2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合()(){}120|A x x x =+-≥，{}|13B x x =<<，则A B =I （ ） A ．()1,3- B ．()2,3C ．()1,2D ．[)2,3【答案】D【解析】化简集合A ，由交集定义即可求解. 【详解】()(){}120|A x x x =+-≥1{|x x =≤-或2}x ≥， A B =I [)2,3.故选:D 【点睛】本题考查交集运算，属于基础题.2．复数z 满足(1)i z i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得1=-iz i，再利用复数的四则运算法则求出z 的代数形式，再写出虚部． 详解：由(1)i z i -=有(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，则z 的虚部为12，故选B. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题．若复数(,)z a bi a b R =+∈，则复数的虚部为b ．3．将()3nx +的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开式的通项公式列式解得即可． 【详解】 依题意：22390n n C -⋅=，得到210n n C -=解得5n =.故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2199OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r，且、、A B C 三点共线(该直线不过原点O )，则200S =（ ） A ．100 B ．101C ．200D ．201【答案】A【解析】根据三点共线的充要条件得出21991a a +=，运用等差数列的前n 项和公式，以及等差数列序号和相等性质，即可求解. 【详解】2199OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r，且、、A B C 三点共线(该直线不过原点O )，21991a a ∴+=，12002002199200()100()1002a a S a a +==⨯+=.故选:A 【点睛】本题以三点共线为背景，考查数列的前n 项和以及等差数列的性质，属于基础题.5．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出,x y 的分别是（ ）A ．12,23B ．23,12C ．13,22D ．22,13【答案】B【解析】由1,34x y ==开始验证S ，直到满足94S =，退出循环体，输出,x y . 【详解】1,34x y ==,138S =；2,33x y ==,136S =；L ； 23,12x y ==,94S =.退出循环，输出23,12x y ==.故选:B 【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题. 6．函数()2cos xf x x π=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的定义域、奇偶性和函数值的变化趋势进行判断，可得函数图象的大体形状． 【详解】由题意得函数()f x 的解析式为()(),00,-∞⋃+∞， ∵()()2cos xf x f x xπ-==， ∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴可排除C,D ．又当x →0时，cos(πx )→1，2x →0， ∴f (x )→+∞，所以可排除B ． 故选A ． 【点睛】根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般采用排除法进行求解，解题时可根据函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊值或函数值的变化趋势等进行排除，逐步可得结果． 7．如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A ．2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省B ．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C ．2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元D ．2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 【答案】D【解析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息。
【详解】对于A ，从折线统计图可得，2018年第一季度GDP 增速由高到低排位依次为江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故浙江省排在第五，对于B ，从折线统计图可得，与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长率都为正值，所以与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP 总量实现了增长， 对于C ，根据统计图可计算2017年同期河南省的GDP 总量为4067.43815.640001.066≈<，所以2017年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元，对于D, 2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个，江苏、河南， 综述只有D 选项不正确， 故答案选D 【点睛】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()231f x log x =-+，则()2019f -=（ ） A ．4 B ．2C ．2-D ．25log【答案】C【解析】()()2f x f x +=-得出函数的周期为4，以及()f x 是定义在R 上的奇函数，将自变量-2019可转化为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】()()42(())()f x f x f x f x +=-+=--=， ()f x ∴周期为4，且()f x 在R 上的奇函数， ()22019(1)(1)log 42f f f -==--=-=-.故选:C 【点睛】本题考查函数的性质在函数求值中的应用，属于基础题. 9．已知命题:p x R ∃∈，使5sin x ；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论： ①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题 其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③C ．②④D ．③④【答案】B【解析】先判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】解：∵|sin x |≤1，∴：∃x ∈R ，使sin x 52=错误，即命题p 是假命题， ∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x ∈R ，都有x 2+x +1＞0恒成立，即命题q 是真命题， 则①命题“p ∧q ”是假命题；故①错误， ②命题“p ∧（￢q ）”是假命题；故②正确， ③命题“（￢p ）∨q ”是真命题；故③正确， ④命题“（￢p ）∨（￢q ）”是真命题．故④错误， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．10．若向量sin 32x m ⎛= ⎝u r ，2cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，函数()f x m n =⋅u r r ，则()f x 的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．3x π=B ．6x π=C ．3x π=-D ．2x π=【答案】B【解析】根据向量数列积公式，求出()f x ，运用三角恒等变换公式，化简()f x ，结合正弦函数的对称轴即特征可求解. 【详解】()2sin cos 3222x x xf x m n =⋅=u r r1333sin cos sin()22232x x x π=++=++， ()f x ∴一条对称轴为6x π=.故选:B 【点睛】本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于基础题.11．对于函数()22()0f x ax bx cx d a =+++≠，定义:设()f x '是()f x 的导数， ()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()f x ''有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122019202020202020g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．2017 B ．2018C ．2019D ．2020【答案】C【解析】根据拐点的定义，求出()g x 对称中心，然后运用倒序相加法求值. 【详解】()23g x x x '=-+，()21g x x ''=-，令()0g x ''=，得12x =，且112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()y g x ∴=关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()12g x g x ∴+-=，122019202020202020S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭201920181202020202020S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭120192201820191222019202020202020202020202020S g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++⋅⋅⋅++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2019S ∴=故选:C 【点睛】本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A ．631,⎡⎤-⎢⎥⎦B ．31,t ⎡⎤-⎣⎦C ．66,⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．60,⎛⎤⎥ ⎝⎦【答案】A【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为F '，连接AF '，BF '．则四边形AFBF '为矩形．因此2AB FF c '==，而2AF BF a +=，2AF csin α=，2BF ccos α=，可得1124e sin cos sin πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=，求出即可． 【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点为F '，连接AF '，BF ' 则四边形AFBF '为矩形， 因此2AB FF c '==，2AF BF a +=，2AF csin α=，2BF ccos α=，∴222csin ccos a αα+=， ∴1124e sin cos sin πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， ,126ππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦Q ，5,4312πππα∴+⎛⎫⎡⎤ ⎪∈⎢⎥⎝⎭⎣⎦，326424sin πα∴+∈⎛⎫ ⎪⎝⎭⎣⎦，61324sin πα⎛⎫ ⎪+∈⎝⎭⎣⎦+,63e ∴∈⎦.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质]的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.二、填空题13．设变量,x y 满足约束条件220240,10x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =+的最大值为__________．【答案】8【解析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值. 【详解】作出可行域，如下图所示：当目标函数32z x y =+过5(1,)2A 时， z 取最大值为8.故答案为:8【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.14．函数log (3)1(1,0)a y x a a =+-≠>的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0,0m n >>,则12m n+的最小值为____________________. 【答案】8.【解析】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得,m n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可． 【详解】解：2x =-Q 时，log 111a y =-=-，∴函数log (3)1(1,0)a y x a a =+-≠>的图象恒过定点(2,1)A --， ∵点A 在直线10mx ny ++=上，210m n ∴--+=，即21m n +=，0,0m n >>Q ，121244(2)22428n m n m m n m n m n m n m n⎛⎫∴+=++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,42m n ==时取等号． 故答案为：8 【点睛】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．【答案】3π【解析】利用四个面都是直角三角形，AB ⊥平面BCD ，且1AB BD CD ===，将三棱锥补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为1的正方体的外接球，即可求解. 【详解】根据题意，将鳖儒ABCD 补成以,,AB BD CD 为棱的正方体，边长为1的正方体的外接球半径为3，其表面积为3π. 