江苏省高考数学真题分类汇编数列
五、数列
（一）填空题
1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
按照以上排列的规律，第n行（n》3）从左向右的第3个数为______________ .
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n —1行共有正整数1 + 2 + ???+（n
2 2
n — n n — n
—1 ）个，即-一n个，因此第n行第3个数是全体正整数中第-一n+ 3个，即为
2 2
n2- n 6
2
2、（2009江苏卷14）设咕,是公比为q的等比数列，|q|?1，令b n二a n ? 1（n =1,2,川）,
若数列:b n ?有连续四项在集合「-53,-23,19,37,82?中，则6q = .
【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
「a n ?有连续四项在集合:-54, -24,18,36,81，四项-24,36, -54,81成等比数列，公比为
3
q 二匕，6q= -9
3、（2010江苏卷8）函数y=x2（x>0）的图像在点（a k,a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a1=16，贝U a1+$+a5= __________
［解析］考查函数的切线方程、数列的通项。
a
在点（a k,a k2）处的切线方程为：y-a k2 = 2a k（x-a k）,当y = 0时，解得x k,
2
a
所以a k1打，a1 a3 a5=16 4“21。
4、（2011江苏卷13）设1 =印_a2-川_a7，其中a1 ,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，
a2,a4,a6成公差为1的等差数列，贝U q的最小值是 ___________ .
【解析】由题意：1 =印込a2乞q込a2? 1乞q2込a2? 2岂q3,
a2^a2 1,a2 1 ^q2^a2 2
q3-a2,2-3，而‘為2-1印# ^2 a21 a2 的最小值分别为1,2,3；q min=3-3
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题?
5、( 2012江苏卷6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，_3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______ .
【解析】组成满足条件的数列为：1,-3,9. 一27,81,—243,729,—2187,6561,—19683.从中随机
取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为
3
5.
【点评】本题主要考查古典概型?在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本
事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特另U注
意.
1
6、 (2013江苏卷14) 14 ?在正项等比数列{a n}中，35 , a6 a^3，则满足
2
c?…』n …an的最大正整数n的值为__________________ 。
答案：14 . 12
(二)解答题
1、( 2008江苏卷19) . (I)设31,32,|||HI,a n是各项均不为零的等差数列(nK4),且公差d = 0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：
①当n =4时，求a1的数值；②求n的所有可能值；
d
(H)求证：对于一个给定的正整数n(n >4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列
0,^,1川||,0，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
(I)①当n=4时，a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。
若删去a2,则a32=a a4，即(印吃d ^a 1(a 化简得c +4d=0，得旦=-4
d
若删去a3，则a2^a1 a4，即(a1d)2 = a (q - 3d)化简得a, -d =0，得卑=1
d
综上，得旦--4或旦=1。
d d
②当n=5时，a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5，否则出现连续三项。
若删去a s，则ai a5 =a2 d ,即ai(a1 4d) ^(a1 d) (a1 3d) 化简得3d = 0，因为d =0，所以a3不能删去；
当n A 6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 &月2, a 3,|)| ,a n_2,a n 」，a n 中，
