基本不等式优秀教学设计

3．4．2基本不等式及应用

教学内容解析：

本节课是数学人教版必修5中3.4基本不等式的第二节课内容，本节课是在初步学习了基本不等式以后，对于使用基本不等式时候需要注意的三个方面的强调，以及学习利用基本不等式解决生活中的问题。

学生学情分析：

由于团场学生的基础能力普遍不强，对于新知识的接收和旧知识的理解上比较困难。而上课使用的是本校中等能力学生，可能在处理问题上的思维反应方面有待提高。解决问题上更多的需要在教师的指导下完成，自我理解、处理问题能力较差。

三维目标：

（1）知识与技能：能够了解基本不等式使用的三个条件并且能解决生活中的应用问题；

（2）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生正确使用基本不等式并且对实际问题能分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。三道找错题让学生注意基本不等式使用中容易犯的错误在把数学问题延伸到实际问题，最后用学过知识解决我们周围的问题。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误；

（3）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性.

教学重点、教学难点

教学重点：正确运用基本不等式

教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

学法与教学用具

先利用三个改错题让学生正确运用基本不等式求最值问题，注意基本不等式中容易犯的三个错误。然后引出例题，而列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。

白板，课件

教学设想

一知识点复习

1．基本不等式≤ab a ＋b

2(1)基本不等式成立的条件： .

(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．

2．几个重要的不等式

a 2＋

b 2≥ (a ，b ∈R)．＋≥ (a ，b 同号)b a a b

ab ≤2 (a ，b >0 )．

(a ＋b 2)

3．利用基本不等式求最值问题注意什么？

1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”

教学策略分析（设计此环节是为了让学生对于上节课的知识点有一个初步的回忆，并且为后面内容做铺垫）

二、新课讲授

下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？

１．已知函数，求函数的最值．

x x f 1)(+=２．已知函数，求函数的最小值．)2(2

3)(>-+=x x x x f =4α

αααsin 4sin 2sin 4sin ?≥+=y 所以函数最小值为4

.2112121)(:取到最小值时函数即当且仅当解±===?≥+=x x

x x

x x x x f 。

的最小值是时，函数即当且仅当解：632322

3223)(=??

???-=>-?≥-+=x x x x x x x x x f 的最小值。

，（其中求函数]20sin 4sin 3

πααα∈+=y

教师小结：讲评几个学生做题中存在的问题，以及需要注意的地方。注：几个问题分别对应了一正二定三相等三个方面。上课中的解题过程单独写黑板上，让学生自己去发现问题并且改正错误并加以讲解。教学策略分析：这个内容是对于学生在上节课学习了基本不等式以后，应用上存在的问题进行讲解分析。也是基本不等式中最容易错误的地方。在教学中让学生去黑板上找出错误并改正错误更能锻炼学生的动手动脑能力，在自己以后昨天中不出现类似问题。

新知建构，典例分析-走进生活

例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的2m 长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽m 各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值

（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则篱笆的长为2（x y 100,xy =）m

x y +

由，2

x y +≥可得

y +≥2（）x y +40

≥等号当且仅当，因此，这个矩形的长、宽为10x y x y ===时成立，此时10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m

引出：若x 、y 皆为正数，则当xy 的值是常数P 时，当且仅当x =y 时，

x+y 有最小值_______.

(2)设矩形菜园长为 m,宽为 m,则2（）=36，=18，矩形x y x y +x y +菜园面积为，

xy 2m

由可得 ,189,22

x y +≤==81≤xy 可得等号当且仅当

9x y x y ===时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为812

m 引出：若x 、y 皆为正数，则当x+y 的值是常数S 时，当且仅当x =y 时，

xy 有最大值_______；

在教学中教师起引导作用，尽量的让学生去解决问题。

小结：对于学生在教师引导教学中存在问题进行强调，对于解决实际问题中学生需要注意：未知数的设置，x 的确定，以及什么问题可以用基本不等式解决问题

教学策略分析：这道题是书上的例题，也是让学生体会数学在生活中的应用。更加培养学生的学习兴趣。更是为了后面学习做一个铺垫作用。

变式训练：走进校园

学校准备建设一个学生实践基地，一面可利用原有的墙，其余每个年

级的用木墙围起. 现分给4个年级。每年级5个班。

（1）现有可围40m 的材料，每个地的长、宽各设计为多少时，可使面积最大？

（2）若使每个班面积为9m2，则长、宽各设计为多少时，可使围成木墙长度最小？

让学生先讨论之后谈方法，之后书写。教师讲评。

解：1）设每个年级分的地长为x,宽为y ，则整个地的长为4x,宽为y.

