周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章9质点力学资料
开普勒发表于1609，1619年. 牛顿万有引力发表于1687.
从三定律推导万有引力.
设A是矢径扫过的面积, 则由开普勒第二定律
r dA 1 2 d 1 2 r r C o dt 2 dt 2 x 也是常数, 即动量矩守恒, 行星所受的力对 从而 mr 2
太阳的力矩为零, 因行星具有加速度, 所以受力不为零, 故行星所受力必定是有心力, 太阳是力心. 第一定律说轨道是椭圆, 利用比耐公式可得
3. 平方反比引力
万有引力、电磁力(有引力、斥力), 以引力为例：
GMm k m 2 2 F 2 2 mk u r r
代入轨道方程，得
2
令
du k u 2 2 d h 2 k u 2 h
2
2
则方程变为
d 0 2 d
2
这个微分方程和简谐振子方程一样，所以它的解
.
p (u 0 ) d 2 2 u0 2 d h (u 0 ) 2
在u=u0处展开为ξ的幂级数
p (u 0 ) p0 2 2 2 2 h (u 0 ) h u0
准确到一级微小量，
p0 ' 2 dp ) 这里的p ' 1 ( p u du , 0 0
一个带正电荷2e的质点射入一原子中，如果原子 有一集中在很小区域的核心，而且此核心的电荷也是 正的, 并且等于Ze，则由库仑定律
2 ze k' F 2 2 40 r r
力的方向沿着二者的连线, 是排斥力. 原子核质量大,可 以近似看做不动, 这样认为粒子受到有心力的作用.
1
2
系统能量方程:
dr dr d d 1 / u d 1 du du r 2 h dt d dt d dt u d d 2 d dr du d du d u 2 2 r h h h u dt dt d d d d 2
人造卫星运动轨道
1 2 k 2m E E0 mv0 2 r0
r
h2 k 2 1 1 2 h 2 E k 4 m cos
r
h k
2
2
2 2 k 2 4 2 1 1 h k (v0 ) cos r0
2k e 1 h k (v ) r0
2 4 2 0
2
讨论 1. 当
e 1 E 0
近似圆形轨道 第一宇宙速度
k GM v0 Rg 7.9 103 m / s r0 r0
2. 当
e 1
E0
沿抛物线轨道飞出，脱离地球
1 2 k 2m mv0 0 2 r0
2k 2 2GM v0 2 Rg 11.2 103 m / s r0 R
d 2 c1 c2 , 2 d p 0 p0 ' 2 u 0 p0 ' c1 1 2 2 ( ) 3 p0 h u 0 p0 u 0
上面这个常微分方程的解只有三种可能的情形：
c2 c1 0则方程的解为： A cos( c1 ) B sin( c1 ) c 1 c2 c1 0则方程的解为： Ach( c1 ) Bsh ( c1 ) c1 1 c 0 则方程的解为： c 2 2 A B 1 2
第三宇宙速度：
2 v3 v 2 v 2 16.5 10 3 m / s
6 圆形轨道的稳定性
假设质点在有心引力作用下沿任何半径的圆形轨道 运动，
d 2u u 常数 2 0 d
2 d u F (u ) 2 2 于是由比耐公式： h u ( 2 u) d m F (u ) 2 可求的：h mu 3 F (u ) p (u ) 2 如果令 p (u ) 则：h 3 m u
2 m v k' cot , or cot 2 2 k' mv 2
与实验结果比较 定义：n —入射粒子束单位时间内通过垂直于粒子束的 单位截面积的粒子数。 dN —单位时间内在～＋d内散射的粒子数 散射截面 d dN
n
d d
dN n 2 d d 2 d
1 2
k' r E mr r
2 2 2
因为能量总是大于零, 所以轨道是双曲线的一支 右图为粒子散射图. O为 原子核(力心), 质点轨道 的对称轴是通过力心及 其最近距离点c的直线oc, 因此轨道的两条渐近线 和oc相交的角度是一样的. 可看出质点通过力心附 近的偏转角
r F F (r ) r
在直角坐标系中, 如以力心为原点, 质点的运动平面 为xy平面，则质点的运动微分方程为
x y F ( r ) , m F (r ) m x y r r
i) 质点的动力学方程(极坐标)为:
2 ) F F (r ) m( r r r 2r ) F 0 m ( r
当矢径扫过一周, A =ab, 而所需时间就是周期
2ab h
b 1 2 2 2 考虑 a c a 1 e p a a 2 2 2 2 4 b 4 p 得到 2 3 a ha h2
虽然 p, h 都和行星有关, 但是上式与行星无关.
