简述全概率公式和贝叶斯公式。
全概率公式与贝叶斯公式
, i = 1,2,, n.
例1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元
件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据 : 元件制造厂 1 2 3 无区别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件 , 求它是次品的 概率; 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05
= P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A Bn ) P ( Bn ).
图示
B2
B1
A
B3
Bn1
化整为零 各个击破
Bn
2. 全概率公式
定理 设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 , B1 , B2 , , Bn为 S 的一个划分 , 且 P ( Bi ) > 0( i = 1, 2, , n ), 则
例2 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有50%的产品是第一家工厂生产的, 其他 二厂各生产25%. 又知第一、第二家工厂生产的有 2%是次品, 第三家工厂生产的有4%是次品. 现从此 箱中任取一个产品, 求拿到的是次品的概率.
例3
例4 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射 击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击 中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机 必定被击落, 求飞机被击落的概率。
§1.6 全概率公式和贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
三、小结
一. 全概率公式
1. 样本空间的划分
定义 设 S 为试验 E的样本空间, B1 , B2 ,, Bn 为 E 的一组事件 , 若 (i ) Bi B j = , i j , i , j = 1, 2,, n ; (ii ) B1 U B2 U U Bn = S . 则称 B1 , B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分 .
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
Ａ1,Ａ2,Ａ3是完备事件组．
由贝叶斯公式得P ( A1 | B) P (B | A1 ) P ( A1 )
P ( A ) P (B | A )
i 1 i i
3
其中 P(Ｂ|Ａ1)=2/3, P(Ｂ|Ａ2 )=3/4, P(Ｂ|Ａ3 )=1/2, P(Ａi)=1/3, i=1,2,3． 代入数据计算得： P ( A1 | B) 0.348
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
0.005 0.95 0.087 0.005 0.95 0.995 0.05
1.5.2 贝叶斯公式
本题的结果表明，虽然 P ( B A) 0.95,
P ( B A ) 0.95 这两个概率都很高．但是，即试验
1.5.2 贝叶斯公式
特别有：
设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 A
是一个完备事件组，若P(A) > 0， ( A) 0， P
P(B) > 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为
P ( A B)
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
阳性的人有肝炎的概率只有8.7%．如果不注意这 一点，将 P( B A) 和 P( A B) 搞混，将会得出错误 诊断，造成不良的后果．
1.5.2 贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1， 2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习 惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在 这种信息下考察Ai的概率 P ( Ai | B), i 1,2,...,n
由全概率公式得
P ( B1 B2 ) P ( Ai )P ( B1 B2 Ai )
全概率公式和贝叶斯公式
则称该事件组为一完备事件组 o
● 定理（全概率公式）
设事件组B1 、B 2 、 、B n为随机试验
的一个完备事件组, 且P(Bi ) 0(i 1, 2, , n), 事件A能并且只能与其中之一 事件同时发生, 则有
P( A) P(B1)P( A / B1) P(B2 )P( A / B2 ) P(Bn )P( A / Bn )
P(k) p (1 p)k1, k 1,2, , n 请你思考以下问题 : 现有10张有奖卷, 其中有一张是一等奖, 试求你第几次摸到此一等奖的概率最大
p59-60
作业
16 17 18 21 22 24 25 26
3
P(B) P( Ai )P(B / Ai ) i0
0.072 0 0.324 0.2 0.436 0.6 0.1681
0.4944
(2)
P( A3 / B)
P( A3)P(B / A3) 0.168
P(B)
0.4944
0.3398
在n重贝努里试验中还有一种现象值 得关注,即我们尝试做某件事情时总会有 成功或失败两种可能, 假如成功的概率为 p(0 p 1), 则失败的概率为1 p,那么,第 k次成功的概率就为
P( A) P(B1)P( A/ B1) P(B2)P( A/ B2) P(B3)P( A/ B3)
0.07 0.25 0.05 0.25 0.04 0.50 0.05