故答案为:3π 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于基础题. 16．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．【答案】【解析】试题分析：由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，故，所以，所以实数的最大值为．【考点】导数在函数中的应用；函数的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、最值、函数的恒成立问题的求解等知识的综合应用，其中把函数，对于对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，设成新函数，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．三、解答题17．已知等比数列{}n a 是递减数列，14132a a =，2338a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若()22n n b n log a =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）12n na =；（2）13112124n n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭+. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据14132a a =和2338a a +=列出方程组，解出1a 和 q 的值即可；（2）由（1）知，12n n a =，即()()()221 2222n n n b n log a n log n n =-+=-+=+，可得()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，用裂项相消法求和即可. 【详解】()1设等比数列{}n a 的公比为q ，则14232313238a a a a a a ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2318,14a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2314,18a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2q =或12，即11162a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又为数列{}n a 是递减数列，所以112a =，12q = 故数列{}n a 的通项公式为12n na =. (2)()()()2212222n n n b n log a n log n n =-+=-+=+， 可得()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭即有前n 项和1111123111111224n n n n n T ⎛⎫=-+-+--++-+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题. 18．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()20a c cosB bcosC --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的取值范围. 【答案】（1）3B π=；（2）(]2,4.【解析】（1）利用正弦定理化简()20a c cosB bcosC --=得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，再由正弦两角和差公式和化为：()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C =+=+，再由()sin B C sinA +=得出cos B 的值即可； （2）由43sin 3b B =得出43a A =，43c C =，得到4343a c A C +=+，进而得到sin 6a c A π+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据角的范围得到sin 6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭+的范围即可.【详解】(1)Q 由()20a c cosB bcosC --=， 可得：() 2sinA sinC cosB sinBcosC -=，2sinAcosB sinBcosC cosBsinC ∴=+，可得：()2sinAcosB sin B C sinA =+=，(0,)A π∈Q ，0sinA >，∴可得12cosB =， 又由(0,)B π∈得：3B π=，(2)43sin 3b B =Q，43a A =，43c C =， Q 23A C π+=， ]434343sin sin()333a c A C A A B ∴+=+=++ 434313sin sin()sin sin 32A A A A A π⎤⎤++=+⎥⎥⎣⎦⎣⎦314cos 4sin()26A A A π⎤=+=+⎥⎣⎦，203A π<<Q ，5666A πππ<+<，可得：1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， ∴a c +的取值范围(]2,4.【点睛】本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.19．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，E 为PD 中点，(1)求证：PB P 平面EAC ； (2)求二面角 A BE C --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】（1）证明出OE PB P 即可得出PB P 平面EAC ；（2）以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-C 的正弦值． 【详解】(1)连接BD 交AC 于O ，Q 底面ABCD 为正方形，O ∴是BD 的中点，E Q 为PD 中点，OE PB P ，又EO ⊂面EAC ，PB ⊄面EAC ，∴PB EAC P 平面；(2)Q 底面ABCD 为正方形，BC AB ∴⊥，又,BC PB AB PB B ⊥⋂=，BC ∴⊥平面PAB ，BC PA ∴⊥， 同理CD PD ⊥，BC CD C ⋂=，PA ∴⊥平面ABCD ，建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,1,2,0,0A C E B ，设(),,m x y z =u r 为平面ABE 的一个法向量，又()0,1,1AE =u u u r ，()2,0,0AB =u u u r， 020n AE y z n AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩u u u v v u u uv v ，令1y =-，1z =，得()0,1,1m =-u r ， 同理()1,0,2n =r是平面BCE 的一个法向量，则10,525m n cos m n m n⋅===⨯u r r u r r ，∴二面角A BE C --的正弦值为155. 【点睛】本题考查直线与平面平行，考查二面角的平面角及求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的22⨯列联表如下:对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评 150 50 200对车辆状况不满意 6040 100 合计 21090300(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?(2)为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一-次获得1元券，获得2元券的概率分别是12,25，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 附:下边的临界值表仅供参考:()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）详见解析.【解析】（1）有22⨯列联表的数据求出2507.14310.8287K ≈<=，从而在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系； （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为110，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，分别能求出X 的分布列和数学期望. 【详解】（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()()2223006000300020010021090K n ad bc a b c d a c b d --==++++⨯⨯⨯ 507.14310.8287=≈< 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系； （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为110， X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，()2110()10100P X ===Q ，()12111121010P X C ==⨯=，()2122113325102100P X C ⎛⎫==⨯+=⎪⎝⎭()()212122243,4255525P X C P X ⎛⎫==⨯==== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列为: X1234P1100 110 33100 25 425X 的数学期望为()133241234 2.610100525E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验的应用，侧重考查离散型随机变量的期望与方差，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM 的斜率为1-，且原点到直线FM6 (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若不经过点F 的直线():0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,A B 两点，且与圆221x y +=相切.试探究ABF V 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) 2213x y += (2) ABF V 的周长为定值3【解析】（1）根据已知条件结合222a b c =+，即可求出标准方程；（2）直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得出,k m 关系，直线与椭圆联立，求出相交弦AB 长，再用两点间距离公式，求出,AF BF 长，求出 ABF V 的周长，即可判定结论. 【详解】解: (1)由题可知()(),0,0,F c M b ，则22b c -=-① 直线FM 的方程为1x y a b +=即0bx xy bc +-=226b c=+②联立①②，解得1,2b c ==2223a b c =+=，所以椭圆C 的标准方程式为2213x y +=.(2)因为直线():0,0l y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切， 211m k =+，即221m k =+设()1122(),,,A x y B x y ，联立2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()222316310k x kmx m +++-=，所以()()()222222236123111231240k m k m k m k =-+-=-+=>V， 则由根与系数的关系可得()2121222316,3131m km x x x x k k --+==++ 所以()22222122223162311431313131m km k AB k x k m k k k ⎛⎫--+⎛⎫⎪=+-=-⋅=+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又221m k =+所以22631mkAB k =-+， 因为()()2222111116221333x AF x y x x ⎛⎫=-+=-+-= ⎪⎝⎭同理263BF x =，所以)126262323mkAF BF x x +=+=所以ABF V 的周长为定值23【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查相交弦长以及焦点到椭圆上的点距离，考查计算能力，属于较难题.22．设函数()()ln xe f x a x x x=--（a 为常数）.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点0x x =，求实数a 的取值范围，并判断0x x =是()f x 在()0,1内的极大值点还是极小值点.【答案】(1) (1)y e =- (2) (),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点.【解析】（1）先求出函数的导函数()()()21110x e x f x x x x⋅-'=-+>，再求出切线的斜率(1)f '，再由直线的点斜式方程求解即可；（2）函数()f x 在()0,1内存在唯一极值点等价于方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解，再构造函数()(),0,1xe g x x x=∈，求其值域，则可得a 的范围，再利用导数确定0x x =是极大值点或者极小值点.【详解】（1）当1a =时，()ln x e f x x x x=-+，()()()21110x e x f x x x x ⋅-'=-+>，所求切线的斜率()01f '=，又(1)1f e =-.所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：(1)y e =-.（2）()()()()221111xx x e ax e x f x a x x x --⋅-⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭， 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点，则()()()210x x e ax f x x--'==在()0,1存在唯一变号零点，即方程0xe ax -=在()0,1内存在唯一解，即e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，设函数()(),0,1x e g x x x =∈，则()()210x x e g x x-'=<，()g x ∴在()0,1单调递减，又()()1g x g e >=；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e xy x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为0x ，当()00,x x ∈时，()x e g x a x => ，0xe ax ->，则()()()210x x e ax f x x--'=<，()f x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xe ax -<，则()()()210x x e ax f x x--'=>，()f x 在()0,1x 为增函数，即0x x =为函数()f x 的极小值点，综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()f x 的极小值点. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题.。
