2016年泰州市初中数学教师解题比赛试题
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2016年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题
(2016年12月15日)
说明:1.本试卷满分100分 ,考试时间120分钟;
2.请将答案或解答过程直接在答题纸上.
一、填空题:(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.已知x =2是不等式)23)(5(+--a ax x ≤0的解,x =1不是这个不等式的解,则实数a 的范围是 ▲ .
2.二次函数4)4(2--=x a y (a ≠0)的图像在2<x <3这一段位于x 轴下方,在6<x <7这 一段位于x 轴的上方,则a 的值为 ▲ .
3.设二次函数))((211x x x x a y --=(a ≠0,1x ≠2x )的图像与一次函数e dx y +=2(d ≠0)的图像交于点(1x ,0),若函数21y y y +=的图像与x 轴仅有一个交点,则下列结论:①a (1x -2x )=d ;②a (2x -1x )=d ;③a (2x -1x )2=d ;④a (2x +1x )2=d .其中正确的序号有 ▲ . 4.实数a 、n 、m 、b 满足a <n <m <b ,这四个数在数轴上对应的点分别为A 、N 、M 、B (如图).若AM 2=BM ·AB ,BN 2=AN ·AB ,则称m 为a 、b 的“大黄金数”,n 为a 、b 的“小黄金数”.当b -a =2时,a 、b 的大黄金数与小黄金数之差m -n =__▲____. 5.如图,直线l ⊥x 轴于点P ,且与反比例函数x
k y 1
1=
(x >0)及x k y 22=(x >0)的图像分别
交于点A 、B ,连接OA 、OB ,已知△OAB 的面积为2,则21k k -= ▲ . 6.如图是一张长方形纸片ABCD ,已知AB =8,AD =7,E 为AB 上一点,AE =5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP ),使点P 落在长方形ABCD 的某一边上,则等腰三角形AEP 的底边长为 ▲ .
A
B a
n
m
b
M
N 2
(第4题)
(第5题)
(第6题)
二、解答题(本大题共7题,计82分)
7.(本题满分10分)
质量分别为a、b(a≠b)的甲、乙两块金银合金的含金率不同.从甲、乙两块合金上各切下一块,分别和对方剩下的部分合金熔合,得到的两块新合金含金率相同.设切下的合金质量相同,求切下的每块合金的质量.
8.(本题满分10分)
四边形ABCD中,AB∥CD,M、N为AD、BC的中点,AC、BD相交于点O,过点O 作EF∥AB交AD、BC于点E、F.试比较EF与MN的大小,并说明理由.
9.(本题满分12分)
如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O于点C,CG是⊙O的弦,AB
CG⊥,垂足为D.
(1)求证:ABC
PCA∠
=
∠;
(2)过点A作PC
AE//交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE.若
5
3
sin=
∠P,5
=
CF,求BE的长.
(第9题)
已知点P 是线段AB 上与点A 不重合的一点,且AP 1PP P 的度数; (2)如图2,当点P 2在AP 1的延长线上时,求证:△P P P 12∽△PA P 2; (3)如图3,过BP 的中点E 作l 1⊥BP ,过BP 2的中点F 作l 2⊥BP 2,l 1与l 2交于点Q ,连 接PQ ,求证:P 1P ⊥PQ . 11.(本题满分12分) 已知:a 、b 、c 均为非零实数,且a >b >c ,关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)其中一个实数根为2. (1)请直接写出方程02=++c bx ax 的另一个实数根(用含a 、c 的代数式表示); (2)若实数m 使代数式c bm am ++2的值小于0,问:当x =m +5时,代数式c bx ax ++2的值 是否为正数?写出你的结论,并说明理由. 图2 图1 图3 (第10题) 一个身在他乡的小伙子,得知父亲病危的消息后,要日夜兼程以最短的时间赶回家.如图1,A 为出发地,B 为小伙子家的位置,MN 是一条驿道,在和B 位于驿道MN 同侧的地段全是砂土.设BC ⊥MN 于C ,AC =m ,BC =n .小伙子在驿道MN 和砂土地上的速度分别为1v 、2v (1v >2v >0). (1)若1v ∶2v =5∶3,在图2中作出小伙子从A 赶到家B 的路线(用尺规作图); (2)求小伙子赶回家所用的最短时间(用含m 、n 、1v 、2v 的代数式表示). 13.(本题满分14分) 对某一个函数给出如下定义:若存在实数M >0,对于任意的函数值y ,都满足-M ≤y ≤M ,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,图中的函数是有界函数,其边界值是1. (1)分别判断函数x y 1 = (x >0)和y =x +1(-4 (2)若函数y =-x +1(a ≤x ≤b ,b >a )的边界值是2,且这个函数的最 大值也是2,求b 的取值范围; (3)将函数2x y =(-1≤x ≤m ,m ≥0)的图像向下平移m 个单位, 得到的函数的边界值是t ,当m 在什么范围时,满足 4 3 ≤t ≤1? (第13题) 图1 N B A 图2 N B C m n (第12题)