江苏省高考数学真题分类汇编数列

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十四年江苏省高考2004-2017年高考数学真题分类汇编：数列专项

十四年江苏省高考2004-2017年高考数学真题分类汇编：数列专项1.（江苏2004年4分）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(3n-1)，且a4=54，则a1的数值是多少？2.（江苏2005年5分）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5的值为多少？3.（江苏2006年5分）对正整数n，设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an}的前n项和的公式是什么？4.（江苏2008年5分）将全体正整数排成一个三角形数阵：123456xxxxxxxx15按照以上排列的规律，XXX（n≥3）从左向右的第3个数为多少？6.（江苏2009年5分）设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn=an+1(n=1,2.)，若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中，则6q等于多少？7.（江苏2010年5分）函数y=x^2(x>0)的图像在点(ak,ak^2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5的值为多少？8.（江苏2011年5分）设1=a1≤a2≤。

≤a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是多少？9、（2012江苏卷6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是多少？10、（2013江苏卷14）在正项等比数列{an}中，a5=1，a6+a7=3，则满足XXX的最大正整数n的值为多少？11.（2014江苏卷7）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是多少？12.（2015江苏卷11）数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），则数列{an}的前10项和为多少？13.（2016江苏卷8）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和。

江苏高考数学试题-数列

数列专题例 2. 给定实数0,1a a >≠,数列{}n a 定义为:n a =….(1)证明: {}n a 是单调数列;(2)试确定数列{}n a 中是否有最大值,或最小值?若有,请求出;否则,请说明理由;(3)对任意3,k k N ≥∈，证明：集合}L L 中有k 个数构成等比数列.解（1）证明：当111111,1n n a a a n n +>>>+时，∴∴， ∴数列{}n a 是单调递减.当01a <<时,∵11111,1n n a a n n +><+∴,∴数列{}n a 是单调递增. 综上：{}n a 单调数列.(2)( ⅰ)当1a >时，{}n a 是单调递减.，∴2a 最大，其值为，但无最小值，假设{}n a 有最小值α，α是{}n a 中的项，∴11,1,1n n n a a a αα≥>≥>又∴，∴n a α≥，当n 充分大，与a 为定值矛盾.(ⅱ)当01a <<时，{}n a 是单调递增，∴2a 最小，其值为，但无最大值，假设{}n a 有最大值β，∵1n a <，∴1,n n a a ββ≤<≤∴，当n 充分大时，0,0n a β→→∴，这与a 是给定数矛盾.综上：当1a >时，{}n a ，但无最小项；当01a <<时，{}n a .(3)证明：取出k 个数：12123...123...123...12,,...,,k k k k k b ab a b a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=== ∵12,,...,123...23...123...k k k k ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯成等差数列，公差为d,∴11123...123...m m d m k k mb a a b +-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==，11,m k m N ≤≤-∈. ∴12,,...,k b b b 成等比数列.例3.（1）设{}n a (1)n N ≥∈，n 是一个公差d 不为零的无穷等差数列.若{}n a 中有两项之和仍是该数列中的项.证明：存在整数m ,使1a md =.(2)确定并证明（1）中命题的逆命题是否成立？（3）若数列{}n a (1)n N ≥∈，n 满足（1）中的条件，则对任意的正整数3k ≥，可从该数列中取出k 个项，构成等比数列. 解：(1)数列{}n a 中有不同两项,p q a a ,其和仍是数列中第k 项,∴()p q k a a a p q +=≠∴112(2)(1)a p q d a k d ++-=+-.∴1(1)a k p q d =+--,∵,*,p q p q ∈≠N , ∴3p q +≥.但k 可以为p 或q ,也可以从1开始取值.∴1k p q +--是整数,记为m ,∴1a md =.(2)(1)的逆命题是:若1a md =,则数列{}n a 中必存在两项之和仍在该数列中.这是真命题.∵1a md =, ∴数列{}n a 为：,(1),(2),,(1),md m d m d m n d +++-L L∴1222(21)(221)m a a m d m d a ++=+=+-=.∴1a 与2a 的和必是数列{}n a 中的第22m +项.⑶ 由于数列满足⑵,∴数列{}n a 可以写成：,(1),(2),,(1),md m d m d m n d +++-L L若*m ∈N ,则取23,,,,k md m d m d m d L ,必组成公比为m 的等比数列.若0,m m ∈Z ≤时,必存在一个整数t 使()0m t d +=,∴取21,2,2,,2k d d d d -L ,必组成等比数列.例4. 我们在下面的表格内填写数值，先将第1行的所有空格填上1，再把一个首项为1，公比为q 的数列{a n }依次填入第一列的空格内，然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填123n 示b 1+b 2+…+b n 的值；(2)设第3列的数依次为c 1,c 2,c 3,…,c n ，求证：对于任意非零实数q ，c 1+c 3>2c 2；(3)能否找到q 的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？请说明理由.解：(1)b 1=q ，b 2=1+q ，b 3=1+(1+q)=2+q ，b n =(n-1)+q ∴b 1+b 2+…+b n =1+2+…+(n-1)+nq=n(n -1)+nq 2。

