高次方程及其解法
高次方程及解法
高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
高次方程及解法
高次方程及解法一、 ±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则 -1是方程的根。
求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（ x+1）,降低方程次数后依次求根。
“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1 解方程x 4+2x 3-9x 2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x 4+2x 3-9x 2-2x+8)÷(x-1)= x 3+3x 2-6x-8观察方程x 3+3x 2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根 -1”，即方程中含有因式（x+1），∴ （x 3+3x 2-6x-8）÷ (x+1)=x 2+2x-8，对一元二次方程x 2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴ 原高次方程x 4+2x 3-9x 2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x 1=1;当(x+1)＝０时，有x 2= -1;当(x-2) =0时，有x 3=2; 当(x+4)=0时，有x 4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n ＋a n-1x n-1+ +a 1x+a 0可分解出因式P x-Q ,即方程a n x n ＋a n-1x n-1+ +a 1x+a 0=0有有理数根PQ（Ｐ、Q 是互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项 a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
高次方程的解法与应用知识点总结
高次方程的解法与应用知识点总结高次方程，也称多项式方程，是一种含有高次幂的方程。
解决高次方程是数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用背景。
本文将对高次方程的解法和应用知识点进行总结。
一、高次方程的解法1. 因式分解法高次方程的因式分解法是根据高次方程的特殊形式来求解的。
如果方程能够分解成两个或多个较低次数的因式相乘的形式，就可以借助因式分解的方法求解。
例如：x^2 - 4 = 0，可以通过因式分解(x + 2)(x - 2) = 0求得解x =2和x = -2。
2. 配方法配方法是解决一些二次方程的常用方法，通过选择适当的变量替换和配方，将高次方程转化为较低次数的方程来求解。
例如：x^2 + 6x + 9 = 0，可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而解得x = -3。
3. 求根公式求根公式是解决二次、三次、四次方程的常用方法，它将高次方程的解与方程的系数之间建立了一种关系，通过求解这些关系式可以得到高次方程的解。
例如：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为x= (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
4. 奇偶对称性对于某些高次方程，可以利用奇偶对称性来简化解法。
通过观察方程中各项的奇偶性，可以减少计算量，并找到方程的一些特殊解。
例如：x^5 - x^3 + x = 0，通过观察可以发现x = 0是方程的解，这是因为x^5和x都是奇次幂，而-x^3是偶次幂。
5. 数值逼近法对于一些无法用以上方法求解的高次方程，可以借助数值逼近法求解。
数值逼近法是通过不断逼近方程解的数值来求解方程的近似解。
例如：牛顿迭代法、二分法等。
二、高次方程的应用知识点1. 几何应用高次方程在几何学中有着广泛的应用。
例如，二次方程可以用来描述抛物线的形状和轨迹；三次方程可以用来描述三维空间中的曲线；四次方程可以用来描述圆锥曲线等。
2. 物理应用高次方程在物理学中也有着重要的应用。
高次方程的求解方法
高次方程的求解方法在数学中，高次方程是指其最高次数大于等于2的多项式方程。
对于高次方程的求解是数学中的重要课题之一。
本文将介绍几种常见的高次方程求解方法。
一、一元高次方程的求解方法一元高次方程是指只含有一个未知数的高次方程。
下面将介绍二次方程和三次方程的求解方法。
1. 二次方程的求解方法二次方程是指最高次数为2的一元方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
求解二次方程的一种常见方法是使用求根公式。
根据二次方程的解法，可以得到求根公式为：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。
当求根公式中的判别式(b^2-4ac)大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程有两个共轭复数根。
2. 三次方程的求解方法三次方程是指最高次数为3的一元方程。
一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。
求解三次方程的一种常见方法是使用牛顿迭代法。
该方法通过不断逼近，寻找多项式的根。
牛顿迭代法的迭代公式为：x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))，其中x(n+1)为下一个近似解，x(n)为当前的近似解，f(x(n))为方程的多项式函数值，f'(x(n))为多项式函数的导数值。
二、多元高次方程的求解方法多元高次方程是指含有多个未知数的高次方程。
