典型信号的地傅里叶变换
经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
常见信号的傅里叶变换
常见信号的傅里叶变换介绍傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特性，并提取出信号中的各种频率成分。
本文章将介绍常见信号的傅里叶变换，帮助读者深入了解这一重要的信号处理技术。
简介信号的时域和频域表示•时域表示：信号在时间上的变化情况，通常使用函数表示，如f(t)。
•频域表示：信号在频率上的分布情况，使用频谱表征，表示信号中各个频率成分的大小和相位信息。
傅里叶变换的基本原理傅里叶变换基于傅里叶级数的思想，将一个信号分解为一系列复指数函数的叠加，这些复指数函数包含了不同频率的成分。
傅里叶变换可以用公式表示为：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，F(ω)表示信号f(t)的频域表示，e−jωt为复指数函数。
常见信号的傅里叶变换正弦信号与余弦信号正弦信号与余弦信号是最基本的周期信号，在通信、电子、音频等领域中广泛应用。
对于正弦信号f(t)=Asin(ωt+ϕ)，其频域表示为：F(ω)=A2j[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]其中，δ(ω)为单位冲激函数。
对于余弦信号f(t)=Acos(ωt+ϕ)，其频域表示与正弦信号类似，只是相位不同。
矩形脉冲信号矩形脉冲信号是一种在时域上为矩形、在频域上为sinc 函数的信号。
其时域表示为：f (t )={1,|t |≤T 20,|t |>T 2其中，T 为脉冲宽度。
矩形脉冲信号的频域表示为：F (ω)=T sinc (ωT 2) 高斯信号高斯信号是一种通过高斯函数表示的连续信号。
在时域上，高斯信号的表示为：f (t )=Ae −αt 2其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。
高斯信号的频域表示为：F (ω)=√2α−ω24α 方波信号方波信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为由连续的正弦信号叠加而成。
方波信号的频域表示为：F (ω)=2sin (ωT/2)ω三角脉冲信号三角脉冲信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为：f (t )=4A T2(t −T/2), 0≤t ≤T 三角脉冲信号的频域表示为：F (ω)=(2A T )2sin 2(ωT/2)ω2指数衰减信号指数衰减信号是一种在时间上随指数衰减的信号，其表示为：f (t )=Ae −αt其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。
简述傅立叶变换
简述傅立叶变换摘要：一、傅立叶变换的概念与原理二、傅立叶变换的应用领域三、傅立叶变换的发展与拓展正文：傅立叶变换是一种数学方法，用于将一个信号从时域或空域转换为频域。
这一变换技术在许多学科领域具有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、通信系统等。
一、傅立叶变换的概念与原理傅立叶变换是基于傅立叶级数的基础上发展起来的。
傅立叶级数是将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
傅立叶变换则将这一概念拓展到非周期函数，通过将函数分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加，实现了从时域到频域的转换。
傅立叶变换的主要目的是简化复杂的信号分析问题，使信号的频率特性更加清晰。
二、傅立叶变换的应用领域1.信号处理：在信号处理领域，傅立叶变换被用于分析信号的频率成分，例如音频信号、通信信号等。
通过傅立叶变换，可以更好地了解信号的频谱特性，从而实现信号的滤波、调制和解调等操作。
2.图像处理：在图像处理领域，傅立叶变换被用于分析图像的频谱特性，例如边缘检测、噪声去除等。
通过傅立叶变换，可以更好地提取图像中的频率信息，从而提高图像处理的效率。
3.通信系统：在通信系统中，傅立叶变换被用于信号的调制与解调、多路复用与解复用等。
通过傅立叶变换，可以实现信号的快速处理和高效传输。
4.量子力学：在量子力学中，傅立叶变换被用于描述量子系统的能级结构和量子态的演化。
三、傅立叶变换的发展与拓展随着科学技术的不断发展，傅立叶变换的应用领域不断拓展。
一些拓展方法包括：1.短时傅立叶变换：用于分析非平稳信号，在时域和频域上同时具有良好的局部特性。
2.小波变换：是一种局部傅立叶变换，可以实现信号的高分辨率分析。
3.离散傅立叶变换：将傅立叶变换应用于数字信号处理，提高了计算效率。
总之，傅立叶变换作为一种重要的数学方法，在各个领域具有广泛的应用。
付里叶变换
称为基波。 称为二次谐波。 称为三次谐波。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
4、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c0
c1 c2
c3
n ~ n1 信号的相位谱
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
0 w1 3w1
nw1
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波 器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。
• 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。
• 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。
•非周期信号的频谱用频谱密度来表示。
•看出：
周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数）
非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换）
周期信号与非周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散 谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。
7.傅里叶变换的存在充分条件
傅里叶变换存在的充分条件是在无限内 满足绝对可积条件：
0
1
e(a jw)t
(a jw)
0
a
1 jw
a
1 jw
2a a2 w2
双边指数信号的频谱如下：
1
e f (t) a t
(a 0)
时域波形
0
t
F() 2a
2
a2 2
a
1 a
0
3a
w
频域频谱 相位等0
四、矩形脉冲信号的傅里叶变换
常见信号的傅里叶变化
常见信号的傅里叶变化题目:用MATLAB对常见信号的Fourier变换分析姓名：王聪学号： 200606302036专业：电子信息科学与技术年级： 2006级院系：物理与电子工程学院完成日期： 2010年5月指导教师：潘孟美本科生毕业论文（设计）独创性声明本人声明所呈交的毕业论文（设计）是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
论文（设计）作者签名：日期：本科生毕业论文（设计）使用授权声明海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文（设计）的复印件和磁盘，允许毕业论文（设计）被查阅和借阅。
本人授权海南师范大学可以将本毕业论文（设计）的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文（设计）。
论文（设计）作者签名：日期：指导教师签名：日期： (18)用MATLAB对常见信号的Fourier变换分析作者：王聪指导教师：潘孟美（海南师范大学物理与电子工程学院，海口，571158)摘要: MATLAB软件在多个研究领域都有着广泛的应用，其中，它的频谱分析设计功能很强，从而使信号处理变得十分简单、直观。
傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。