江苏专用2024年高考数学一轮复习考点27数列的概念与简单表示法必刷题含解析

考点27 数列的概念与简洁表示法1．（江苏省徐州市2024-2025学年高三考前模拟检测）已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，若对2n ∀≥，n N *∈，都有2112n n n T T T +-⋅=成立，且11a =，22a =，则数列{}n a 的前10项和为____．【答案】1023 【解析】因为2112n n n T T T +-⋅=，故112n n n n T T T T +-=即12n n a a +=（2n ≥），而212a a =，所以{}n a 为等比数列，故12n n a ，所以()1010112102312S ⨯-==-，填1023.2．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷四模）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【答案】3【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-，当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --故答案为：33．（江苏省镇江市2025届高三考前模拟三模）在等比数列{}n a 中，14a ，42a ，7a 成等差数列，则35119a a a a +=+_______.【答案】14【解析】14a ，42a ，7a 成等差数列 17444a a a ∴+=即：6311144a a q a q +=，解得：32q =243511108611911114a a a q a q a a a q a q q ++∴===++ 本题正确结果：144．（江苏省南通市2025届高三适应性考试）已知等差数列{}n a 满意44a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则3a 的全部值为________. 【答案】3，4 【解析】设等差数列{}n a 公差为d ，因为44a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，所以4122141344a a d a a a a =+=⎧⎨==⎩，即121134()4a d a d a +=⎧⎨+=⎩，解得0d =或1d =. 所以434a d a =-=或3. 故答案为3，45．（江苏省苏州市2025届高三高考模拟最终一卷）已知等比数列{}n a 满意112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝_______．【答案】8 【解析】∵2434(1)a a a =- ∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===．故答案为：86．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）各项均为正偶数的数列1234a a a a ,,,中，前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列.若4188a a -=,则q 的全部可能的值构成的集合为________. 【答案】5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，【解析】因为前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列，4188a a -=，所以这四项可以设为1111,,2,88a a d a d a +++，其中1a d ,为正偶数，后三项依次成公比为q 的等比数列，所以有()()()2111288a d a d a +=++，整理得14(22)0388d d a d -=>-，得(22)(388)0d d --<，88223d <<，1a d ,为正偶数，所以24,26,28d = 当24d =时，1512,3a q ==；当26d =时，12085a =，不符合题意，舍去；当28d =时，18168,7a q ==，故q 的全部可能的值构成的集合为5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.7．（江苏省扬州中学2025届高三4月考试）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______.【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t tλ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-. 8．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2025届高三第四次模拟考试）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对随意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减，得：3d ＝－9，所以，d ＝－3，由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值，对随意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，明显k ＝10. 故答案为：109．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2025届高三第三次调研考试）已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为____．【答案】14 【解析】设等比数列的首项为，公比为由题可得：，解得：所以10．（江苏省苏锡常镇四市2025届高三教学状况调查二）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝_______．【答案】73【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a 由622a a =可得：4622a q a == 所以()()()()12134121228848111118711143111a q q S q q S q a q q q-----=====----- 11．（江苏省2025届高三其次学期联合调研测试）若无穷数列{}n a 满意：10a ≥，当*n N ∈，2n ≥时．1121max{,,...,}n n n a a a a a ---=（其中121max{,,...,}n a a a -表示1a ，2a ，…，1n a -中的最大项），有以下结论：①若数列{}n a 是常数列，则*0()n a n N =∈；②若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <； ③若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1>q ；④若存在正整数T ，对随意*n N ∈，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项．则其中正确的结论是_____（写出全部正确结论的序号）【答案】①②③④ 【解析】解：①若数列{}n a 是常数列，则1n n a a --＝max{1a ，2a ，…，1n a -}=0，所以0n a =（*N n ∈），①正确； ②若数列{}n a 是公差d ≠0的等差数列，则1n n a a --＝max{1a ，2a ，…，1n a -}=|d |，所以n a 有最大值，因此n a 不行能递增且d ≠0，所以d ＜0，②正确；③若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则10a >，且21a a -＝1a ＝1q 1a -，所以q 11-=，所以q 2=或q 0=，又因为q 0≠，所以q 2=,所以q ＞1，③正确；④若存在正整数T ，对随意*N n ∈，都有n T n a a +=，假设在12,T a a a ⋯中k a 最大，则12,n a a a ⋯中都是ka最大，则21a a -＝1a ，且21T T k a a a ++-=，即21a a -＝k a ，所以1k a a =，所以1a 是数列{}n a 的最大项，④正确. 故答案为：①②③④.12．（江苏省2025届高三其次学期联合调研测试）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1357910a a a a a ++++=，228236a a -=，则10S 的值为_____．【答案】552【解析】因为135795510a a a a a a ++++== 所以52a =又因为()()()22828282582236a a a a a a a a a -=+-=-=所以8269a a d -==所以32d =，1544a a d =-=- 所以10135540109222S =-+⨯⨯⨯=故答案为：55213．（江苏省苏州市2025届高三下学期阶段测试）已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =1，且34115,,2a a a +成等比数列．若10p q -=，则p q a a -=_____. 【答案】15 【解析】设等差数列公差为d ，由题意知d ＞0，∵34115a ,a ,a 2+成等比数列， ∴（45a 2+）2＝311a a ，∴27(3d)2+=（1+2d ）（1+10d ），即44d 2﹣36d ﹣45＝0，解得d 32=或d 1522=-（舍去），∵p ﹣q ＝10，则a p ﹣a q ＝（p ﹣q ）d ＝103152⨯=．故答案为：15．14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2115log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值.【答案】（1）32nn a =⨯（2）22922n n nT =-+；最大值为105. 【解析】解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，则()()()()21242211411811119011a q S q a q a q q S q q ⎧-⎪==-⎪⎨-+-⎪===⎪--⎩，解得162a q =⎧⎨=⎩.故数列{}n a 的通项公式为16232n nn a -=⨯=⨯. （2）由215log 215nn b n =-=-，则2(1415)29222n n n n n T +-==-+. 由二次函数22922x x y =-+的对称轴为292921222x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为14151052⨯=. 15．（江苏省徐州市2024-2025学年高三考前模拟检测）在数列{}n a 中，10a =，且对随意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d .（1）若12d =，求23,a a 的值；（2）若2k d k =，证明22122,,k k k a a a ++成等比数列（k *∈N ）；（3）若对随意k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列，其公比为k q ，设11q ≠，证明数列11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列.