2
5 宇宙速度与宇宙航行
不断扩大，则原轨道上的运动就称为是不稳定的。
在外界的微扰影响下使圆形轨道保持稳定的条件是什么？ 设想有u=u0，h=h0的圆形轨道。对此圆形轨道
h0
2
p (u 0 ) u0
3
当外界对它有一个微小扰动时，使得u要从u0变为u0+ξ, ξ 由于微扰而引起的微小量，它的导数也可视为很小的微 量，而且h-h0也是个很小的微量。将u=u0+ξ代入比耐公式 则可得到：
p 与标准圆锥方程 r 相比较，知轨道是原点 1 e cos 在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上.
三种圆锥曲线:
(1) 椭圆 (2) 抛物线 (3) 双曲线 在B点, r= a-c = a(1-e), = 0. 即p=a(1-e2), e<1. 在B点, r = q, = 0. 即p=2q, e=1. 在B点,r=c-a=a(e-1), =0. 即p=a(e2-1), e>1.
(1)
(2)
F
mv
r
O
h
(2)式又可写为
1 d 2 m r 0, r dt
mr mh
2
(3)
(3)就是角动量守恒定律在极坐标中的表示. ii) 极坐标系中, 力做功表达式
A Fr dr F rd
A
B
有心力时
A Fr dr Fr dr
第一章
质点力学
§1.9
有心力
导读
• • • • • • 有心力的性质 比耐公式 开普勒定律 宇宙速度 圆形轨道的稳定性 粒子散射
1. 有心力的性质
定义: 如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一个 定点, 这个质点所受的力是有心力. 而这个定点则叫做 力心. 凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力． 在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动. 因 力F与位矢 r 共线 r F＝0, L＝恒矢量．
此结果表明：在有心引力中，对任何质点来讲，只要
抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足
p (u ) h 3 u轨道运动。 稳定与不稳定：当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道 后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来
轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度
0 0
o
c
r
2 0
通过利用比耐公式可以导出
1 k' 1 2 (1 cos ) sin r mh
0 0
o
c
r
称为瞄准距离. 偏转角是粒子远离力心后的 的值. 如果设无限远处, 粒子的速度为v∞, 则h = v∞
2 n 1 F k2 up ' uk nu p n k 2u n n 2 n m r p k u
所以说在
k 2m F n r
这个引力作用下作圆形轨道运动时，只有在n<3的 条件下才是稳定的
7 平方反比斥力—— 质点的散射
靠近
一个带正电荷质点射向一原子核，发生散射
y
y
B’ F’
C
F B x y
F B x
F B
F’
x
在上述轨道方程中有一个不定参量A,如果我们用能 量守恒来推导轨道,可以得到
r
h2 / k 2 1 1 2h E / mk
2
4
cos
, then e 1 2h 2 E / mk 4
E<0, 则 e<1, 轨道为椭圆 E=0, 则 e=1, 轨道为抛物线 E>0, 则 e>1, 轨道为双曲线
d d 2( ) d d
卢瑟福公式
1 k 2 sin d ( 2 ) 4 d 4 mv sin ( 2)
1911年，由卢瑟福首先导出， 1913年由盖革—马士登验验证， 与量子力学推出的结果一致。
引力场（补充）
牛顿的万有引力用现代科学语言来描述，质点和 连续体周围存在一个引力场，位于场中的任何其他质 点将受到引力作用，m’质点周围引力场强定义为 F Gm gf 3 r m r 引力场强满足矢量叠加原理. 再考虑引力场是保守力场, g f V
k2 k2 而 u 2 A cos 0 2 h h
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周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学(周衍柏)第一章质点力学
（1）矢量形式的运动学方程
rr(t)
理论力学：Theoretical mechanics 当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来 进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点 运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程
x x(t)
y
y (t)
z z ( t )
这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是 代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。
说明： ① 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；
② 观察者是站在参照系的观察点上； ③ 不特别说明都以地球为参照系。
2. 坐标系
理论力学：Theoretical mechanics 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标 系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于 用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。
ji
解： 确定动系和静系 静系：河岸 动系：河流 研究对象：小船
理论力学：Theoretical mechanics
:0 牵连速度， ： 绝对速度， :相 对 速度
ji
由：
0
0
c2i
r d
dt
j
c1 cosi c1 sin