由于不能删去首项或末项，若删去
a 2，则必有a 1 a n = a 3 -a n 2，这与d = 0矛盾；同样若删
去am 也有a a n 二a 3，这与d =0矛盾；若删去 &3,川，中任意一个，则必有 印a n 二a ? a .二，这与
d =0矛盾。(或者说：当n 》6时，无论删去哪一项，剩余的项中必 有连续的三项)
综上所述，n=4。
(2)假设对于某个正整数
n ,存在一个公差为
d 的n 项等差数列b|,b 2,.….b n ，其中
b x .「b y d ,b z d ( 0 _X ：：： y ：：： z _ n _1 )为任意三项成等比数列，则 b 2y d ^b x1 b z1，即 (b +yd)2 = (b + xd)，(b + zd),化简得(y 2 —xz)d 2 =(x + z —2y)bd
(*)
由b]d =0知，y 2-xz 与x ，z-2y 同时为0或同时不为0 当y —xz 与x ? z —2y 同时为0时，有x
= y = z 与题设矛盾。
b
2
故y 2 -xz 与x - z -2y 同时不为0,所以由(*)得= ——xz -
d x+z-2y
因为0乞x ：：： y ：：： z 乞n -1，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而色为有理数。
d
于是，对于任意的正整数 n(n _4),只要色为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
d
例如n 项数列1, 12 , 1 2 2 ,……,1 (n-1)2满足要求。 2、( 2009江苏卷17)(本小题满分14分) 设订/是公差不为零的等差数列，
S n 为其前n 项和，满足a 22 a 3
^ a 42 a 52, S 7 = 7。
(1) 求数列f a n ?的通项公式及前n 项和& ；
(2) 试求所有的正整数 m ，使得3m 3m 1为数列 订昇中的项。
a
m 2
【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满 分14分。
(1
)设公差为d ，则￡ - a 5 = ai - af ，由性质得- 3d
⑻'a 3) = d ⑻ a 3)，因
7汇6
为 d = 0，所以 a 4 a 3 0，即 2a 1 5^ 0,又由 5=7得 7a 1 d = 7 ,
解
得
印- -5
,
d
_2 —「.：「；門邛匸二丁：「7 丄.j 「C i 「一
a
m 2
⑵
(方法一) a m a m 1 =（2m -7）（2m -5），设？m _3 二
t ,
a
2m
- 3
则
arA 1 二（t -4）（t -2）
所以t 为8的约数
因为十是奇数，所LiU可取的值为土L
当= 1, m二2时，t + --6=3 ■ 2 5-7 = 3,是数列也沖的项m
t
当i=-E m=l时，￡ + * —6=T—数列辺｝中的最小项是—5,不符合.所農满足条件的正整数即=2B
（方法二）因为（am
2一
4）（
编2_2）二a m .2 -6 ?丄为数列；,aj中的项，3m 2 a m 2 a m 2
8
故_为整数，又由（1）知：a m.2为奇数，所以a m.2=2m-3hT,即m =1,2
a
m+2
经检验，符合题意的正整数只有m=2。w.w.w.zxxk.c.o.m
3、（2009江苏卷23）（本题满分10分）
对于正整数n >2,用T n表示关于x的一元二次方程x22ax ^0有实数根的有序数组
（a,b）的组数，其中a,b 〈1,2,ll）,n（a和b可以相等）；对于随机选取的a,b 讣2,川,n? （a和b可以相等），记巳为关于x的一元二次方程x22ax 5=0有实数根的概率。
1
（1 ）求T n2和P n2 ；（2）求证：对任意正整数n >2,有P n 1 一.
【解析】［必做题］本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分分。
（1）解;因为方梅J + 2c? + A 0有实数SL所比3 -九'事0』卩占呈讥当n ￡氐W J时*有又&匸1 ,2严｝，披总冇b W $*此时?a ^fn1- m + 1种取法上有d种取法’所以共冇（J -n +1）FI3
组宵序散组5川〕満足条件；
3）当I a fl - 1时’満罡1电b富『的A有J个?故共宿
I1 +22 +31 + - + -I）1 =叫5广罟—1）组有序数组山,町満足
务件.
由⑴罚）翊6 5 —+】心也匕」譽二耳*迴匕年込』.
“““ G - 411 + 3rr + I
（2）证明:找们貝皤证期:对于随机选取的叭6匚丨1 .九…"匚方杜d *2曲+6=0无实数根的覆率$ -巴C占.若方程? + 2^ + A = 0无实数根，则/fl
d = 4rt;- 4b < 0,IU / € k商山毎n知n c “扁一因此.満足.血‘ < 矗的有序数组（血町的组
数小于乐.从而*方觀J + 2?x + * = 0无实数段的悵事1 ■巴u吗J 士所匚> I -p-?