【答案】（1）22a =，34a =.（2）见证明；（3）见证明；【解析】（1）因为对随意k *∈N ，21221,,k k k a a a -+成等差数列，所以当1k =时，123,,a a a 成等差数列且公差为2，故12132d a a a a =-=-，故2112212,4a a d a a d =+==+=. （2）证明：由题设，可得21214k k a a k +--=，k *∈N .所以()()()2211121123231k k k k k a a a a a a a a --++--=++-+--… ()()4414121k k k k =+-++⨯=+…，由10a =得，212(1)k a k k +=+，从而222122k k a a k k +=-=，所以2222(1)k a k +=+.于是21222211k k k k a a k a a k++++==，所以当2k d k =时，对随意的k *∈N ，22122,,k k k a a a ++成等比数列. （3）由21221,,k k k a a a -+成等差数列，及22122,,k k k a a a ++成等比数列，可得221212k k k a a a -+=+，所以212122112k k k k k k a a q a a q -+-=+=+，当11q ≠时，可知1k q ≠，k *∈N ，从而11111111121k k k q q q --==+----，即1111(2)11k k k q q --=≥--，所以数列11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列.16．（江苏省南通市2025届高三模拟练习卷四模）已知在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对随意的正整数m ，n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，且2S 6＜S 3．（1）设数列{a n }为等差数列，且公差为d ，求1a d的取值范围；（2）设数列{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），求a 1⋅q 的取值范围．【答案】(1)1a d＜﹣3；（2）a 1⋅q ＞0 【解析】在数列{a n }中，设a 1为首项，其前n 项和为S n ，若对随意的正整数m 、n 都有不等式S 2m +S 2n ＜2S m+n （m≠n）恒成立，（1）设{a n }为等差数列，且公差为d ，则：2ma 1+2(21)2m m -d+2na 1+2(21)2n n -d ＜2[（m+n ）a 1+()(1)2m n m n ++-d]，整理得：（m ﹣n ）2d ＜0，则d ＜0，由2S 6＞S 3，整理得：9a 1+27d ＞0，则a 1＞﹣3d ，所以d ＜0，1a d＜﹣3；（2）设{a n }为等比数列，且公比为q （q ＞0且q≠1），则()()()2m 2n m+n 111a 1q a 1q 2a 1q 1q1q1q---+<---，整理得1a 1q-（2q m+n ﹣q 2m ﹣q 2n ）＜0，则：﹣1a 1q -（q m ﹣q n ）2＜0，所以1a 1q-＞0，由2S 6＞S 3，则：2q 6﹣q 3﹣1＜0解得：﹣12＜q 3＜1，由于q ＞0，所以：0＜q ＜1，则：a 1＞0．即有a 1⋅q ＞0． 17．（江苏省镇江市2025届高三考前模拟三模）对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-，1,2,3,k =，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a ，{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和；（2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=且11a =，22a =，求全部满意该条件的{}n a .【答案】（1）(1)n n -；（2）详见解析；（3）12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥.【解析】（1）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列{}{}12121max ,,,min ,,,21322n n n n b a a a a a a a a n n ∴=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=+-=-由通项公式可知{}n b 为等差数列{}n b ∴的前n 项和为：()2212n n n n -⨯=- （2）{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}{}{}{}1211211212max ,,,min ,,,max ,,,min ,,,n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅-⋅⋅⋅ ()11,2,3,n n b b n +∴≥=⋅⋅⋅，又1110b a a =-= {}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ∴⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-= {}n b ∴的“收缩数列”仍是{}n b（3）由()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅可得：当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即()()3213132b a a a a =-+-（*），若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <冲突；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得()32133a a a a -=- 所以32a a -与13a a -同号，这与312a a a <≤冲突；若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =.猜想：满意()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅的数列{}n a 是： 12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥阅历证，左式()()12121211212n n n S S S na n a na a -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-=+⎡⎤⎣⎦ 右式()()()()()()1121121111122222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--=+=+-=+ 下面证明其它数列都不满意（3）的题设条件由上述3n ≤时的状况可知，3n ≤时，12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥是成立的假设k a 是首次不符合12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的项，则1231k k a a a a a -≤==⋅⋅⋅=≠由题设条件可得()()2211112222k k k k k k k a a a b ----+=+（*）若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <冲突；若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得()()2112k k k k a a a a --=- 所以2k a a -与1k a a -同号，这与12k a a a <≤冲突；所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =. 这与假设2k a a ≠冲突. 所以不存在数列不满意12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥的{}n a 符合题设条件综上所述：12,1,1n a n a a n =⎧=⎨>⎩，21a a ≥18．（江苏省南通市2025届高三适应性考试）定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列.（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 【答案】（1）①12n n a ；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，11211a =-=，当2n ≥时，1121n n S --=-，所以()()1121212nn n n a --=---=.综上可知：12n na .②假设从数列{}n a 中抽3项,,()k l m a a a k l m <<成等差，则2l k m a a a =+，即1112222l k m ---⨯=+，化简得：2212l k m k --⨯=+.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数，所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以2212l k m k --⨯=+不成立. 因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽(,4)m m N m ∈≥项，其前三项必成等差数列，不成立. 综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比. 设0n a b +=，则b Q +∈，故可设qb p=（p 与q 是互质的正整数）. 则需满意()()()2000n a k n a n a l ++=+++，即需满意2()()b k b b l +=+，则需满意2222k pk l k k b q=+=+. 取k q =，则2l k pq =+.此时222222()2q q q b q q q p p p ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，2222()22q q q q b b l q pq q p p pp ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.故此时2()()b k b b l +=+成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比，所以数列{}n a 存在等比子数列.19．（江苏省苏州市2025届高三高考模拟最终一卷）已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =.（1）若11a =，35a =，求2a 的值；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q ，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）23a =（2）见解析（3）存在8,340m k ==满意题意。