湖南省怀化市高三数学上学期期末考试试题 理 湘教版
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.时量：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1．i 是虚数单位，复数131ii--为 A ．2i + B ．2i - C ．12i -+ D ．12i -- 2．若{ }M =直线, { }N =抛物线, 则M N 的元素个数是A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 3．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为A ．+1πB ．1+2πC ．+2πD ．2+1π4．高三某班团支部换届进行差额选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、组织委员和宣传委员，并且要求乙是上届组织委员不能连任原职，则换届后不同的任职结果有 A ．16种 B ．18种 C ．20种 D ．22种5.若在区域200x y x y ⎧+-≤⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点P 恰好在单位圆221x y +=内的概率为 A ．4πB ．6π C ．8πD ．12π6.设直线l 的方程为：sin 20130x y θ+-= (R θ∈)，则直线l 的倾斜角α的范围是A ．[)0,πB ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦7．下列命题正确的有①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；②命题p ：“05,R 0200>--∈∃x x x ”的否定p ⌝：“05,R 2≤--∈∀x x x ”； ③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N , 若p P =>)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ； ④回归直线一定过样本中心（y x ,）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“理想距离”为：(,)d P Q = 1212x x y y -+-；若()y x C ,到点()3,2A 、()8,8B 的“理想距离”相等，其中实数x 、y 满足80≤≤x 、80≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和是 A ． 52B ．152C ．10D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题．．卡．中对应号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 9．计算1213x dx -⎰的值等于 ．10．如右图，点,,A B C 是圆O 上的点，且32=BC ，32π=∠BAC ，则圆O 的面积等于 ． 11．若曲线C 的极坐标方程为 θθρsin 2cos 2=，则曲线C 的普通方程为 .（二）必做题（12～16题）12．看右边程序运行后的输出结果s = ．13．已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 无公共点；命题q ：βα//， 则p 是q 的 条件． 14．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下过程： 现在加密密钥为2log (2)y x =+(>0a 且1a ≠)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问接受方接到密文“4”，则解密后得到明文为 ．15．已知a ,b ,c 成等差数列且公差不为零，则直线0ax by c -+=被圆2220x y x y +--=截得的弦长的最小值为_______．16．已知,*x y N ∈，且2112341999x y -+++++=+++++，当2x =时,y = ；若把y 表示成x 的函数，其解析式是y = .三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知(),f x m n =⋅ 设0>ω， )cos 3,cos (sin x x x m ωωω+=，)sin 2,sin (cos x x x n ωωω-=，若()f x 图象中相邻的两条对称轴间的距离等于2π． （1）求ω的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，33,2ABC a S ∆==．当()1f A =时，求,b c 的值．18．（本小题满分12分）在一次数学考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有5道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜. (1) 求该考生8道题全答对的概率； (2) 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列. 19．（本小题满分12分）正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长是3，侧棱长是3，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ． （1）求证：A 1C ⊥面AEF ；（2）求截面AEF 与底面ABCD 所成二面角θ的正切值． 20．（本小题满分13分）)京广高铁于2012年12月26日全线开通运营，808G 次列车在平直的铁轨上匀速行驶，由于遇到紧急情况，紧急刹车时列车行驶的路程()S t (单位：m )和时间t (单位：s )的关系为：2315165()ln(1)422S t t t t =-+++. （1）求从开始紧急刹车至列车完全停止所经过的时间；（2）求列车正常行驶的速度；（3）求紧急刹车后列车加速度绝对值的最大值. 21．（本小题满分13分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点． （1）求这三条曲线的方程；（2）对于抛物线上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，求a 的取值范围．22．（本小题满分13分）已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立． 设数列{}n a 的前n 项和()n f S n =， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n nn b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，n T =1231232222nn b b b b +++⋅⋅⋅+，求n T ；（3）设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数。
2020年湖南省怀化市综合中学高三数学理期末试卷含解析
2020年湖南省怀化市综合中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集，则（）A．B．C． D．参考答案：B略2. 在△ABC中，E，F分别在边AB,AC上，D为BC的中点，满足，,则cos A = ( )A．0 B．C．D．参考答案：D略3. 已知R，条件p：“”，条件q：“”，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：【答案解析】A解析：由得，所以充分性满足，当a=b=1时，但条件不成立，所以必要性不满足，则选A.【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足..4. 不等式的解集是A．（一∞，-2)U(7,+co) B．[－2，7]C．D． [－7，2]参考答案：C由得，即，所以，选C.5. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出v的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=﹣1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=6，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为6．故选：C．6. 在△中，分别为角的对边，已知成等比数列，且，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C略7. 已知函数在，点处取到极值，其中是坐标原点，在曲线上，则曲线的切线的斜率的最大值的最大值是A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知双曲线方程为,F1,F2为双曲线的左、右焦点, P为渐近线上一点且在第一象限,且满足,若,则双曲线的离心率为（）A．B．2 C. D．3参考答案：B设为坐标原点,因为,故为直角三角形,又因为为中点,故,因为,所以,故为正三角形,所以直线的倾斜角为,即,.故选.9. 如图1，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积.所以，圆环的面积等于是以线段为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长为长的矩形面积.请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B.C. D.参考答案：B略10. 若全集，，，则集合等于（）A． B． C． D．参考答案：D考点：集合的运算二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，函数y=f（x）是周期函数．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．参考答案：①③④【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据新定义，得出f（x）的周期，结合函数奇偶性的性质即可判断．【解答】解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x），∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；故①正确；②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），∴f（x+2）=f（x﹣2），∴f（x）是周期为4的函数，∴f=﹣f（1）=﹣1，故②不正确；③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x+2）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=2对称，∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），又f（x+2）=f（2﹣x），∴f（x）=f（﹣x），∴f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确；④∵f（x）具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．故答案为：①③④．12. 已知等差数列中，，，那么= ___________.参考答案：3013. 已知，对任意正数，始终可以是一个三角形的三条边，则实数m 的取值范围为．参考答案：14. 给出下列几个命题：①若函数的定义域为，则一定是偶函数；②若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值，当时，，则是减函数；④设函数的最大值和最小值分别为和，则；⑤若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是．（写出所有正确命题的序号）参考答案：①④⑤略15. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____；参考答案：2由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率.16. 随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率为 .参考答案：【知识点】几何概型．解：由已知得半圆（a＞0）则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x轴夹角小于的平面区域面积为：S1=故原点与该点的连线与x轴夹角小于的概率P===故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案．【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．17. （4分）（2015?杨浦区二模）已知是不平行的向量，设，则与共线的充要条件是实数k 等于．参考答案：±1【考点】：平行向量与共线向量；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：平面向量及应用．【分析】：利用向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．解：与共线的充要条件是存在实数λ使得，∴=λ=+，∵是不平行的向量，∴，解得k=±1．故答案为：±1．【点评】：本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