j
i
选取极坐标, 得
理论力学：Theoretical mechanics
0:人行走速度， ： 风速(相对于地)， :风 相对于人的速
度 由：
得： 理论力学：Theoretical mechanics
得： 解得：
y
2
2
理论力学：Theoretical mechanics
因此：x 4,y 4
风速： x2y2 4 2km/h
理论力学第一章质点力学(3)
这时 闭合路径积分等于零
F dr F dl 0
（保守力定义之三）
L
※ 假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运
动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。
□保守力的判据：
由场论知 F dl F ds 0
L
S
L 为任意
F 0
Fz Fy 0, y z
即：
cosq sinq 7q 6 7dq
98p 2 70p
例2 （P38）在上题中，如
Fx 2x 3y 4z 5, Fy z x 8, Fz x y z 12
则结果如何？
解：略
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
16
§1、8 质点动力学的基本定理与基本守恒律
通过求解
阻力，则叫单摆。如单摆从幅角 q0（ q0不一定很小）
的地方自由落下，试用两种不同方法（机械能守恒与 运动定律 ）求摆锤通过最低点时的速度。
解： （1）机械能守恒
1 2
mv2
mgl
0
mgl
cosq0
于是得到 v 2gl 1 cosq0
2015/3/24
第一章 质点力学(2)
27
（2）运动定律求解
Fx x 2y z 5, Fy 2x y z, Fz x y z 6
求此质点沿螺旋线 x cosq, y sinq, z 7q 运行自q=0至 q=2p时，力对质点所作的功。
解： 先检验一下，作用力是不是保守力？
Fz Fy 11 0, y z
Fx Fz 11 0, z x
微分形式（又称“冲量定理” theorem of impulse）
积分形式 力对时间的积累
dP Fdt
理论力学讲义
理论力学讲义铜仁学院物理与电子科学系冯云光绪论一、理论力学研究对象和任务：1、研究对象；研究物体机械运动普遍遵循的基本规律并将其用严密的数学表述，使其完全可以用严格的分析方法来加以处理。
机械运动物体在空间的相对位置随时间而改变的现象。
2、任务：归纳机械运动的规律。
（借助严密的数学规律进行归纳）3、表达方式；（理论力学分为矢量力学和分析力学两大部分。
）（1）、矢量力学（牛顿力学）从物体之间的相互作用出发，借助矢量分析这一数学工具，运用形象思维方法，通过牛顿定律揭示物体受力与其运动状态之间的因果关系来确定物体的运动规律。
特点：形象直观，易于处理简单的力学问题，范围：仅能解决经典力学问题。
（在矢量力学中，涉及量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。
力是矢量力学中最关键的量。
）（2）、分析力学：从牛顿力学的基础上发展起来的，它借助数学分析这一工具，运用抽象思维方法，研究力学体系整体位形变化。
特点“从各种运动形态通用的物理量—能量出发，它的运用远远超出经典力学范围，也适用非力学体系。
（分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。
动能和势能是最关键的量。
）（分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论，它的理论体系和处理问题方法，完全不同于牛顿力学，它代表经典力学的进一步发展，它揭示出支配宏观机械运动的更普遍的规律，以致能用比较统一的方法处理力学体系的运动问题，它揭示出力学规律与其他物理的过渡起了重要作用，分析力学已经成为学习后继课程的必要基础。
）二、理论力学的研究内容1、运动学：从几何的观点来研究物体位置随时间的变化规律，而未研究引起这种变化的物理原因。
2、动力学：研究物体运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动的原因。
3、静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。
（它可以看作动力学的一部分，质点、质点系，刚体）三、理论力学的研究方法1、理论力学的研究方法观察、实验，总结实验规律，建立物理模型，提出合理假设，数学演绎、逻辑推理，探讨规律，实验验证。
周衍柏理论力学课件(PPT可修改版本)
爱因斯坦 (1879-1955)
1879年 3月14日生于德国乌耳姆一个经营电器作坊的 小业主家庭。一年后，随全家迁居慕尼黑。在任工程 师的叔父等人的影响下,爱因斯坦较早地受到科学和哲 学的启蒙。1894年,他的家迁到意大利米兰,继续在慕尼 黑上中学的爱因斯坦因厌恶德国学校窒息自由思想的 军国主义教育，自动放弃学籍和德国国籍，只身去米 兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州立中学；1896年 进苏黎世联邦工业大学师范系学习物理学，
自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让牛 顿来！一切遂臻光 明！
一、理论力学研究对象
物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可分 为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：
物质层 次
宇观
线度 >108m
宏观
10-1—103m
亚宏观
10-6—10-3m
原子
10-10—10-9m
矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是 分析力学中最关键的量。
分析力学以达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量。
二、理论力学研究方法
观察、实验， 总结实验规律， 建立物理模型， 提出合 理假设， 数学演译、逻辑推理 ， 探讨规律， 实验验 证。 理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译 更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。