2024年高考数学总复习第六章数列真题分类22数列的概念与简单表示法

＝ an an－1
＝9－9a2n
，所以 an＋1＝an.又 a1＝3≠a2，所以数列
{an}不为等比数列，所以②不正确．由题知 an·Sn＝an＋1·Sn＋1，所以 an an＋1
Sn＋1 ＝ Sn
>1，所以
an>an＋1>0，所以数列{an}为递减数列，所以③正确．若数列{an}的所有项均大于等于1100 ，
真题分类22 数列的概念与简单表示法
高考·数学
第六章数列
§6.1 数列的概念及其表示真题分类22 数列的概念与简单表示法
C1.数列的概念及通项公式 C2.由an与Sn的关系求通项an C3.由递推关系式求数列的通项公式 C4.数列的单调性、周期性和最值 C5.数列求和问题
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真题分类22 数列的概念与简单表示法
∴Sn＝a1（11－－qqn）＝－1（1－1－22n）＝1－2n，
∴S6＝1－26＝－63.
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真题分类22 数列的概念与简单表示法
高考·数学
4．(2021·全国乙卷(理)，1
n
项和，bn
为数列 S n
的前 n
项积，已知S2n ＋b1n ＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
即
1 an≥100
，取 n>90 000，则 Sn>900，于是 an·Sn>9，与已知矛盾，所以{an}中存在小于1100
的项，所以④正确．
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真题分类22 数列的概念与简单表示法
高考·数学
2．(2020·江苏，11，5 分)设{an}是公差为 d 的等差数列，{bn}是公比为 q 的等比数列．已知数列{an＋bn}的前 n 项和 Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则 d＋q 的值是________．

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解6数列部分

，
，则的值是
．
8. 设数列满足
，且
，则数列前项的和为
．
9. 等比数列的各项均为实数，其前项为，已知
，
，则
．
10. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，数阵中第行
从左至右的第个数为
．
11. 设是公比为的等比数列，
，令
在集合
中，则
．
，若数列有连续四项
12. 函数，则
十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解 6 数列部分
一、选择题（共 2 小题；共 10 分）
1. 在各项都为正数的等比数列
A.
B.
中，首项
，前三项和为，则
C.
D.
2. 已知方程
的四个根组成一个首项为的等差数列，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共 12 小题；共 60 分）
3. 已知是等差数列，是其前项和．若
，那么第行的第个数为
．
11. 【解析】提示：数列
中的连续四项是
12.
【解析】因为切线的斜率为
，，，．，所以切线方程为
，与
轴的交点坐标为数列，所以
，即．
，所以数列是以
为首项，为公比的等比
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13. 【解析】首先由已知条件求出
的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，
．
第三部分
15. （1）设等差数列首项为，公差为，则
，
则
所以等差数列是“ 数列”．
（2）由数列是“ 数列”则当
数列是“ 数列”当

(word完整版)2008-2018年江苏省高考数学试题分类解析汇编-数列解析版,推荐文档

2008-2018年江苏省高考数学试题分类解析汇编专题2：数列一、填空题1. （2018年江苏省5分）已知集合{}A x |x 2n 1,n N*==-∈ ，{}n B x |x 2,n N*==∈。

将A B ⋃ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得n n 1S 12a +>成立的n 的最小值为 ▲ 。

【答案】27。

【考点】数列求和。

【分析】所有正奇数和n 2(n N*)∈按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a 中求前n 项和用分组求和法。

采用列举法，当n 1= 时，12S 112a 24=<= ，不符合题意；……；当n 27= 时，5272822(143)2(12)S 4846254612a 540212⨯+-=+=+=>=- 。

2. （2017年江苏省5分）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知37S 4=，663S 4=则a 8= ▲ 。

【答案】32。

【考点】等比数列的求和公式和通项公式。

【分析】设等比数列{}n a 的公比为q 1≠ ，因为37S 4= ，663S 4=可得3161a (1q )71q 4a (1q )631q4⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，解得11a 4= ，q 2= ，所以781a 2324== 。

3.（2016年江苏省5分）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若212a a 3+=-，5S 10=，则9a 的值是 ▲ 。

【答案】20。

【考点】等差数列通项，等差数列前n 项和。

【分析】设公差为d ，则由题意可得()211a a d 3++=-，15a 10d 10+=，解得1a 4=-，d 3=，则9a 48320=-+⨯= 。

4.（2015年江苏省5分）设数列{}n a 满足1a 1=，且*n 1n a a n 1n N +=+∈﹣（），则数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前10项的和为 ▲ 。