湖南省怀化市高三上学期数学期末考试试卷
湖南省怀化市高三上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)1. （2 分） (2020 高一上·南开期末) 设全集 于（ ），集合，，则等A.B.C.D. 2.（2 分）已知 轴上一点 A. B. C. D.抛物线上任意一点 ，满足则 的取值范围是（ ）3. （2 分） (2017·莱芜模拟) 设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 = 成立的充要条件 是（ ）A. =B . =2C . ∥ 且| |=| |D . ∥ 且方向相同4. （2 分） (2019 高一下·扬州期末) 已知圆，直线第 1 页 共 15 页，则直线 与圆 的位置关系（ ） A . 相离 B . 相切 C . 相交 D . 以上皆有可能 5. （2 分） (2016 高一下·天津期中) 给出集合序列{1}，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，…，设 Sn是第 n 个集合中元素之和，则 S21 为（ ） A . 1113 B . 4641 C . 5082 D . 53366. （2 分） 定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+1）=f（﹣x），当 x∈（0， ]时，f（x）= （1﹣x）， 则 f（x）在区间（1， ）内是（ ）A . 减函数且 f（x）＞0 B . 减函数且 f（x）＜0 C . 增函数且 f（x）＞0 D . 增函数且 f（x）＜0 7. （2 分） 已知函数 f（x）=sin（2x+ ），为了得到函数 g（x）=sin2x 的图象，只需将函数 y=f（x）的图 象（ ） A . 向右平移 个单位长度B . 向右平移 个单位长度第 2 页 共 15 页C . 向左平移 个单位长度D . 向左平移 个单位长度 8. （2 分） (2018 高三上·三明期末) 数学的美无处不在，如图所示，这是某种品牌轿车的标志．在此标志 中左右对称的两条黑色曲线可以近似地看成双曲线的部分图形．若左边等腰三角形的两腰所在直线是双曲线的渐近 线，且等腰三角形的底约为 4 个单位，高约为 3 个单位，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.9. （2 分） (2019 高一上·鹤壁期中) 已知函数，若方程有5 个解，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)第 3 页 共 15 页10.（1 分）(2019 高二下·佛山月考) 已知，其中 为虚数单位，则________.11. （1 分） (2017 高二下·夏县期末) 若，则 =________12. （1 分） (2015·河北模拟) 已知正实数 x，y 满足 2x+y=2，则的最小值为________．13. （1 分） 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2，则球的表面积是________．14. （1 分） (2017·长春模拟) 《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金 箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均 匀变化）长 5 尺，截得本端 1 尺，重 4 斤，截得末端 1 尺，重 2 斤．问金杖重多少？”则答案是________．15. （1 分） 已知向量 和 不共线，实数 x，y 满足三、 解答题 (共 5 题；共 65 分)，则 x+y=________．16. （10 分） (2017 高一下·运城期末) 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC+ ﹣b﹣c=0．asinC（1） 求角 A；（2） 若 a=2，△ABC 的面积为 ，求 b，c．17. （15 分） (2020 高二下·天津期中) 2018 年国际乒联总决赛在韩国仁川举行，比赛时间为 12 月 13﹣ 12 月 16 日，在男子单打项目，中国队准备选派 4 人参加.已知国家一线队共 6 名队员，二线队共 4 名队员.（1） 求恰好有 3 名国家一线队队员参加比赛的概率；（2） 设随机变量 X 表示参加比赛的国家二线队队员的人数，求 X 的分布列；（3） 男子单打决赛是林高远（中国）对阵张本智和（日本），比赛采用七局四胜制，已知在每局比赛中，林高远获胜的概率为 ，张本智和获胜的概率为 林高远获得男子单打冠军的概率.，前两局比赛双方各胜一局，且各局比赛的结果相互独立，求18. （15 分） (2018 高二上·桂林期中) 如图，正方体中，第 4 页 共 15 页（1） 求证：平面（2） 求直线 与平面； 所成角的正弦值.19. （10 分） (2019·呼伦贝尔模拟) 已知椭圆 ： 椭圆截得的弦长为 .离心率为 ，直线被（1） 求椭圆方程；（2） 设直线 的中垂线恒过定点.交椭圆 于 ， 两点，且线段 的中点 在直线上，求证：线段20. （15 分） (2016 高二下·黔南期末) 设函数 f（x）= x2﹣mlnx，g（x）=x2﹣（m+1）x，m＞0． （1） 求函数 f（x）的单调区间； （2） 当 m≥1 时，讨论函数 f（x）与 g（x）图象的交点个数．第 5 页 共 15 页一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点： 解析：第 6 页 共 15 页答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 7 页 共 15 页答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：第 8 页 共 15 页解析： 答案：9-1、 考点： 解析：二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)答案：10-1、 考点： 解析：第 9 页 共 15 页答案：11-1、 考点： 解析： 答案：12-1、 考点：解析： 答案：13-1、 考点：解析： 答案：14-1、 考点：第 10 页 共 15 页解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共65分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
20-20学年湖南省怀化市高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年湖南省怀化市高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,0，1，2}，则A∩B=()A. {−1,0}B. {0,1}C. {1,2}D. {0,1，2}2.已知复数z满足z+z⋅i=2(其中i为虚数单位)，则z的虚部为()A. −1B. 1C. −iD. i3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为()A. 15B. 20C. 25D. 304.过点(1,−3)且平行于直线x−2y+3=0的直线方程为()A. x−2y−7=0B. 2x+y+1=0C. x−2y+7=0D. 2x+y−1=05.执行如图所示的程序框图，若输入的x∈[−2,1]，则输出的y的取值范围是()A. [−8,0]B. [−8,2]C. [−7,2]D. [−1,2]6.在区间[−12 ,12]上随机取一个数x，则cosπx的值介于√22与√32之间的概率为()A. 13B. 14C. 15D. 167.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是()A. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B. 与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长C. 2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个8.定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且当x≥0时f(x)={−x 2+1,0≤x<12−2x,x≥1，则f(−2)的值为()A. −3B. −2C. 2D. 39.已知命题p：∃x∈R，sinx=32；命题q：∀x∈R，x2−4x+5>0，则下列结论正确的是()A. 命题p∧q是真命题B. 命题p∧￢q是真命题C. 命题￢p∧q是真命题D. 命题￢p∨￢q是假命题10.己知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a3=5−a2，则S4=()A. 9B. 10C. 11D. 1211.已知向量a⃗=(cosx−sinx,√2)，b⃗ =(cosx+sinx,−√2)(x∈R)，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ 是()A. 周期为π的偶函数B. 周期为π的奇函数C. 周期为π2的偶函数 D. 周期为π2的奇函数12.若函数f(x)满足xf′(x)−f(x)=x3e x，f(1)=0，则当x>0时，f(x)()A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值又无极小值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3，则z =2x −y 的最大值为______．14. 函数f(x)=log a (3x −2)+2(a >0且a ≠1)恒过的定点坐标为___．15. 已知在四面体ABCD 中，AB =1，BC =CD =√3，AC =√2，CD ⊥平面ABC ，则四面体ABCD的外接球的表面积为________． 16. 如图，双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∠ABF =π6，则双曲线的离心率e 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知首项为12的等比数列{a n }是递减数列，且a 1，32a 2，2a 3成等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+n ，n ∈N ∗． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n =b n+12⋅log 2a n ，求数列{1c n}的前n 项和T n ．18. 三角形的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A −C)+cosB =1，a =2c ．(Ⅰ)求C 角的大小；(Ⅱ)若a =√2，求△ABC 的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，棱PA⊥底面ABCD，且AB⊥BC，AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：ED//平面PAB；(2)求三棱锥A−PDE的体积．20.目前有声书正受着越来越多人的喜爱．某有声书公司为了解用户使用情况，随机选取了100名用户，统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况入如图．有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”，将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”．(1)完成下面的列联表，并据此材料，能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”．(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0).当l⊥x轴时，△ABM的面积为√22．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM、BM的斜率分别为k1、k2，问：k1+k2是否是定值？若是，请求出定值；若否，请说明理由．22.已知函数f(x)=(x2−x−1)e x．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|0<x<4}；∴A∩B={1,2}．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：解：由z+z⋅i=(1+i)z=2，得z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴z的虚部为−1．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题先求出高三学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，得到应从高三年级抽取的学生人数．．解：高三学生在总体中所占的比例为43+3+4=25，故应从高三年级抽取的学生人数为50×25=20，故选B．4.答案：A解析：设与直线x−2y+3=0平行的直线方程为x−2y+c=0，把点(1,−3)代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程．本题主要考查利用待定系数法求直线的方程，属于基础题．解：设与直线x −2y +3=0平行的直线方程为x −2y +c =0，把点(1,−3)代入可得1+2×3+c =0，c =−7，故所求的直线的方程为x −2y −7=0， 故选A ．5.答案：B解析：解：由程序框图知，该程序运行后输出函数y ={2x −x 2,x ≤03x −1,x >0，输入x ∈[−2,1]时，当x ∈[−2,0]时，y =−x 2+2x =−(x −1)2+1∈[−8,0]； 当x ∈(0,1]时，y ∈(−1,2]； 综上所述，y 的取值范围是[−8,2]． 故选：B ．由题意知该程序运行后输出分段函数y ，根据输入x 的取值范围求出函数y 的值域即可． 本题主要考查了程序框图、条件结构、分段函数的应用问题，是基础题．6.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率求法；关键是求出满足条件的测度，利用公式解答．由题意，本题符合几何概型，只要分别求出满足条件的区间的长度，利用概率公式解答即可．解：区间[−12,12]的长度为1，满足则cosπx 的值介于√22与√32之间x ∈(−14,−16)∪(16,14)，区间长度为16，由几何概型的概率可求cosπx 的值介于√22与√32之间的概率为161=16． 故选D ．7.