则周长 L=4x+5y=40 每个年级地的面积S=xy

。

，每年级最大面积是时每个年级地面积最大即解得解方程组时，等号成立。

当且仅当，得20m 4,54

540545454,2020

xy 40545454254x m y m x y x y x y x y x S xy xy

y x y ==???==???=+==≤∴≤≤∴=?≥+2）设每个年级分的地长为x,宽为y ，则整个地的长为4x,宽为y.

6062

156215,455454,6060

45202202545445时木墙长度最小，为，宽为即：每年级地的长为得解方程组时取等号。

当且仅当即因为，需要的木墙长度则??

???==???=====?=≥++==y x xy y x y x L xy y x y

x L xy 小结：学生针对前面例题对比性解决实际性问题，让几个同学不同方法解决，先谈各自的解题思路，然后让思路不同的同学分别到黑板上板书，根据存在问题在进行强调。最后再次总结实际问题中基本不等式的使用。

教学策略：（给出学校里的学生实践基地图片，让学生自己去发现。通过利用基本不等式解决身边的事情来培养学生学习数学兴趣，从实际问题走向身边的问题，让学生感觉数学于自己更近了一步。增强学习数学的兴趣。）

4、归纳总结

1.用基本不等式求函数的最值，是一种很重要的方法，应用时要注意下列三个条件：

(1)函数解析式中各变量均为正数；

(2)含变量的两项的和或积为定值；

(3)含变量的两项可以相等，

即“一正二定三相等”.

2.在实际问题中求最值时，一般先要设定字母表示相关变量，再建立变量之间的函数关系，然后求最值.对形如：x＋y，xy， 2等结构的最值问题，常用基本不等式求解.

作业：

课本第113页习题3.4第2、3、4题

新版人教初二不等式教案

不等式及其解集 [教学目标] 1、了解不等式和一元一次不等式的概念； 2、理解不等式的解和解集，能正确表示不等式的解集。 [重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的理解与表示是难点一、课前预习：（1）如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高。小明的身体质量为 p(kg),小聪的身体质量为q(kg)，书包的质量为2kg ，怎样表示p 、q 之间的关系? （2）如图，天平左盘放三个乒乓球，右盘放5g 砝码，天平倾斜。设每个乒乓球的质量为 x （g ），则根据图形可列出怎样的关系式？（3）公路上常有这样的标志：限速100km/h ，速度记作a ，则可以写出不等式是（4）（x+1）0=1，x 必须满足的条件是二、不等式的概念 1、不等式 “>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号，不等号也可以写成“≤”、“≥” 的形式。总之，用不等号连接起来的式子叫做不等式。 2、一元一次不等式类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。注意：分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。三、典型例题 1、用不等式表示：（1）x 的一半小于－1 ；（2）y 与4的和大于0.5；（3）a 是负数；（4）b 是非负数；模仿练习：用不等式表示（1）a 是正数；（2）a 是非负数；（3）a 与6的和小于5；（4）x 与2的差大于－1；（5）x 的4倍不大于7；（6）y 的一半不小于3. （7）x 2与1的和是非负数（8）3与x 的差的一半是非正数 2、一辆48座的旅游车载有游客x 人，到一个站上又上来2个人，车上仍有空位，有数学式子表示上述数量关系 3、某一天的最低气温是-2℃，最高气温是6℃，该市这一天某一时刻的气温t ℃。

《基本不等式》教案

《基本不等式》教案教学三维目标： 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导：基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程：一、基础梳理基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b + （当且仅当a b 时取""=号）代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号）（用代换思想得到基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。常见变形：（1）ab 22 2a b + （2）222a b + 2 2a b +?? ??? （3）b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数

如果a 、b 是正数，我们称为a 、b 的算术平均数，称的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）问题：（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：已知x ，y 都大于0则（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当时，和x +y 有最小值；（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当时，积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（） A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错（1）2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x << 变式2：去掉条件1x > 变式3：将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.