2024年高考数学分类汇编三数列

2024年高考数学分类汇编三数列一、单选题1．（2024·全国）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（） A ．2−B ．73C ．1D ．292．（2024·全国）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（） A ．2− B ．73C ．1D ．2二、填空题3．（2024·全国）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .4．（2024·北京）已知{}|k k M k a b ==，n a ，n b 不为常数列且各项均不相同，下列正确的是 .①n a ，n b 均为等差数列，则M 中最多一个元素； ②n a ，n b 均为等比数列，则M 中最多三个元素； ③n a 为等差数列，n b 为等比数列，则M 中最多三个元素； ④n a 单调递增，n b 单调递减，则M 中最多一个元素.5．（2024·上海）无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．三、解答题6．（2024·全国）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j −可分数列； (2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13−可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．7．（2024·全国）已知双曲线()22:0C x y m m −=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P −作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q −，令n P 为1n Q −关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y . (1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y −是公比为11kk+−的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=. 8．（2024·全国）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.9．（2024·全国）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na −=−，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．10．（2024·北京）设集合(){}{}{}{}(){},,,1,2,3,4,5,6,7,8,2M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++．对于给定有穷数列{}():18n A a n ≤≤，及序列12:,,...,s ωωωΩ，(),,,k k k k k i j s t M ω=∈，定义变换T ：将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1，得到数列()1T A ；将数列()1T A 的第2222,,,i j s t 列加1，得到数列()21T T A …；重复上述操作，得到数列()21...s T T T A ，记为()A Ω． (1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω； (2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，证明：“存在序列Ω，使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．11．（2024·天津）已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==−． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,k n n k k k n a b b k a n a −+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b −≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．答案详解1．D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【解析】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D 2．B【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【解析】由105678910850S S a a a a a a −=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d −==−，故151741433a a d ⎛⎫=−=−⨯−= ⎪⎝⎭. 故选：B. 3．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【解析】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =−⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯−+⨯=. 故答案为：95. 4．①③④【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【解析】对于①，因为{}{},n n a b 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，故M 中至多一个元素，故①正确. 对于②，取()112,2,n n n n a b −−==−−则{}{},n n a b 均为等比数列，但当n 为偶数时，有()1122n n n n a b −−===−−，此时M 中有无穷多个元素，故②错误.对于③，设()0,1nn b Aq Aq q =≠≠±，()0n a kn b k =+≠，若M 中至少四个元素，则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解，若0,1q q >≠，则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解，矛盾；若0,1q q <≠±，考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数，当n Aq kn b =+有偶数解，此方程即为nA q kn b =+，方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时ln 0Ak q >，否则ln 0Ak q <，因,ny A q y kn b ==+单调性相反，方程nA q kn b =+至多一个偶数解，当n Aq kn b =+有奇数解，此方程即为nA q kn b −=+，方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时ln 0Ak q −>即ln 0Ak q < 否则ln 0Ak q >，因,ny A q y kn b =−=+单调性相反，方程nA q kn b =+至多一个奇数解，因为ln 0Ak q >，ln 0Ak q <不可能同时成立，故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为{}n a 为单调递增，{}n b 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 5．2q ≥【分析】当2n ≥时，不妨设x y ≥，则[][][]2121110,,0,n n n n x y a a a a a a a a ++−∈−−−−，结合n I 为闭区间可得212n q q −−≥−对任意的2n ≥恒成立，故可求q 的取值范围.【解析】由题设有11n n a a q −=，因为10,1a q >>，故1n n a a +>，故[]1111,,n n n n a a a q a q −+⎡⎤=⎣⎦，当1n =时，[]12,,x y a a ∈，故[]1221,x y a a a a −∈−−，此时1I 为闭区间，当2n ≥时，不妨设x y ≥，若[]12,,x y a a ∈，则[]210,x y a a −∈−，若[][]121,,,n n y a a x a a +∈∈，则[]211,n n x y a a a a +−∈−−，若[]1,,n n x y a a +∈，则[]10,n n x y a a +−∈−，综上，[][][]2121110,,0,n n n n x y a a a a a a a a ++−∈−−−−，又n I 为闭区间等价于[][][]2121110,,0,n n n n a a a a a a a a ++−⋃−−⋃−为闭区间，而11121n n n a a a a a a ++−>−>−，故12n n n a a a a +−≥−对任意2n ≥恒成立，故1220n n a a a +−+≥即()11220n a q q a −−+≥，故()2210n q q −−+≥，故212n q q −−≥−对任意的2n ≥恒成立，因1q >，故当n →+∞时，210n q −−→，故20q −≥即2q ≥.故答案为：2q ≥.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 6．(1)()()()1,2,1,6,5,6(2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）直接根据(),i j −可分数列的定义即可；（2）根据(),i j −可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j −可分数列的(),i j 至少有()21m m +−个，再使用概率的定义.【解析】（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d−=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6. 所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m −++，共3m −组. （如果30m −=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13−可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j −可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i −≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i −≠. 此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈. 则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k −>−，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列： ①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k −−−，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++−−+，共21k k −组； ③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++−++，共2m k −组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j −可分数列. 第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i −≠. 此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈. 则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k −>，故21k k >. 由于3j i −≠，故()()2141423k k +−+≠，从而211k k −≠，这就意味着212k k −≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k −−−，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =−，共212k k −−组； ④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++−++，共2m k −组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k −−个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j −可分数列. 至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j −可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i −=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +−+=. 但这导致2112k k −=，矛盾，所以,i B j A ∈∈. 设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +−+=，即211k k −=. 所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m −，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m −+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +−.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列的(),i j 至少有()21m m +−个. 所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+−++⎝⎭≥=>==++++++++. 这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 7．(1)23x =，20y = (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可. 【解析】（1）由已知有22549m =−=，故C 的方程为229x y −=. 当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y −=联立得到22392x x +⎛⎫−= ⎪⎝⎭.解得3x =−或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q −，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =−+，与229x y −=联立，得到方程()()229n n x k x x y −−+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx −−−−−−=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =−+和229x y −=的公共点，故方程必有一根n x x =. 从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k −−−=−=−−，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k+−=−+=−. 所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫−−+− ⎪−−⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x −−−−，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+−+− ⎪−−⎝⎭. 这就得到21221n n nn x k x ky x k ++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−. 