答案：D解析：此题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.，属于基础题．根据条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况进行解答．解：A.由图知，2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省，故A 正确； B .由图知，与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，故B 正确； C .去年同期河南省的GDP 总量为：4067.41+6.6％≈3815.6，不超过4000亿元，故C 正确；D .2018年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的城市有2个，江苏和河南，分别居第一位和第四位，故D 错误． 故选D ．8.答案：B解析：本题考查分段函数的解析式以及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题． 根据题意，由函数的解析式计算f(2)的值，又由f(−2)=f(2)，即可得答案． 解：根据题意，当x ≥0时f (x )={−x 2+1,0≤x <12−2x ,x ≥1，则f(2)=2−22=−2，又由函数f(x)满足f(−x)=f(x)， 则f(−2)=f(2)=−2． 故选B ．9.答案：C解析：根据复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键． 解：由题意得，因为−1≤sinx ≤1，所以命题p 是假命题，所以￢p 为真命题； 又因为x 2−4x +5=(x −2)2+1>0恒成立， 所以命题q 为真命题， 所以命题￢p ∧q 是真命题， 故选C ．10.答案：B解析：本题考查等差数列中等差中项的概念及其应用，属于基础题． 解：由a 3=5−a 2，∴a 2+a 3=5 S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 2+a 3)=10， 故选B ．11.答案：A解析：解：f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ =(cosx −sinx)(cosx +sinx)−2=cos 2x −sin 2x −2=cos2x −2． ∴f(x)的周期为π．∵f(−x)=cos(−2x)−2=cos2x −2=f(x)， ∴f(x)是偶函数． 故选A ．利用数量积公式和二倍角公式化简f(x)．本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，属于基础题．12.答案：B解析：本题主要考查利用导数研究函数的极值，难点在于根据已知条件构造函数，属中高档题，难度较大． 常用的有： f(x)+xf′(x)，构造xf(x)； 2xf(x)+x 2f′(x)，构造x 2f(x)； xf′(x)−f(x)，构造f(x)x； f′(x)−f(x)，构造f(x)e x； f′(x)+f(x)，构造e x f(x)等等．此处[f(x)x]′=xe x ,f(x)x=(x −1)e x +C(C 为常数)，根据f(1)=0可求得C ，确定f(x)的解析表达式，然后利用导数研究单调性，进而确定极值的情况． 解：由题设知，当x >0时，，可得f(x)x=(x −1)e x +C(C 为常数)，又f(1)=0，得C =0，所以f(x)=x(x −1)e x ． 又f′(x)=(x 2+x −1)e x ，令f′(x)=0，解得x =√5−12或x =−√5−12(舍去)．所以当x >0时，x ∈(0,√5−12)，f′(x)<0，，f′(x)>0，所以当x >0时，f(x)有极小值f(√5−12)，无极大值．故选B .13.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最大值． 解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z 经过点A 时， 直线y =2x −z 的截距最小，此时z 取得最大值， 由{x =3x +y −1=0，解得A(3,−2)， 将C 的坐标代入z =2x −y ，得z =8， 即目标函数z =2x −y 的最大值为8． 故答案为：8．14.答案：(1,2)解析：解：由于函数y =log a x 过定点(1,0)，即x =1，y =0故函数f(x)=log a (3x −2)+2(a >0且a ≠1)中，令3x −2=1，可得x =1，y =2， 所以恒过定点(1,2)， 故答案为：(1,2)．根据函数y =log a x 过定点(1,0)，求出函数f(x)的图象所经过的定点．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，利用了函数y =log a x 过定点(1,0)，属于基础题．15.答案：6π解析：本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题目． 把四面体扩展为长方体，求出长方体的体对角线的长，就是外接球的直径，然后求出表面积． 解：因为AB =1，BC =√3，AC =√2， 由勾股定理可得AB 2+AC 2=BC 2， 所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形． 因为CD ⊥平面ABC ，所以四面体ABCD 的外接球就是长、宽、高分别为1，√2，√3的长方体的外接球， 则其外接球的直径为2R =√AB 2+AC 2+CD 2=√6， 所以四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=6π． 故答案为6π．16.答案：√3+1解析：解：FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AF ⊥BF ， 在Rt △ABF 中，|OF|=c ， ∴|AB|=2c ，在直角三角形ABF 中，∠ABF =π6，可得|AF|=2csin π6=c ，|BF|=2ccos π6=√3c ，取左焦点F′，连接AF′，BF′，可得四边形AFBF′为矩形， ∴||BF|−|AF||=|AF′|−|AF|=√3c −c =2a ， ∴e =ca2√3−1=√3+1．故答案为：√3+1运用三角函数的定义可得|AF|=2csinπ6=c，|BF|=2ccosπ6=√3c，取左焦点F′，连接AF′，BF′，可得四边形AFBF′为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3c−c=2a，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q<1)，∵a1，32a2，2a3成等差数列，∴3a2=a1+2a3，∴3×12q=12+2×12q2，即2q2−3q+1=0，解得q=12，或q=1(舍去)，∴a n=12n；∵S n=n2+n，∴S n−1=(n−1)2+n−1(n≥2)，∴b n=S n−S n−1=2n(n≥2)，∵S1=12+1=2=b1，∴b n=2n(n∈N∗).(2)c n=b n+12⋅log2a n=12×2(n+1)⋅log22−n=−n(n+1)，∴1c n =−(1n−1n+1)，∴T n=−(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=−(1−1n+1)=−nn+1．解析：本题考查了数列的通项公式和裂项求和，属于较易题．(1)设等比数列{a n}的公比为q(q<1)，根据等差中项的性质得到2q2−3q+1=0，解得即可求出数列{a n}的通项公式，由求和公式得到b n=S n−S n−1=2n(n≥2)，再验证n=1是否成立；(2)根据对数的运算性质得到c n=−n(n+1)，即可得到1c n =−(1n−1n+1)，根据裂项求和即可求出数列{1cn}的前n项和T n．18.答案：解：(Ⅰ)因为A+B+C=180°，所以cos(A+C)=−cosB，因为cos(A−C)+cosB=1，所以cos(A−C)−cos(A+C)=1，展开得：cosAcosC+sinAsinC−(cosAcosC−sinAsinC)=1，所以2sinAsinC=1．因为a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式可得：4sin2C=1，所以sinC=12，因为C为三角形的内角，且A>C，所以C=30°；(Ⅱ)由(Ⅰ)得sinA=2sinC=1，∴A=π2，∵a=√2，a=2c，C=30°，∴c=√22，b=√62，∴S△ABC=12bc=12×√62×√22=√34．解析：(Ⅰ)根据cos(A−C)+cosB=1，可得cos(A−C)−cos(A+C)=1，展开化简可得2sinAsinC=1，由a=2c，根据正弦定理得：sinA=2sinC，代入上式，即可求得C角的大小；(Ⅱ)确定A，进而可求b，c，利用三角形的面积公式，可求△ABC的面积．本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．19.答案：证明：(1)取PB中点H，连接AH、EH，∵E，H分别为面PC，PB的中点，∴HE//BC，且HE=12BC，又∵AD//BC，且AD=12BC，∴AD//HE，且AD=HE，∴四边形AHED是平行四边形，∴AH//DE，又AH⊂平面PAB，又DE⊄平面PAB，∴DE//平面PAB.…(6分)解：(2)由(1)知，BC⊥PB，∴AD⊥PB，又PB⊥AH，且AH∩AD=A，∴PB⊥平面ADEH，∴PH是三棱锥P−ADE的高，又可知四边形ADEH为矩形，且AD=1，AH=√2，…(9分)∴三棱锥A−PDE的体积：V A−PDE=V P−ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH=13×√22×√2=13.…(12分)解析：(1)取PB中点H，连接AH、EH，推导出四边形AHED是平行四边形，从而AH//DE，由此能证明DE//平面PAB．(2)由BC⊥PB，得AD⊥PB，从而PB⊥平面ADEH，PH是三棱锥P−ADE的高，三棱锥A−PDE的体积：V A−PDE=V P−ADE=13×S△ADE×AH=13×12×S矩形ADEH×AH，由此能求出结果．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)根据题意填写列联表如下；根据列联表中数据，计算K2=100×(24×30−40×6)230×70×64×36≈4.76，因为4.76>3.841，所以有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关；(2)由分层抽样可知，抽取的5人中有4人为“年轻用户”，记为a、b、c、d，1人为“非年轻用户”，记为E，从这5人中随机抽取2人，基本事件为ab、ac、ad、aE、bc、bd、bE、cd、cE、dE共10个基本事件，满足抽取的2人恰好都是“年轻用户”的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd共6个，所以所求的概率值为P=610=35．解析：(1)根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(2)由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．21.答案：解：(1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1,0)，依题意得c 2=a 2−b 2=1，即b 2=a 2−1， 所以当x =1时，解得y =±a 2−1a ，当l ⊥x 轴时，|AB|=2(a 2−1)a， 因为|MF|=1，所以S △ABM =12|AB|×|MF|=a 2−1a=√22，解得a 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)当l 与x 轴重合时，k 1=k 2=0，满足条件；当l 与x 轴垂直时，满足条件， 当l 与x 轴不重合且不垂直时，设l 为y =k (x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 把l 代入x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，则x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，因为k 1+k 2=y 1x1−2+y 2x 2−2=2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k(x 1−2)(x 2−2)， 而2kx 1x 2−3k(x 1+x 2)+4k =2k(2k 2−2)2k 2+1−3k⋅4k 22k 2+1+4k =4k 3−4k−12k 3+8k 3+4k2k 2+1=0，所以k 1+k 2=0解析：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． (1)依题意c 2=a 2−b 2=1，从而当x =1时，y =±a 2−1a，当l ⊥x 轴时，|AB|=2(a 2−1)a，由△ABM 的面积为√22，得a 2=2，由此能求出椭圆C 的标准方程．(2)当l 与x 轴重合时，k 1=k 2=0，满足条件；当l 与x 轴垂直时，满足条件，当l 与x 轴不重合且不垂直时，设l 为y =k(x −1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把l 代入x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2−4k 2x +2k 2−2=0，利用韦达定理，结合已知条件能求出k 1+k 2=0．22.答案：解：(1)f ′(x)=(2x −1)e x +(x 2−x −1)e x=(x 2+x −2)e x =(x +2)(x −1)e x ， ∴f ′(1)=0，又f(1)=−e ， ∴切线方程为y +e =0，∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y +e =0． (2)令f ′(x)=(x +2)(x −1)e x =0，解得x=−2，或1，列表如下：由表格可得：x=−2时，函数f(x)取得极大值f(−2)=5，e2x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=−e．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)f′(x)=(x+2)(x−1)e x，可得f′(1)=0，又f(1)=−e，即可得出切线方程；(2)令f′(x)=(x+2)(x−1)e x=0，解得x=−2或1，列表即可得出单调性与极值．。
湖南省怀化市2020届高三上学期期末考试理数答案(1)
22
解：（1）当 a 1时，
f
x
ex x
x ln x ，
f
x
ex
x
x2
1
1
1 x 0 ，
x
所求切线的斜率 f (1) 0 ，又 f (1) e 1 .