三、理论力学的内容结构
理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部 分。
《理论力学》课程学习辅导材料
射。 3.简单应用: (1)平方反比引力—行星的运动的研究。(2)宇宙速度和宇宙航行。
第二章 质点组力学
考核要求 (一)质点组 1.识记:质心。 2.领会:质点组的内力和外力。 (二)动量定理与动量守恒律 1.识记:(1)动量定理。(2)质心运动定理。(3)动量守恒律。 2.领会:(1)动量定理。(2)质心运动定理。 3.简单应用:动量守恒律。 (三)动量矩定理与动量矩守恒律 1.识记:(1)对固定点 O 的动量矩定理。(2)动量矩守恒律。(3)对质心的动量矩定 理。 2.领会: (1)对固定点 O 的动量矩定理。(2)动量矩守恒律。(3)对质心的动量矩定 理。 3.简单应用:动量矩定理与动量矩守恒律。 (四)动能定理与机械能守恒律 1.识记:(1)质点组的动能定理。(2)机械能守恒律。(3)柯尼希定理。(4)对质心的 动能定理。 2.领会:(1)质点组的动能定理。(2)机械能守恒律。(3)柯尼希定理。(4)对质心的 动能定理。 3.综合运用:三个动力学定理与解题。 (五)两体问题 1.识记:(1)两体运动的两个特性。(2)折合质量。 2.领会:(1)两体运动的两个特性。(2)折合质量。 3.简单应用:对开普勒第三定律的修正。 (六)质心坐标系与实验坐标系 1.领会:(1)质心坐标系与实验坐标系。(2)两系中的散射问题。 (七)变质量物体的运动 1.识记:变质量物体的运动方程。 2.领会:变质量物体的运动方程。 3.简单应用:变质量物体的运动方程的解。 (八)位力定理 1.识记:位力定理。 2.领会:位力定理。 3.简单应用:保守力系中动能的平均值和势能的关系。
第三篇 思考题及其答案 第一章 质点力学思考题及其答案…………………………………………9 第二章 质点组力学思考题及其答案………………………………………15 第三章 刚体力学思考题及其答案…………………………………………19 第四章 转动参照系思考题及其答案………………………………………25 第五章 分析力学思考题及其答案…………………………………………29
第二章 质点组力学
考核要求 (一)质点组 1.识记:质心。 2.领会:质点组的内力和外力。 (二)动量定理与动量守恒律 1.识记:(1)动量定理。(2)质心运动定理。(3)动量守恒律。 2.领会:(1)动量定理。(2)质心运动定理。 3.简单应用:动量守恒律。 (三)动量矩定理与动量矩守恒律 1.识记:(1)对固定点 O 的动量矩定理。(2)动量矩守恒律。(3)对质心的动量矩定 理。 2.领会: (1)对固定点 O 的动量矩定理。(2)动量矩守恒律。(3)对质心的动量矩定 理。 3.简单应用:动量矩定理与动量矩守恒律。 (四)动能定理与机械能守恒律 1.识记:(1)质点组的动能定理。(2)机械能守恒律。(3)柯尼希定理。(4)对质心的 动能定理。 2.领会:(1)质点组的动能定理。(2)机械能守恒律。(3)柯尼希定理。(4)对质心的 动能定理。 3.综合运用:三个动力学定理与解题。 (五)两体问题 1.识记:(1)两体运动的两个特性。(2)折合质量。 2.领会:(1)两体运动的两个特性。(2)折合质量。 3.简单应用:对开普勒第三定律的修正。 (六)质心坐标系与实验坐标系 1.领会:(1)质心坐标系与实验坐标系。(2)两系中的散射问题。 (七)变质量物体的运动 1.识记:变质量物体的运动方程。 2.领会:变质量物体的运动方程。 3.简单应用:变质量物体的运动方程的解。 (八)位力定理 1.识记:位力定理。 2.领会:位力定理。 3.简单应用:保守力系中动能的平均值和势能的关系。
第三篇 思考题及其答案 第一章 质点力学思考题及其答案…………………………………………9 第二章 质点组力学思考题及其答案………………………………………15 第三章 刚体力学思考题及其答案…………………………………………19 第四章 转动参照系思考题及其答案………………………………………25 第五章 分析力学思考题及其答案…………………………………………29
周衍柏理论力学教程第三版电子教案第一章质点力学
思考问题：
•拔河比赛胜负的关键是什么？
摩擦力的大小，大者赢
•马德堡半球是用两队各8匹马向相反方向 拉开的，如果一端拴在固定物上，另一端 需要几匹马，才能拉开半球？ 还是8匹 •大人国是否能够存在, 利用几何相似性分析之. 不可能,重力就会压坏他
2 力学相对性原理和伽利略变换
(i) 力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
牛顿第三定律
Fab Fba
注意:二力同时存在, 分别作用于两个物体上，属同一性质的力
力学相对性原理 力学定律在一切惯性系中数学形式不变
伽利略变换
x x vt x x vt
y y
y y
z z
z z
t t
t t
正变换
逆变换
y
s
y
s
vt
o o z z
u u v a a
P x x
y
s
y
s
P
t t 0 ,坐标原点重合
vt
x x vt
o o
x x
z z
x x vt
y y
y y
z z
正变换
t t
z z
逆变换
t t
伽利略变换中默认了绝对时空
速度变换： dx d (x vt) d (x vt)
dt dt
dt
x轴方向有相 对匀速运动
ux ux v uy u y uz uz
式中C为比例常数, S为翅膀的面积,飞翔的条件
f mg ,即 v mg CS
我们做简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为l,质
量m ~ l3, S ~l2,于是起飞的临界速度 vc l
燕子最小滑翔速度大约20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约 25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍, 这是小型 飞机的起飞速度, 鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km/h.