所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k+++−+−−=−−− ()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=−=−=−−−−−. 再由22119x y −=，就知道110x y −≠，所以数列{}n n x y −是公比为11k k+−的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b =，(),UW c d =，则12UVWSad bc =−.（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVWS =）证明：211sin ,1cos ,22UVWS UV UW UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅−()222211122UV UW UV UW UV UW UV UW UV UW ⎛⎫⋅⎪=⋅−=⋅−⋅⎪⋅⎭==12ad bc ==−. 证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n nn x k x ky x k++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++−+−+−−+=+=+=+−−−+. 再由22119x y −=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk−+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++−()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=−+−−−−− ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=−+−+− ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k −+⎛⎫⎛⎫=−+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=−−−−，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=−−，故利用前面已经证明的结论即得 ()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S Sx x y y y y x x ++++++++==−−−+−−()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=−−−−− ()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=−+−−− 2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫−+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−+−+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k++−=−，21221n n n n y k y kx y k ++−=−，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++−+−+−−+=+=+=+−−−+. 再由22119x y −=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk−+的等比数列. 所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++−()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=−+−−−−− ()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=−+−+− ()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k −+⎛⎫⎛⎫=−+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++−+⎛⎫−=−=− ⎪+−⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫−+⎛⎫⎛⎫−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++−−−=−−−. 移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++−−+=−−+. 故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++−−=−−.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=−−，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=−−.所以3n n P P +和12n n P P ++平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P SS+++++=，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.8．(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由等比数列求和公式得5113353523213n nn S ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 9．(1)14(3)n n a −=⋅− (2)(21)31n n T n =−⋅+【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【解析】（1）当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a −−=+，所以1144433n n n n n S S a a a −−−==−即13n n a a −=−，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a −=−， ∴数列{}n a 是以4为首项，3−为公比的等比数列，所以()143n n a −=⋅−.（2）111(1)4(3)43n n n n b n n −−−=−⋅⋅⋅−=⋅,所以123n n T b b b b =++++0211438312343n n −=⋅+⋅+⋅++⋅故1233438312343n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n n n T n −−=+⋅+⋅++⋅−⋅()1313444313n nn −−=+⋅−⋅−()14233143n n n −=+⋅⋅−−⋅(24)32n n =−⋅−， (21)31n n T n ∴=−⋅+.10．(1)():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω (2)不存在符合条件的Ω，理由见解析 (3)证明见解析【分析】（1）直接按照()A Ω的定义写出()A Ω即可；（2）利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；（3）分充分性和必要性两方面论证.【解析】（1）由题意得():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω；（2）假设存在符合条件的Ω，可知()A Ω的第1,2项之和为12a a s ++，第3,4项之和为34a a s ++，则()()()()121234342642a a a a s a a a a s ⎧+++=++⎪⎨+++=++⎪⎩，而该方程组无解，故假设不成立，故不存在符合条件的Ω；（3）我们设序列()21...k T T T A 为{}(),18k n a n ≤≤，特别规定()0,18n n a a n =≤≤. 必要性：若存在序列12:,,...,s ωωωΩ，使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+. 根据()21...k T T T A 的定义，显然有,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a −−−−+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =. 所以不断使用该式就得到，12345678a a a a a a a a +=+=+=+，必要性得证.充分性：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+.由已知，1357a a a a +++为偶数，而12345678a a a a a a a a +=+=+=+，所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+−+++也是偶数.我们设()21...s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中，使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a −−−−+=+，这里1,2,3,4j =，1,2,...k =.从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+. 同时，由于k k k k i j s t +++总是偶数，所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,2,4,6,8k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变，从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数. 下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a −−≥.假设存在，根据对称性，不妨设1j =，,21,22s j s j a a −−≥，即,1,22s s a a −≥.情况1：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a −+−+−=，则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，知,1,24s s a a −≥.对该数列连续作四次变换()()()()2,3,5,8,2,4,6,8,2,3,6,7,2,4,5,7后，新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++−+−+−+−相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−减少4，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−的最小性矛盾；情况2：若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a −+−+−>，不妨设,3,40s s a a −>.情况2-1：如果,3,41s s a a −≥，则对该数列连续作两次变换()()2,4,5,7,2,4,6,8后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++−+−+−+−相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−的最小性矛盾；情况2-2：如果,4,31s s a a −≥，则对该数列连续作两次变换()()2,3,5,8,2,3,6,7后，新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++−+−+−+−相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−至少减少2，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−的最小性矛盾.这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,21s j s j a a −−≤. 假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a −−=，则,21,2s j s j a a −+是奇数，所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数，设为21N +.则此时对任意1,2,3,4j =，由,21,21s j s j a a −−≤可知必有{}{},21,2,,1s j s j a a N N −=+. 而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数，故集合{},s m m a N =中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数，对该数列进行一次变换(),,,i j s t ，则该数列成为常数列，新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++−+−+−+−等于零，比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−更小，这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a −+−+−+−的最小性矛盾.综上，只可能(),21,201,2,3,4s j s j a a j −−==，而,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+，故{}(),s na A =Ω是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析. 11．(1)21n n S =− (2)①证明见详解；②()131419nn S ii n b =−+=∑【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k −==+，()121n k k b −=−，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k −−−=⎡⎤=−−−⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==−，即1231a a a +=−，可得211q q +=−，整理得220q q −−=，解得2q =或1q =−（舍去），所以122112nn n S −==−−.（2）（i ）由（1）可知12n n a −=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k k k k k a n n a a −++⎧=<−=−⎨−=−<⎩，即11k k a n a +<−<可知12,1k k n a b k −==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k −−+=+−−⋅=+−=−，可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b −−−=−−+=−−≥−−=−⋅≥−，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b −≥⋅；（ii ）由（1）可知：1211nn n S a +=−=−，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a −+−=，当1221k k i −<≤−时，12i i b b k −−=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k −−−−−−−=−⎡⎤=⋅+=⋅=−−−⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n −=−+⎡⎤=+⨯−⨯+⨯−⨯+⋅⋅⋅+−−−=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b =−+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i −<≤−时，12i i b b k −−=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k kk ii b k k −−−=⎡⎤=−−−⎣⎦∑.。