均值不等式习题大全

均值不等式题型汇总杨社锋均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。类型一：证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足：222 1x y z ++=，求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =9≥ 7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：22221 11()a b c a b c +++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。类型二：求最值：利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。

变式：求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. （2010浙江高考）设,x y 为实数，若22 41x y xy ++=，求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。变式：y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. （2010山东高考）若任意0x >，231 x a x x ≤++恒成立，求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。类型三、应用题 1.（2009湖北）围建一个面积为2 360m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需要维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45/m 元，新墙的造价为180/m 元，设利用旧墙的长度为x （单位：m ）。（1）将y 表示为x 的函数（y 表示总费用）。（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.（2008广东）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x 层（10x ≥），则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，

不等式的解集教学设计汇总

第一章兀次不等式和兀次不等式组 3 ?不等式的解集一、学生知识状况分析学生在初一时已经学过数轴，对数轴有一定的了解，掌握了数轴的画法，知道实数与数轴上的点成一一对应关系，并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性，而不等式的解的个数有无数个，这对学生来说是全新的开始；在前一课时，学习了不等式的基本性质，学生可利用性质解一些简单的不等式，为本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习. 二、教学任务分析 1教材分析：通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系，不仅有相等而且有大小之分，为了弄清这种大小关系，教材在此创设了丰富的实际问题情境引出不等式的解的问题，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来，从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，体现了新教材循序渐进，螺旋上升的特点? 2、教学目标：（1）知识与技能目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式的解集（2）过程与方法目标： ①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。 ②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出

来，发展学生的创新意识（3）情感态度与价值观目标：从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。 3、教学重点：（1）理解不等式中的相关概念（2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 4、教学难点：探索不等式的解集并能在数轴上表示出来三、教学过程分析本节课设计了七个环节，第一环节复习旧知识；第二环节情境引入；第三环节课堂探究；第四环节例题讲解；第五环节随堂练习；第六环节一一课堂小结；第七环节一一布置作业。第一环节：复习旧知识活动内容：师：上节课，对照等式的性质类比地学习了不等式的基本性质，并且也探索出了它们的异同点，下面我们来回顾一下不等式的基本性质。（多媒体呈现）活动目的：让学生回顾前一节内容，也为本节课教学做准备，起到承上启下的作用。活动效果：学生基本掌握不等式的基本性质。第二环节：创设情境，导入新课活动内容：在某次数学竞赛中，教师对优秀学生给予奖励，花了 30元买了 3 个笔记本和若干支笔，已知笔记本每本4元,笔每支2元,问最多能买多少支笔？活动目的：由一个实际生活情景引入，能引起学生学习的积极性，具有实际生活意义。

数学苏教版必修5基本不等式(教案)

基本不等式（一）教学目标： 1．学会推导并掌握均值不等式定理； 2．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程：重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab 4a ＋b ≥2ab 即 a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时，a ＋b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义问：a ，b ∈R －？例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . （2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14 S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14 S 2.

高考均值不等式经典例题

高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=，则58310a b c +++的最小值为。 2.设M 是ABC V 内一点，且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积，若1()(,,)2 f M x y =，则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>，则224211n m m n +--的最小值为。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为。 5.设,,a b c R ∈，且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=，则c 的最大值为。 6.已知ABC V 中，142, 10sin sin a b A B +=+=，则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=，则a b +的最大值为。 8. ,,a b c 均为正数，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值为。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为。 10. 函数()f x =的最小值为。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为。 12.若*3()k k N ≥∈，则(1)log k k +与(1)log k k -的大小：。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取最大值时，212x y z +-的最大值为。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ，则a b ?r r 的最小值为。 15. 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为。 16.设{}n a 是等比数列，公比q =n S 为{}n a 的前n 项和，记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈，设0n T 为数列{}n T 的最大项，则0n = 。

9.1.1 不等式及其解集(教案)

第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.1.1不等式及其解集【知识与技能】 1.掌握不等式的概念； 2.理解不等式的解、解集；会在数轴上表示不等式的解集； 3.掌握一元一次不等式的概念； 4.会列出简单实际问题中的不等式. 【过程与方法】从实例出发，引出不等式的概念，类比于方程的解理解不等式的解.进而理解不等式的解集，并学会在数轴上表示不等式的解集，类比于一元一次方程的概念理解一元一次不等式的概念. 【情感态度】不等式是现实世界中普遍存在的关系，体验数学来源于实际生活又反过来服务于实际生活，提高同学们学习兴趣. 【教学重点】不等式的概念，不等式的解、解集的概念，在数轴上表示不等式的解集. 【教学难点】理解不等式的解集及在数轴上表示不等式的解集. 一、情境导入，初步认识问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系：（1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成立？76，75，72，70哪些是不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？【教学说明】同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？

基本不等式教学设计与反思

“基本不等式”教学设计与教学反思一、教材背景分析 1.教材的地位和作用本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。 2.学情分析在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点：教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题. 教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题. 二、教学目标 1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法；

【新教材】新人教A版必修一基本不等式教案

基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题．知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）；（4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大．（2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立，

对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立．对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ，则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1，当且仅当x ＝－错误!时，等号成立，所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2），所以1a ＋错误!＝1，所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立．故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是

