二元一次方程(组)的特殊解及整体思想的应用

专题15二元一次方程（组）的特殊解及整体思想的应用

1．关于x ，y 的二元一次方程ax ＋by ＝c （a ，b ，c 是常数）有无数个解，若限制条件，如非负整数解或正整数解就有可能是有限个解．

2．二元一次方程非负整数解或正整数解的问题，先用一个未知数表示成另一个未知数的形式，然后从最小的数开始尝试的办法，尝试时选取系数绝对值较大的未知数可使得尝试的效率提高，也可以对方程进行变形，用另一个未知数表示系数绝对值较大的未知数，然后根据变形后的方程右边（尽量分离出整数或整式）选取合适的数即可得到所有的解．

3．解二元一次方程组，首先要用“火眼金睛”观察，观察未知数的系数，观察方程组中含未知数的项，从而在解方程组的过程中采取有效的方法，比如整体加减，整体代换等，可使计算量减少．

典例精析

例1．写出二元一次方程2x ＋3y ＝21的所有正整数解（x ，y 都是正整数）．

【分析】正整数解的问题可以从最小的正整数“1”开始尝试，只是要一一尝试；也可以对方程进行变形，根据方程左右两边的特征取适合的整数．

【解】用含x 的式子表示y ，得y ＝

2122733x x -=-， “x ，y 都是正整数，所以23

x 是正整数且小于7．．x 是3的正整数倍且不大于9．．x ＝3，6，9代入y ＝7－－r ，求出y ＝5，3，1．

原方程的正整数解有35x y =??=?，63x y =??=?，91

x y =??=?．

另外，如果用含y 的式子表示x ，得

2132013312110103222y y y y y x -+--+-=

==-=-＝1102

y y --- 可知12y -是正整数，y －1是2的正整数倍． y 一1＝0，2，4．所以．y ＝l ，3，5，该方程的正整数解同上，

【点评】出思整数整除的性质，通过约束条件以及方程讨论相结合，将解确定出来，这是二元一次方程整数解的一种些用解题思路．

拓展与变式1 写出二元一次方程y ＝3一

4x 的所有非负整数解（x ，y 都是非负整数）．

拓展与变式2 若方程组48,2 4.x y x my ?+=?+=?①

②的解为正整数，求m 的值．

拓展与变式3某校课外兴趣小组有文艺小组和科技小组两种，文艺小组每次活动时间为2小时，科技小组每次活动时间为1．5小时，要求每个月每种课外兴趣小组至少活动一次，已知该校七年级课外兴趣小组某月活动总时间是7小时，问：该校七年级文艺小组和科技小组本月各活动了多少次?

【反思】解决二元一次方租整数解问题时，对方程进行适当变形后，综合各种限制条件将寻找的范面缩小，使得求解效率提高．

例2 已知方程组

235,

32 1.

x y

?+=

①

②

的解是

x a

y b

，则（2a＋3b）－3(3a一2b)的值为；

5a＋6的值为，5b一a的值为．

【分析】解方程组可解得a，b的值．然后化简求值：如果注意方程组中的两个方程和所求代数式中带括号项的关系，利用方程组解的定义可以直接求值．

【解】依题意，可得

235,

32 1.

a b

?+=

③

④

把③、④整体代入：（2a＋3b）－3(3a－2b)＝5－3×1＝2；

由③＋④，得5a＋b＝(2a＋3b)＋(3a－2b)＝5＋1＝6；

由③－④，得5b－a＝(2a＋3b)－(3a－2b)＝5－1＝4．

【点评】遇到方程组，求出方程组的解再代人是常用的办法，但若能利用方程组的解的定义及整体代入，咋计算量会大大减少，因此解题之前，要先仔细观察．

拓展与变式4 已知关于x、y的二元一次方程组

235,

32.

x y m

?+=

①

②

的解是

x a

y b

，则2(2a

＋3b)－3(3a－2b)＝7，求m的值．

拓展与变式5 已知方程组

235,

32 1.

a b

?+=

①

②

的解为

，

求方程组

2(2017)3(2015)5,

3(2017)2(2015) 1.

x y

?-+-=

---=

的解．

拓展与变式6解方程组

3()2()5, 2()() 1.

x y x y

?-++=?

--+=

【反思】解未知数系数较大，方程较复杂的方程组时，常用到整体相加减、整体代入等方法，这些方法的应用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的．

专题突破

1．要开学了，小明去文具店买文具，准备用20元购买铅笔和水笔，其中某种铅笔2元/支，某种水笔7元/支，在钱用尽的条件下，有种购买方案．

2．已知x，y是二元一次方程组

23,

24 2.

x y

?-=

的解，则代数式（x一2y）（x＋2y）＝．

3．解方程组

(1)2(1) 1. x y

x y

?--+=-?

4．已知关于x、y的方程组

235,

x y

ax by

?+=

+=-

①

②

和方程组

321,

23 1.

x y

ax by

?-=

③

④

有相同的解，求

a、b的值．

二元一次方程组经典练习题+答案解析100道(1)

二元一次方程组练习题100道（卷一）（范围：代数：二元一次方程组）一、判断 1、??? ??-==312y x 是方程组?????? ?=-=-9 1032 6 5 23y x y x 的解 …………（） 2、方程组?? ?=+-=5 231y x x y 的解是方程3x -2y =13的一个解（） 3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（） 4、方程组???????=-++=+++2 5323 473 5 23y x y x ，可以转化为???-=--=+27651223y x y x （） 5、若(a 2-1)x 2 +(a -1)x +(2a -3)y =0是二元一次方程，则a 的值为±1（） 6、若x +y =0，且|x |=2，则y 的值为2 …………（） 7、方程组? ? ?=+-=+81043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为m ≠-5 …………（） 8、方程组?? ???=+=+62 3 131 y x y x 有无数多个解 …………（） 9、x +y =5且x ，y 的绝对值都小于5的整数解共有5组 …………（） 10、方程组?? ?=+=-3513y x y x 的解是方程x +5y =3的解，反过来方程x +5y =3的解也是方程组? ??=+=-351 3y x y x 的解 ………（） 11、若|a +5|=5，a +b =1则3 2 -的值为b a ………（） 12、在方程4x -3y =7里，如果用x 的代数式表示y ，则4 37y x += （）二、选择： 13、任何一个二元一次方程都有（）（A ）一个解；（B ）两个解；（C ）三个解；（D ）无数多个解； 14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（）（A ）5个（B ）6个（C ）7个（D ）8个 15、如果? ? ?=+=-423y x a y x 的解都是正数，那么a 的取值范围是（）（A ）a <2；（B ）34- >a ；（C ）3 4 2<<-a ；（D ）3 4 -