数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解

-数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解

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数列专题复习

一、等差数列的有关概念:

１、等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

如设{}n a 是等差数列,求证：以b ｎ=n

a a a n

+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}

n b 为等差数列。

2、等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =,则通项n a = (答：210n +)； (２)首项为-24的等差数列,从第１０项起开始为正数，则公差的取值范围是＿＿____（答:

8

33

d <≤） 3、等差数列的前n 和:1()2n n n a a S +=

,1(1)

2n n n S na d -=+。 如(1）数列 {}n a 中,*

11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，则

1a ＝ _,n ＝＿(答:13a =-，10n =）；

（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T (答：

2*

2*

12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩).

4、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=

。 提醒:(１）等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余２个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++，…(公差为2d )

5、等差数列的性质:

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0．

（2)若公差0d >,则为递增等差数列，若公差0d <,则为递减等差数列，若公差0d =,则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有

2m n p a a a +=.

如(1）等差数列{}n a 中,12318,3,1n n n n S a a a S --=++==,则n =_＿__（答：27)； (4） 若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列,而{}n a a 成等比数列;若{}

n a 是等比数列，且0n a >,则{lg }n a 是等差数列．

如等差数列的前n 项和为2５,前2n 项和为１00,则它的前３n 和为 。（答:225）

（5）在等差数列{}n a 中,当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－;项数为奇数21n -时,S S a -=奇偶中,21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）;()1-n :n S =偶奇：S 。

如(1）在等差数列中,S 11=22，则6a ＝＿_____(答：２）；

（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80,偶数项和为7５,求此数列的中间项与项数（答：5；31).

（6)若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

n

A f n

B =，则21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.如设｛n a ｝与{n b }是两个等差数列,它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若

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3-+=

n n T S n n ，那么=n

n b a ＿_______＿__(答：6287n n --） (7)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增

等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负(或非正);法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*

n N ∈。上述两种方法是运用了哪种数学思想？(函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如(1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答:前１3项和最大,最大值为16９)；

（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<，则使前n 项和

0n S >成立的最大正整数n 是 (答：4006）

（3）在等差数列{}n a 中,10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和,则( ） A 、1210,S S S 都小于0,1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0,2021,S S 都大于０ C 、125,S S S 都小于0,67

,S S 都大于0

D 、12

20,S S S 都小于0，2122

,S S 都大于0 (答:Ｂ)

(８)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数． 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同，即研究n m a b =.

二、等比数列的有关概念:

1、等比数列的判断方法：定义法

1

(n n

a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11

n n n n a a

a a +-=(2)n ≥。 如(１)一个等比数列{n a }共有21n +项,奇数项之积为１00,偶数项之积为１２０，则1n a +为_＿__(答：

5

6

)；（2）数列{}n a 中,n S =41n a -+１ （2n ≥)且1a =１,若n n n a a b 21-=+ ,求证:数列{n b ｝是等比数列。

2、等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如等比数列{}n a 中,166n a a +=，21128n a a -=,前n 项和n S =126，求n 和

q ．(答:6n =，1

2

q =

或2） 3、等比数列的前n 和：当1q =时,1n S na =;当1q ≠时,1(1)1n n a q S q -=-11n a a q

q

-=-。

如（１）等比数列中,q =2，S ９9=77，求9963a a a +++ （答:44）； （2）

)(101

∑∑==n n

k k

n

C

的值为＿____＿＿＿__（答：20４6)；