2016年泰州市初中数学教师解题比赛试题

2016年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题

（2016年12月15日）

说明：1.本试卷满分100分 ，考试时间120分钟；

2.请将答案或解答过程直接在答题纸上．

一、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．已知x =2是不等式)23)(5(+--a ax x ≤0的解，x =1不是这个不等式的解，则实数a 的范围是 ▲ ．

2．二次函数4)4(2--=x a y (a ≠0)的图像在2＜x ＜3这一段位于x 轴下方，在6＜x ＜7这 一段位于x 轴的上方，则a 的值为 ▲ ．

3．设二次函数))((211x x x x a y --=(a ≠0，1x ≠2x )的图像与一次函数e dx y +=2(d ≠0)的图像交于点（1x ，0），若函数21y y y +=的图像与x 轴仅有一个交点，则下列结论：①a (1x -2x )=d ；②a (2x -1x )=d ；③a (2x -1x )2=d ；④a (2x +1x )2=d ．其中正确的序号有 ▲ ． 4．实数a 、n 、m 、b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A 、N 、M 、B （如图）．若AM 2＝BM ·AB ，BN 2＝AN ·AB ，则称m 为a 、b 的“大黄金数”，n 为a 、b 的“小黄金数”．当b －a ＝2时，a 、b 的大黄金数与小黄金数之差m －n ＝__▲____． 5．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数x

k y 1

1=

（x >0）及x k y 22=（x >0）的图像分别

交于点A 、B ，连接OA 、OB ，已知△OAB 的面积为2，则21k k -= ▲ ． 6．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB =8，AD =7，E 为AB 上一点，AE =5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一边上，则等腰三角形AEP 的底边长为 ▲ ．

A

B a

n

m

b

M

N 2

（第4题）

（第5题）

（第6题）

二、解答题（本大题共7题，计82分）

7．（本题满分10分）

质量分别为a、b（a≠b）的甲、乙两块金银合金的含金率不同．从甲、乙两块合金上各切下一块，分别和对方剩下的部分合金熔合，得到的两块新合金含金率相同．设切下的合金质量相同，求切下的每块合金的质量．

8．（本题满分10分）

四边形ABCD中，AB∥CD，M、N为AD、BC的中点，AC、BD相交于点O，过点O 作EF∥AB交AD、BC于点E、F．试比较EF与MN的大小，并说明理由．

9．（本题满分12分）

如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，AB

CG⊥，垂足为D．

（1）求证：ABC

PCA∠

=

∠；

（2）过点A作PC

AE//交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若

5

3

sin=

∠P，5

=

CF，求BE的长．

（第9题）

已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点，且AP

1PP P 的度数； （2）如图2，当点P 2在AP 1的延长线上时，求证：△P

P P 12∽△PA P 2； （3）如图3，过BP 的中点E 作l 1⊥BP ，过BP 2的中点F 作l 2⊥BP 2，l 1与l 2交于点Q ，连

接PQ ，求证：P 1P ⊥PQ ．

11．（本题满分12分）

已知：a 、b 、c 均为非零实数，且a >b >c ，关于x 的一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）其中一个实数根为2．

（1）请直接写出方程02=++c bx ax 的另一个实数根（用含a 、c 的代数式表示）； （2）若实数m 使代数式c bm am ++2的值小于0，问：当x =m +5时，代数式c bx ax ++2的值

是否为正数？写出你的结论，并说明理由．

图2

图1

图3

（第10题）

一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后，要日夜兼程以最短的时间赶回家．如图1，A 为出发地，B 为小伙子家的位置，MN 是一条驿道，在和B 位于驿道MN 同侧的地段全是砂土．设BC ⊥MN 于C ，AC =m ，BC =n ．小伙子在驿道MN 和砂土地上的速度分别为1v 、2v （1v >2v >0）．

（1）若1v ∶2v =5∶3，在图2中作出小伙子从A 赶到家B 的路线（用尺规作图）； （2）求小伙子赶回家所用的最短时间（用含m 、n 、1v 、2v 的代数式表示）．

13．（本题满分14分）

对某一个函数给出如下定义：若存在实数M >0，对于任意的函数值y ，都满足-M ≤y ≤M ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界值是1． （1）分别判断函数x

y 1

=

(x >0)和y =x +1(-4

（2）若函数y =-x +1(a ≤x ≤b ，b >a )的边界值是2，且这个函数的最

大值也是2，求b 的取值范围；

（3）将函数2x y =(-1≤x ≤m ，m ≥0)的图像向下平移m 个单位，

得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足

4

3

≤t ≤1？ （第13题）

图1

N

B

A

图2

N

B C

m

n

（第12题）