所以曲线 y f (x) 在 x 1处的切线方程为 y (e 1) . ................................................4 分
可得： sin( A π ) (1 ,1] ，∴ a c 的取值范围 (2, 4] ．.............................12 分 62
19 证明：(1）连接 BD, BD AC O . ∵底面 ABCD 为正方形,∴ O是BD的中点，
E 为 PD 中点
EO 面EAC，PB 面EAC PB / /面EAC ...........................5 分 (2)∵底面 ABCD 为正方形，∴ BC AB ， 又 BC PB, AB PB B ，∴ BC 平面PAB ，∴ BC PA . 同理 CD PA, BC CD C ，∴ PA 平面ABCD .............................6 分 建立如图的空间直角坐标系 A xyz ，不妨设正方形的边长为 2...........................7 分
e
1
sin cos
1
2
sin
4
12
,
6
,
4
3
,
5 12
2 sin
4
6, 2
3 1
2
，e
3 1,
6 3
2020年1月湖南省怀化市2020届高三上学期期末考试数学(文)参考答案
2020年怀化市高三期末考试统一检测试卷数 学（文 科）参考答案一、选择题（5分×12=60分）12.提示：()()23,21,g x x x g x x '''=-+=-令()10,,2g x x ''==得且112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,12y g x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭关于点对称，()()12g x g x ∴+-=，122019=202020202020S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令201920181=202020202020S g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1201922018201912=+++=22019202020202020202020202020S g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=2019S ∴二、填空题（5分×4=20分）13. 8 ； 14.8 ; 15.3π； 16.1⎤⎦.16提示：取双曲线的左焦点为E ，连接,,AE BE 易得四边形AEBF 为矩形，2AB c ∴=,在2sin ,2cos Rt ABF AF c BFc αα==中，，由双曲线定义和对称性知2BF AF AE AF a -=-=，()2sincos 2c aαα∴-=， 1sin cos e αα∴==-,,,1264612πππππαα⎡⎤⎡⎤∈-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1,422πα-⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，1.e ⎤∴∈⎦三、解答题（本大题共6个小题，共70分.）17解：(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则1423231,323,8a a a a a a ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得231,814a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或231,41,8a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2q =或12,即11,162a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又因为数列{}n a 是递减数列，所以111,.22a q == 故数列{}n a 的通项公式为n1.2n a =………………5分 （2）2(1)log (1)n n b n a n n =-+=+，可得1111(1)1n b n n n n ==-++，……………7分即有前n 项和2311111121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++．…………10分18解：(1)∵由(2)cos cos 0a c B b C --=可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=..........1分 ∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+可得：2sin cos sin()sin A B B C A =+=............3分 ∵(0,π),sin 0A A ∈>∴可得1cos 2B =.....................5分 又由(0,π)B ∈得π3B =又由(0,π)B ∈得π3B =...........................6分 (2)由余弦定理及已知得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-................8分4123ac ∴=-8.3ac ∴=....................10分∴1sin 23S ac B ==................12分19证明：(1）连接BD AC O 交于.∵底面ABCD 为正方形,∴O BD 是的中点，E 为PD 中点,//,OE PB .....................4分又EO EAC PB EAC ⊂⊄面，面//PB EAC ∴面.....................6分(2)=2PA ABCD PA ⊥平面，且.，又E 为PD 的中点，∴E 到平面ABC 的距离为1，……………8分在正方形ABCD 中，AB=BC=2,1222,2ABC S ∆∴=⨯⨯=................10分 1221.33C ABE E ABC V V --∴==⨯⨯=................12分20解：(1).由22⨯列联表的数据,有2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2300(60003000)20010021090-=⨯⨯⨯ .................2分 507.14310.8287=≈< ..................................4分 因此,在犯错误的概率不超过0.001的前提下,不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系. ...............6分(2)2张一元券分别记为A,B,其余3张券分别记为a,b,c.......................7分 则从5张骑行券中随机选取2张的所有情况为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,.A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c共10种...................9分记“选取的2张券中至少有1张是一元券”为事件M ，则事件M 包含的基本事件个数为7，()7.10P M ∴=..............................12分21解:(1)由题可知()(),0,0,F c M b，则b c -=...........1分直线FM 的方程为1x yc b +=即0bx xy bc +-==②.............2分联立①②，解得1,b c ==，又2223a b c =+=， 所以椭圆C 的标准方程式为2213x y +=.................4分 (2)因为直线():0,0l y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+.............5分设()()1122,,,A x y B x y ，联立2213x y y kx m ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩得()()222316310k x kmx m +++-=，所以()()22223612311k m k m ∆=-+-()221231k m =-+2240k =>，则由根与系数的关系可得()2121222316,3131m km x x x x k k --+==++，..................7分所以12AB x -=，又221m k =+所以31AB k =+，..........................9分因为AF ==1，同理2BF x =,所以)1231AF BF x x k +=+=+.............11分所以ABF △的周长为定值...........12分22解：（1）当1a =时，()ln f x x x =-+，()()110f x x x'=-+>，..............1分 所求切线的斜率(1)0f '=，又(1)1f =-......................2分所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y =-........................4分 （2）()()()()221111--⋅-⎛⎫'=--=⎪⎝⎭xx x e ax e x g x a x x x ................5分 又()0,1x ∈，则要使得()f x 在()0,1内存在唯一极值点， 则()()()210--'==x x e ax g x x在()0,1存在唯一零点，即方程0x e ax -=在()0,1内存在唯一解， ,,∴=∴=x xe e ax a x 即ex y x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点.设函数()(),0,1=∈xe h x x x ，则()()210-'=<x x e h x x， ()∴h x 在()0,1单调递减， 又()()1>=h x h e ；当0x →时，()g x →+∞(),a e ∴∈+∞时，e x y x=与y a =在()0,1范围内有唯一交点，设为0x .当()00,x x ∈时，()=>xe h x a x ，0x e ax ->，则()()()210--'=<x x e ax g x x ，()g x 在()00,x 为减函数；当()0,1x x ∈时，0xe ax -<，则()()()210--'=>x x e ax g x x，()g x 在()0,1x 为增函数.即0x x =为函数()g x 的极小值点.综上所述：(),a e ∈+∞，且0x x =为函数()g x 的极小值点.....................12分。
2019-2020学年湖南省高三(上)期末数学试卷(理科)及答案
2019-2020学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1＜x≤9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（3，9）C．[3，9]D．∅2．（5分）已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（5分）设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b4．（5分）函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．5．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）设m，n，l为三条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α7．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．ln10B．2ln3C．ln7D．3ln28．（5分）已知函数f（x）＝3|x﹣a|+2，且满足f（5+x）＝f（3﹣x），则f（6）＝（）A．29B．11C．3D．59．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，F A为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．810．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x ＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣211．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624B．1198C．1024D．156012．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N 分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：①AC⊥BD；②MN∥平面ABD；③三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为；④AD与BC一定不垂直．其中所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a3＝36，则a2＝．14．（5分）已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．15．（5分）（2x3﹣）8的展开式中常数项是．（用数字表示）16．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，若sin∠F1PF2＝2sin ∠PF1F2，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（3a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求sin B；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．（1）证明：BP⊥平面DCP．（2）三棱锥D﹣BPC的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣E的余弦值．19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转，交曲线C于点N，求|OM|•|ON|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x﹣2；（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．2019-2020学年湖南省高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|1＜x≤9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（1，3）B．（3，9）C．[3，9]D．∅【分析】根据交集补集的定义即可求出．【解答】解：∵A＝{x|x≥3}，∴∁R A＝{x|x＜3}，∵B＝{x|1＜x≤9}，∴（∁R A）∩B＝{x|1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）已知复数，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求|z|．【解答】解：∵，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）设，，，则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：因为，，，所以b＜c＜a，故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4．（5分）函数f（x）＝cos2（x+）的最小正周期为（）A．B．2πC．πD．【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据余弦函数的周期性得出结论．