尺规作图知识归纳

考点名称：尺规作图

尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。

其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。

运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。

尺规作图的中基本作图：

作一条线段等于已知线段；

作一个角等于已知角；

作线段的垂直平分线；

作已知角的角平分线；

过一点作已知直线的垂线。

还有：

已知一角、一边做等腰三角形

已知两角、一边做三角形

已知一角、两边做三角形

依据公理：

还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。

注意：

保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

尺规作图方法：

任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：

·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

·若两已知圆相交，可求其交点。

【学习目标】

1．了解什么是尺规作图．

2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由．

4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程．

5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形．

6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美．

【基础知识精讲】

1．尺规作图：

限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图．

注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．

2．尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图．

3．基本作图共有五种：

(1)画一条线段等于已知线段．

如图24-4-1，已知线段DE．

求作：一条线段等于已知线段．

作法：①先画射线AB．

②然后用圆规在射线AB上截取AC＝MN．

线段AC就是所要作的线段．

(2)作一个角等于已知角．

如图24-4-2，已知∠AOB．

求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．

作法：①作射线O′A′；

②以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．

③以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，交O′A′于C′．

④以点C′为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D′．

⑤经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所求的角．

(3)作线段的垂直平分线．

如图24-4-3，已知线段AB．

求作：线段AB的垂直平分线．

作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．

②作直线CD．

直线CD就是线段AB的垂直平分线．

注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点．

(4)经过一点作已知直线的垂线．

a．经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4．

已知：直线AB和AB上一点C，

求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：作平角ACB的平分线CF．

直线CF就是所求的垂线，如图24-4-4．

b．经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

如图24-4-5，已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

作法：①任意取一点K，使K和C在AB的两旁．

②以C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．

③分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F．

④作直线CF．

直线CF就是所求的垂线．

注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决．(5)平分已知角．

如图24-4-6，已知∠AOB．

求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．

作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE．

②分别以D、E为圆心，大于的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．

③作射线OC．

OC就是所求的射线．

注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好．

通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：

(1)过点×和点×画射线××，或画射线××．

(2)在射线××上截取××＝××．

(3)以点×为圆心，××为半径画弧．

(4)以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×．

(5)分别以点×，点×为圆心，以××，××为半径作弧，两弧相交于点×．

(6)在射线××上依次截取××＝××＝××．

(7)在∠×××的外部或内部画∠×××＝∠×××．

注意：学过基本作图后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了．

如：(1)画线段××＝××．

(2)画∠×××＝∠×××．

(3)画××平分∠×××，或画∠×××的角平分线．

(4)过点×画××⊥××，垂足为点×．

(5)作线段××的垂直平分线××，等等．

但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理．

【经典例题精讲】

例1已知两边及其夹角，求作三角形．

如图24-4-7，已知：∠α，线段a、b，

求作：△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．

作法：①作∠MAN＝∠α．

②在射线AM、AN上分别作线段AB＝a，AC＝b．

③连结BC．

如图24-4-8，△ABC即为所求作的三角形．

注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题，在作图之前可根据需要作一些分析．

例2如图24-4-9，已知底边a，底边上的高h，求作等腰三角形．

已知线段a、h．求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h．

分析：可先作出底边BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出BC的垂直平分线，从而作出BC边上的高AD，分别连结AB和AC，即可作出等腰△ABC来．作法：(1)作线段BC＝a．

(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC交于点D．

(3)在MN上截取DA，使DA＝h．

(4)连结AB、AC．

如图24-4-10，△ABC即为所求的等腰三角形．

例3已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形．

如图24-4-11，已知线段a，m，h(m>h)．

求作：△ABC使它的一边等于a，这边上的中线和高分别等于m和h(m>h)．

分析：如图24-4-12，假定△ABC已作出，其中BC＝a，中线AD＝m，高AE＝h，在△AED中AD＝m，AE＝h，∠AED＝90°，因此这个Rt△AED可以作出来(△AED为奠基

三角形)．当Rt△AED作出后，由的关系可作出点B和点C，于是△ABC即可得到．

作法：(1)作△AED，使∠AED＝90°，AE＝h，AD＝m．

(2)延长ED到B，使．

(3)在DE或BE的延长线上取．

(4)连结AB、AC．

则△ABC即为所求作的三角形．

注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果h>m，作图题无解；若m＝h，则作出的图形为等腰三角形．

