离散数学 第七章检测题及答案

离散数学第七章检测题

一、 单项选择题（每小题2分，共20分）

1．下图中是哈密尔顿图的是( 2 )

2．下面给出的四个图中，哪个不是汉密尔顿图（ （4） ）．

3．下列是欧拉图的是( 2 )

4. 下列各图不是欧拉图的是（ 4 ）

5．设()A G 是有向图,G E =的邻接矩阵，其第i 列中“1”的数目为（ ）。 (C)

(1)．结点i v 的度数； (2)．结点i v 的出度； (3)．结点i v 的入度； (4)．结点j v 的度数。

6．无向图G 中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是( 2 )

(1)．8 (2)．16 (3)．4 (4)．32

7．设Ｇ＝为无向图〉〈E V ,，23,7==E V ，则Ｇ一定是（ （4） ）．

(1)．完全图； (2)．零图； (3)．简单图； (4)．多重图．

8．若具有n 个结点的完全图是欧拉图，则n 为( 2 ).

(1)．偶数；(2)．奇数； (3)． 9； (4)． 10．

9．无向图G 是欧拉图，当且仅当（ ）． (1)

(1)．G 连通且所有结点的度数为偶数； (2)．G 的所有结点的度数为偶数；

(3)．G 连通且所有结点的度数为奇数； (4)．G 的所有结点的度数为奇数．

10．下面哪一种图不一定是树（ ）． (3)

(1)．无圈连通图； (2)．有n 个结点1n -条边的连通图；

(3)．每对结点间都有路的图； (4)．连通但删去一条边就不连通的图．

二、 填空题（每空3分，共45分）

1．在下图中，结点v 2的度数是 4 ，结点v 5的度数是 3 。

2．在一棵根树中，有且只有一个结点的入度为__0___，其余所有结点的入度均为_1__。

其中入度为__0___的结点称为树根，出度为__0___的结点称为树叶。

3．设图111,G E =，22221,,G E E E =⊆且，如果 ，则称2G 是1G 的子图，如果 ，则称2G 是1G 的生成子图。(2121,V V V V ⊆=)

4．在任何图,G V E =中，∑∈V

v v )deg(= 2 │E │ ，其奇数度结点的个数必为

偶数 。

5．一棵有6个叶结点的完全二叉树，有___5__个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有__9___个叶结点。

6．设图,G V E =，V ＝｛ 1v ,2v ,3v ,4v ｝的邻接矩阵()A G = ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001

001111011010， 则 1v 的入度)(1v ＝ 3 ，4v 的出度)(4v = 1 。

7．一个无向树中有6条边，则它结点数为 7 。

三、 简答题（每小题5分，共25分）

1．对有向图,G V E =求解下列问题：

（1）写出邻接矩阵A ；

（2）,G V E =中长度为3的不同的路有几条？其中不同的回路有几条？

解：（1）邻接矩阵为：

0100100100000011

100000010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

， （2）2300110110010000100010,00010110000110100

1111

100001101A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 则，,G V E =中长度为3的不同的路有10条，其中有1条不同的回路。

2．设有２８盏灯，拟公用一个电源，求至少需要４插头的接线板的数目。

解：设至少需要4插头的接线板i 个，则有

（4-1）i=28-1 （3分）

故 i=9

即至少需要9个4插头的接线板。 （2分）

3．设有6个城市V 1，V 2，…，V 6，它们之间有输油管连通，其布置如下图,S i (数字)中S i 为边的编号，括号内数字为边的权，它是两城市间的距离，为了保卫油管不受破坏，在每段油管间派一连士兵看守，为保证每个城市石油的正常供应最少需多少连士兵看守?输油管道总长度越短，士兵越好防守。求他们看守的最短管道的长度。(要求写出求解过程

)

解：为保证每个城市石油的正常供应最少需5连士兵看守.

求看守的最短管道相当于求图的最小生成树问题，此图的最小生成树为：

因此看守的最短管道的长度为： Ｗ（Ｔ）＝１＋1＋2＋2＋2＝８．

4．以给定权1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100构造一棵最优二叉树。

5．一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识，但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20，说明能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人？根据是什么？

解：可以把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人。（1分） 根据是：分别用20个结点代表这20个人，将相互认识的人之间连一条线，便得到一个 无向简单图,G E =，每个结点i v V ∈的度数是与i v 认识的人的数目，由题意知,i j v v V ∈，有d e g ()

d e g ()2i j v v +≥，于是,G V E =中存在哈密尔顿回路，设12201i i i i C v v v v =是,G V E =中的一条哈密尔顿回路，按此回路安排园桌座位即符合要

求。（4分）

四．证明与应用题（10分）

1． 某次聚会的成员到会后相互握手，试用图论的知识说明与奇数个人握手的人数一定是一

个偶数。

证: 用结点代表成员, 握手的成员之间连一条线, 则所有聚会的成员之间的握手

情况可以用一个图来表示，其中每个结点的度数就是该结点所代表的成员握