其各 项运行指标都优于多队列的排队系统，见 [1] pg. 71-73。因此，在分析时，当并行 厨师超过 1 个时，我们采用多服务员单队列的排队系统方案，即排成一个大队列， 实际上，这种排队方式就是在银行、饭店等地方实行的取号排队方式。 简单起见，我们把问题建模为最基本的形式，即假设排队系统的输入过程和 输出过程都为齐次泊松过程，输入率 λ 和服务率 µ 都是不随时间变化的常数（即 λi = λ, µi = µ） ，排队系统能够处于稳定状态即 λ < µ，同学在排队过程中不会 中途离开排队系统，每个厨师也不会突然中止服务，排队时无插队现象出现等等， 即考虑最理想的情况。下面分别对 (1) 食堂购买麻辣香锅排队可以无限长；(2) 存 在最大队长限制 K 两种情况进行分析。
则称其为 Poisson 过程 [4] 。 运用以上泊松过程的定义，可以得到任意时刻泊松过程的分布为： Pn (t) = (λt)n −λt e , n = 0, 1, 2, . . . , t > 0. n! (2.1)
泊松过程中随机变量的均值和方差均为 λt，λ 表征了单位时间内到达事件的 数目，称其为泊松过程的速率。 在本次所讨论的排队问题中，假定了对购买麻辣香锅的同学的计数服从参数 为 λ 的泊松分布，这也就意味着： 1) 在不重叠的两个时间区间内购买进入排队系统购买麻辣香锅的同学数是彼此独 立的； 2) 在一个时间区间内购买麻辣香锅的同学数只与区间长度有关，与起始时刻无关； 3) 在一个很短的时间间隔内，到达一位购买麻辣香锅的同学的概率与区间间隔成 正比，比例系数是泊松过程的参数 λ，而到达两位及以上同学的概率很小。在 某一个时刻认为最多只有一位同学达到排队系统。 假设对事件的计数过程为泊松过程，下面考虑两个事件到达的时间间隔 T 的 分布，显然它是一个连续随机变量，其分布函数满足： F (t) = P (T ≤ t) = 1 − P (T > t) = 1 − P0 (t) = 1 − e−λt (t > 0) (2.2)
数学建模食堂问题的答辩会论文PPT课件
目标层
就餐地点
准则层
位
食
饭
置
堂
菜
因
容
质
素
量
量
饭
服
就
菜
务
餐
价
态
环
格
度
境
方案层
可供选择的餐厅：一餐厅，二餐厅
第8页/共29页
评测指标的设计
学生满意测评的指标体系设计是否合理，直接影响到结果的真实性 和有用性。结合学生对于食堂服务、价格、环境等方面综合考虑。确定 以下7个指标尽最大可能的充分的代表了学生评价的基本诉求，满足了 全面性、重要性、独立性和可操作等原则，我们进行评测指标的绝对权 数计算继而得到相对权数，提高满意度模型的精确度，以此来进行模型 的分析和建立，并得到如下结果：
优
良
差
0.8
0.2
0
0.4
0.3
0.2
容量
大
中
小
0.7
0.2
0.1
0.6
0.4
0
饭菜质量
好
中等
差
0.6
0.3
0.1
0.3
0.4
0.2
学一
饭菜价格
低
中
高
0.2
0.3
0.5
服务态度 优良 良好 较差
第13页/共29页
第七步：确定各食堂的综合评判结果 C i
r11 r12 r13
r21 r22 r23
Ci
B • Ri
(W1 ,W2 ) •
r31 r41
r32 r42
r33 r43
r51 r52 r53
r61 r62 r63
经归一化处理后得。
数学建模——食堂就餐问题
某高校设有第1、2、3、4四个食堂，学生可以在任意一处就餐，假设现在学校准备在上述四处中挑选一处增开阅报栏，主要挑选依据是在就餐人数最多的食堂增开阅报人数的分布趋势，并且选择最合适的阅报栏地址。
二、问题的假设1、假设食堂没有扩建；2、假设各个食堂间的竞争是良性的；3、假设本校学生全部在食堂就餐，该校共有3000名学生。
三、符号说明n ：选取的进行考察的时间段(:,)x k ：取出矩阵x 的第k 列A ：分别在这4个食堂就餐的概率组成的矩阵()i x k ：在第i 个食堂就餐k 次的学生人数，1,2,3,4i =，0,1,2,3k =……四、模型的分析本题主要是考虑阅报栏的开设问题，所以只要从第1食堂、第2食堂、第3食堂和第4食堂中选取一个就餐人数最多的食堂开设阅报栏，以保证更多的阅读人数就可以了。
对于这个问题，我们可以考虑运用差分方程模型来求解，利用表格中所给的学生就餐地点变化的概率，再运用绘图程序画出变化趋势图，可以更加直观的看出在哪个食堂就餐的人数最多，最占优势，然后在那个食堂开设阅报栏即可。
五、模型的建立与求解5.1.1模型的建立记学生在食堂就餐第k 次的人数分别为1()x k ，2()x k ，3()x k ，4()x k ，据此可写出在食堂就餐第1k +次的人数为1234(1),(1),(1),(1)x k x k x k x k ++++，（0,1,2,3k =……）。
