高考数学满分学霸的解题笔记(一)
专题8.5 椭圆及其几何性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第八篇平面解析几何专题8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【微点提醒】点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相同.( )【教材衍化】2.(选修2－1P49T1改编)若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是________.3.(选修2－1P49A6改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________.【真题体验】4.(2018·张家口调研)椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±9，0)D.(0，±9)5.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.2236.(2018·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【考点聚焦】考点一 椭圆的定义及其应用【例1】 (1)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆(2)(2018·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( ) A.24 B.12C.8D.6【规律方法】 (1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.【训练1】 (1)(2018·福建四校联考)已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.2 3B.6C.4 3D.2(2)(2018·衡水中学调研)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________.考点二 椭圆的标准方程【例2】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 (2)(一题多解)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.【规律方法】 根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m ，n 的值即可. 【训练2】 (1)(2018·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1D.x 216＋y 212＝1 (2)(2018·榆林模拟)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1考点三 椭圆的几何性质多维探究角度1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例3－1】 (2018·泉州质检)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A.8B.7C.6D.5角度2 椭圆的离心率【例3－2】 (2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12C.13D.14角度3 与椭圆性质有关的最值或范围问题【例3－3】 (2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A.(0，1]∪[9，＋∞)B.(0，3]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)【规律方法】1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)(2019·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C 以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A.55 B.105 C.255 D.2105【反思与感悟】1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F 1F 2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a 2，b 2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )【易错防范】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e ∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A.5B.3C.5或3D.82.(2019·聊城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1D.x 29＋y 25＝1 3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A.12 B. 2 C.2 D.224.(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( ) A.43 B.1C.45D.345.