江苏高三数学新题集粹5.数列

5.数列、不等式 1.在数列{}n a 中，*n ∈N ，若211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为“等差比数列”. 下列是对“等差比数列”的判断： D ①k 不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列 ④等差比数列中可以有无数项为0 其中正确的判断是A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2. 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．则实数c 的值为． 2 3. 正数a 、b 满足1,a b ab ++=则32a b +的最小值是 ▲ .5+4. 公差不为零的等差数列}{n a 中，有02211273=+-a a a ，数列}{n b 是等比数列，且8677,b b a b 则== . 165. 若关于x 的方程20x x a -+=和()20x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为41的等差数列，则a b +的值是．7231 6. 若等差数列{}n a 的前三项和93=S 且11=a ，则3a 等于 . 37. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则11213a a a ++= 1058.等差数列}{n a 中，0≠n a ，若1>m 且0121=+-+-m m m a a a ，2138m S -=，则m 的值为 10 9.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为 -2 10.数列}{n a 中，已知n n n a 3)12(⋅-=，则其前n 项和=n S （化为最简形式） 13)1(3+-+n n11. 不等式10x x->成立的充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ． 1x > 【解析】原不等式10x ⇔-<<或1x >(*),显然1x >⇒(*),但(*)⇒/1x >,故选(D).12. 等差数列{}n a 中，已知前15项的和1590S =，则8a 等于A ．245 B ．12 C ．445D ．6【解析】1158158()1521590,622a a a S a +⨯===∴=,故选(D).13. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．【解析】某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元,40044x x⋅+≥160,当16004x x=即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 14. 若等比数列{a n }的前n 项和S n =2008n +t(t 为常数)，则a 1的值为 2007 15. 若1x ≥时不等式321x x m -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是 (－∞，0] 16. 已知正项数列{a n }的首项a 1=1，其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N *)为坐标的点在曲线1(1)2y x x =+上运动，则数列{a n }的通项公式为a n = n 17. 已知函数f (x )=x 2+2x +1，若存在t ，当x ∈[1,m ]时，f (x +t)≤x 恒成立，则实数m 的最大值为 418. 数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是 ( ) DA 、7B 、8C 、9D 、10 19. 对正整数n ，设曲线(1)2ny x x x =-=在处的切线与y 轴交点的纵坐标为,{}1nn a a n +则数列的前n 项和是___________. 解析1(1),(1)2n n n y nx n x y x x x -'=-+=-=曲线在处的切线的斜率为12(1)2,n nk n n -=⋅-+ (2,2)n -切点212(2)0,(1)2,21{}222221n n nnn n n ny k x a x a n n a n n +∴+=-==+⋅=+∴+++=-+切线方程为令得数列的前项和为20. 设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________. 解析 11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是21. 若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n +1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有2k –1个k ，则a 2008= . 4522. 已知)33(A ，O 是原点，点),(y x P的坐标满足0200y x y -<+<⎨⎪≥⎪⎩，则（1的最大值为；（2||OP 的取值范围为 .3；]3,3[-23. 曲线1:=+y x C 上的点到原点的距离的最小值为 .4224. 设n S 表示等比数列}{n a （*Nn ∈）的前n 项和，已知3510=S S ，则=515S S 。

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五、数列（一）填空题1、（2008江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10按照以上排列的规律，第n行（n》3）从左向右的第3个数为______________ .【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前n —1行共有正整数1 + 2 + •••+（n2 2n — n n — n—1 ）个，即-一n个，因此第n行第3个数是全体正整数中第-一n+ 3个，即为2 2n2- n 622、（2009江苏卷14）设咕,是公比为q的等比数列，|q|・1，令b n二a n • 1（n =1,2,川）,若数列:b n ?有连续四项在集合「-53,-23,19,37,82?中，则6q = .【解析】考查等价转化能力和分析问题的能力。

等比数列的通项。

「a n ?有连续四项在集合:-54, -24,18,36,81，四项-24,36, -54,81成等比数列，公比为3q 二匕，6q= -93、（2010江苏卷8）函数y=x2（x>0）的图像在点（a k,a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a1=16，贝U a1+$+a5= __________［解析］考查函数的切线方程、数列的通项。

a在点（a k,a k2）处的切线方程为：y-a k2 = 2a k（x-a k）,当y = 0时，解得x k,2a所以a k1打，a1 a3 a5=16 4“21。

4、（2011江苏卷13）设1 =印_a2-川_a7，其中a1 ,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，贝U q的最小值是 ___________ .【解析】由题意：1 =印込a2乞q込a2• 1乞q2込a2• 2岂q3,a2^a2 1,a2 1 ^q2^a2 2q3-a2,2-3，而‘為2-1印# ^2 a21 a2 的最小值分别为1,2,3；q min=3-3本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题•5、( 2012江苏卷6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，_3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______ .【解析】组成满足条件的数列为：1,-3,9. 一27,81,—243,729,—2187,6561,—19683.从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为35.【点评】本题主要考查古典概型•在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特另U注意.16、 (2013江苏卷14) 14 •在正项等比数列{a n}中，35 , a6 a^3，则满足2c•…』n …an的最大正整数n的值为__________________ 。

答案：14 . 12(二)解答题1、( 2008江苏卷19) . (I)设31,32,|||HI,a n是各项均不为零的等差数列(nK4),且公差d = 0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：①当n =4时，求a1的数值；②求n的所有可能值；d(H)求证：对于一个给定的正整数n(n >4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列0,^,1川||,0，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.【解析】：本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。

(I)①当n=4时，a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。

若删去a2,则a32=a a4，即(印吃d ^a 1(a 化简得c +4d=0，得旦=-4d若删去a3，则a2^a1 a4，即(a1d)2 = a (q - 3d)化简得a, -d =0，得卑=1d综上，得旦--4或旦=1。

d d②当n=5时，a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5，否则出现连续三项。

若删去a s，则ai a5 =a2 d ,即ai(a1 4d) ^(a1 d) (a1 3d) 化简得3d = 0，因为d =0，所以a3不能删去；当n A 6时，不存在这样的等差数列。