【解答】解：因为，所以它的最小正周期为＝π，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题．5．（5分）左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为（）A．B．C．D．【分析】骰子向上为6点的概率为，硬币向上为正面的概率为，由此能求出所求事件的概率．【解答】解：骰子向上为6点的概率为，硬币向上为正面的概率为，故所求事件的概率为．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）设m，n，l为三条不同的直线，a，β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【分析】直接利用线面垂直和线面平行之间的转换求出结果．【解答】解：对于选项A选项中，m，n可能异面；故错误．对于选项B选项中，α，β也可能平行或相交；故错误．对于选项D选项中，只有m，n相交才可推出l⊥α．故错误．对于选项C，由于m⊥α，n⊥β，则，直线m和n可以看做是平面α和β的法向量，由于α⊥β，所以m⊥n，故正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和线面平行之间的转换，主要考查学生的转换能力及思维能力和空间想象能力，属于基础题型．7．（5分）若执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（）A．ln10B．2ln3C．ln7D．3ln2【分析】模拟运行程序框图中的程序，即可得出S的算式，计算即可．【解答】解：运行程序框图中的程序，可得S＝ln+ln+ln+…+ln＝ln×××…×＝ln8＝3ln2．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的运行问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝3|x﹣a|+2，且满足f（5+x）＝f（3﹣x），则f（6）＝（）A．29B．11C．3D．5【分析】根据题意得到f（x）关于x＝4对称，求出a，再代入x＝6，求出即可【解答】解：因为f（5+x）＝f（3﹣x），所以f（x）的图象关于x＝4对称，所以x＝4时，3|4﹣a|＝1，a＝4，f（6）＝3|6﹣4|+2＝9+2＝11，故选：B．【点评】考查函数对称性，求函数的解析式，函数求值，中档题．9．（5分）已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，F A为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则|AF|＝（）A．16B．10C．12D．8【分析】根据题意可知AD⊥BD，利用抛物线的定义，可得∠ABD＝30°，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．【解答】解：因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，AD⊥BD．由抛物线定义知，所以∠ABD＝30°．因为F到准线的距离为6，所以|AF|＝|BF|＝2×6＝12．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，则曲线y＝f（x）在x ＝﹣1处的切线方程为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x+2C．y＝x D．y＝x﹣2【分析】依题意，可求得x＜0时的解析式为f（x）＝﹣xln（﹣x）+1，求导，可得曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线的斜率，继而可得答案．【解答】解：因为函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝xlnx+1，所以当x＜0时，﹣x＞0，所以f（x）＝f（﹣x）＝﹣xln（﹣x）+1，所以f（﹣1）＝1，又f'（x）＝﹣ln（﹣x）﹣1，所以f'（﹣1）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为y＝﹣x．故选：A．【点评】本题考查利用导数求曲线某点的切线方程，利用导数求得切线的斜率是关键，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624B．1198C．1024D．1560【分析】设该数列为{a n}，令b n＝a n+1﹣a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n＝b n+1﹣b n，设{c n}的前n项和为∁n．运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n项自然数的平方和公式，计算可得所求．【解答】解：设该数列为{a n}，令b n＝a n+1﹣a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n＝b n+1﹣b n，设{c n}的前n项和为∁n．易c n＝n，，进而得，所以，则，所以a n+1＝1+B n，所以a19＝1024．故选：C．【点评】本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题．12．（5分）在三棱锥D﹣ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N 分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：①AC⊥BD；②MN∥平面ABD；③三棱锥A﹣CMN的体积的最大值为；④AD与BC一定不垂直．其中所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①④D．①②④【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间中的平行与垂直关系，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：设AC的中点为O，连接OB、OD，如图所示；则AC⊥OB，AC⊥OD，又OB∩OD＝O，所以AC⊥平面OBD，所以AC⊥BD，故①正确；因为MN∥BD，所以MN∥平面ABD，故②正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，V三棱锥A﹣CMN最大，最大值为V三棱锥A﹣CMN＝V三棱锥N﹣ACM＝××＝，故③错误；若AD与BC垂直，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，又BD⊥AC，所以BD⊥平面ABC，所以BD⊥OB，因为OB＝OD，所以显然BD与OB不可能垂直，故④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：D．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝1，a3＝36，则a2＝±6．【分析】结合已知及等比数列的通项公式可求公比q，进而可求【解答】解：设{a n}的公比为q，由a1＝1，a3＝36，得q2＝36，所以q＝±6，故a2＝±6．故答案为：±6【点评】本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题14．（5分）已知向量，的夹角为θ，则sinθ＝．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得sinθ的值．【解答】解：∵向量，的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣，∴sinθ＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．15．（5分）（2x3﹣）8的展开式中常数项是112．（用数字表示）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：（2x3﹣）8的展开式的通项为：T r+1＝C8r（2x3）8﹣r（﹣）r＝28﹣r（﹣1）r C8r x24﹣4r，令24﹣4r＝0，解得r＝6，则（2x3﹣）8的展开式中常数项是28﹣6（﹣1）6C86＝112，故答案为：112．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．16．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，它们在第一象限的交点为P，若sin∠F1PF2＝2sin ∠PF1F2，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则该双曲线的离心率为．【分析】根据椭圆和双曲线的定义结合条件，建立关于双曲线的离心率的方程，然后求出双曲线的离心率．【解答】解：设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，|F1F2|＝2c，由正弦定理，得．∵sin∠F1PF2＝2sin∠PF1F2，∴|F1F2|＝2|PF2|，∴|PF2|＝c．∵|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝2a1﹣c＝2a2+c，∴a1＝a2+c．又∵，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆、双曲线的定义，双曲线离心率的求法和正弦定理，考查了转化思想，属中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（3a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求sin B；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）先对已知等式边化角，在利用两角和的正弦公式即可求解；（2）先利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）因为（3a+c）cos B+b cos C＝0，所以3sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，所以3sin A cos B＝﹣（sin B cos C+sin C cos B）＝﹣sin A．因为sin A＞0，所以，所以；（2）由余弦定理得，因为，所以，即3c2+2c﹣21＝（c+3）（3c﹣7）＝0，所以．所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理，是中档题．18．（12分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．（1）证明：BP⊥平面DCP．（2）三棱锥D﹣BPC的体积最大时，求二面角B﹣PD﹣E的余弦值．【分析】（1）先证明DC⊥平面BPC，得到BP⊥DC，再证明线面垂直即可；（2）以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面BDP和平面EDP的法向量，利用夹角公式求出即可．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，且ABCD是正方形，所以DC⊥平面BPC，因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC，因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC，又DC∩PC＝C，所以BP⊥平面DCP；（2）解：根据题意，当点P位于BC的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D﹣BPC的体积也最大，不妨设BC＝2，记AD中点为G，以E为原点，分别以EB，EP，EG所在直线为为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，2），P（0，1，0），，设平面BDP的法向量为，则令x＝1，得，设平面DEP的法向量为，，令a＝2，得，所以cos＜＞＝，由图可知，二面角B﹣PD﹣E为锐角，故二面角B﹣PD﹣E的余弦值为．【点评】考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理和性质定理，向量法求二面角的余弦值，中档题．19．（12分）生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60．（1）完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，进一步了解情况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X 的分布列及数学期望．附：P（K2≥k）0.150.050.010.001 k 2.072 3.841 6.63510.828（其中n＝a+b+c+d）．【分析】（1）由头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的概率为0.525，计算可得头胎为女孩的总户数和生二孩的总户数，可得2×2列联表，再由K2的计算公式可判断结论；（2）按照分层抽样的方法，计算可得X的可能取值为1，2，3，4．再由古典概率的计算公式，以及数学期望公式，计算可得所求．【解答】解：（1）因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100．因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105．2×2列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩6040100头胎为男孩4555100合计10595200K2＝＝＞3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．（2）在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X的可能取值为1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝；P（X＝4）＝＝．X的分布列为X1234PEX＝1×+2×+3×+4×＝．【点评】本题考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．20．（12分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，MN为该椭圆的一条垂直于x轴的动弦，直线m：x＝4与x轴交于点A，直线MF2与直线AN的交点为B．（1）证明：点B恒在椭圆C上．（2）设直线n与椭圆C只有一个公共点P，直线n与直线m相交于点Q，在平面内是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由题意求出A，F2点的坐标，设M，N的坐标，求出直线MF2，AN的方程，两条直线联立求出交点B，代入椭圆方程恰好成立，证得B在椭圆上；（2）分直线n的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线n的方程，与直线m联立求出Q点的坐标，与椭圆联立，由题意判别式为0，可得参数之间的关系，及切点P的坐标，假设存在定点T，设T的坐标，由恒成立，则＝0，可得T的坐标的关系，与判别式等于0联立求出存在T使得恒成立．【解答】解：（1）证明：由题意知F2（1，0），A（4，0），设M（s，t），N（s，﹣t），则＝1，t2＝3（1﹣）．直线MF2的方程为y＝（x﹣1），直线AN的方程为y＝（x﹣4），联立可得x B＝，y B＝，即B的坐标为（，）．因为+＝＝＝＝1，所以B点恒在椭圆C上．（2）解：．当直线n的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n的方程为y＝kx+b，由对称性可知，若平面内存在定点T，使得∠PTQ＝恒成立，则T一定在x轴上，故设T（x0，0），由可得（3+4k2）x2+8kbx+4b2﹣12＝0．