关键词：傅里叶变换 ; MATLAB软件 ;信号消噪The analysis of common signal’s Fourier transformation by MatlabAuthor：Wang Cong Professor Pan Mengmei (College of Physics & Electronic Engineering , Hainan normal university，Haikou, 571158)Abstract: The software of MATLAB has got extensive application in several researches realm. Among them, its frequency chart analysis is very strong, making signal handled to become very brief, intuitionistc. Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transformting it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Matlab realizes signal spectral analysis and signal denoising.Key word: Fourier transformation, software of matlab ,signal denoising1.引言MATLAB是一种面向科学与工程计算的高级语言，现在已成为国际公认的最优秀的科技应用软件，在世界范围内广为流传和使用。
第二章 傅立叶变换(FT)
T1 2
非周期信号可以看成是周期T1趋于无限大的周期信号
非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长 度趋于零。
解决 方法
T1
F (nω1)T1
2 f (t)e jn1t dt
T1 2
T1
F (ω)
lim
T1
F (nω1)T1
lim
T1
2
T1 2
f (t)e jnt dt
F (ω) f (t)e jtdt
n
arctg
bn an
n
arctg
an bn
初相位
复指数形式的FS
设周期函数 f(t)的周期为T1 展开成复指数函数的无穷级数形式
f (t)
Fn e jn1t
n
系数计算方法
Fn
1 T1
t0 T1
f
t0
(t)e jn1t dt
其中：n 1， 2， 3，
复指数形式的FS
三角函数FS与复指数FS的系数间的关系
(3) Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度；
(4) 带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。信号
带宽定义为=0～2/ 这段范围，即
B=2/
或
f B=1/
(5) 时域参数对频谱的影响
f(t)
E
cn
2E
5
傅里叶频谱
T1=5
- /2 0 /2
T1
2T1 t 0
E 5
2/ 4/ 6/
傅里叶频谱
2.2-3 周期脉冲信号的傅里叶频谱特点
(1) 谱线包络线为Sa函数，仅在一些离散频率点(n1)上有值， 离散间隔为1=2/T1 ；
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
8个典型信号的傅里叶变换
8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。
它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。
你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。
2. 正弦信号。
正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。
它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。
这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。
3. 余弦信号。
余弦信号跟正弦信号是近亲呢。
Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。
余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。
4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。
它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。
你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。
5. 矩形脉冲信号。
矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。
它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。
这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。
6. 三角脉冲信号。
三角脉冲信号就像一个小山峰。
它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。
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例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。
解 根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。
依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式
()2
04cos T km A f t k tdt T
ω=
⎰ 计算A km 。
对图上的波形图可以写出
()04
42
T A t f t T T A t ⎧ <⎪⎪=⎨⎪- <⎪⎩≤≤
将上式代入A km ，便得
4
2044cos cos T T km T A A k tdt A k tdt T ωω⎡⎤=-⎢
⎥⎣⎦⎰⎰ 42
0444cos cos T T T A A k tdt k tdt T T
ωω=-⎰⎰ {}
42044sin sin T T T A k k Tk ωωω
=- 41,5,9,43,7,11A
k k A k k ππ
⎧ =⎪⎪=⎨⎪- =⎪⎩L L 于是，信号的傅里叶级数
()4111
cos cos3cos5cos 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
-+-+ ⎪⎝⎭
L
图9.3 方波信号 图9.4 三角波信号
例9.2 试求图9.4所示三角波信号的傅里叶级教。
解 视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。
因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。
由于
()404
4242
A
T t t T f t A T T t A t T ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤≤
故有
2044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭
⎰⎰ 参照积分公式
211
sin sin cos x axdx ax x ax a a
=
-⎰ 可算出
22
22
81,5,9,83,7,11km A
k k B A k k ππ⎧=⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩L L
于是所欲求的傅里叶级数
()2222
8111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
-+-+ ⎪⎝⎭
L 。
例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。
图9.5 例9.3用图
解 此信号对原点对称，是奇函数，且又是半波横轴对称，所以其傅里叶级数仅是正弦奇次谐波分量组成。
由于
()02
2
T A t f t T A t T
⎧
<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤
故有
{
}220
044sin cos T T km A B A k tdt k t T Tk ωωω=
=-⎰
41,3,5,7,A
k k π
==L
于是，所求级数
()4111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
++++ ⎪⎝⎭
L 。