事实上，在数列 &月2, a 3,|)| ,a n_2,a n 」，a n 中，由于不能删去首项或末项，若删去a 2，则必有a 1 a n = a 3 -a n 2，这与d = 0矛盾；同样若删去am 也有a a n 二a 3，这与d =0矛盾；若删去 &3,川，中任意一个，则必有印a n 二a ? a .二，这与d =0矛盾。

(或者说：当n 》6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，n=4。

(2)假设对于某个正整数n ,存在一个公差为d 的n 项等差数列b|,b 2,.….b n ，其中b x .「b y d ,b z d ( 0 _X ：：： y ：：： z _ n _1 )为任意三项成等比数列，则 b 2y d ^b x1 b z1，即 (b +yd)2 = (b + xd)，(b + zd),化简得(y 2 —xz)d 2 =(x + z —2y)bd(*)由b]d =0知，y 2-xz 与x ，z-2y 同时为0或同时不为0 当y —xz 与x • z —2y 同时为0时，有x= y = z 与题设矛盾。

b2故y 2 -xz 与x - z -2y 同时不为0,所以由(*)得= ——xz -d x+z-2y因为0乞x ：：： y ：：： z 乞n -1，且x 、y 、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而色为有理数。

d于是，对于任意的正整数 n(n _4),只要色为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。

d例如n 项数列1, 12 , 1 2 2 ,……,1 (n-1)2满足要求。

2、( 2009江苏卷17)(本小题满分14分) 设订/是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22 a 3^ a 42 a 52, S 7 = 7。

(1) 求数列f a n ?的通项公式及前n 项和& ；(2) 试求所有的正整数 m ，使得3m 3m 1为数列订昇中的项。

am 2【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。

满分14分。

(1)设公差为d ，则£ - a 5 = ai - af ，由性质得- 3d⑻'a 3) = d ⑻ a 3)，因7汇6为 d = 0，所以 a 4 a 3 0，即 2a 1 5^ 0,又由 5=7得 7a 1 d = 7 ,解得印- -5,d_2 —「.：「；門邛匸二丁：「7 丄.j 「C i 「一am 2⑵(方法一) a m a m 1 =（2m -7）（2m -5），设？m _3 二t ,a2m- 3则arA 1 二（t -4）（t -2）所以t 为8的约数因为十是奇数，所LiU可取的值为土L当= 1, m二2时，t + --6=3 ■ 2 5-7 = 3,是数列也沖的项mt当i=-E m=l时，£ + * —6=T—数列辺｝中的最小项是—5,不符合.所農满足条件的正整数即=2B（方法二）因为（am2一4）（编2_2）二a m .2 -6 •丄为数列；,aj中的项，3m 2 a m 2 a m 28故_为整数，又由（1）知：a m.2为奇数，所以a m.2=2m-3hT,即m =1,2am+2经检验，符合题意的正整数只有m=2。

w.w.w.zxxk.c.o.m3、（2009江苏卷23）（本题满分10分）对于正整数n >2,用T n表示关于x的一元二次方程x22ax ^0有实数根的有序数组（a,b）的组数，其中a,b 〈1,2,ll）,n（a和b可以相等）；对于随机选取的a,b 讣2,川,n? （a和b可以相等），记巳为关于x的一元二次方程x22ax 5=0有实数根的概率。

1（1 ）求T n2和P n2 ；（2）求证：对任意正整数n >2,有P n 1 一.【解析】［必做题］本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。

满分分。

（1）解;因为方梅J + 2c« + A 0有实数SL所比3 -九'事0』卩占呈讥当n £氐W J时*有又&匸1 ,2严｝，披总冇b W $*此时・a ^fn1- m + 1种取法上有d种取法’所以共冇（J -n +1）FI3组宵序散组5川〕満足条件；3）当I a fl - 1时’満罡1电b富『的A有J个•故共宿I1 +22 +31 + - + -I）1 =叫5广罟—1）组有序数组山,町満足务件.由⑴罚）翊6 5 —+】心也匕」譽二耳*迴匕年込』.“““ G - 411 + 3rr + I（2）证明:找们貝皤证期:对于随机选取的叭6匚丨1 .九…"匚方杜d *2曲+6=0无实数根的覆率$ -巴C占.若方程? + 2^ + A = 0无实数根，则/fld = 4rt;- 4b < 0,IU / € k商山毎n知n c “扁一因此.満足.血‘ < 矗的有序数组（血町的组数小于乐.从而*方觀J + 2«x + * = 0无实数段的悵事1 ■巴u吗J 士所匚> I -p-・w.w.w.zxxk.c.o.m4、（2010江苏卷19）（本小题满分16分）10设各项均为正数的数列 a 的前n 项和为S n ,已知2a 2 = a a 3,数列' S n 是公差为d 的等差数列。

(1)求数列乩[的通项公式(用n,d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m • n =3k 且m = n 的任意正整数 m,n, k ，不等式S m - S n . cS ,9都成立。

求证：c 的最大值为9。

2【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。

满分 16分。

(1)由题意知：d 0， /S^ S 1 (n-Dd-c (n-1)d2a - a 1 a^ = 3a ? = S 3 = 3(S 2 - S 1) = S 3， 3[(. aj d) - a 』=a ' 2d),化简，得：-2 a d d 2 = 0,冃=d,a = d 2, S n = d (n 「1)d 二 nd,S n = n 2d 2，当 n 一2 时，4=S n -S nA -n 2d 2 -(n - 1)2d 2 =(2n — 1)d 2故所求耳=(2n -1)d 2 (2) (方法一)S m ■ S n cS k 二 m 2d 2 n 2d 2 c k 2d 2 二 m 2 n 2 c k 2又 m n =3k 且m = n ， 2(m n ) (m n) =9k2 k 22— 99 故c ，即c 的最大值为。