因为直线n与椭圆C只有一个公共点，所以△＝64k2b2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＝48（4k2﹣b2+3）＝0，可得b2＝3+4k2，所以x P＝﹣，y P＝kx P+b＝．又因为Q（4，4k+b），∠PTQ＝，所以＝（﹣﹣x0，）•（4﹣x0，4k+b）＝0，即（x0+）（x0﹣4）+＝0，所以x02﹣4x0+3+（4x0﹣4）＝0，对于任意的满足4k2﹣b2+3＝0 的k，b恒成立，所以解得x0＝1．故在平面内存在定点T（1，0），使得∠PTQ＝恒成立．【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中档题．21．（12分）已知函数有两个不同的极值点x1，x2．（1）求a的取值范围．（2）求f（x）的极大值与极小值之和的取值范围．（3）若，则f（m）﹣f（n）是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由．【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在的条件，结合二次方程的根的存在条件即可求解；（2）结合（1）可先表示f（x）极小值+f（x）极大值，然后构造函数后结合导数即可求解；（3）结合二次方程根的存在条件及导数，及函数的性质进行推理论证可求．【解答】解：（1）f′（x）＝＝，x＞0，因为f（x）有两个不同的极值点x1，x2．所以x2﹣x+a＝0有两个不同的正根，故．（2）因为x1x2＝a，x1+x2＝1，不妨设x1＜x2，所以f（x）极小值＝f（x1），f（x）极大值＝f（x2），所以以f（x）极小值+f（x）极大值＝f（x1）+f（x2）＝lnx1x2+2（1﹣2a）+﹣（x1+x2）＝lna+2﹣4a．令t（a）＝lna﹣4a+2，则t′（a）＝＞0，所以t（a）在（0，）上单调递增，所以t（a）＜t（）＝1﹣2ln2，即f（x）的极大值与极小值之和的取值范围是（﹣∞，1﹣2ln2）．（3）由（2）知x1x2＝a，x1+x2＝1．因为m，n，，所以f（x）min＝f（x1），f（x）max＝f（x2），所以[f（m）﹣f（n）]min＝f（x1）﹣f（x2）＝ln+x2﹣x1+a×因为x1＝1﹣x2，所以[f（m）﹣f（n）]min＝ln+2（x2﹣1）＝ln（1﹣x2）﹣lnx2+4x2﹣2，（），令h（x）＝ln（1﹣x）﹣lnx+4x﹣2，（），则h′（x）＝+4＝，所以h（x）在（）上单调递减，h（x）无最小值，故f（m）﹣f（n）没有最小值．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值成立的条件的应用，还考查了考生的逻辑推理论证的能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（α是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转，交曲线C于点N，求|OM|•|ON|的最大值．【分析】（1）直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程是（α是参数），消去α得曲线C的普通方程为．所以C的极坐标方程为，即．（2）不妨设M（ρ1，θ），N（），θ∈[0，2π]，则|OM|•|ON|＝＝．当时，取得最大值，最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|．（1）解不等式f（x）≤3x﹣2；（2）若函数f（x）最小值为M，且2a+3b＝M（a＞0，b＞0），求的最小值．【分析】（1）根据f（x）≤3x﹣2，分x＞3，﹣2≤x≤3和x＜﹣2三种情况分别解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值M，然后利用基本不等求出的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|，f（x）≤3x﹣2，∴当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+3≤3x﹣2，即，无解；当﹣2≤x≤3时，x+2﹣x+3≤3x﹣2，即，得；当x＞3时，x+2+x﹣3≤3x﹣2，即x≥1，得x＞3．故所求不等式的解集为．（2）∵f（x）＝|x+2|+|x﹣3|≥|（x+2）﹣（x﹣3）|＝5，∴2a+3b＝5（a＞0，b＞0），则2a+1+3（b+1）＝9，∴＝＝≥．当且仅当，即时取等号．故的最小值为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合()(){}120|A x x x =+-≥，{}|13B x x =<<，则A B =I （ ） A ．()1,3- B ．()2,3C ．()1,2D ．[)2,3【答案】D【解析】化简集合A ，由交集定义即可求解. 【详解】()(){}120|A x x x =+-≥1{|x x =≤-或2}x ≥， A B =I [)2,3.故选:D 【点睛】本题考查交集运算，属于基础题.2．复数z 满足(1)i z i -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．12C ．12i -D ．12i 【答案】B【解析】分析：由已知等式变形得1=-iz i，再利用复数的四则运算法则求出z 的代数形式，再写出虚部．详解：由(1)i z i -=有(1)1111(1)(1)222i i i i z i i i i +-+====-+--+，则z 的虚部为12，故选B. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题．若复数(,)z a bi a b R =+∈，则复数的虚部为b ．3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900，900，1200 人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ()n n A ．15 B ．20C ．25D ．30【答案】B【解析】试题分析：三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选.【考点】分层抽样.4．过点()1,3-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ） A ．270x y -+= B ．210x y +-= C ．250x y --= D ．250x y +-=【答案】B【解析】根据两直线垂直关系，设出所求直线方程，()1,3-代入，即可求解. 【详解】设所求的直线方程为20x y c ++=，()1,3-代入方程解得1c =-，所求的直线方程为210x y +-=. 故选:B 【点睛】本题考查两直线垂直时方程间的关系，属于基础题.5．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡x 只，兔y 只，则输出,x y 的分别是（ ）A ．12,23B ．23,12C ．13,22D ．22,13【答案】B【解析】由1,34x y ==开始验证S ，直到满足94S =，退出循环体，输出,x y . 【详解】1,34x y ==,138S =；2,33x y ==,136S =；L ； 23,12x y ==,94S =.退出循环，输出23,12x y ==.故选:B 【点睛】本题考查循环结构运行结果，属于基础题. 6．已知()f x sinx =，在区间,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦任取一个实数x ，则使得()012f x ≥的概率为（ ）A ．14B ．34 C ．12D ．78【答案】C【解析】由几何概型概率求法，转化为()012f x ≥在,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解的区间长度除以,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦区间长度. 【详解】()012f x ≥，,3x π⎡⎤∈-π⎢⎥⎣⎦，解得5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()012f x ≥的概率为213423ππ=.故选:C 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，属于基础题.7．如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个【答案】D【解析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息。
2019-2020学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(理科)
2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•C . 6共线（该直线不过原点 O ），则S 200 （ ）五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡1.（5分）已知集合 {x|(x 1)(x 2)-0} , B {x|1 x 3}，则 A |2. A . ( 1,3)B . (2,3)C . (1,2) [2 , 3)（5分）已知复数 z 满足（1 i ）z i （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ C . !i2 1.i23. （5分）将（3 x ）n 的展开式按照x 的升幕排列，若倒数第三项的系数是90,则n 的值是（4.uuu uun （5分）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若OB a ?OA uura 19g OC ，且A 、 B 、C 三点A . 100B . 101C . 200D . 2015. （ 5分）我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题: “今有雉兔同上有三x 只，兔yx ,只，则输出x , y 的分别是（ ）7. （ 5分）如图是2018年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是 （）C . 13, 22D . 22, 13A . 12, 23B . 23, 126.(D .26A . 2018年第一季度GDP 增速由高到低排位第 5的是浙江省B .与2017年同期相比，各省 2018年第一季度的GDP 总量实现了增长C . 2017年同期河南省的 GDP 总量不超过4000亿元D . 2018年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有8 . (5分)已知函数f (x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x 2)mgn ，贝U f (x)的图象的□总重十与去年同期相比増长率f(x) log 2( 3x 1)，则 f ( 2019)(log 2 59. ( 5 分)已知命题 p : x R ，使sinx 命题q: x R ,2都有xx 1 0，给出下列结论: ①命题 ”是真命题; ②命题 q) ”是假命题;③命题 p) 是真命题;④命题 p) 是假命题.其中正确的是( A .②④ B .②③C .③④D .①②③f(x)，且 x (10 . ( 5分)若向量一条对称轴方程是11 . (5分)对于函数f(x) ax3bx2cx d(a 0)，定义：设f (x)是f (x)的导数，f (x)第3页(共21页)26是函数f （x ）的导数，若方程f （x ）有实数解X o ，则称点（X o , f （X o ））为函数y f （x ）的“拐点” •经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且2x y 2・・0x 2y，则目标函数z 3x 2y 的最大值为x 1, 014 . ( 5 分)函数 y log a (x 3) 1(a1 , a 0）的图象恒过定点A ,若点A 在直线1 mx ny 10 上，其中 m 0 , n 0,则一m15. （5分）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒ABCD 中，AB 平面BCD ，且AB BD CD 1，则此鳖儒的外接球的表面积为 ________________________________________________________________16. （5分）已知f （x ） x xlnx ，若k Z ，且k （x 2） f （x ）对任意x 2恒成立，则k 的最 大值是 ____ .三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）1 3 17. （10分）已知等比数列｛a .｝是递减数列，af 4 — , a2 a3 3 .32 8（1）求数列｛a n ｝的通项公式；1（2） 若b n（n 2）log 2 a n ，求数列 一的前n 项和T n .b n18 （ 12分）已知 ABC 中，内角A , B , C 所对边分别为 a ,b ,c ，若（2a c ）cos B bcosC 0 . 第4页（共21页）g(x) 1x3 2x2 3x 15，则g( 1 2 一)g(——)2020 2020 gC 2019）的值为（ ） 2020 A . 20172018 C . 2019 D . 2020 2 2 12（5分）已知椭圆詁y 1(a b 0）上一点A 关于原点的对称点为 B , F 为其右焦点, 若 AF BF ，设 ABF ，且 ［巨6］，则该椭圆离心率 e 的取值范围为（ ） ［刍） A • ［3 T 2 二、填空题（每题 5分，满分20分,C .［昇 将答案填在答题纸上）D .［躬］ “拐点”就是对称中心•设函数 13 （ 5分）设变量x , y 满足约束条件 -的最小值为 n(1)求角B的大小；(2 )若b 2，求a c的取值范围.19. ( 12分)如图四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，PA 平面ABCD，且PA AB 2，E 为PD 中点.(1)求证：PB//平面EAC ;(2)求二面角 A BE C的正弦值.20. (12分)近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出300条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的2 2列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评15050200对车辆状况不满意6040100合计21090300(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？(2)为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张的面额为0元，1元，2元的三种骑行券，用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是丄,2,且各次获取骑行券的结果相互独立. 若某用户一天使用了两2 5次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：下边的临界值表仅供参考:(参考公式：K2 (a b)咒膚c)(b d)，其中°a b °d)2 2X y21. (12分)已知椭圆C：p 牙1(a b 0)的右焦点为F ,上顶点为M，直线FM的斜a b率为2，且原点到直线FM的距离为一6•2 3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若不经过点F的直线l:y kx m(k 0,m 0)与椭圆C交于A , B两点，且与圆x2 y2 1相切•试探究ABF的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.Xe22. (12 分)设函数f (x) a(x lnx)(a 为常数).x(1 )当a 1时，求曲线y f(x)在x 1处的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,1)内存在唯一极值点x x。