下面将介绍二元高次方程和三元高次方程的求解方法。
1. 二元高次方程的求解方法二元高次方程是指含有两个未知数的高次方程。
一般形式为：f(x, y) = 0。
求解二元高次方程可以采用消元法或者代入法。
消元法是通过将一个未知数用另一个未知数表示，从而减少方程的未知数个数。
代入法是将一个未知数的表达式代入到另一个方程中，从而求解方程的解。
2. 三元高次方程的求解方法三元高次方程是指含有三个未知数的高次方程。
高次方程的解法
高次方程的解法高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程、四次方程等。
解高次方程是数学中的基本技能之一，能够帮助我们研究各种实际问题。
本文将介绍几种解高次方程的方法，包括因式分解、配方法、提取公因式和根的公式等。
一、因式分解法当高次方程可因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程。
举个例子，考虑解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0。
首先，我们观察方程中的常数项6，寻找其因数。
可以得知6的因数有1、2、3和6。
然后我们将这些因数带入方程，并观察是否能够满足等式。
不难发现，当将2和3带入方程时，等式成立。
因此，我们可以得出以下因式分解形式：(x - 2)(x - 3) = 0。
由因式分解的性质可知，当一个方程的乘积等于0时，其中一个因式等于0。
因此，我们可以得到两个解：x - 2 = 0 和 x - 3 = 0。
进一步求解可得x的值，即x = 2和x = 3。
因此，原方程的解为x = 2和x = 3。
二、配方法对于一些特殊的高次方程，我们可以通过配方法来求解。
配方法适用于二次方程以及一些特殊的三次方程，例如x^2 + bx + c = 0。
我们仍以二次方程为例进行讲解。
考虑解方程x^2 - 8x + 12 = 0。
首先，我们观察方程中的系数，将常数项12分解为两个数的乘积，这里可以分解为2和6。
然后我们观察方程中的一次项系数-8，将其写成-2和-6之和。
然后将方程重新写成完全平方的形式：(x - 2)(x - 6) = 0。
继续通过因式分解的性质可以得到x的两个解：x - 2 = 0 和 x - 6 = 0。
求解可得x = 2和x = 6。
因此，原方程的解为x = 2和x = 6。
三、提取公因式法当高次方程中存在公因式时，我们可以通过提取公因式的方式简化方程，并进一步求解。
举个例子，考虑解方程x^3 - 4x^2 + 4x = 0。
首先，我们观察方程中的每一项，可以发现每一项都含有x。
试根法解高次方程
试根法解高次方程对于高次方程，如三次方程、四次方程等，一般方法如配方法、公式法等可能并不适用。
但是，试根法可以作为一种有效的解法。
一、试根法原理试根法的基本思想是通过逐步逼近，使得方程根越来越接近目标根。
通过不断的迭代，直到找到符合要求的根为止。
二、试根法步骤1. 准备：首先将高次方程通过因式分解或者配方法转化为标准形式 ax^n + bx^(n-1) + cx + d = 0，其中 a 不为 0。
2. 选取一个初始值 x0，一般选取方程的特殊解。
3. 迭代：对于每一个k 从 1 到 n-1，进行如下操作： a. 将 xk 带入方程中，得到关于xk-1 的方程。
b. 解这个方程，得到 xk-1 的值。
c. 将 xk-1 的值替换原来的 xk，继续进行下一个 k 的迭代。
4. 判断是否符合要求：如果 xn-1 已经足够接近目标根，或者达到了最大迭代次数，则停止迭代，将 xn-1 视为近似解。
三、示例假设我们有一个三次方程：x^3 + 3x^2 - x = 0。
我们使用试根法求解这个方程。
1. 将方程转化为标准形式：x^3 + 3x^2 - x = 0 => (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0。
2. 选择初始值：我们选择 x0 = -1。
3. 迭代：k 从 1 到 2 进行迭代。
a. 将 x1 带入方程中，得到关于x0 的方程：(x + 1)(x^2 - x + 1) = (x - -1)(x^2 - x + 1)。
所以 x0 = xk-1。
b. 解方程 x^2 - x + 1 = 0，得到近似解：x0 = -0.54。
将这个值替换原来的 xk-1 = -1。
c. 将 x2 带入方程中，得到关于 xk-2 的方程：(x - -0.54)(x^2 - x + 1) = (x - -1)(x^2 - x + 0.54)。
所以 xk-2 = xk-1。
解这个方程得到：x0 = -0.54776...。
高次方程的解法
高次方程的解法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.高次方程的解法有很多中学生一谈起高次方程，就好比见天书一样。
其实高次方程没什么难的，学数学应该学会举一反三。
我们知道初中学了一元二次方程，有些学生只把二次方程的求根公式记住了，但这个求根公式怎么推导的呢，他没有理解。
其实学数学应该学会理解，注重理解，而不在于死记公式。
比如说我们学了一元二次方程，重要的不是这个求根公式，而是一元二次方程有几种解法。
一元二次方程有以下几种解法：1、配方法（二次方程是配平方法）：这一方法虽然是很好理解的，但我通过在网上了解有很多学生对一方法根本就不懂。
因为我问到他们时，他们绝大多数都是只会这个求根公式，一问起是怎么推导的，他们根本就不知道。
其实二次方程的求根公式就是用配方法导出来的，配方法是解方程的里面的，尤其是解高次方程里面的最重要的一个方法。
如果能够彻底理解这一方法，不仅是二次方程这块好掌握，对以后解高次方程也有很大帮助。
比如说对于二次方程ax2+bx+c=0，我们知道可用配平方（完全平方公式）法配成缺少一次项系数的二次方程，即配成关于x的一次代数式的完全平方的行式，这样就可以通过直接开平方法解出此方程。