由题目所给数据可知，第一次在第1食堂就餐的概率为0.60，0.20,0.15,0.05，第二次在第1食堂就餐的概率为0.60,0.25,0.10,0.10，所以可得在第1食堂就餐的学生数量的差分方程为：11234(1)0.60()0.25()0.10()0.10()x k x k x k x k x k +=+++； 类似可得：在第2食堂就餐的学生数量的差分方程为：21234(1)0.20()0.50()0.20()0.25()x k x k x k x k x k +=+++；在第3食堂就餐的学生数量的差分方程为：31234(1)0.15()0.10()0.55()0.50()x k x k x k x k x k +=+++；在第4食堂就餐的学生数量的差分方程为：41234(1)0.05()0.15()0.15()0.15()x k x k x k x k x k +=+++；综上所述，我们可得一阶差分方程组如下：11234212343123441234(1)0.60()0.25()0.10()0.10()(1)0.20()0.50()0.20()0.25()(1)0.15()0.10()0.55()0.50()(1)0.05()0.15()0.15()0.15()x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k +=+++⎧⎪+=+++⎪⎨+=+++⎪⎪+=+++⎩ 用矩阵表示为：11223344(1)()0.600.250.100.10(1)()0.200.500.200.25(1)()0.150.100.550.500.050.150.150.15(1)()x k x k x k x k x k x k x k x k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭用matlab 编程计算出()x k 的值，观察4个食堂就餐的学生人数的变化情况，见附录。
数学建模--排队论
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离
开系统。
课件
3
排队的形式：
顾客到达 队列 服务完成后离去 服务台
服务台1 顾客到达 队列
队列1
服务台2 服务台s
服务完成后离去
顾客到达
队列2 队列s
服务台1 服务台2
服务完成后离去 服务完成后离去 服务完成后离去
服务台s 课件
4
随机服务系统：
排队系统 输入 来源 顾客 队列 服务机构 服务完离开
课件
5
二、排对系统的描述
系统由三个部分组成：
输入过程 排队和排队规则 服务机制
M/D/1
D/M/1
M/E k/1
课件
30
结束语
排队论是专门研究带有随机因素，产生 拥挤现象的优化理论。也称为随机服务 系统。 排队论应用十分广泛。
课件
31
n 1
1
因此：
pn (1 )
n
n 0,1,
课件
23
②几个主要数量指标 平均队长：
L npn n(1 )
n n 0 n 0
1
平均排队长：
Lq (n 1) pn L (1 p0 ) L
高一数学建模论文题材
高一数学建模论文题材题材一：城市出租车费用计算模型。
题目：在某个城市，出租车的收费标准如下：起步价为____元（行驶里程不超过____公里都需付起步价），超过起步里程后，每公里收费____元（不足1公里按1公里计费）。
当行驶里程超过____公里时，超出部分每公里加收____%的返程费。
请建立一个数学模型来计算乘客乘坐出租车的费用，并分析在不同行驶里程下的费用变化情况。
解析：这个题材涉及到分段函数的数学知识。
首先需要确定不同里程段对应的费用计算方式。
设行驶里程为x公里，费用为y元。
当0起步里程时，y =起步价。
当起步里程加收返程费里程时，y =起步价 + （x -起步里程）×每公里收费。
当x>加收返程费里程时，y =起步价 + （加收返程费里程起步里程）×每公里收费 + （x -加收返程费里程）×每公里收费×(1 +加收返程费百分比)。
通过这个模型，可以分析不同里程下费用的变化趋势，例如随着里程的增加，费用是如何逐步上升的，以及在哪些里程节点费用会有较大的变化等。
题材二：校园食堂就餐排队时间优化模型。
题目：某高中校园食堂有____个打饭窗口，每个窗口的打饭效率不同，平均每个窗口每分钟能服务____名学生。
在就餐高峰时段，预计会有____名学生前来就餐。
假设学生到达食堂的时间服从均匀分布，且学生选择窗口是随机的。
请建立数学模型来分析食堂的排队情况，包括平均排队时间、最长排队时间等，并提出优化排队时间的建议。
解析：此题材主要运用概率论和排队论的相关知识。
需要确定学生到达食堂的概率分布函数，由于假设学生到达时间服从均匀分布，可以根据给定的预计就餐学生总数和高峰时段时长来确定分布参数。
然后，根据每个窗口的打饭效率，计算每个窗口的服务率。
利用排队论中的相关公式，如L_q=(λ^2)/(μ(μ-λ))（其中L_q为平均排队长度，λ为顾客到达率，μ为服务率），可以计算出平均排队长度，再结合学生到达率进一步计算平均排队时间和最长排队时间等指标。
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数学建模论文——食堂排队问题指导老师：***小组成员: 姓名学号李晟源200807010409 自己闲来无事做的，仅供参考！[摘要]通过应用排队论，为食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，为节约学生排队就餐时间，提高食堂服务质量，效率，以及平衡学生排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂资源配置提供一种较有效的管理决策手段。
[关键词]排队论；M/M/s模型；灵敏度；等待损失1.引言在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。
饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。
增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。
然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。
排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。
本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。
2.多服务台排队系统的数学模型2.1排队论及M/M/s模型。
排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。
在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。
排队问题的表现形式往往是拥挤现象。
排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。
其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C 表示服务规则。
排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。
当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。
据此，可得任一状态下的平衡方程如下：由上述平衡方程，可求的：平衡状态的分布为：)1(,2,1,0 ==n p C p n n 其中：)2(,2,1,11021 ==---n C n n n n n μμμλλλ 有概率分布的要求：10=∑∞=n n p ，有：1100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=p C n n ，则有：)3(1100 ∑∞=+=n nC p注意：（3）式只有当级数∑∞=o n n C 收敛时才有意义，即当∑∞=〈∞o n n C 时才能由上述公式得到平稳状态的概率分布。
2.2 M/M/s 等待制多服务台模型。
设顾客单个到达，相继到达的时间间隔服从参数为λ的指数分布，系统中具有S 个服务员，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为μ的指数分布。
当顾客到达时，若有空闲的服务台则可以马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待空间为无限。
下面讨论这个排队系统的平稳分布：即{}n N p p == ),2,1,0( =n 为系统达到平稳状态后队长N 的概率分布，注意到对个数为S 的多服务台系统，有：,2,1,0,==n n λλ，和⎩⎨⎧+=== ,1,,2,1,0s s n s n n n μμμ，即：μλs s p p s ==，则当P<1时，由(1)式，(2)式，(3)式，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-s n p s s s n p n p n s n nn 00!1)4(,,2,1!1μλμλ 其中：())5(!!1100-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑ρρρn n i p n n i i公式(4)和公式(5)给出了在平和条件下系统中顾客数为n 的概率，当s n ≥时，即系统中顾客数大于或等于服务台的个数，这时来的顾客必须等待，因此即： ()())6(1,01p s p s c s s n n ρρρ-==∑∞=！(6)式成为Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统是需要等待的概率。
对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长q L 为：()()()2010011!!!s s s n n s s s s n s s n sn s n q s p d d s p s n s p p s n L ρρρρρρρρ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=∑∑∑∞=-∞=∞+= 记系统中正在接受服务的顾客的平均数为s ，显然s 也是正在忙的服务台的平均数，故：(7)式说明平均在忙的服务台个数不依赖于服务台个数S ，这时一个特殊的结果。
由(7)式，可得到平均队长L 为：L=平均排队长+正在接受服务的顾客的平均数ρ+=q L对多服务台系统，Little 公式依然成立。
即有平均逗留时间λL W =;平均等待时间μλ1-==W L W q q 。
3.实例分析3.1模型假说3.1.1假定学生在高峰期这段时间达到的人数是无限的，并且一次以参数λ的泊松过程达到，达到的时间间隔是随机的，服从负指数分布。
3.1.2每个服务窗口以并联的方式连接，且每个窗口对学生来说都是一样的，服务时间服从参数为μ的负指数分布。