例：设人群中有37.5％的人是Ａ型血，20.9％的人 是Ｂ型，33.7％的人是Ｏ型，7.9％的人是ＡＢ型，已 知允许输血的血型配对如下表（√：允许输血，×：不 允许输血）：
● 定理 : 在n重贝努里试验中事件A恰好发
全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用
全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用一、全概率公式全概率公式是概率论中的基本公式之一，也称作“条件概率公式”。
简单地说，它是用于计算一个事件发生的概率，而该事件可以发生在多个不同的情况下。
这个公式通常是这样表述的：P(A) = ΣP(A|B_i)*P(B_i)其中，A是要计算的事件，B_i 是 A 可以在其上发生的情况。
P(A|B_i) 是在给定的情况 B_i 下 A 发生的概率，P(B_i) 是情况B_i 发生的概率。
Σ 是对所有情况 B_i 求和。
换句话说，这个公式的含义是：要计算事件 A 发生的概率，我们需要把所有可能性下的条件发生的概率乘起来，再加起来，最终就得到了事件 A 发生的概率。
二、贝叶斯公式另一个常用的概率公式是贝叶斯公式，它与全概率公式有关。
贝叶斯公式是用于计算事件的后验概率（posterior probability），即已知某些证据的情况下再计算事件 A 发生的概率。
它经常用在统计学、机器学习等领域中。
贝叶斯公式通常表述为：P(B|A) = P(A|B)*P(B) / Σ(P(A|B_i)*P(B_i))在这个公式中，A 是已知的证据，B 是要计算的事件。
P(A|B) 是在事件 B 发生的情况下事件 A 发生的概率，P(B) 是事件 B 发生的先验概率（prior probability），即在没有任何证据的情况下事件B 发生的概率。
Σ(P(A|B_i)*P(B_i)) 是全概率公式中的求和项。
三、推广及应用全概率公式和贝叶斯公式可以相互推导，它们都是计算概率的重要工具，广泛应用于各种领域中。
例如：1、在医学诊断中，医生可以利用贝叶斯公式来计算某个病人患病的概率，而这个概率可以作为判断病人是否需要进一步检查或治疗的依据。
2、在自然语言处理中，贝叶斯公式可以用于计算文档中词汇的概率，从而实现文本分类、情感分析等任务。
3、在无人驾驶汽车中，全概率公式可以用于估计车辆在道路上的位置，贝叶斯公式可以用于预测其他车辆的行驶路线和速度，从而实现智能决策和避免碰撞。
全概率公式和贝叶斯公式乐乐课堂
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摘要：
一、全概率公式和贝叶斯公式的概念
1.全概率公式
2.贝叶斯公式
二、全概率公式和贝叶斯公式的应用
1.全概率公式的应用
2.贝叶斯公式的应用
三、全概率公式和贝叶斯公式的联系与区别
1.联系
2.区别
正文：
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中非常重要的两个公式，它们在各种领域都有广泛的应用。
全概率公式是指在多个事件中，如果每个事件都是某个条件下必然发生的，那么这些事件的联合概率就等于各个事件概率的乘积之和。
公式表示为：P(A1,A2,...,An)=P(A1)*P(A2)*...*P(An)。
全概率公式可以用于求解复杂事件的概率，以及进行条件概率的计算。
贝叶斯公式是指在已知某条件概率的情况下，求解相关联的逆条件概率。
公式表示为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)。
贝叶斯公式可以用于求解不确定性问题的答案，以及进行预测和推断。
全概率公式和贝叶斯公式虽然都是概率论中的重要公式，但它们的应用场景和求解问题的方式却有所不同。
全概率公式主要用于求解多个事件的联合概率，以及进行条件概率的计算；而贝叶斯公式则主要用于求解相关联的逆条件概率，以及进行预测和推断。
虽然全概率公式和贝叶斯公式在应用和求解问题上存在差异，但它们之间也存在联系。
在某些情况下，贝叶斯公式可以看作是全概率公式的特例，即当某个事件的发生与其他事件无关时，贝叶斯公式就可以简化为全概率公式。
总的来说，全概率公式和贝叶斯公式都是概率论中非常重要的公式，它们在各种领域都有广泛的应用。
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。
【概率论与数理统计】全概率公式和贝叶斯公式
【概率论与数理统计】全概率公式和贝叶斯公式注：很久以前就知道这两个公式，但⼀直仅限于了解。
直到最近学习edx上的课程，才对这两个公式有了新的理解，记录于此。
1. 条件概率公式设A, B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发⽣的条件下，事件A发⽣的条件概率(conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)条件概率是理解全概率公式和贝叶斯公式的基础，可以这样来考虑，如果P(A|B)⼤于P(A)则表⽰B的发⽣使A发⽣的可能性增⼤了。
在条件概率中，最本质的变化是样本空间缩⼩了——由原来的整个样本空间缩⼩到了给定条件的样本空间。
2. 乘法公式2.1 乘法公式由条件概率公式得：P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)上⾯的式⼦就是乘法公式。
2.2 乘法公式的推⼴对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)3. 全概率公式3.1 前提假设设B1，B2，....为有限或⽆限个事件，它们两两互斥且在每次试验中⾄少发⽣⼀个，即：不重，B i∩ B j = ∅（不可能事件）i≠j ,不漏，B1∪B2∪.... = Ω（必然事件）.图1：B1 - B n是对S的⼀个划分这时，称事件组 B1, B2,...是样本空间S的⼀个划分，把具有这些性质的⼀组事件称为⼀个“完备事件组”。