w.w.w.zxxk.c.o.m
4、（2010江苏卷19）（本小题满分16分）
10
设各项均为正数的数列 a 的前n 项和为S n ,已知2a 2 = a a 3,数列' S n 是公差为d 的等差数列。 (1)求数列 乩[的通项公式(用n,d 表示)；
(2)设c 为实数，对满足m ? n =3k 且m = n 的任意正整数 m,n, k ，不等式S m - S n . cS ,
9
都成立。求证：c 的最大值为9。
2
【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等 式等有关知识，考查探索、
分析及论证的能力。满分 16分。 (1)
由题意知：d 0， /S^ S 1 (n-Dd-c (n-1)d
2a - a 1 a^ = 3a ? = S 3 = 3(S 2 - S 1) = S 3， 3[(. aj d) - a 』=a ' 2d),
化简，得：-2 a d d 2 = 0,冃=d,a = d 2, S n = d (n 「1)d 二 nd,S n = n 2d 2， 当 n 一2 时，4
=S n -S nA -n 2d 2 -(n - 1)2d 2 =(2n — 1)d 2
故所求耳=(2n -1)d 2 (2) (方法一)
S m ■ S n cS k 二 m 2d 2 n 2d 2 c k 2d 2 二 m 2 n 2 c k 2
又 m n =3k 且m = n ， 2(m n ) (m n) =9k
2 k 2
2
— 9
9 故c ，即c 的最大值为
。
2
2
(方法二)由.51-d 及￡=，芬-(n - 1)d ，得 d 0，S n =n 2d 2。 于是，对满足题设的 m, n,k ， m = n ,有
S m
$ =(亦『屮.竺产宀*讦专$。所以c 的最大值血-号。
9
3 3
另一方面，任取实数a
。设k 为偶数，令m k 1,n kT ，则m,n,k 符合条件, 2 2 2
且 S m S n =(m 2 n 2)d 2 =d 2[(3k 1)2 (?k -1)2] =[d 2(9k 2 4)。
2 2 2
2 2
2 1 2 2
于是，只要 9k 4 <2ak ，即当 k ：. ----------------- 时，S m - S n
d 2ak 二 aS k 。 J 2a —9
2
，适合n = 1情形。
2 2
m n k c 2 恒成立。
k 2
(m n)
9 9 9
所以满足条件的C，从而C max ,因此C的最大值为。
2 2 2
5、(2011江苏卷20)设M部分为正整数组成的集合，数列{a n}的首项耳=1，前n项和为
S n,已知对任意整数k M当整数n ? k时,S n ,k- S n上=2(S n S k)都成立
(1 )设M -{1}, a^2,求a5的值；(2)设M ={3,令，求数列{a n}的通项公式
【解析】本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。
解：(1)由题设知，当n _2时,&勺-S n」=2(& 0),
即(S
n 卅一S n ) - (S n - S n」)=2S ,
a n十-a n =2a-^ =2,又a2 = 2,故当n _ 2时,a n = a2 2(n - 2) = 2n - 2.所以a5的值为8。
(2)由题设知，当k ? M ={3,4},且n ? k时,S n k Sn^ = 2S n 2S k
且S n 1 k ' S n ?1_k 二2S n 1 2S k，
两式相减得a n 1 k a n 1 _k = 2a n 1 ,即a n 1 k - a n 1」=a n 1 - a n 1 上
所以当n _8时,a n ￡,a n,, a n,a n .3,a n .6成等差数列，且a^, a^, a n .2, a n .6也成等差数
列
从而当n_8时，2a n = a n 3 ? a n；二a n 6 ? a n』. (*)
且a n 6 ? a n(二a n 2 ? a./,所以当n - 8时,2a.二a.吃’a n/,
即a n .2 - a n = a n -a n/.于是当n - 9 时,a n A, a n」, a n 1, a n 3 成等差数列，
从而a n 3 a n^ -a n「az ,故由(*)式知2耳=a n「a.—,即a. 1 - a.二a. - a^.
当n 一9时，设d 二a n -a n 1.
当2乞m乞8时，m，6-8 ,从而由(* )式知2a m = a m■ a m .12,故2a m 7 —a m 1 a m 13 .
