2018年秋高中数学人教A版必修五课件：第二章+数列+2.3+第1课时
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高中数学必修5课件：第2章2-1-2数列的性质和递推关系
n 3n＋1
为递
增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法二：∵n∈N*，∴an>0，
n＋1
∵
an＋1 an
＝
3n＋4 n
＝
n＋13n＋1 3n＋4n
＝
3n2＋4n＋1 3n2＋4n
＝1＋
1 3n2＋4n
3n＋1
>1，∴an＋1>an，∴数列3nn＋1为递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
方法三：令f(x)＝3x＋x 1(x≥1)，则 f(x)＝133x3＋x＋1－1 1＝131－3x＋1 1， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴数列3nn＋1是递增数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)∵bn＝aan＋n 1，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝aa12＝12，b2＝aa23＝23，b3＝aa34＝35，b4＝aa45＝58. 故b1＝12，b2＝23，b3＝35，b4＝58.
数学 必修5
第二章 数列
数列的单调性问题
已知数列{an}的通项公式为an＝
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝
an an＋1
构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}
的前4项．
数学 必修5
第二章 数列
解析： (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为 a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
4分 6分 8分
10分
12分
数学 必修5
第二章 数列
高二数学人教A版必修5课件：第二章 数列 本章整合
数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差 数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出 现其他类型的数列.解决此类问题的关键是找出其中的规律,这就要求考生 具有较强的观察分析、归纳猜想的能力以及对数列知识融合迁移的能力. 下面具体讨论一下它的几种题型.
知识网络
答案:n2+n-1
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
【应用 7】 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形
(单位分数是分子为 1、分母为正整数的分数)称为莱布尼兹三角形.
根据前 5 行的规律,写出第 6 行的数从左到右依次是
.
答案:16
,
1 30
,
1 60
,
1 60
,
1 30
,
1 6
知识网络
∴(n+1)an+1-nan=0,即������������������+������ 1 = ������+������ 1,∴n≥2 时,���������������������-���1 = ���������-���1, ∴an=���������������������-���1 ·������������������������--12·…·������������21·a1=���������-���1 ·������������--21·…·12·1=1������.
(3)所求数列的通项可转化为数列 1,0,-1,0,1,…的通项,这恰好是“五点 法”作三角函数的图象的值,从而有 an=3sin���2���π或 an=3cos������2-1π(n∈N*).
专题一
专题二
专题三
知识网络
答案:n2+n-1
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
【应用 7】 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形
(单位分数是分子为 1、分母为正整数的分数)称为莱布尼兹三角形.
根据前 5 行的规律,写出第 6 行的数从左到右依次是
.
答案:16
,
1 30
,
1 60
,
1 60
,
1 30
,
1 6
知识网络
∴(n+1)an+1-nan=0,即������������������+������ 1 = ������+������ 1,∴n≥2 时,���������������������-���1 = ���������-���1, ∴an=���������������������-���1 ·������������������������--12·…·������������21·a1=���������-���1 ·������������--21·…·12·1=1������.
(3)所求数列的通项可转化为数列 1,0,-1,0,1,…的通项,这恰好是“五点 法”作三角函数的图象的值,从而有 an=3sin���2���π或 an=3cos������2-1π(n∈N*).
专题一
专题二
专题三
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
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n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
即Sn=a+n an-1+an-+2 …+a3+ a2 +a1,
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可
得到两个关于 a与1 d的二元一次方程，由此可以求得 a1
与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310， 190d = 1 220.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)
故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程 组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性 质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.
2018秋新版高中数学人教A版必修5：第二章数列 2.3.2
答案:C
【做一做1-2】 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公
差d等于( ).
A.1
B.
5 3
C.
−2D.
3
答案:C
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
典例透析
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
等差数列前n项和的性质 剖析数列{an}是公差为d的等差数列,其前n项和具有下列性质: (1)Sn=a1+a2+…+an, S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=(a1+a2+…+an)+n2d, S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+a2+…+an)+2n2d, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差为n2d的等差数列,且有Sn+S3n-S2n=2(S2nSn).
∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120.∴S110=-120+S100=-
110.
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
典例透析
HONGNANJUJIAO IANLITOUXI
解法四∵S100-S10=a11+a12+…+a100
(2������-1)(������1
+ +
������2������-1) ������2������-1)
=
������������22������������--11.
人教版高中数学必修五第二章数列课件PPT
项都有对应关系，见下表：
(2)从函数的观点看数列. 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取 正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…， f（n），….
（3）数列的图象表示. 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可 以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的 有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些 点的个数可以是无限的，也可以是有限的.
（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由 于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数 集有本质的区别.
2.数列分类的判断 （1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列； （2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列； （3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列； （4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项，则是摆动数列.
为 4， 4，4，…，4 ，再把分母分别加1，又变为
2 5 8 11
4， 4， 36
4， 9
1…42，，∴数列的通项公式为an=
4 （(n∈1）Nn1*).
3n 1
数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应. 对于任意数列如：1，1，1，1，1，1，1，…，每一项的序号与该
234567
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 （-1）k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等.
2.“基本数列”的通项公式. (1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n； (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n； (3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1； (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n； (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；
(2)从函数的观点看数列. 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取 正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…， f（n），….
（3）数列的图象表示. 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可 以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的 有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些 点的个数可以是无限的，也可以是有限的.