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B.2 C.2 2 D. 3二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.7.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.8.(2019·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________.三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3).若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程.10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A.32 B.2－12 C.3－12 D.5－1212.(2019·湖南湘东五校联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.(3－12，1)B.(3－12，12)C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 13.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.14.(2019·石家庄月考)已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)，求△PAB 的面积.【新高考创新预测】15.(多填题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，其关于直线y ＝bx 的对称点Q 在椭圆上，则离心率e ＝________，S △FOQ ＝________.。
2023高考数学知识点归纳
2023高考数学知识点归纳2023高考数学知识点归纳总结高考数学可以讲究题海战术，但要注意时间调整，不能无限做题，主要是做了题要有总结、理解。
下面给大家分享一些关于2023高考数学知识点归纳总结，希望能够对大家有所帮助。
2023高考数学知识点归纳总结一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的`差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：(1)若公差d>0，则为递增等差数列;若公差d<0，则为递减等差数列;若公差d=0，则为常数列;(2)有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和;(3)m，n∈N____，则am=an+(m-n)d;(4)若s，t，p，q∈N____，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,高一，有as+at=2ap;(5)若数列{an｝，{bn｝均是等差数列，则数列{man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
(6)从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即对等差数列定义的理解：①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列.②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有还有③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列(也是等差数列);当d>0时，数列为递增数列;当d<0时，数列为递减数列;④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据;⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：(1)学会运用函数与方程思想解题;(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键;(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).高考数学常考考点向量夹角范围不清致误解题时要全面考虑问题。
高考备考：一个数学学渣转变为数学学霸的神奇方法
高考备考：一个数学学渣转变为数学学霸的神奇方法我是那种从小数学不好的人，然后就天真以为自己真的没办法学好，然后呢～也渐渐放弃学好数学的欲望～高中考了一个不是很好的重点中学，我很深刻记得，有一回的数学考试，我考了44分，满分150。
说多都是泪～天啊，那时候满脑子都是我怎么办，一个快要高考的人了。
然后，哭了之后发现日子还是那样地过～数学还是不会～也不知道后天真的是怎么了，我突然有种想要学好数学的欲望。
我是个蠢人，在悠久的探索历史中，找到了适合自己的方法。
接下来我说明一下：数学学得好，80%也是靠努力。
特别是高中党，把你们所有的高中课本拿出来～从头开始看。
不要说你都会了，你能说出每个定理是怎么来的吗？每条公式怎么推导的吗？试卷上那些题，真的都是在母题的基础上变更的。
方法提示⊙每一道题，写下解题方法，然后在下面用不同颜色的笔，写下你的出错原因，这点很重要。
⊙回到课本，找到这个知识点，看看课本是怎么样论述的！这个知识点能够演化出来的类型题有几种。
当你把这个过程全部完整过了，相信我，你已经在110以上的分数了。
虽然这对大神来说不算什么。