理论力学教程周衍柏第三版课件_图文
•释 的矛盾. 1）高速（与c比）：相对论（爱因斯坦）；2）微 观粒子： 量子力学（薛定谔）；3）纳米技术：0.1~100nm 尺度起关键作用 (原子直径10-10m; 人头发10-4m；人100m).
9
§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
22
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
21
量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
9
§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
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定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
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量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第一章9质点力学
dr dr d d 1 / u d 1 du du r 2 h dt d dt d dt u d d 2 d dr du d du d u 2 2 r h h h u dt dt d d d d 2
1 2
k' r E mr r
2 2 2
因为能量总是大于零, 所以轨道是双曲线的一支 右图为粒子散射图. O为 原子核(力心), 质点轨道 的对称轴是通过力心及 其最近距离点c的直线oc, 因此轨道的两条渐近线 和oc相交的角度是一样的. 可看出质点通过力心附 近的偏转角
2 m v k' cot , or cot 2 2 k' mv 2
与实验结果比较 定义：n —入射粒子束单位时间内通过垂直于粒子束的 单位截面积的粒子数。 dN —单位时间内在～＋d内散射的粒子数 散射截面 d dN
n
d d
dN n 2 d d 2 d
此结果表明：在有心引力中，对任何质点来讲，只要
பைடு நூலகம்
抛射速度垂直于位置矢径，并使它满足
p (u ) h 3 u
2
那么质点就可以沿着任何半径的圆形轨道运动。 稳定与不稳定：当质点受到微小扰动而偏离原来的轨道 后，如果还始终保持在原来轨道的近邻，那么就称原来
轨道上的运动是稳定的。反之，如果偏离原轨道的程度
第二宇宙速度
3. 当 e 1
E0
双曲线 脱离太阳
仿照地球： v
2GM s 42.2 103 m / s Rs
地球相对太阳的速度： ve 30 10 3 m / s
3 v v v 12 10 m/s 行星脱离太阳的速度： e
理论力学(周衍柏)绪论及第一章
（3）极坐标下的运动学方程
r r(t)
(t)
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐 标确定。
（4）自然坐标形式的运动学方程 s s(t)
对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运 动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。
质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如 柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运 动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分 析方法。 2、轨道
2R
求加速度
aaxy
4 R 2 4 R 2
cos 2t sin 2t
a
ax2 ay2 4R2
二、极坐标系
1、速度：
注意: i , j 方向都变化，乘积函数求导。
①先求：
di i i 1d
d 0
同理： ②速度分量式：
绪论
一、物理学与人类文明 1、在牛顿力学和万有引力定律的基础上发展起来的空间
物理，能把宇宙飞船送上太空，使人类实现了飞天的梦想。 也使中国人“九天揽月”成为可能。
神州六号发射瞬间
神州七号照片
哈勃空间望远镜：1990年4月25日由航天飞
机发现者号送入太空。望远镜口径2.4米,总重12.5吨,研制历 时13年,耗资21亿美元,空间轨道高度600公里。
(2) 位置描述
①质点相对某参照系的
位置，可由位矢r 确定;
②坐标描述：
直角坐标系:
r
xi
yj
zk
极坐标系：
P(r, )
自然坐标系：
P
s
二、运动学方程及轨道