例4如图24-4-13，已知线段a．

求作：菱形ABCD，使其半周长为a，两邻角之比为1∶2．

分析：因为菱形四边相等，“半周长为a”就是菱形边长为，为此首先要将线段a等

分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1∶2”可知，菱形较小内角为60°，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形．所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形ABCD．

作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段a．

(2)作线段AC，使．

(3)分别以A、C为圆心，为半径，在AC的两侧画弧，两弧分别交于B，D．

(4)分别连结AB、BC、CD、DA得到四边形ABCD，则四边形ABCD为所求作的菱形(如图24-4-14)．

注意：这种通过先画三角形，然后再画出全部图形的方法即为“三角形奠基法”．

例5如图24-4-15，已知∠AOB和C、D两点．

求作一点P，使PC＝PD，且使点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．

分析：要使PC＝PD，则点P在CD的垂直平分线上，要使点P到∠AOB的两边距离相等，则P应在∠AOB的角平分线上，那么满足题设的P点就是垂直平分线与角平分线的交点了．

作法：

(1)连结CD．

(2)作线段CD的中垂线l．

(3)作∠AOB的角平分线OM，交l于点P，P点为所求．

注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点，当然这两直线应分别满足题目的不同要求．

【中考考点】

例6 (2000·安徽省)如图24-4-16，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )

A．一处 B．二处

C．三处 D．四处

分析：到直线距离相等的点在相交所构成的角的平分线上，可利用作角平分线的方法找到这些点．

解：分别作相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交点共有四个．

答案：D．

注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处，而要全面考虑其他满足条件的点．

例7 (2002·陕西省)如图24-4-17，△ABC是一块直角三角形余料，∠C＝90°，工人师傅要把它加工成—个正方形零件，使C为正方形的—个顶点，其他三个顶点分别在AB、BC、AC边上．

(1)试协助工人师傅用尺规画出裁割线(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)工人师傅测得AC＝80 cm，BC＝120cm，请帮助工人师傅算出按(1)题所画裁割线加工成的正方形零件的边长．

解：(1)作∠ACB的平分线与AB的交点E即为正方形—顶点，作CE线段的中垂线HK 与AC、BC的交点F、D即为所作正方形另两个顶点，如图24-4-17．

(2)设这个正方形零件的边长为x cm，

∵DE∥AC，

∴，

∴．

∴x＝48．

答：这个正方形零件的边长为48cm．

注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚．

例8 (2002·山西省)如图24-4-18①，有一破残的轮片(不小于半个轮)，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件，请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．

分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，T形尺或尺规作图均可，图②中

是这个零件的半径，图③中OB是这个零件半径．

解：如图24-4-18②③所示．

【常见错误分析】

例9如图24-4-19，已知线段a、b、h．

求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h．

并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢？

错解：(1)作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．

②在直线CD上截取CB＝a．

如图24-4-20，则△ABC就是所求作的三角形．

(2)作出的三角形唯一．

(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等．

误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部．正解：如图24-4-21，

作法：①作Rt△ADC，使AD＝h，AC＝b．

②在直线CD上截取CB＝a(在点C的两侧)．

则△ABC，△AB′C都是所求作三角形．

(2)作出的三角形不唯一．

(3)得出结论有两边及—边上的高对应相等的两三角形不一定全等．

注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎．

【学习方法指导】

学习本单元基本作图，主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤，掌握作图语言．

【规律总结】

画复杂的图形时，如一时找不到作法，—般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础，根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法．

考点一尺规作图 1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤： (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； (2)分析作图的方法和过程； (3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法．考点二五种基本作图 1．作一线段等于已知线段； 2

．作一个角等于已知角； 3．作已知角的平分线； 4．过一点作已知直线的垂线； 5．作已知线段的垂直平分线．考点三基本作图的应用 1．利用基本作图作三角形

(1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形；

(3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；

(5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆

(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．

尺规作图简史：

“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股.

矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.

《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之势，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.

春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性.

古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，

在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.

古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑.在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.

由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.

当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数学家为之绞尽脑汁，都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何，关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数，化圆为方问题不可能用尺规作图解决，这才结束了历时两千年的数学难题公案.