我也只是一个当年数学考了44分的菜鸟呀。
再说一下我的成绩。
我在一模如果没记错，数学应该是年级第一。
高考数学考的不是很好，但是也有130。
我那时候已经能考到平均数学成绩到140的～但由于偏科所以现在来了一所比较一般的大学，多少有些难过。
大学的时候数学还是很好，多半是高中积累下的基础。
我来说说我为什么转变的原因，我觉得人真的是一种很神奇的动物，正是因为人类这样神奇的存在，我们的社会才得以不断得进步，历史才是往前走的。
我们很多人，做不属于自己生活轨道的事情的时候，大多数是因为什么？恐惧。
与其害怕恐惧，不如消灭恐惧。
很多天生数学好的人体会不到那种数学不好的人的各种辛苦，别人用几分钟的时间解决完的题目，你冥思苦想还是想不出来，不断地怀疑自己的智商。
可就算是这样，也是没有关系的呀。
毕竟我们普通人学的数学，不是要你去造原子弹那样高难度的事情，而是普通人都可以做到的事情。
高考时数学的偷分技巧有哪些
高考时数学的偷分技巧考前做好准备1.带个量角器进考场，遇见解析几何马上可以知道是多少度，小题求角基本马上解了，要是求别的也可以代换，关系。
大题角度是个很重要的结论，然后你可以乱吹些上去，最后写出结论。
2.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式。
3.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式。
解题法1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
例：△abc的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中a、b两点关于原点o 对称，设直线ac的斜率k1，直线bc的斜率k2，则k1k2的值为a.-5/4b.-4/5c.4/5d.2√5/5解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。
题中没有给定a、b、c三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令a、b分别为椭圆的长轴上的两个顶点，c 为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选b。
极端性原则将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
高考数学考及格的方法1、不乱买辅导书。
关于数学，我一本辅导书都没买(高三)，从高三发的第一张卷子起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。
这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的因为高三复习的时候都是按章节来的，所以条目很清晰。
2、每一张卷子不留题。
高二数学题的解题方法和答题策略
高二数学题的解题方法和答题策略(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学大题解题步骤与答题思路
高考数学大题解题步骤与答题思路高考数学大题解题步骤是怎样的，答题要分步骤给分吗，跳步会不会扣分？数学大题答题思路是怎样的，如果卡壳了怎么办？高中数学必修一知识结构图如何从数学学渣逆袭成数学学霸?学霸支招：如何提高高三数学成绩高中文科数学公式大全1.第一道大题：三角函数总共两种考法：10%~20%是解三角形，80%~90%是考三角函数本身。
解三角形不管题目是什么，你要明白，关于解三角形，你只学了三个公式：正弦定理、余弦定理和面积公式。
所以，解三角形的题目，求面积的话肯定用面积公式。
至于什么时候用正弦，什么时候用余弦，如果你不能迅速判断，都尝试未尝不可。
三角函数套路：给你一个比较复杂的式子，然后问这个函数的定义域、值域、周期频率、单调性等问题。
解决方法：首先利用“和差倍半”对式子进行化简。
化简成形式，然后求解需要求的。
掌握以上公式，足够了。
关于题型见下图。
2.第二大题：概率统计我总感觉，这块没啥可说的。
因为考的不多而且非常容易。
详细内容翻看一下小数老师历史推送的文章就够用了。
3.第三道大题：立体几何这个题，相比于前面两个给分的题，要稍微复杂一些，可能会卡住某些人。
这题有2-3问。
第一问：某条线的大小或者证明某个线/面与另外一个线/面平行或垂直；最后一问是求二面角。
这类题解题方法有两种，传统法和空间向量法，各有利弊。
向量法优点：没有任何思维含量，肯定能解出最终答案。
缺点：计算量大，且容易出错。
应用空间向量法，首先应该建立空间直角坐标系。
建系结束后，根据已知条件可用向量确定每条直线。
其形式为。
然后进行后续证明与求解。
传统法你们在学立体几何的时候，讲了很多性质定理和判定定理。
但是针对高考立体几何大题而言，解题方法基本是唯一的，除了6和8有两种解题方法以外，其他都是有唯一的方法。
所以，熟练掌握解题模型，拿到题目直接按照标准解法去求解便可。
另外，还有一类题，是求点到平面距离的。
这类题百分之百用等体积法求解。
4.第四道大题：数列从这里开始，就明显感觉题目变难了，但是掌握了套路和方法，这题并不困难。
高考状元是怎样炼成的：高考状元学习经之四
■状元档案 姓名： 徐蓓思 来自： 云师附中 高考成绩： 总分678 语文126 数学139 英语141 文综272 省级三好生加分10 兴趣爱好： 看书、玩乐器、 体育、听音乐