设 B1, B2,...是样本空间S的⼀个划分，A为任⼀事件（图1中红圈内部区域），则：$$P(A) = \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } P(B_i)P(A|B_i) \hspace{ 10pt } (1)$$上式即为全概率公式（formula of total probability)也可以分为两步来看全概率公式：图2：分两步看全概率公式，S先被划分为n个⼦集B1 - B n，然后每个⼦集的发⽣会对A的发⽣产⽣不同程度的影响设P(B j) = p j, P(A|B j) = q j, j = 1, 2, ..., n则$$P(A) = \displaystyle \sum_{ j = 1 }^{ n } p_{j}q_{j} \hspace{ 10pt } (2)$$在运⽤全概率公式时的已知未知条件为：划分后的每个⼩事件的概率，即P(B i), i = 1, 2, ..., n；每个⼩事件发⽣的条件下，A发⽣的概率，即P(A|B i), i = 1, 2, ..., n；求解⽬标是计算A发⽣的概率，即P(A)。
全概率公式与贝叶斯公式
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只 白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后 再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
概率全概公式和贝叶斯定理
概率全概公式和贝叶斯定理全概公式（Law of Total Probability）是概率理论的基本定理之一，用于计算一个事件的概率。
全概公式基于样本空间（sample space）的分割计算的原理。
在给定多个互不相交的事件的条件下，可以使用全概公式计算任意一个事件的概率。
下面我们将详细介绍全概公式以及贝叶斯定理的原理和应用。
一、全概公式（Law of Total Probability）全概公式是用于计算一个事件的概率的基本定理。
该定理表明，在给定多个互不相交的事件的条件下，可以利用全概公式计算特定事件的概率。
设A是样本空间Ω的一个分割，即A1，A2，…，An是样本空间Ω的一组互不相交的事件，并且A1∪A2∪…∪An=Ω（其中，n为有限数或无穷可数），则对于任意一个事件B，有P(B)=P(B，A1)・P(A1)+P(B，A2)・P(A2)+…+P(B，An)・P(An)其中，P(B，Ai)表示在Ai发生的条件下B发生的概率，P(Ai)表示事件Ai发生的概率。
全概公式是概率论中非常重要的定理，它可以用于计算复杂事件的概率。
通过分割样本空间，我们可以将复杂事件分解为多个互不相交的子事件，然后利用条件概率计算每个子事件的概率，最终利用全概公式求解。
二、贝叶斯定理（Bayes' Theorem）贝叶斯定理是概率论与统计学中一种基本的计算方法，用于从已知条件反推未知条件的概率。
它是由英国数学家托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在18世纪提出的，因而得名。
贝叶斯定理是条件概率的重要应用之一设A和B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则根据贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)・P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
全概率公式贝叶斯公式讲义
全概率公式贝叶斯公式讲义I. 全概率公式A. 定义全概率公式是概率论中的一个基本定理，用于计算事件A 的概率。
假设 {B 1, B 2, ... B n } 是样本空间的一个划分，全概率公式表示为：P(A)=P(A|B 1)·P(B 1)+P(A|B 2)·P(B 2)+...P(A|B n )·P(B n )其中，P(A)是事件A 的概率，P(A|B i )是在给定事件B i 发生的条件下事件A 发生的概率，P(B i )是事件B i 的概率。
B. 示例假设有两个盒子，盒子 1 中有三个红球和两个蓝球，盒子 2 中有两个红球和三个蓝球。
我们随机选择一个盒子，然后从中随机取出一个球。
求取出的球是红色的概率。
事件 A ：取出的球是红色事件 B ₁：选择盒子 1事件 B ₂：选择盒子 2P(A)=P(A|B 1)·P(B 1)+P(A|B 2)·P(B 2)P(A)=(35·12)+(25·12)=12 II. 贝叶斯公式A. 定义贝叶斯公式是一种基于条件概率的推断方法，用于计算在给定先验信息的情况下后验概率。
对于事件A 和样本空间的一个划分 {B 1, B 2, ...B n }，贝叶斯公式表示为：P(B i|A)=P(A|B i)∙P(B i)P(A)B. 示例在上述的盒子和球的例子中，如果我们已知取出的球是红色，求这个球来自盒子1 的概率。
事件A：取出的球是红色事件B₁：选择盒子1P(B1|A)=P(A|B1)∙P(B1)P(A)P(B1|A)=25∙1212=35这表示在已知取出的球是红色的情况下，来自盒子 1 的概率为35。
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简述全概率公式和贝叶斯公式。
全概率公式
全概率公式又称作条件概率公式，是概率论中常用的一个公式，用于求解一个事件的概率。
它的公式表述如下：
P(A) = ΣP(A|B_i)P(B_i)
其中，P(A)表示事件A的概率，P(B_i)表示事件B_i的概率，P(A|B_i)表示在事件B_i发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式的核心思想是将事件A的概率转化为在不同条件下的事件A发生的概率之和。
贝叶斯公式
贝叶斯公式是概率论中另一个重要的公式，它用于计算在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。
其公式表述如下：
P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A)
其中，P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率；P(A)表示事件A发生的概率。
贝叶斯公式的核心思想是将事件A发生的条件下，事件B发生的概率转化为事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
它是贝叶斯统计学的基础，也是人工智能中常用的一种建模方法。