（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由 于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数 集有本质的区别.
2.数列分类的判断 （1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列； （2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列； （3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列； （4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项，则是摆动数列.
为 4， 4，4，…，4 ，再把分母分别加1，又变为
2 5 8 11
4， 4， 36
4， 9
1…42，，∴数列的通项公式为an=
4 （(n∈1）Nn1*).
3n 1
数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应. 对于任意数列如：1，1，1，1，1，1，1，…，每一项的序号与该
234567
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 （-1）k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等.
2.“基本数列”的通项公式. (1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n； (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n； (3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1； (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n； (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；
2018学年高中数学人教A版课件必修五 第二章 数列 第1节 第2课时 精品
(1)累加法：当 an＝an－1＋f(n)时，常用 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2 －a1)＋a1 求通项公式．
(2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 求通项公式．
[再练一题] 3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，写出这个数列的前 5 项，猜 想 an 并加以证明．
(1)已知数列{an}满足 a1＝－1，an＋1＝an＋nn1＋1，n∈N*，求通项 公式 an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求通项公式 an.
【精彩点拨】 (1)先将 an＋1＝an＋nn1＋1变形为 an＋1－an＝1n－n＋1 1，照此 递推关系写出前 n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求 解．
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n＝1－1n. ∴an＋1＝1－1n， ∴an＝－1n(n≥2)． 又∵n＝1 时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－1n(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，
2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则 a5＝
.
【解析】 因为 a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以 a2＝3，a3＝7，a4＝15， 所以 a5＝2a4＋1＝31.
【答案】 31
3 ． 已 知 非 零 数 列 {an} 的 递 推 公 式 为
a1
＝
1
，
[构建·体系]
1．已知数列{an}中，a1＝1，aan＋n 1＝12，则数列{an}的通项公式是(
(2)累乘法：当aan－n 1＝g(n)时，常用 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 求通项公式．
[再练一题] 3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，写出这个数列的前 5 项，猜 想 an 并加以证明．
(1)已知数列{an}满足 a1＝－1，an＋1＝an＋nn1＋1，n∈N*，求通项 公式 an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，求通项公式 an.
【精彩点拨】 (1)先将 an＋1＝an＋nn1＋1变形为 an＋1－an＝1n－n＋1 1，照此 递推关系写出前 n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求 解．
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n＝1－1n. ∴an＋1＝1－1n， ∴an＝－1n(n≥2)． 又∵n＝1 时，a1＝－1，符合上式， ∴an＝－1n(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝1－1nan－1(n≥2)，
2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则 a5＝
.
【解析】 因为 a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，所以 a2＝3，a3＝7，a4＝15， 所以 a5＝2a4＋1＝31.
【答案】 31
3 ． 已 知 非 零 数 列 {an} 的 递 推 公 式 为
a1
＝
1
，
[构建·体系]
1．已知数列{an}中，a1＝1，aan＋n 1＝12，则数列{an}的通项公式是(
2018学年高中数学人教A版课件必修五 第二章 数列 第2节 第1课时 精品
[构建·体系]
1．数列{an}的通项公式 an＝2n＋5，则此数列( ) A．是公差为 2 的等差数列 B．是公差为 5 的等差数列 C．是首项为 5 的等差数列 D．是公差为 n 的等差数列 【解析】 ∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2， ∴{an}是公差为 2 的等差数列． 【答案】 A
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
【提示】 设第一届的年份为 a1，第二届的年份为 a2，…，第 n 届的年份 为 an，则 a1，a2，…，an，…构成一个以 a1＝1 896 为首项，以 d＝4 为公差的等 差数列，其通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即 an＝4n ＋1 892，由 an＝2 016，知 4n＋1 892＝2 016，所以 n＝31.
【自主解答】 (1)欲使{an}是等差数列， 则 an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q 应是一个与 n 无关 的常数， 所以只有 2p＝0， 即 p＝0 时，数列{an}是等差数列． (2)因为 an＋1－an＝2pn＋p＋q， 所以 an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q. 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数， 所以{an＋1－an}是等差数列．
高中数学第二章数列2.3等差数列前n项和(第1课时)课件新人教A版必修5
算上容易出现失误，不能准确 求出首项 a1 和公差 d； (2)基本公式中的项数或奇偶项的 确定不正确； (3)判断一个数列是否为等差数列
时，易忽略验证第一项．
[活学活用] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3.解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n.所以 Sn＝n1＋23－2n＝2n－ n2.进而由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
即 10S10＋10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
答案：104
时，易忽略验证第一项．
[活学活用] 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3.解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n.所以 Sn＝n1＋23－2n＝2n－ n2.进而由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
归纳小结
等差数列的前 n 项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用 公式
Sn＝na12＋an
Sn＝na1＋nn2－1d
[化解疑难] 等差数列前 n 项和公式的特点
(1)两个公式共涉及到 a1，d，n，an 及 Sn 五个基本量，它 们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前 n 项和．
[答案] B
(2)[解] ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100 也成等差数列． 设其公差为 D，则 S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100 －S90)＝S100，
即 10S10＋10×2 9×D＝S100＝10. 又∵S10＝100，代入上式，得 D＝－22， ∴S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－ 22)＝－120， ∴S110＝－120＋S100＝－110.
答案：104