3年前，开朗、乐观、讲义气 的纳西族女孩徐蓓思，考上了 师大附中。当很多学生在题海 中奋战，把成绩提高的希望寄 托于补课时，徐蓓思的好成绩 却来得很轻松。“我从来没补 过课，没请过家教，没搞过题 海战术。”成绩好的秘诀，她 想了想说:“上课的时候专注， 课堂上的知识一定要消化，听 不懂的问题及时向老师请教。 做题不在于多而在于精，课外 题只是一种辅助。学习要讲效 率，不断摸索出适合自己的学 习方法。
状元档案:
吴羽菲
休宁中学毕业生
高考成绩:
语文123分 数学148分 理综292分 英语136分 省级优秀生加10分 总分709 安徽理科状元吴羽菲
状元心得:
大家要及时调整自己的 心态，找到最适合自己 的学习方法并坚持！我 想这就是成功的关键吧。 学习无常法纠错本收效不小 吴羽菲学习的一个小窍门是，在平常的学习中她 有一个专门的本子记下自己做错的题，并且不时进行 回顾。高中三年，她的数学纠错本已经有厚厚的一本 了。这种方法尤其在复习中非常有效。
■状元档案 姓名：魏宏琰 来自：控江中学 高考总成绩：561分 高考成绩： 语文123 数学136 英语143 政治133 综合26 07上海市文科状元魏宏琰
高中三年，魏宏琰一直在晚上11点前休息， 以保证充足的睡眠时间，班主任这么描述她上课 时的神态：她总是聚精会神地听课，眼睛片刻也 不会离开老师和黑板，笔记记得也最认真！因为 学习效率高，小魏从未参加过辅导班，请过家教。 对于学弟学妹，小魏总结了三句话学习经验： 一、多整理笔记和作业；二、平时多看书；三、 平时一两次考砸了不要紧，偶尔失手是难免的。 对于第三点，小魏补 充，每次模拟考，学校都会 排出语文、数学和英语三门学科成绩的名次，自 己一般在年级前十，但偶尔也曾考过年级30多名， 但这很正常，自己多总结就好。
三张动图,学渣轻松解出让学霸抓狂的高考数学焦半径圆相切问题
三张动图，学渣轻松解出让学霸抓狂的高考数学焦半径圆相切问题周末上课时，一个学生问了我这样一个圆锥曲线问题。
他说这道题做了很久，并没有什么明确的思路，也尝试了几种方法，但是不是很奏效，甚至现在对解析几何很有抵触情绪。
当我读完这道题，几秒钟之后，便问他这道题的答案是不是4？学生很惊讶的看着我，并且问我：“老师，这道题你是不是做过？”我说没有做过，但是这道题有相应的结论，我不仅能秒做这道题，同时如果把此题改成双曲线也有类似的结论，今天就借着这道题为开始，简单聊一聊圆锥曲线中的某些特定的结论。
很多人认为，解析几何中的运算量大，不仅耗费时间，而且难以保证正确率。
这是一个非常错误的观点。
解析几何，首先是几何问题，一味强调解析几何中的代数运算，有时会导致繁琐的运算过程，必要时要综合考虑几何因素，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分好利用图形本身所具有的平面几何性质长可得到简洁而优美的解法。
由于解析几何题，综合性强，运算繁杂，很多学生极易产生畏惧心理，考试时甚至采取放弃的策略，从而平时也不重视解析几何的复习，导致放弃了一些在能力范围内的题，实在可惜。
老师根据一类解析几何中的几何性质，总结了一些小定理，希望起到抛砖引玉的作用。
定理：1.椭圆以焦半径为直径的的圆必与长轴为直径的圆（此圆与椭圆内切）相切2.双曲线以焦半径为直径的的圆必与实轴为直径的圆（此圆与椭圆内切）相切3.抛物线以焦半径为直径的的圆必与顶点处的切线相切（此切线可以看做半径无穷大的圆）下面是证明：以椭圆为例证明，其他的证明希望同学们自行完成。
有助于对该结论的理解和应用。
例题：椭圆以焦半径为直径的的圆必与长轴为直径的圆（此圆与椭圆内切）相切。
这里不妨先建一个坐标系，同样的，不妨设椭圆的焦点在x轴上，左右顶点为CD两点。
且它的左右焦点为F1和F2，椭圆上一个动点A，以AF2为直径做圆Q，以CD为直径的圆为圆O，求证：圆Q与圆O 相切。
以下是证明过程：评注：解析几何问题，实质就是平面几何，坐标化，所以节解析几何问题时必要的平面几何知识，对解题很有帮助，这一点希望大家在训练中加以体会。
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高考数学满分学霸的解题笔记(一)
高考数学满分学霸的解题笔记
坚实的数学基础是必不可少的
•掌握基本概念和定理，如函数、极限、导数、积分、三角函数等。
•熟练掌握数学中的基本思维方法，如逻辑思维、抽象思维、推理思维等。
•练习解题能力，增强数学运算能力和数学思维能力。
充分的题目准备是成功的关键
•加强做题量，多练习题目，熟悉各种题型。
•注重细节，注意审题和计算精度。
•学会分类解题，将目标明确，找到相应的方法和技巧。
•多举一些实例，加强对题目类型和解题方法的理解。
科学的思考方法使问题迎刃而解
•掌握合理思维方法，如论证方法、归纳法、逆向思维等。
•注重思维的灵活性，学会转换角度看待问题。
•立足于实际，将数学与实际联系起来，对问题进行剖析。
深层次的理解提高解题水平
•深刻理解定理、公式的背后含义，掌握定理的证明方法，提高理解能力。
•学会发现规律，进行归纳总结，将数学知识串联起来。
•注重思考过程，不断探索解题的方法和思路。
勤奋、耐心和恒心是取得成就的不二法门
•持之以恒，保持学习兴趣和动力，有计划地制定学习计划和目标。
•不怕吃苦，多花时间、多查阅资料、多思考、多讨论，积累知识和经验。
•勇于尝试和挑战，敢于改错、从错误中吸取教训，逐步提高成绩。
思维的拓展需要跨界学习
•学习其他领域的知识，如物理学、化学、生物学等，将不同领域的知识相互融合。
•学习编程和数据处理技术，掌握利用科技处理和解决数学问题的方法。
•多参加学术讲座、竞赛等活动，拓宽学术视野和交流经验。
结语
以上是对高考数学满分学霸的解题笔记的一些整理，当然这只是
其中的一部分，针对具体问题还需要根据不同的内容和情境加以应用，
这需要我们具备科学的思维方式和学习方法，同时也需要我们始终保持一颗饱满的心态，持之以恒，相信这样的努力会取得不可思议的成就。