从而2(a m 7 -a m6)=a m 1 一a m @m13 一&皿12)，于是a m 1 -a m = 2d - d = d.
(完整版)江苏高考函数真题汇编
江苏高考数学_函数_十年汇编（2005-2017） 一．基础题组 1. 【2005江苏，理2】函数123()x y x R -=+∈的反函数的解+析表达式为（ ） （A ）22log 3y x =- （B ）23 log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22 log 3y x =- 2. 【2005 江苏，理 15】函数y =的定义域 为 . 3. 【2005江苏，理16】若3a =0.618,a ∈[),1k k +,k ∈Z ，则k = . 4. 【2005 江苏，理 17】已知 a , b 为常数，若 22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= . 5. 【2007江苏，理6】设函数f （x ）定义在实数集上，它的图像关于直线x =1 对称，且当x ≥1时，f （x ）＝3x -1，则有（ ） A.f （31）＜f （23）＜f （32） B.f （32）＜f （23）＜f （31） C.f （32）＜f （31）＜f （23） D.f （23）＜f （32）＜f （3 1） 6. 【2007江苏，理8】设f （x ）=l g （a x +-12 ）是奇函数，则使f （x ）＜0 的x 的取值范围是（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（1，+∞） 7. 【2007江苏，理16】某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d （cm ）表示成t （s ）的函数，则d = __________，其中t ∈0，60]. 8. 【2009江苏，理10】.已知1 2 a = ，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 ▲ .9. 【2010江苏，理5】设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为__________． 10. 【2011江苏，理2】函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是 . 11. 【2011江苏，理8】在平面直角坐标系xoy 中，过坐标原点的一条直线与函数()x x f 2 = 的图象交于Q P ,两点，则线段PQ 长的最小值为 .
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考数学试题分类大全
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
高考数学数列题型专题汇总
高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D) 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 一、集合与常用逻辑用语 一、选择题 1．（重庆理2）“x <-1”是“x 2 -1>0”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】A 2．（天津理2）设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“ 224x y +≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】A 3．（浙江理7）若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜ ”是11a b b a ＜或＞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 4．（四川理5）函数，()f x 在点 0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 【答案】B 【解析】连续必定有定义，有定义不一定连续。 5．（陕西理1）设,a b 是向量，命题“若a b =-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是 A ．若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ B ．若a b =-，则∣a ∣≠∣b ∣ C ．若∣a ∣≠∣b ∣，则a b ≠- D ．若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b 【答案】D 6．（陕西理7）设集合M={y|y=2cos x —2 sin x|,x ∈R},N={x||x —1 i 为虚数单位，x ∈ R},则M ∩N 为 A ．（0,1） B ．（0,1] C ．[0,1） D ．[0,1] 【答案】C 7．（山东理1）设集合 M ={x|2 60x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N = A ．[1,2） B ．[1,2] C ．（ 2,3] D ．[2,3] 【答案】A 8．（山东理5）对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】B 9．（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0, )3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b π θπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π θπ->?∈ 2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 O D1A1 C1B1A C D B 七、立体几何 （一）填空题 1、（2009江苏卷8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 【解析】 考查类比的方法。体积比为1：8 2、（2009江苏卷12）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行； （3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题．．． 的序号 （写出所有真命题的序号）. 【解析】 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。真命题．．．的序号是(1)(2) 3、（2012江苏卷7）．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3 . 【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为 BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题 意3cm AB AD ==，所以2 2 3= AO ，又因为32cm BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为22cm ，从而四棱锥D D BB A 11-的体积 313226cm 32 V =?=. D A B C 1C 1D 1A 1B 九、平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++u u u r u u u r u u u r = A ．0 B ．BE u u u r C ．AD u u u r D ．CF uuu r 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF C E E F CF ++=++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=u u u u v u u u u v （λ∈R ），1412A A A A μ=u u u u v u u u u v （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ， B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段A B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ， D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0,)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b πθπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b πθπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12- ，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则||c b a -+的 最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】Dq a （D ）7.08.0,01-<<-
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