不等式的解集教学设计

第一章一兀一次不等式和一兀一次不等式组 3 ?不等式的解集一、学生知识状况分析学生在初一时已经学过数轴，对数轴有一定的了解，掌握了数轴的画法，知道实数与数轴上的点成一一对应关系，并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性，而不等式的解的个数有无数个，这对学生来说是全新的开始；在前一课时，学习了不等式的基本性质，学生可利用性质解一些简单的不等式，为本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习. 二、教学任务分析 1、教材分析：通过前面的学习，学生已初步体会到生活中量与量之间的关系，不仅有相等而且有大小之分，为了弄清这种大小关系，教材在此创设了丰富的实际问题情境引出不等式的解的问题，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来，从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大小的，体现了新教材循序渐进，螺旋上升的特点.

2、教学目标：（1）知识与技能目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式的解集（2 ）过程与方法目标： ①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。 ②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出来，发展学生的创新意识。（3）情感态度与价值观目标：从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。 3、教学重点：（1）理解不等式中的相关概念（2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 4、教学难点：探索不等式的解集并能在数轴上表示出来三、教学过程分析本节课设计了七个环节，第一环节----- 复习旧知识；第二环节---- 情境引入；第三环节课堂探究；第四环节例题讲解；第五环节随堂练习；

不等式教学设计

9.1 不等式教材分析：本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法。教学目标：了解不等式概念，理解不等式的解和解集。教学重难点：不等式及解集概念的理解。教学过程：一：引出新知。现实世界中存在大量的数量关系，包括相等关系和不等关系。用等式（包括方程），我们可以研究相等关系，而研究不等关系需要用本章的不等式，如引言中选择购物商场问题. 二：探索新知。问题1 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？ 1、汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么？从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50 km所用的时间不到。从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶的路程要超过50 km。 2、如何用式子表示以上不等关系？设：车速为x km/h．从时间上看：

从路程上看：（1）对于不等式而言，车速可以是80 km/h吗？78 km/h呢？ 75 km/h呢？72 km/h呢？（2）类比方程的解，什么叫不等式的解？使不等式成立的未知数的值. （3）不等式还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式．（4）除了用不等式表示取值范围，还有其他表示方法吗？数轴三、运用新知。例1 请用不等式表示：（1）是负数；（2）与5的和小于-7；（3）的一半大于3. 例2 直接说出不等式的解集，并在数轴上表示出来. 四、归纳总结（1）什么叫不等式？（2）什么叫不等式的解？不等式的解和方程的解的区别？（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的区别？

高中数学《基本不等式》优质课教学设计

《基本不等式》教学设计一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过

均值不等式求最值的常用技巧及习题

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。

八年级数学《不等式的解集》教学设计

§7.2不等式的解集第一课时教学目标： 1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法； 2.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法； 3.在本节课的教学过程中，渗透数形结合的思想，并使学生初步学会运用数形结合的观点去分析问题、解决问题. 教学重点：不等式的解集的概念及在数轴上表示不等式的解集的方法. 教学难点：不等式的解集的概念. 教学媒体：小黑板一、自学质疑： 1. 什么叫不等式？什么叫方程？什么叫方程的解？(请学生举例说明) 2. (1) x 的3倍大于1； (2) y 与5的差大于零； (3) x 与3的和小于6； (4) x 的 41小于2 3. 当x 取下列数值时，不等式x ＋3＜6 （点拨：代入）－4， 3.5，－2.5， 3， 0， 2.9．二、交流展示： 1. 列出不等式、方程、方程的解的概念 2. 运用对比的方法，得出不等式的解的概念请学生总结出不等式的解集及解不等式的概念．(若学生总结有困难，教师可作适当的点拨、补充) 最后得出：一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合．简称为这个三、互动探究：怎样在数轴上表示不等式的解集？我们知道解不等式不能只求个别解，而应求它的解集.不等式的解集常常不是由一个数或几个数组成的，而是由无限多个数组成的，如x ＜3．那么如何在数轴上直观地表示不等式x ＋3＜6的解集x ＜3呢？(先让学生想一想，然后请一名学生到黑板上试着用数轴表示一下，其余同学在下面自行完成，教师巡视，并针对黑板上板演的结果做讲解) 在数轴上表示3的点的左边部分，表示解集x ＜3．由于x ＝3不是不等式x ＋3＜6的解，所以其中表示3的点用空心圆圈标出来(表示挖去x ＝3这个点)．记号“≥”读作大于或等于，即不小于；记号“≤”