3.1.3食堂实行先来先服务原则，且学生可自由在队列间进行转移，并总向最短的对转移，没有学生会因为队列过长而离去，故可认为排队方式是单一队列等待制。
由于周六周日学生没课，故学生去食堂的时间较为分散，很少发生排长队的现象，我们在此不做详细的分析了，我们仅就周一到周五的食堂拥挤情况进行分析。
进我的同学观察发现，一般打到饭的同学都能找到座位吃饭，故我们可认为，食堂的可容纳学生数是足够的，所以解决食堂的拥挤现象，主要是解决排长队与服务窗口的问题。
我的同学统计了从某周一到周五11:45到12:15高峰期食堂的学生流分布情况：每10秒到达人数 1 2 3 4 5 7频数 257 441 894 956 350 161由概率论的知识可知，若分布满足kp p k k λ=-1，则该分布为泊松分布。
(其中k p 为泊松分布的密度，λ为泊松分布的参数)由上表可知λ=3.39。
经验证该分部近似于泊松分布。
虽然我在此只调查了一周的的数据，但考虑到学生到食堂就餐具有较大的稳定性，所以认为调查的数据还是较为可靠的。
另外在非高峰时段很少发生排队的现象，故在此我也不做分析。
3.2模型建立及求解。
基于以上的假设，我们的模型符合排队论中的多服务台等待模型(M/M/s).该模型的特点是：服务系统中有s 个窗口(即s 个服务员)，学生按泊松流来到服务系统，到达强度为λ；服务员的能力都是μ，服务时间服从指数分布，每个顾客的平均服务时间t 。
当顾客到达时，如果所有服务员都忙着，顾客便参加排队等待服务，一直等到有服务员为他服务为止。
由我的调查数据可知6,5.1,39.3===s t λ(食堂现有窗口6个)带入以上各式可得： 服务员能力：67.01==tμ 系统服务强度：09.5==μλρ，因为85.0609.5===s s ρρ<1,所以极限存在。
空闲概率：()031.0!!1100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=∑ρρρn n i p n n i i系统中排队顾客的平均数：()271!20=-=s s s q s p L ρρρ 顾客平均排队时间：96.739.327===λq q L W 顾客平均逗留时间：46.95.196.7=+=+=t W W q系统中顾客的平均数：09.3209.527=+=+=ρq L L由此可见，当我们在中午11:45到15:15这个时间段去食堂吃饭时，一进门就会发现里面已经是人满为患了，几乎不可能找到空闲的窗口。
而且，已经有32个同学在排队买饭，27个人这在排队等待，平均一个窗口5人。
当我们开始排队时要过80秒钟才轮到我们，要过95秒钟才能吃到可口的饭菜，来填饱我们的肚子。
为了检验忽略那些随即因素，我得到的那些结论和实际数据还是较为符合的，可见的的模型是比较成功的。
3.3模型分析对于学生来说中午的时间是很有限的，能尽快吃上饭对我们来说是很重要的。
同时，学生在食堂的排队的平均逗留时间W很大程度上可以决定学生对食堂的选择，q所以食堂的工作人员也希望尽可能的满足学生的要求。
研究学生平均逗留时间W将q是解决本模型的关键所在，平均逗留时间W是由平均排队时间W和平均服务时间tq组成。
我个人认为15秒的平均服务时间t对于服务员来说已经是极限了，如果在加快速度反而可能手忙脚乱，增大出错的可能性，到时反而会降低效率，一次我认为平均服务时间t不可改变，是个常数。
至于平均排队时间W我们有公式可知它由顾客到达强度λ，每个顾客的平均服务时间t和窗口数S来决定的，由于学生对食堂的选择有一定的偏好，即一般都会去同一个食堂吃饭，因此我们可以认为学生流是稳定的，即λ为常数，由上面的分析可知t也是常数因此能对平均排队时间构成影响的就只有窗口S了，下面就对S的取值对W的影响进行分析：由Matlab我们可以得到他们两者之间的散点图：注：上图的W 单位是秒。
利用Matlab 多项式拟合得到他们之间的二次多项式关系式：326.28366.9818.1123.4x x x y +-+-=从图中可以看到，随着窗口数的增加，平均排队时间急剧减少，当窗口数达到5以后时，变化趋于平缓。
为了得到更精确的分析，我在这里再用灵敏度的观点进行讨论。
窗口数S 6 7 8 9 10 平均排队时间 0 5.23 1.64 0.58 0.23灵敏度()sW s W W s Q ∆∆=, 窗口数S 6 7 8 9 10 灵敏度 0 29.13 17.51 16.54 17.626变成7是尤为明显，其平均排队时间由27秒变为5.23秒。
二其他几种情况虽也很敏感，但是平均排队时间变化的绝对值很小，大小不超过4秒。
3.4窗口数的优化设计对于学生方面来说当然是排队等待时间越短越好，而对于食堂方面来说，窗口数的增加一方面会导致成本的增加，带来大的成本压力，另一方面会缩短排队时间，即意味着它能为更多的学生服务，所以他是否会增加窗口数就取决于成本和收益的大小关系。
因此，需要对系统进行优化，在成本和利益之间寻求可能的平衡点。
我们可以把该系统优化表述为：寻求最佳的窗口数S ，使系统总费用C(s)最小，即：minC(s)=L C s C w s •+•其中：S 为并联的窗口台数量，C(s)是关于窗口台数量的费用，Cs 是单位时间里平均每个窗口的费用，Cw为平均每个学生在系统中等待（或逗留）单位时间的等待损失，L是平均队长。
在理论上上述目标函数存在着优化解。