那么二次方程我们能用配方法求解，我们是不是就考虑举一反三，三次方程ax3+bx2+cx+d=0是不是也可以采取配方来解，当然对于三次方程就应该是配立方法了。
通过研究对于某些特殊的三次方程是可以通过配立方法来求解的，为什么说是要特殊的三次方程呢，因为三次方程和二次方程不一样，它有三个带未知数x的项，这样用配立方法化把二次项系数去掉的同时，不一定一次项系数也同时去掉。
所以对于某特殊的三次方程也适用于配方法的。
比如说x3+6x2+12x+9=0，通过配立方法，可以化成完全立方的形式（x+2）3+1=0，这样就可以解得该方程有一实根X=-3，所以我们学了二次方程的配方法后，可以把这种方法推广到三次方程，甚至更高次数的方程上（例如某些四次方程可以通过配四次方法来解……）。
高次方程解法[整理版]
![高次方程解法[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d2e1172442323968011ca300a6c30c225901f07c.png)
高次方程解法1.高次方程的定义整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。
2.高次方程的一般形式高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=0等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=03.高次方程解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解4.高次方程根与系数的关系按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于(-1)^nb05.阿贝尔定理对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解)，这称为阿贝尔定理。
换句话说，只有三次和四次的高次方程可解．下面介绍三次和四次方程的解法。
6.四次方程解法卡尔丹公式诞生后，卡尔丹的学生费拉里便发明了一元四次方程的求根公式。
【费拉里公式】一元四次方程aX＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，（a，b，c，d，e∈R，且a≠0）。
令a=1，则X＾4＋bX＾3＋cX＾2＋dX＋e=0，此方程是以下两个一元二次方程的解。
2X＾2＋(b＋M)X＋2(y＋N/M)=0；2X＾2＋(b—M)X＋2(y—N/M)=0。
其中M=√(8y＋b＾2—4c)；N=by—d，(M≠0)。
y是一元三次方程8y＾3—4cy＾2—(8e—2bd)y—e(b＾2—4c)—d＾2=0的任一实根。
7.三次方程解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如aX^3＋bX^2＋cX＋d=0的标准型一元三次方程形式化为X^3＋pX＋q=0的特殊型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高次方程及其解法
2009-12-06 11:35:27| 分类：学生园地| 标签：|字号大中小订阅
1.一元n次方程：
（1）标准形式： a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)，当n≥3时叫做高次方程.
（2）解法思想：高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.
2.高次方程根的存在定理设多项式f(x)=a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n(a0≠0)
（1）因式定理：多项式f(x)含有因式x-a的充要条件是f(a)=0.
（2）实系数方程虚根成对定理：如果方程f(x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0)，那么它必定还有另一个根a-bi.
（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f(x)=0的系数都是有理数，
①若a+√b是方程的根，那么a-√b 必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）；
②若√a+√b是方程的根，那么√a-√b，-√a+√b，-√a-√b必也是它的根（其中，√a、√b都是无数）；
③若方程有一个虚根√a+√bi(a，b∈R且b≠0)，那么√a-bi，-√a+√bi，-√a-√bi必也是它的根（其中，√a、√b都是无理数）.
（4）整系数方程有理根存在定理：
①如果方程f(x)=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；
②在整系数方程f(x)=0中，如果α是方程的整数根，那么二比值f(1)/(α-1)和f(-1)/(α+1)都是整数；
③在整系数方程f(x)=0中，如果f(0)与f(1)都是奇数，那么该方程无整数根；
④最高次项的系数为1的整系数方程f(x)=0的有理根都是整数.如果方程没有整数根，那么它也没有有理根.
3. 一元n次方程的解法：
（1）一元n次方程a0x n+a1x n-1+a2x n-2+…+a n-1x+a n=0(a0≠0)的解法通常用验根法、因式分解法和换元法. （2）特殊的高次方程的解法：
①二项方程ax n+b=0(a≠0)可用复数开n次方的方法求解；
②三项方程ax2n+bx n+c=0(a≠0)可用换元法求解，先令x n=y,解二次方程ay2+by+c=0(a≠0),然后求x；
③倒数方程ax n+bx n-1+c x-2+…+cx2+bx+a=0(其特点是距首末两项等远的项系数相等，a≠0)通常用换元法降次后求解.
注：倒数方程具有性质：
①倒数方程没有x=0的根；
②如果α是倒数方程的根，那么α的倒数1/α也是该方程的根；
③奇次倒数方程必有x=-1的根.例题解答：。