一元一次不等式教案

课题: 9.2.1一元一次不等式课型:新授课主备人:徐宝永审核人: 段海涛二次审核人:七年级数学组

补偿应用补偿提高 ②不大于 3 1 2- x 的值; 小结:⑴什么叫一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是：①________ （根据不等式的基本性质2或3）；②________（根据等式的运算法则）；③_________ （根据不等式的基本性质1）；?④_____________（根据整式的运算法则）；⑤ _________（根据不等式的基本性质2或3）．⑵解一元一次不等式的注意点:①移项要变号(同方程解法) ②当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等号方向改变. 三补偿应用 1. 下列选项中，是不等式的是_____,是一元一次不等式的是____ (1) 3>2 (2) 3 2 50 < x (3)3x2+2x(4)x<3x+1 (5)x=2x+5 (6)a+b≠c (7)x-2<2x-1 (8)a-1 ≤3 (9)x2+4x<3x+1 2．在解不等式 221 35 x x +- >的下列过程中，错误的一步是（） A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 3.（2011.重庆）解不等式2x-3< 3 1 + x ，并把解集在数轴上表示出来 4．（2012?嘉兴）解不等式2（x-1）-3＜1并把解集在数轴上表示出来．四补偿提高 1、解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： ()()5 2 5 2 3 3+ > -x x()()3 2 2 14- < - - -x x； 2 2 5 3 1 - - > + x x 2.解不等式 532 1 23 x x ++ -<，小兵的解答过程是这样的．解：去分母，得x+5-1<3x+2 ① 移项得x-3x<2-5+1 ② 合并同类项，得-2x<-2 ③ 在教学中，仍要让学生注意每一步骤变形的依据，从而灵活运用。

基本不等式教案第一课时

第周第课时授课时间：20 年月日（星期）课题: §3.4 2 a b + 第1课时授课类型：新授课【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【能力培养】培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。【教学重点】 2 a b +≤的证明过程；【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件【板书设计】

【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

不等式及其解集--教学设计

《9.1.1 不等式及其解集》教学设计课程名称《 9.1.1 不等式及其解集》授课人教学对象七年级科目数学课时安排 1 课时一、教材分析 1 教材的地位和作用本章是新人教版七年级下册第九章的教学内容，此部分内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次数学建模思想的教学，是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础。通过实际问题中一元一次不等式的应用，进一步增强学生学数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义；相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部份，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用 1.2 本节课的教材内容本节课的内容主要介绍不等式及不等式的解的概念及解集的表示方法，课，通过实例引入，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，经历、感受概念形成的过程，使学生正确抓住不等式的本质特征，质、解法及简单应用起到铺垫作用 . 1.3 学情分析 (1) 学生对实际生活中的不等量关系、数量大小的比较等知识，在小学阶段已有所了解。 (2) 学生已初步具备了 “从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题解释和检验 ”的数学建模能。 (3) 学生已初步具备探究和比较的能力二、教学目标及难重点(知识与技能，方法和过程，情感态度与价值观) 教学目标： 2.1 知识与技能：了解不等式概念，并理解不等式的解、解集，能够正确表示不等式的解集；经历把实际问题抽象为不等式的过程，能够列出不等关系式。使学生进一步理解归纳和类比的数学方法，以及从具体到抽象获取知识的思维方式；初步体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型。 2.2 数学思考：感受生活中的数学问题，发展学生的观察、归纳、猜测、验证能力，领悟数学与现实世界的必然联系。 2.3 解决问题：通过经历不等式的得出过程，积累数学活动经验。通过分组活动探索不等式的解与解集，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。 2.4 情感态度与价值观：认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论 ,体验数学活动充满着探索性和创造性。在独立思考的基础上 ,积极参与对数学问题的讨论 ,敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果 ,并重新审视自己的想法 ,能从交流中获益。教学重点：不等式相关概念的理解和不等式的解集的表示。教学难点：正确理解不等式解集的意义。三．教学策略选择与设计教法：根据本节课教学内容和七年级学生的年龄、心理特点及目标教学的要求，本节课采用引导探究法；让学生以观察实例为基础，用归纳的方法形成概念，把教学过程转化为学生观察、发现、探究的过程，再现知识的 “发生 ”和“发现”及“形成 ”的过程，揭示事物发展从 “特殊”到“一般”再到 “特殊 ”的辩证规律；既提高了学生的学习兴趣，增强了信心，又有利于接受知识；也有益于形成对问题进行探索、研究和解决的能力。是研究不等式的导入激发他们的求知欲望；为进一步学习不等式的性

基本不等式完整版(非常全面)教案资料

基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导一、知识点总结 1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论（1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取 “=”）（2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a + ≤+≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证： abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、

基本不等式 优秀教学设计